Töredékes ideál

A matematika , pontosabban a gyűrű elmélet , a frakcionált ideális általánosítása határozni a ideális . Ez a koncepció az algebrai számelméletnek köszönheti . Néhány Diophantine-egyenlet megoldásához ez az elmélet egész számok gyűrűit használja , általánosítva a relatív egészekét . Ezeknek az (egységes) gyűrűknek általában nincs egyenértékük az aritmetika alaptételével, és nem lehet egy egész számot a prímtényezők egyetlen szorzatába faktorizálni, kivéve az invertálható elemek csoportját . Az ideálok biztosítják ennek a tételnek az egyenértékűségét, lehetővé téve bizonyos Diophantine-egyenletek megoldását, vagy kölcsönösségi törvények megalkotását, amelyek egyenértékűek a Gauss által megállapított másodfokú viszonossági törvényekkel .

Az ideáloknak sokszorosa van, ez a művelet asszociatív, és van egy semleges elem, amely az egész gyűrűből áll. Másrészt a fordított irányok hiánya megakadályozza az összes ideál csoportstruktúrával való ellátását . Egész számok gyűrűi esetén a szerkezet minden megfelelő tulajdonsággal rendelkezik az áthidalás biztosításához. Ezt a konfigurációt axiomatizálták a Dedekind gyűrű meghatározásában . Először a gyűrű elmerül a teljes frakciógyűrűjében , majd általánosítja az ideál fogalmát.

Ezt a fogalmat az algebrai geometriában is használják .

Történelem

Egy kísérlet szerint Leonhard Euler megoldani Fermat-tétel, ha n egyenlő 3 vezet rá, hogy fontolja számok formájában a + b $i$ √ 3 , ahol a és b olyan egész számok , és $én$ az imaginárius egység . Bizonyítéka hamis: egy ilyen gyűrű nem tényszerű , vagyis nem létezik egyedülálló módja annak, hogy egy számot prímtényezők felhasználásával faktorizáljunk. Például a 4 mind a 2 egész négyzete, mind az (1 + $i$ √ 3 ) szorzat (1 - $i$ √ 3 ). Ha a megvalósítás kissé esetlen, akkor az ötlet jónak bizonyul. Gauss ezt az a + $i$ b alakú számgyűrű tanulmányozásával mutatja , ahol a és b egész számok. Ez az euklideszi és jó faktorizációs. Gotthold Eisenstein felfedezi a "megfelelő" gyűrűt , hogy Euler demonstrációja szigorúvá váljon. Álló szám formájában a + $j$ b , ahol $j$ jelentése köbgyökét egység , az is kiderül, hogy az euklideszi.

Általános esetben hiábavaló abban a reményben, hogy találunk egy euklideszi szerkezetet az egész számok gyűrűihez. Ernst Kummer megérti ennek mögöttes okát, amelyet a második akadályként ír le . Az algebrai egész számok gyűrűin szereplő egész számok egyenértékei nem "elég sokak". Ennek megfelelően hozzáteszi, amit ideális számoknak nevez . Ez a felfedezés lehetővé teszi számára, hogy bebizonyítsa Fermat nagy tételét minden n értéke 100 alatt, kivéve 37, 59 és 67.

Kummer a Q [ζ n ] mező algebrai egész számait elemzi , ahol ζ n az egység primitív gyökerét jelöli , ezt a szerkezetet ma ciklotomikus kiterjesztésnek nevezik . Richard Dedekind és Leopold Kronecker az elméletet igyekszik általánosítani a racionális számok bármilyen véges kiterjesztésére . Szemléletük ellentétes: Kronecker a Gauss által létrehozott és Kummer által követett számítási hagyományt követi, míg Dedekind az egész szám gyűrűinek szerkezeti jellemzőin alapuló elméletet keres , még akkor is, ha ez azt jelenti, hogy nincs hatékony algoritmusa. Ez a filozófia arra késztette, hogy négyszer átírja a számelméletről szóló értekezését. Az 1876-os változat tartalmazza az ideális és a töredékes ideál modern meghatározását. Absztrakt megközelítése arra készteti, hogy tanulmányozza az ideálok algebrai struktúráját, különös tekintettel azok szorzására. A tört ideálok hozzáadása biztosítja az inverz létét. Az értekezés utolsó, 1894-es változata minden általánosságban és modern formában megmutatja a számtan alaptételét felváltó bontás egyediségét .

Definíciók

Ebben a cikkben, A jelöl kommutatív (egységes) gyűrű és K a teljes gyűrű frakciók : ha A jelentése szerves lesz (amely a legtöbb esetben az idő), K ezért a területen a frakciók a A , és a általános esetben, K a lokalizált gyűrű S -1 a a a tekintetében a részhalmaza S rendszeres elemek ( azaz a nem- térelválasztó nulla ).

A sub A -module M a K mondják invertálható , ha van egy al Egy -module N úgy, hogy MN = A , ahol MN jelöli a részmodul terméket elemek által termelt termékek M és N .
A frakcionált ideális az A egy része K a forma d -1 J , ahol d rendes tagja A és J az ideális az A . Más szóval, ez egy al- A - Module M a K , mint hogy van egy rendszeres jellemzője a az A , amelyre dM szerepel egy .
Az ilyen frakcionált ideális mondják elsődleges , ha keletkezik (például A -module) által egy elemet, vagyis ha azt a formáját a -1 J , ahol J egy fő ideális az A .

Figyelem e helytelen elnevezés: a frakcionált ideális A nem mindig ideális a A . Valójában az eszményeit Egy pontosan körében frakcionált ideálok, ezeket tartalmazza A .

Ezt azonnal észrevesszük

a K bármely invertálható al- A- modulja tört ideál,
a megfordítható frakcionális ideálok halmaza egy abeli csoportot alkot (a fent definiált termék esetében), amelynek semleges az A gyűrű,
bármely megfordítható tört ideál véges típusú, mint A- modul, más szóval d −1 J alakú , J véges típusú ideállal . Különösen az A bármely megfordítható ideálja véges típusú,
Ha egy frakcionális ideális F invertálható, akkor annak inverzét (megjegyzés, hogy F -1 ) az al A -module K elemekből áll k olyan, hogy kF szerepel A . Más szavakkal: F akkor és csak akkor invertálható, ha ennek az almodulnak a szorzata egyenlő A-val .

A Dedekind gyűrűk jellemzése

A Dedekind gyűrű definíciója, amelyet sok szerző elfogadott, és amelyet a Dedekind Ring cikkben ismét felvett : az integrál, noetherian , teljesen zárt (kommutatív egység) gyűrű , amelynek bármely nullától eltérő elsődleges ideálja maximális . Itt újra felvesszük, de látni fogjuk, hogy ekvivalens a Dedekind miatt (amelynek gyűrűje minden nulla nem ideális megfordítható), amely jobban megfelel az analóg céljának, az ideálokat tekintve az alaptételnek l 'számtan .

Tétel - A következő tulajdonságok egyenértékűek:

A egy Dedekind gyűrű,
minden nem nulla prime eszménye A invertálható,
minden nem nulla eszménye A invertálható,
A szerves részét képezi, és minden nem nulla eszménye A terméke maximális ideálok,
A becsületes és minden ideális egy olyan termék elsődleges eszmék.

Sőt, ha A Dedekind gyűrű, akkor a nulla kivételével bármely ideál bomlása a fő ideálok szorzatává egyedi (a tényezők sorrendjéig).

Demonstráció

${\ displaystyle 1 \ Rightarrow 2}$ : Vagy P egy nem nulla prímideje A-nak . A lokalizált A P egy értékelési gyűrű diszkrét , így a fő, van egy elem t a P generáló ideális PA P az A P , azaz úgy, hogy a P szerepel tA P .

Ezen kívül, A jelentése Noetherian , vagy ( p 1 , ..., p r ) egy véges generáló P . Minden p i tartozik tA P , így létezik egy olyan elem egy nem tartozó P úgy, hogy a ( a / t ) p i tartoznak Egy , úgy, hogy (a / t) .P tartalmazza A .

Határozza meg a Q = A + ( a / t ) A tört ideált és ellenőrizze, hogy ez P inverze . Konstrukciója szerint a QP a P-t tartalmazó A ideálja . Mivel ez is tartalmaz az elem ( a / t ) a t = a , amely nem a P , és P jelentése a maximális, akkor arra következtetünk, hogy QP = A .

${\ displaystyle 2 \ Rightarrow 3}$ : Érveljünk abszurd módon, feltéve, hogy 2 igaz és 3 hamis. A 2. hipotézis azt sugallja, hogy minden elsődleges ideál véges típusú, ami elegendő feltétel ahhoz, hogy A Noetherian legyen. A 3. hipotézis hamis, majd összességében (feltételezve, hogy nem üres) a nulla és az inverzibilis eszmék közül kiválaszt egy maximális P elemet . Mutassuk meg (abszurd módon következtetve), hogy az ilyen P elsődleges: legyen ilyen és mutassuk meg . Tekintsük az, hogy az ideális : tartalmaz szigorúan P ezért invertálható, és PQ -1 ideális a A nem invertálható (mint a P ) tartalmazó P , ezért egyenlő azzal, P (a választás az utóbbi). Tartalmaz azonban b-t is (mivel P tartalmazza a bQ-t ). Szóval . ${\ displaystyle a, b \ in A}$ ${\ displaystyle a \ notin P}$ ${\ displaystyle ab \ in P}$ ${\ displaystyle b \ in P}$ ${\ displaystyle Q = P + aA}$ ${\ displaystyle b \ in P}$

${\ displaystyle 3 \ Rightarrow 4}$ + a bomlás egyedisége az elsőkben : A 3. hipotézis azt sugallja, hogy A integrál (mivel a nulla nem elsődleges eszmék megfordíthatók) és noetherian (bármely megfordítható ideális véges típusú lény). Hadd legyek egy nullától ideális A , mutassuk meg, hogy ez a termék az maxima. Ha egyenlő A-val , akkor (vákuum által indexelt termék formájában). Ellenkező esetben legyél az I-t tartalmazó maximális ideál : ezért nem nulla, ezért visszafordítható, és szigorúan I-t tartalmazó A- ideál . Ilyen módon konstruálunk egy szigorúan növekvő ideális sorrendet, amelynek formája (a közönség szerint) véges, vagyis létezik egy természetes n szám , amely tehát . Térjünk most azt mutatják, hogy ha a prímszám, akkor m = n és (akár permutáció) . Ha m = 0, akkor az azonnali. Ellenkező esetben, mivel elsődleges és tartalmazza a terméket , az egyiket tartalmazza, mondjuk ezért (maximálisan ) . Ha a kiindulási egyenletet megszorozzuk, akkor megmarad , így (iterálva) a kívánt eredményt. $M_ {1}$ $M_ {1}$ ${\ displaystyle IM_ {1} ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle IM_ {1} ^ {- 1} \ ldots M_ {n} ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle IM_ {1} ^ {- 1} \ ldots M_ {n} ^ {- 1} = A}$ ${\ displaystyle I = M_ {1} \ ldots M_ {n}}$ ${\ displaystyle P_ {1} \ ldots P_ {m} = M_ {1} \ ldots M_ {n}}$ $P_i$ ${\ displaystyle (P_ {1}, \ ldots, P_ {n}) = (M_ {1}, \ ldots, M_ {n})}$ $P_ {1}$ ${\ displaystyle M_ {1} \ ldots M_ {n}}$ $M_ {1}$ $M_ {1}$ ${\ displaystyle P_ {1} = M_ {1}}$ ${\ displaystyle M_ {1} ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle P_ {2} \ ldots P_ {m} = M_ {2} \ ldots M_ {n}}$

${\ displaystyle 4 \ Rightarrow 5}$ : Azonnal.

${\ displaystyle 5 \ Rightarrow 2}$ : vö.

Bourbaki AC VII 2. § 9. gyakorlat, vagy
fr) Pierre Samuel és Oscar Zariski , kommutatív algebra , vol. 1 fejezet. V 6. § 10. tétel, vagy újra
11.149. Tétel (Matusitának tulajdonítják) Szpirglasban

(ebben a három forrásban az érvek halmaza megegyezik).

${\ displaystyle 2 \ Rightarrow 1}$ : A 2. hipotézis alatt (amely magában foglalja a 3, 4, 5 és a bontás egyediségét a prímben ) már láttuk, hogy A noetherian és integrálódik. Ráadásul (vö bekezdés Értékelés alább) tudunk társítani minden egyes nullától prime ideális P az A értékelési v P a K olyan, hogy egy a metszéspontja a kapcsolódó értékelési gyűrűket. Ezért teljesen le van zárva (lásd az Element teljes cikkét ). Bármely nulla nulla prímideál P maximális (maximuma szerinti bontás és prímokban történő bontás egyedisége által). Így A kielégíti a Dedekind gyűrű összes tulajdonságát.

Ebből azonnal az következik, hogy ha A Dedekind gyűrű, akkor:

az invertálható tört ideálok csoportja a legnagyobb, amire számíthatunk: az összes nem nulla tört ideál Fr ( A ) halmazából áll (mert egy ilyen ideál d −1 J = J. (dA) - 1, ahol J ideális A értéke nem nulla A, ezért invertálható);
A csoport Fr ( A ) van a szabad Abel csoport a beállított P ( A ) a nem nulla elsődleges eszmék Egy , azaz bármilyen frakcionált ideális bomlik egyedülálló módon egy véges terméke pozitív erőit vagy negatív elsődleges ideálok ( a frakcionális ideálok ilyen bomlásának létezésére következtetni lehet az ideáloké és a frakcionális ideál fenti megírásából; az egyediséget azáltal is, hogy termékenként pozitív hatásokra redukáljuk);
a tört ideál akkor és akkor csak akkor ideális az A-hez, ha az összes hatalom az elsődleges eszmék szorzatába bomlásakor pozitív („ha” azonnali, „csak akkor”, ha a tétel végéből következtetünk).

Értékelés

Feltételezzük itt, hogy A egy gyűrű, amely kielégíti az előző tétel 2. tulajdonságát, és annak minden következményét (3–5. Tulajdonságok, integritás, közömbösség, elsődleges bontás egyedisége). Mi magyarázza a értékeléssel rendelkezik egy , amely lehetővé teszi számunkra, hogy töltse ki a bizonyítéka 2 ⇒ 1 e tétel. Először rögzítjük a P nulla érték nélküli elsődleges ideált :

{\ displaystyle P \ P-ben (A)}

A tört ideálok elsődleges faktorálásának egyedisége lehetővé teszi a természetes számok vagy a racionális számokhoz hasonlóan, hogy meghatározzunk egy értékelést az Fr ( A ) multiplikatív csoporton :

A v P alkalmazást , amely szerint az F nonzero frakcionális ideál a P exponentet bontásában elsődleges ideálokká ötvözi, és amely a végtelen érték nulla ideálját ötvözi, az Fr ( A ) P értékbecslésének nevezzük .

{\ displaystyle v_ {P_ {i}} \ bal (\ prod _ {j = 1} ^ {n} P_ {j} ^ {\ alpha _ {j}} \ right) = \ alpha _ {i} \ quad {\ text {és}} \ quad v_ {P} (\ {0 \}) = \ infty.}

Az előző bekezdés eredményeiből azonnal levezetjük, hogy mindenki számára : ${\ displaystyle F, G \ in Fr (A)}$

${\ displaystyle v_ {P} (F \ cdot G) = v_ {P} (F) + v_ {P} (G)}$
${\ displaystyle v_ {P} (F + G) = \ min {\ big (} v_ {P} (F), v_ {P} (G) {\ big)}}$
${\ displaystyle v_ {P} (F \ cap G) = \ max {\ big (} v_ {P} (F), v_ {P} (G) {\ big)}}$

Ez lehetővé teszi a K értékének meghatározását azáltal, hogy v P- t nem nulla fő törzsideálokra korlátozza:

alkalmazása egy eleme k a frakció K A A társult v P ( kA ) nevezzük értékelést K P . Ezt az alkalmazást továbbra is v P- vel jelöljük .

{\ displaystyle \ forall k \ in K ^ {*}, \; v_ {P} (k) = v_ {P} (kA) \ quad {\ text {és}} \ quad v_ {P} (0) = \ infty.}

A K , a család értékelések ( v P ), amikor a P most bejárja a beállított P ( A ) nem nulla prime ideálok, továbbá kielégíti:

Bármilyen nem nulla elemet x az A , V P ( x ) szigorúan pozitív csak véges készlete, ideálok (és nulla a többiek). ${\ displaystyle P \ P-ben (A)}$

Más szóval, x csak véges számú ideálhoz tartozik.

„Közelítő tétel”: Legyen egyértelmű, és . Akkor létezik olyan, hogy ${\ displaystyle P_ {1}, \ ldots, P_ {q} \ in P (A)}$ ${\ displaystyle n_ {1}, \ ldots, n_ {q} \ in \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle k_ {1}, \ ldots, k_ {q} \ K-ban}$ $k \ K-ban$

{\ displaystyle {\ text {mindenhez}} i \ in [1, q], \ quad v_ {P_ {i}} (k-k_ {i}) \ geq n_ {i} {\ text {and}} }

{\ displaystyle {\ text {pour tout}} P \ P (A) {\ text {különbözik}} P_ {i}, \ quad v_ {P} (k) \ geq 0.}

Ideális osztályok csoportja

A fő, nulla nulla frakcionális ideálok a nulla nem frakcionális ideálok csoportjának alcsoportjai. A hányadoscsoportot osztálycsoportnak nevezzük . Ha A egy számmező algebrai egész számának gyűrűje, akkor osztálycsoportja véges sorrendű. Ez az eredmény az egyik kulcs, amely lehetővé teszi a Diophantine egyenletek megoldását , különös tekintettel a Fermat utolsó tételéhez .

Mindezeket a tulajdonságokat a másodfokú egész számok egyszerűbb keretrendszerében is tanulmányozzuk a Másodfokú mező egész számainak gyűrűjéről szóló cikkben .

Megjegyzések és hivatkozások

Megjegyzések

John Horton Conway és Richard Guy , A számok könyve , Eyrolles, 1998 ( ISBN 9782212036381 ) .
(in) HM Edwards , " Kummer igazolásának háttere Fermat utolsó tételéről a rendszeres díjakért " , Arch. Történelem pontos tudomány. , vol. 14, n o 3,1975, P. 219–236 ( DOI 10.1007 / BF00327448 ).
E. Kummer, "A komplex számok elméletéről", CRAS , 1847.
Az elemzés kínálják bevezetése a szöveg (en) Dedekind a 1871 változata az elmélet ideálok által Jeremy Avigad 2004.
Dedekind 2006 .
(De) R. Dedekind, "Zur Theorie der Ideale", Nachr. der K. Ges. der Wiss. zu Göttingen , 1894.
Bourbaki AC , II. 1. bek., 6. gyakorlat.
Jean-Pierre Serre , helyi testület [ a kiadások részletei ] o. 23 , vagy Bourbaki AC , VII § 2, n o 4.

Hivatkozások

Történelmi

(en) HM Edwards, Divisor Theory , Birkhäuser, Boston, 1990 ( ISBN 978-0-81763448-3 )
R. Dedekind ( ford . C. Duverney), Transzta a számelméletről , Genf, Tricorne,2006( ISBN 2829302893 ) - Dedekind könyve, amely meghatározza a tört ideál definícióját.

Matematika

N. Bourbaki , A matematika elemei : kommutatív algebra
(en) GH Hardy és EM Wright , Bevezetés a Theory of számok ( 1 st szerk. 1938) [ Kiskereskedelmi Editions ]
Pierre Samuel , algebrai számelmélet [ a kiadás részlete ]
Jean-Pierre Serre , számtan tanfolyam ,1970[ a kiadások részlete ]
Aviva Szpirglas, Algebra L3: Teljesítsen kurzust 400 teszttel és javított gyakorlattal [ a kiadások részlete ], különös tekintettel az ideálok megfordítása - A Dedekind gyűrűi című fejezetre, amelyet online írt Lionel Ducos ( Poitiers-i Egyetem ), a könyv közreműködője

Külső hivatkozás

Bas Edixhoven és Laurent Moret-Bailly, algebrai számelmélet, mester természetesen a matematika , Rennes-i Egyetem 1 ,2004( online olvasás )