Először ideális

A kommutatív algebra , a prime ideális egy egységes kommutatív gyűrű egy ideális , hogy a hányadosa gyűrű ez az ideális egy integrált gyűrű . Ez a koncepció általánosítja a prímszám fogalmát olyan gyűrűkhöz, amelyek szerkezete kevésbé könnyen elérhető, mint a relatív egészek gyűrűje .

Különösen fontos szerepet játszanak az algebrai számelméletben .

Motivációk

Algebrai számok és egész számok elmélete

1801-ben, az ő Aritmetikai , Carl Friedrich Gauss kifejlesztett aritmetikai gyűrűkön eltérő relatív egészek . Ő különösen használja a gyűrűt a polinomok és együtthatók egy kommutatív területen és a készlet egész számok, hogy ő nevét viseli .

Ezek a gyűrűk olyan elemeket tartalmaznak, amelyek ugyanazokkal a tulajdonságokkal rendelkeznek, mint a prímszámok , a redukálhatatlan polinomok vagy a Gauss-prímek . Ez a megközelítés különösen gyümölcsöző, lehetővé teszi például sokkal egyszerűbben Fermat két négyzetének tételének bemutatását, vagy egy különösen nehéz sejtést egyelőre a másodfokú kölcsönösség törvényéről .

Ez a megközelítés általános az algebrai egész számokra . A 1847 , Gabriel Lamé használt brutális általánosítás és azt hitte bizonyította Fermat nagy tétel . Ernst Kummer ( 1810 - 1893 ) azt mutatja, hogy a primer faktorizációs tételben említett egyediség már nem garantált. Kidolgozza az ideális komplex számokat , hogy új koncepció révén megtalálja az egyediséget.

Ezt a koncepciót, amelynek célja a számok tulajdonságainak hiányosságainak leküzdése , Richard Dedekind munkája nyomán az ideál fogalma formalizálja . A különböző ideálok jellemzésére számos tulajdonság jellemző. Azokban az egyszerű esetekben, amikor a gyűrű a fő , bármely ideál megfelel a gyűrű elemének, az elsődleges ideálok pedig a gyűrű azon elemeinek, amelyek "elsődlegesek" abban az értelemben, hogy a prímszámokhoz hasonlóan kielégítik az euklideszi lemmát : bármely olyan fő elem, amely oszt egy terméket, megosztja a két tényező egyikét. Egy faktoriális gyűrűben ez a prímelem fogalma egybeesik az irreducibilis elemével, a prímszámok jellemzőbb jellemzése az a tény, hogy bármely két tényezőre történő bontás során legalább az egyik megfordíthatatlan . Bonyolultabb esetekben, például Dedekind gyűrűiben , a fő ideál koncepciója továbbra is működőképes marad, míg a fő elemé nagyrészt elveszíti működési erejét.

Algebrai geometria

Az algebrai fajták az algebrai geometria alapvető objektumai . Ezek megfelelnek az algebrai egyenletek által meghatározott geometriának . Az algebrai geometria egyik célja a különféle fajták osztályozása. A fõ ideál fogalma a fajták redukálhatatlan fajtákká bontásának alapja.

Ahogyan a polinom tanulmányozható a polinomok gyűrűjéhez tartozó ideál szögéből, egy algebrai sokaságot meghatározhatunk azon polinomok ideáljával, amelyek egymást törlik ezen a sokaságon. Ezután egy fajtát tökéletesen besorol a polinomok elsődleges ideáljainak adata, amelyek kiiktatják azt. Minden elsődleges ideálnak egy redukálhatatlan részváltozat felel meg.

A geometria és az aritmetika asszociációja megnyitja az utat számos tétel bemutatása előtt. Ez például az alapja a bizonyítási Fermat nagy tétel szerint Andrew Wiles a 1994 .

Definíciók

Először ideális

Legyen A egységes kommutatív gyűrű.

Az ideális én az A azt mondta, hogy elsődleges, ha a hányados egy az I. az integrál .

Különösen kiváló ideális A jelentése tiszta , azaz eltér egy . Valójában a null gyűrű definíció szerint nem integrál.

A nullideál (0 elemre redukálva) akkor és akkor elsődleges, ha az A gyűrű integrál.

A főideál definícióját össze kell hasonlítani a maximális ideál definíciójával .

Az ideális én az A azt mondják, hogy maximális, ha a hányados egy az I egy mezőt .

A definícióval egyenértékű tulajdonságok

Legyen A egységes kommutatív gyűrű.

Az elsődleges ideálokat a következőképpen jellemezzük:

Az A megfelelő I ideálja akkor és csak akkor elsődleges

{\ displaystyle \ forall a, b \ in A \ quad [ab \ in I \ Rightarrow (a \ in I {\ mbox {vagy}} b \ in I)].}

Ez a tétel felidézi Euklidész lemmáját, amely a következőképpen szól: "ha egy 1-nél nagyobb egész szám elsődleges, minden egyes alkalommal, amikor eloszt egy terméket, megosztja az egyik tényezőt".

Egyenértékűen:

Az ideális tulajdon akkor és csak akkor elsődleges, ha minden egyes alkalommal két ideál termékét tartalmazza, egyik vagy másik.

Ez a tulajdonság finomítható:

A megfelelő ideál nem akkor és csak akkor elsődleges, ha két olyan ideál létezik, amelyekben szigorúan benne van, és amelyek tartalmazzák a terméket.

Tüntetések

Hadd legyek a megfelelő ideális (pl elkülönülő A ), más szóval az A / I eltér a nulla gyűrű .

Első jellemzés:
Csak akkor vagyok elsődleges, ha az A / I integrál, vagyis csak akkor és akkor $\ forall a, b \ in A \ quad [\ overline a. \ overline b = \ overline 0 \ Rightarrow (\ overline a = \ overline 0 {\ mbox {vagy}} \ overline b = \ overline 0)].$ De azt mondani, hogy a . b értéke nulla az A / I-ben azt jelenti, hogy ab I-hez tartozik , és még annak is van, vagy b értéke null: azt jelenti, hogy I-hez tartozik . Ebből következtethetünk a fő eszmék első jellemzésére.
Ha én prím és nem tartalmazza sem az ideális J , sem az ideális K , akkor nem tartalmazza a termék:
Valóban létezik ebben az esetben egy (ill. B ) eleme J (ill. Of K ) nem eleme I . Ekkor ab a JK eleme, amely nem lehet az I eleme, mert én vagyok elsődleges.
Ha azt nem prím, akkor létezik két ideálok J és K olyan, hogy azt a terméket tartalmazza JK de szigorúan tartalmazza J és K (így nem tartalmaz vagy az egyik vagy a másik):
Valóban, ebben az esetben a két elem van a a gyűrű volt, és b nem tartozik I-hez, de terméke I-hez tartozik . A J = I + ( a ) és a K = I + ( b ) ideálok szigorúan I-t tartalmaznak , míg a JK termék az I-be tartozik .

Következésképpen bármely elsődleges ideál visszavonhatatlan : ha megegyezik két ideál metszéspontjával, akkor egyenlő az egyik vagy a másik (mivel terméküket tartalmazza és elsődleges).

Példák

Relatív egész számok

A relatív egész számok ℤ gyűrűjében egy nulla nem n egész szám az előző meghatározás értelmében elsődleges elem, ha és csak akkor, ha a ℤ / n ℤ gyűrű integrál, vagyis ha n egyenlő vagy ellentétes egy természetes természetes számmal. a szokásos értelemben .

A ℤ elsődleges elemének meghatározása tehát megegyezik a prímszám szokásos meghatározásával, kivéve az invertálhatókat (ℤ-ben az invertálható elemek 1 és –1). A ℤ minden ideálja azonban két egész számmal „társul”: természetes számmal és ellentétével. Megállapodás alapján az ember az ideál kanonikus generátoraként választja, hogy melyik a pozitív. Ez a konvenció biztosítja a nulla nélküli prímideálok és a prímszámok közötti bijekciót, és lehetővé teszi az aritmetika alapvető tételének egyszerűbb kifejezését .

Polinomok gyűrűje

Polinomok egy mezőben együtthatókkal

Abban az esetben, ha a polinomok egy mezőben együtthatóval rendelkeznek, a gyűrű, mint korábban euklideszi , ezért fő : minden ideál egy egység polinom többszöröseiből áll, és a nem nulla elsődleges ideálok bijekcióban vannak az elsődleges polinomokkal .

A hagyomány azonban inkább redukálhatatlan polinomokról szól, mint elsődleges polinomokról: a fenti definíció szerint a polinom akkor és csak akkor redukálhatatlan, ha nem állandó és ha két tényezőre történő bontás tartalmaz invertálható elemet.

Valójában ez a két fogalom egybeesik ebben a polinomgyűrűben, valamint az egész számokban. Ez a helyzet általános a GCD-vel integrált gyűrűkben , különös tekintettel (lásd alább ) a fő gyűrűkre.

Polinomok ℤ együtthatóval

Ha a polinom együtthatóit ℤ közül választjuk, akkor a polinomok gyűrűje már nem fő. Például az ideális I által generált X és 2 nem elsődleges. ℤ [ X ] hányadosa I-vel két elemű gyűrű, ezért integrál. Ez az ideál elsődleges, de nem kapcsolódik a gyűrű eleméhez.

Gauss-os egész gyűrű

A Gauss-számok euklideszi gyűrűt alkotnak. Mindegyik ideálnak megfelel az ideált létrehozó asszociációs osztály, a nem nulla prímideálok fogalmai megfelelnek a Gauss-féle prímszámoknak , a gyűrű elsődleges - vagy: redukálhatatlan - elemeinek.

Tulajdonságok

Elsődleges eszmék és fő elemek egy gyűrűben

Egy kommutatív gyűrű A :

Egy elem egy az A azt mondta, hogy elsődleges , ha az ideális aA prím és nem nulla.
Egy elem egy az A azt mondják, hogy nem csökkenthető , ha az nem nulla, és nem is invertálható , sem a termék a két nem invertálható elemei.

Amikor azt az ideális ( p ) többszöröse a nem nulla eleme p , a meghatározás újrafogalmazni, hogy: „az ideális ( p ) prím akkor és csak akkor az elem p jelentése prime ”.

minden fő elem visszavonhatatlan , feltéve, hogy A integrálatlan;
p jelentése irreducibilis akkor és csak akkor, ha ( p ) a maximális közül a legfontosabb eszméket tulajdonképpeni A ;
minden maximális ideál elsődleges .

Az ideálok fő gyűrűben

Mindezen tulajdonságok kombinálásával megkapjuk:

Ha p egy fő gyűrű nem nulla eleme , akkor a következő állítások egyenértékűek:

( p ) elsődleges;
p elsődleges;
p irreducibilis;
( p ) maximális.

Több elemi bizonyítás

Bizonyítjuk az 1 ⇒ 2 ⇒ 3 ⇒ 4 ⇒ 1 implikációk körét, amelyek közül csak a két legkényesebbet fogjuk részletezni.

2 ⇒ 3: legyen egy és b legyen két eleme egy olyan, hogy p = ab , majd 2 tanítja, hogy p felosztja vagy egy vagy b , következésképpen (mivel p nem nulla, és A jelentése szerves) p társul vagy egy akár b-re és a másik tényező invertálható.
3 ⇒ 4: minden ideális tartalmazó ( p ) által generált osztója p , így keletkezik akár 1 vagy p . Ennek megfelelően a csak két ideálok tartalmazó ( p ) olyan A és ( p ), amely az a meghatározás, a maximális ideális.

Kölcsönös kép

Ha ψ egy morfizmus gyűrűk (kommutatív és egység) A a B , és P egy ideális a B , ismeretes, hogy a inverz kép Q a P által ψ ideális a A . Ilyen körülmények között, ha P elsődleges, akkor Q is.

Demonstráció

Az A / Q szerves: egyrészt A / Q nem a nulla gyűrű, más szóval Q nem teljesen A , mert nem tartalmaz 1 A-t, mivel ψ (1 A ) = 1 B n 'nem P-re vonatkozik .
Az A / Q izomorf a B / P algyűrűjéhez képest, így hasonló hozzá, nulla osztó nélkül.

Ez a tulajdonság leggyakrabban arra az esetre vonatkozik, amikor A jelentése B részgyűrűje , a morfizmus tehát egyszerűen a kanonikus injekció . Ezután a következőképpen fogalmazzák meg:

Ha egy olyan subring a B és P elsődleges ideális B akkor P ∩ A prím ideális A .

Nilradical, egy ideál radikális

Definiáljuk a nilradical egy egységes kommutatív gyűrű egy , mint a készlet annak nilpotens elemek . Ezután megvan a következő állítás (amelynek bizonyítása Krull tételét és ezért a választott axiómát használja ):

A nilradical egyenlő minden elsődleges ideál metszéspontjával.

Általánosságban elmondható, hogy a hányados egy részével arra következtetünk, hogy:

A csoport a megfelelő ideális I egyenlő a kereszteződésekben a prime eszméket tartalmazó I .

Lásd is

Bibliográfia

Serge Lang , Algebra [ a kiadások részlete ]
Saunders Mac Lane és Garrett Birkhoff , Algebra [ a kiadások részletei ]
Daniel Perrin , Cours d'Algebre [ a kiadások részletei ]

Külső linkek

" Ideálok , hányados gyűrűk " , a les-mathematiques.net oldalon
Gyűrű és test Christian Squarcini által
(en) " Prime ideal " , a PlanetMath- on