Metszéspont (matematika)
A halmazelmélet , kereszteződés egy beállított művelet , amelynek a neve megegyezik annak eredményeképpen, azaz a beállított tartozó elemek mindkét operandus egyidejűleg : a kereszteződés két A és B jelentése a beállított, jelölt A ∩ B , mondta , „ a kereszt B ”, amely tartalmazza az összes elemet tartozó mind a , és a B , és csak azokat.
A és B jelentése diszjunkt akkor és csak akkor, ha A ∩ B az üres halmaz ∅.
Egy van benne a B akkor és csak akkor, ha A ∩ B = A .
Az igazi elemzés , a metszéspontjait görbék képviselője két funkció avatkozik be a leírást a relatív helyzete .
Példák a geometriára
Két vonal metszéspontja
A tervben
- A sík , a kereszteződésekben a két nem párhuzamos vonalak egy pont : Azt mondják, hogy ők metsző.
- Ha két vonal szigorúan párhuzamos, akkor nincs közös pontjuk; kereszteződésük üres:
- Ha két vonal összekeveredik, minden pontjuk közös; a kereszteződés egy vonal:
A térben
- Ha két vonal nem koplanáris, akkor nincs közös pontjuk; kereszteződésük üres:
- Két párhuzamos vagy szekundáns egyenes sík.
Egyéb példák
A térben
- a nem párhuzamos egyenes és egy sík metszéspontja egy pont.
- két nem párhuzamos sík metszéspontja egyenes.
A tervben
- egy vonal és egy kör kereszteződését nulla, egy vagy két pont alkotja, attól függően, hogy a kör középpontjától az egyenesig terjedő távolság nagyobb-e, egyenlő-e vagy kisebb, mint a kör sugara . Ha a metszéspont egy pontra csökken, akkor az egyenes érintőleges a körre.
- két kör metszéspontját két pont alkotja, ha középpontjaik távolsága (szigorúan) kisebb, mint a sugaraik összege, és nagyobb, mint a különbségük, egy ponttal, ha ez a távolság megegyezik az összeggel vagy a sugár különbségével (tangens körök), egyébként üres.
Az analitikai geometriában
A analitikus geometria , a kereszteződés két objektumok által meghatározott egyenletrendszer által alkotott unió az egyenletek társított minden objektum.
A 2. dimenzióban két egyenes metszéspontját két egyenlet 2 ismeretlen ismeretével határozza meg, amelynek általában egyedi megoldása van, kivéve, ha determinánsa nulla, ebben az esetben vagy nulla, vagy végtelen: keresse meg a geometria három esetét.
A 3. dimenzióban három sík metszéspontját három egyenletből álló rendszer határozza meg 3 ismeretlenrel, amelynek általában egyedi megoldása van, kivéve, ha meghatározója nulla.
Logikai algebrában
A Boolean algebrában a metszéspont a logikai operátorhoz van társítva et : ha A az E elemei, amelyek rendelkeznek a P tulajdonsággal (vagy kielégítik a P feltételt), és B, akkor az E elemei, amelyek rendelkeznek a Q tulajdonsággal (vagy megfelelnek a feltételnek) Q), akkor A ∩ B az E elemeinek halmaza, amelyek P etQ tulajdonsággal rendelkeznek (vagy kielégítik mind a P, mind a Q feltételt).
1. példa: ha E a természetes számok halmaza, amelyek kisebbek, mint 10, A az E páratlan elemeinek halmaza , és B az E prím elemei , akkor A ∩ B az E és az első páratlan elemeinek halmaza :
A = {1, 3, 5, 7, 9}, B = {2, 3, 5, 7}, A ∩ B = {3, 5, 7}.2. példa: a téglalapok ( négy derékszögű négyszögek ) és a rombuszok (négy egyenlő oldalú négyszögek ) metszéspontja a négyzetek (négyszögek, amelyeknek négy derékszöge és négy egyenlő oldala) .
Mi határozza meg, ugyanúgy a kereszteződés egy meghatározatlan osztály készletek (nem feltétlenül csökken két, sem véges, nem is indexelt egy sor: csak kérni, hogy legyen nem üres).
Algebrai tulajdonságok
- A metszéspont asszociatív , vagyis bármelyik A , B és C halmazra :
( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C ). - A metszéspont kommutatív , azaz, hogy a halmazok A és B minden, van:
A ∩ B = B ∩ A . - Az unió az elosztó alatt a kereszteződés, ami azt jelenti, hogy a készletek egy , a B és C olyan, hogy van:
A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ).
Egy meghatározott család metszéspontja
Mi általánosítani ezt a fogalmat, hogy a család a készletek ( E i ) i ∈ I (nem feltétlenül csökken két, nem is véges). Az E i metszéspontja , amelyet ∩ i ∈ I E i jelöl , az összes E i-re közös elemek halmaza (ha I az üres halmaz , akkor ez a metszéspont nincs meghatározva az abszolútumban).
Formálisan:
Megjegyzések
- Ahhoz, hogy szigorúak legyünk, azt kell mondanunk itt: " egyedülálló "; a „lényeg” visszaélést elfogadhatónak tekintik.
- Ennek bizonyításához elegendő feltételezni az A és B középpontú, M-ben szekundált köröket, és az ABM háromszögbe írni a háromszög egyenlőtlenségeket .