Skellam törvénye

Skellam törvénye

Tömegfüggvény A függvény csak egész számokon van megadva.

Beállítások	${\ displaystyle \ mu _ {1} \ geq 0}$ ${\ displaystyle \ mu _ {2} \ geq 0}$
Támogatás	$k \ in \ mathbb {Z}$
Mass funkció	${\ displaystyle \ mathrm {e} ^ {- (\ mu _ {1} + \ mu _ {2})} \ bal ({\ frac {\ mu _ {1}} {\ mu _ {2}}} \ right) ^ {k / 2} I_ {\| k \|} (2 {\ sqrt {\ mu _ {1} \ mu _ {2}}})}$
Remény	${\ displaystyle \ mu _ {1} - \ mu _ {2} \,}$
Középső	N / A
Variancia	${\ displaystyle \ mu _ {1} + \ mu _ {2} \,}$
Aszimmetria	${\ displaystyle {\ frac {\ mu _ {1} - \ mu _ {2}} {(\ mu _ {1} + \ mu _ {2}) ^ {3/2}}}}$
Normalizált kurtosis	${\ displaystyle 1 / (\ mu _ {1} + \ mu _ {2}) \,}$
Pillanatgeneráló funkció	${\ displaystyle \ mathrm {e} ^ {- (\ mu _ {1} + \ mu _ {2}) + \ mu _ {1} \ mathrm {e} ^ {t} + \ mu _ {2} \ mathrm {e} ^ {- t}}}$
Jellemző funkció	${\ displaystyle \ mathrm {e} ^ {- (\ mu _ {1} + \ mu _ {2}) + \ mu _ {1} \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} t} + \ mu _ {2} \ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {i} t}}}$

A valószínűségszámítás és a statisztika , a törvény Skellam a diszkrét valószínűségi eloszlása a különbség a két véletlen változó független $N 1$ és $N 2$ a Poisson megfelelő paramétereket $ji 1$ és $μ 2$ .

Ezt a törvényt arra használják, hogy leírják a kvantumzaj két képének különbségét, vagy összehasonlítsák a sporteredményeket, ha bizonyos sportágak, például baseball , jégkorong és futball pontjaihoz kötődnek .

A tömeges funkciója Skellam törvényének származó két Poisson törvények paraméterekkel $μ 1$ és $μ 2$ képlet adja meg:

{\ displaystyle f (k; \ mu _ {1}, \ mu _ {2}) = \ mathrm {e} ^ {- (\ mu _ {1} + \ mu _ {2})} \ bal ({ \ mu _ {1} \ over \ mu _ {2}} \ right) ^ {k / 2} I_ {| k |} (2 {\ sqrt {\ mu _ {1} \ mu _ {2}}} )}

ahol $I k$ a módosított Bessel-függvény az első ilyen.

E törvény neve John Gordon Skellam statisztikustól és biológustól származik .

Építkezés

A tömeg függvényében Poisson törvény paraméterű $μ$ adja meg:

{\ displaystyle f (n; \ mu) = {\ mu ^ {n} \ n felett!} \ mathrm {e} ^ {- \ mu}}

az $n \geq 0$ (0, egyébként). Skellam törvénye van a kereszt-korrelációs két Poisson törvények ( Skellam , 1946):

{\ displaystyle f (k; \ mu _ {1}, \ mu _ {2}) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} f (k \! + \! n; \ mu _ {1}) f (n; \ mu _ {2})}

{\ displaystyle = \ mathrm {e} ^ {- (\ mu _ {1} + \ mu _ {2})} \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} {{\ mu _ {1 } ^ {k + n} \ mu _ {2} ^ {n}} \ felett {n! (k + n)!}}.}

Mivel Poisson-törvény pozitív egész számok törvénye , az előző összeg tényezőinek összes negatív tagját nullára állítjuk. Ez magában foglalja:

{\ displaystyle {\ frac {f (k; \ mu _ {1}, \ mu _ {2})} {f (-k; \ mu _ {1}, \ mu _ {2})}} = \ balra ({\ frac {\ mu _ {1}} {\ mu _ {2}}} \ jobbra) ^ {k}}

így :

{\ displaystyle f (k; \ mu _ {1}, \ mu _ {2}) = \ mathrm {e} ^ {- (\ mu _ {1} + \ mu _ {2})} \ bal ({ \ mu _ {1} \ over \ mu _ {2}} \ right) ^ {k / 2} I_ {| k |} (2 {\ sqrt {\ mu _ {1} \ mu _ {2}}} )}

ahol $I k$ a Bessel függvénye az első ilyen. Az a különleges eset, amikor $μ 1 = μ 2 (= μ )$ Irwin (1937) tanulmányozza, a tömegfüggvény ekkor:

{\ displaystyle f (k; \ mu, \ mu) = \ mathrm {e} ^ {- 2 \ mu} I_ {| k |} (2 \ mu).}

Azt is észrevehetjük, hogy a Bessel-függvények határértékeinek felhasználásával megtalálhatjuk a Poissoni törvényt, mint a Skellam-törvény speciális esetét $μ 2 = 0 esetén$ .

Tulajdonságok

Mivel a valószínűsége tömeg funkció normalizálódott, azaz: . ${\ displaystyle \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} f (k; \ mu _ {1}, \ mu _ {2}) = 1}$

Mivel a Poisson-törvény valószínűségeit generáló függvény : $G ( t ; μ ) = e μ ( t - 1)$ , a Skellam-törvény valószínűségeit generáló függvényt ekkor adjuk meg:

{\ displaystyle G (t; \ mu _ {1}, \ mu _ {2}) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} f (k; \ mu _ {1}, \ mu _ { 2}) t ^ {k}}

{\ displaystyle = G (t; \ mu _ {1}) G (1 / t; \ mu _ {2}) \,}

{\ displaystyle = \ mathrm {e} ^ {- (\ mu _ {1} + \ mu _ {2}) + \ mu _ {1} t + \ mu _ {2} / t}.}

Ne feledje, hogy a generáló függvény formája azt jelenti, hogy a Skellam-törvények független véletlen változóinak különbségeinek összegének törvénye továbbra is Skellam-törvény. Néha azt mondják, hogy Skellam törvényének két véletlen változójának bármely lineáris kombinációja továbbra is Skellam törvénye. Ez azonban csak ± 1-gyel szorozva érvényes, különben megváltozna a törvény támogatása .

A Skellam-törvény pillanatgeneráló funkcióját az adja:

{\ displaystyle M (t; \ mu _ {1}, \ mu _ {2}) = G (\ mathrm {e} ^ {t}; \ mu _ {1}, \ mu _ {2}) = \ összeg _ {k = 0} ^ {\ infty} {t ^ {k} \ k felett!} \, m_ {k}}

amely megadja az $m$ $k$ pillanatait . A és meghatározásával a pillanatokat a következők adják: ${\ displaystyle \ Delta \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ mu _ {1} - \ mu _ {2}}$ ${\ displaystyle \ mu \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ (\ mu _ {1} + \ mu _ {2}) / 2}$

{\ displaystyle m_ {1} = \ Delta \ ;, \; m_ {2} = 2 \ mu + \ Delta ^ {2} {\ text {és}} m_ {3} = \ Delta (1 + 6 \ mu + \ Delta ^ {2}).}

Az átlaghoz viszonyított pillanatokat a következők adják:

{\ displaystyle M_ {2} = 2 \ mu \ ;, \; M_ {3} = \ Delta {\ text {et}} M_ {4} = 2 \ mu +12 \ mu ^ {2}.}

Az elvárást , a varianciát , az aszimmetriát és a kurtosist a következők adják meg:

{\ displaystyle \ mathbb {E} (n) = \ Delta,}

{\ displaystyle \ sigma ^ {2} = 2 \ mu,}

{\ displaystyle \ gamma _ {1} = \ Delta / (2 \ mu) ^ {3/2},}

{\ displaystyle \ gamma _ {2} = 1/2 \ mu.}

A kumulánsok generátorfüggvényét az alábbiak adják meg:

{\ displaystyle K (t; \ mu _ {1}, \ mu _ {2}) \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ ln (M (t; \ mu _ {1} , \ mu _ {2})) = = sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {t ^ {k} \ k felett!} \, \ kappa _ {k}}

amely megadja a kumulánsoknak:

{\ displaystyle \ kappa _ {2k} = 2 \ mu {\ text {és}} \ kappa _ {2k + 1} = \ Delta.}

Abban a különleges esetben, ha $μ 1 = μ 2$ , egy aszimptotikus sor , a $μ$ nagy, a Bessel-függvény az első fajta adja (Abramowitz & Stegun 1972 o. 377 ):

{\ displaystyle f (k; \ mu, \ mu) \ sim {1 \ over {\ sqrt {4 \ pi \ mu}}} \ left [1+ \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} ( -1) ^ {n} {\ {4k ^ {2} -1 ^ {2} \} \ {4k ^ {2} -3 ^ {2} \} \ cdots \ {4k ^ {2} - (2n -1) ^ {2} \} \ n fölött! \, 2 ^ {3n} \, (2 \ mu) ^ {n}} \ jobbra}}

Ebben a konkrét esetben, amikor $k$ nagy az $O$ rendben $($ $\sqrt$ $2$ $μ$ $),$ a törvény a normál törvény felé halad :

{\ displaystyle f (k; \ mu, \ mu) \ sim {\ mathrm {e} ^ {- k ^ {2} / 4 \ mu} \ over {\ sqrt {4 \ pi \ mu}}}.}

Hivatkozások

Abramowitz, M. és Stegun, IA (szerk.) (1972) "Módosított Bessel-funkciók I és K". 9.6–9.7. Szakasz a Matematikai függvények képletekkel, grafikonokkal és matematikai táblázatokkal , 9. nyomtatás, p. 374-378 . New York: Dover.
Irwin, JO (1937) "Két független változó közötti különbség frekvenciaeloszlása ugyanazon Poisson-eloszlást követi." A Királyi Statisztikai Társaság folyóirata: A sorozat , 100 (3), 415-416. JSTOR : 2980526
Karlis, D. és Ntzoufras, I. (2003) "Sportadatok elemzése kétváltozós Poisson-modellekkel". A Királyi Statisztikai Társaság folyóirata: D sorozat (The Statistician) , 52 (3), 381–393. doi: 10.1111 / 1467-9884.00366
Karlis D. és Ntzoufras I. (2006). Bayes-elemzés a számlálási adatok különbségeiről. Statisztika az orvostudományban , 25, 1885-1905. [1] DOI : 10.1002 / sim.2382
Skellam, JG (1946) "Két Poisson-variáns különbségének gyakorisági eloszlása különböző populációkhoz tartozik". A Royal Statistics Society folyóirata: A sorozat , 109 (3), 296. JSTOR : 2981372