Mérés (matematika)

A matematika , a pozitív intézkedés (vagy egyszerűen mérésére , ha nincs az összetévesztés kockázata) egy függvény , hogy társult egy numerikus mennyiség bizonyos részhalmazainak egy adott készlet . Ez fontos elemzés és valószínűségelmélet .

Intuitív módon a halmaz vagy részhalmaz mérése hasonló a méret, vagy a diszkrét halmazok számosságának fogalmához . Ebben az értelemben a mérés általánosítása a fogalmak hossz , terület vagy térfogat a terek dimenzió 1, 2, illetve 3.

A tanulmány a terek ellátva mérések tárgya a elmélet mérés .

Meghatározás

Formálisan, egy intézkedés μ egy funkciót , amely társult minden egyes eleme S egy σ -algebra (vagy törzs) egyes részeinek X értéke μ ( S ), amely egy pozitív valós vagy végtelenhez. ${\ mathcal {A}}$

Definíció - Hagy egy mérhető tér (azaz egy pár , ahol egy sor és egy törzs a ). ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}}),}$ ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}}),}$ $x$ ${\ mathcal {A}}$ $x$

A μ értékre beállított μ értéket akkor nevezzük mértéknek, ha mindkét alábbi tulajdonság teljesül: ${\ displaystyle {\ mathcal {A}},}$ ${\ displaystyle [0, + \ infty],}$

az üres halmaznak nulla mértéke van: $\ mu \ bal (\ lakkozás \ jobb) = 0$ ;
A térkép μ van σ-additív :

ha E 1 , E 2 , ... egy megszámlálható családja részeinek X tartozó , és ha ezek a részek kettesével diszjunkt , akkor az intézkedést, μ ( E ) az unió E egyenlő összegű intézkedések az egyes részek :

{\ displaystyle {\ mathcal {A}},}

{\ displaystyle \ mu \ left (\ bigsqcup _ {k = 1} ^ {\ infty} E_ {k} \ right) = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \ mu (E_ {k}) }

Kapcsolódó terminológiák

Amikor egy mérhető térben van μ mérésünk , akkor azt mondjuk, hogy a hármas egy mért tér ; $(X, {\ mathcal {A}})$ $(X, {\ mathcal {A}}, \ mu)$
Az S mérhető készletével (azaz a ), az értéket μ ( S ) nevezzük intézkedés az S ; ${\ displaystyle S \ in {\ mathcal {A}}}$
Ha μ ( X ) véges, akkor véges mértékről vagy korlátos mértékről beszélünk ;
Amikor μ ( X ) = 1, valószínűségi mértékről beszélünk . A tripletet ezután valószínűségi térnek nevezzük . Ehhez a keretrendszerhez lásd a valószínűségi axiómákat . $(X, {\ mathcal {A}}, \ mu)$
Amikor az X számlálható fedése véges mérték részhalmazaival van, vagyis formálisabban, amikor a törzs elemeinek sorozata van, mind véges mérték, ${\ displaystyle (E_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$

{\ displaystyle X = \ bigcup _ {n \ in \ mathbb {N}} E_ {n}}

, beszélünk σ -finite intézkedés . Még ha azt is jelenti, hogy mindegyiket helyettesítjük egymással , feltételezhetjük, hogy a definícióban megjelenő részhalmazok növekszenek az inklúzió érdekében.

E_k

{\ displaystyle E_ {0} \ csésze \ ldots \ csésze E_ {k},}

A részhalmaza S az X azt mondják, hogy elhanyagolható , ha benne van a T tartozó törzs és nulla intézkedés. ${\ mathcal {A}}$
A μ mértéke akkor mondható teljesnek, ha bármilyen elhanyagolható halmaz tartozik a törzshöz . ${\ mathcal {A}}$
Mérhető funkció .

Tulajdonságok

A következő tulajdonságok könnyen megszerezhetők az előző axiómákból:

Additivitás: Ha E 1 és E 2 két nem mérhető halmaz , µ ( E 1 ∪ E 2 ) = µ ( E 1 ) + µ ( E 2 ).
Monotónia: Ha E 1 és E 2 két mérhető halmaz, így E 1 az E 2 részhalmaza , akkor μ ( E 1 ) ≤ μ ( E 2 ).
Continuity balra: Ha E 1 , E 2 , E 3 , ... mérhető készletek és ha E n egy részhalmaza E n +1 minden n , akkor a Union E halmazok E n mérhető és μ ( E ) = lim μ ( E n ).
Continuity jobbra: Ha E 1 , E 2 , E 3 , ... mérhető készletek és ha minden n , E n +1 egy részhalmaza E N , akkor a kereszteződés E halmazok E n mérhető; sőt, ha az E n halmazok közül legalább az egyiknek véges mértéke van, akkor μ ( E ) = lim μ ( E n ).

Példák

Íme néhány fontos mérési példa:

a számlálás mértékét (vagy a számlálás mértékét ) μ ( S ) = az S-ben lévő elemek száma határozza meg ;
a Dirac intézkedés μ van társítva egy pont egy a X definiáljuk μ a ( S ) = χ S ( a ), ahol a χ S a indikátor függvénye az S . Más szavakkal, egy halmaz mértéke egyenlő 1-vel, ha tartalmazza az a pontot , és egyébként 0-val;
a sűrűségmérést pozitív mérhető függvényként function egy másik pozitív méréshez viszonyítva μ gyakran megjegyezzük ƒ.μ;
A Lebesgue intézkedés (korlátozódik Borelians ) az egyedi intézkedés invariáns által transzlációs meghatározott a Borelian törzs a ℝ és olyan, hogy μ ([0,1]) = 1;
A Haar intézkedés egy lokálisan kompakt topologikus csoport általánosítása a Lebesgue is jellemzi invariancia tulajdonság.

Általánosítás

Bizonyos összefüggésekben, különösen azért, hogy az értékeikből a törzseknél kisebb halmazok osztályaira építsük fel az intézkedéseket, jó, hogy általánosabb definícióval rendelkezünk a különböző eredmények rövid megfogalmazására; a források szerint, a „intézkedés” használható funkciók ellenőrzésére tulajdonát megszámlálható additivitási szóló algebrák a készletek , gyűrűk készletek , vagy akár félig gyűrű készlet . Általánosabban tehát megkérdezhetjük:

Definíció - Legyen egy halmaz és egy részhalmaz, amely az üres halmazt tartalmazza: $x$ $\ mathcal {C}$ $x$

A μ értékre beállított μ értéket akkor nevezzük mértéknek, ha mindkét alábbi tulajdonság teljesül: $\ mathcal {C}$ ${\ displaystyle [0, + \ infty]}$

Az üres halmaz nulla mértékű:

{\ displaystyle \ varnothing \ itt: {\ mathcal {C}} \ quad \ mathrm {és} \ quad \ mu \ left (\ varnothing \ right) = 0}

;

A térkép μ a σ-additív :

ha E 1 , E 2 , ... egy megszámlálható családja részeinek X tartozó , ha ezek a részek kettesével diszjunkt , és ha azok unió E jelentése is eleme , akkor az intézkedést, μ ( E ) az a szakszervezet egyenlő a részek mértékének összegével:

\ mathcal {C}

\ mathcal {C}

{\ displaystyle \ mu \ left (\ bigsqcup _ {k = 1} ^ {\ infty} E_ {k} \ right) = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \ mu (E_ {k}) }

Bizonyos esetekben hasznos olyan "mérőszám", amelynek értékei nem korlátozódnak a pozitív valóságra és a végtelenre. Például egy σ -additive függvény definiált készletek és vevő valós értékeket nevezzük aláírt intézkedés , míg egy ilyen funkció kerül komplex értékek az úgynevezett komplex intézkedés (a) . Egy olyan mértéket, amely értékeket vesz fel egy Banach-térben, vektormérésnek nevezzük, amelynek speciális esete a spektrális mérték ; ezeket főként a spektrális tétel funkcionális elemzésében használják .

Egy másik általánosítás az egyszerűen additív vagy átlagos mérték fogalma . A meghatározás megegyezik egy intézkedés definíciójával, azzal a különbséggel, hogy az σ -additivitást a véges additivitás váltja fel.

Végül, különösen a számelméletben , néha találkozunk olyan "mérésekkel", amelyek igazolják azokat a tulajdonságokat, amelyek összeegyeztethetetlenek a valós mérésekkel; ez például az aszimptotikus sűrűség , amely lehetővé teszi az olyan képletek jelentését, mint például „a kettőből egy egész szám páros”.

Megjegyzések és hivatkozások

Marc Briane és Gilles Pagès, Az integráció elmélete , Párizs, Vuibert , koll. "A nagy Vuibert tanfolyamok",2000. október, 2 nd ed. , 302 p. ( ISBN 978-2-7117-8946-7 ) , p. 61.
Briane és Pagès 2000 a p. Kifejezést használja . 90 vagy p. 97 , többek között.
(in) Martin Väth, Integration Theory: A második pálya , World Scientific ,2002, 277 o. ( ISBN 978-981-238-115-6 ), P. 8 .
(en) Achim Klenke, Valószínűségszámítás: Átfogó Course , Springer,2008( ISBN 978-1-84800-047-6 ) , p. 12..
Például Briane és Pagès 2000 , p. 195, ezt első látásra további feltételt tegye fel a σ -végesség meghatározásában .
Briane és Pagès 2000 , p. 90.
Briane és Pagès 2000 , p. 255.
Briane és Pagès 2000 , p. 63-64.
Briane és Pagès 2000 , p. 62.
A következő definíciót, hogy a megadott (a) Inder K. Rana, Bevezetés a mérést, és integráció , AMS Könyvesbolt2002, 424 p. ( ISBN 978-0-8218-2974-5 , online olvasás ), definíció 3.3.1, p. 59 . Más szerzők inkább az "előintézkedésről" beszélnek ezekben az általánosabb összefüggésekben, például Klenke 2008 , p. 12 (amikor az osztály halmazgyűrű). $\ mathcal C$

Kapcsolódó cikkek

A fraktálok vizsgálatában használt Hausdorff-mérték nem az itt meghatározott értelemben vett mérték, hanem egy külső mérték
Az intézkedések konvergenciája
Belső mérés (in)
Értékelés (méréselmélet )