Hőmag

A matematika , a hő kernel egy zöld függvény (más néven elemi oldat) a hő egyenlet egy meghatározott tartományban, adott esetben a megfelelő határoló feltételeknek. Ez egyben a laplaci spektrum tanulmányozásának egyik fő eszköze . A hőmag a hőmérséklet változását jelenti, amely megegyezik egy hőegységgel egy kezdeti időpontban.

Hőmag a szabad térben

A szabad térben lévő R d hőmagának kifejezése van

K(t,x,y)=1(4πt)d/2e-|x-y|2/4t{\ displaystyle K (t, x, y) = {\ frac {1} {(4 \ pi t) ^ {d / 2}}} e ^ {- | xy | ^ {2} / 4t}} ${\ displaystyle K (t, x, y) = {\ frac {1} {(4 \ pi t) ^ {d / 2}}} e ^ {- | xy | ^ {2} / 4t}}$

és a hőegyenlet megoldása

∂K∂t(t,x,y)=ΔxK(t,x,y){\ displaystyle {\ frac {\ részleges K} {\ részleges t}} (t, x, y) = \ Delta _ {x} K (t, x, y)} ${\ displaystyle {\ frac {\ részleges K} {\ részleges t}} (t, x, y) = \ Delta _ {x} K (t, x, y)}$

minden t > 0 és x esetén y ∈ R d , a kezdeti feltétellel

limt→0K(t,x,y)=δ(x-y)=δx(y){\ displaystyle \ lim _ {t \ to 0} K (t, x, y) = \ delta (xy) = \ delta _ {x} (y)} ${\ displaystyle \ lim _ {t \ to 0} K (t, x, y) = \ delta (xy) = \ delta _ {x} (y)}$

ahol δ a Dirac eloszlás és a határérték veszik abban az értelemben, a eloszlások , azaz bármely teszt funkció φ

limt→0∫RdK(t,x,y)φ(y)dy=φ(x).{\ displaystyle \ lim _ {t \ to 0} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {d}} K (t, x, y) \ varphi (y) \, \ mathrm {d} y = \ varphi (x).} ${\ displaystyle \ lim _ {t \ to 0} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {d}} K (t, x, y) \ varphi (y) \, \ mathrm {d} y = \ varphi (x).}$

Spektrális elmélet

Általános meghatározások

Vagy kompakt terület a fedélzeten . Ezen a területen figyelembe vesszük a pozitív operátort , ahol a laplakus , a mező szélén (Dirichlet, Neumann, vegyes) határfeltételekkel látják el, amelyek teljesen megoldják a problémát. $\Omega$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ $\ részleges \ Omega$ ${\ displaystyle {\ hat {H}} = - \ \ Delta}$ $\Delta$ $\ részleges \ Omega$

A pozitív operátor a folyamatos félcsoport generátora . Ezután írhatunk bármely f összegezhető négyzetfüggvényre: ${\ displaystyle {\ hat {H}} = - \ \ Delta}$ $L ^ {2} (\ Omega)$

${\ displaystyle e ^ {- \; t \; {\ hat {H}}} \ f (x) \ = \ e ^ {+ \; t \; \ Delta} \ f (x) \ = \ int _ {\ Omega} dy \ K (x, y, t) \ f (y)}$

A K ( x , y , t ) függvényt " hőmagnak " nevezzük . Valóban, a függvény:

${\ displaystyle f (x, t) \ = \ e ^ {+ \; t \; \ Delta} \ f (x)}$

egyértelműen a hőegyenlet megoldása :

${\ displaystyle {\ frac {\ részleges f (x, t)} {\ részleges t}} = = \ Delta \ f (x, t)}$

Ezen túlmenően, a félig-csoport felé tendál identitását, amikor az idő t hajlamos nulla:

${\ displaystyle f (x, t) \ = \ \ e ^ {+ \; t \; \ Delta} \ f (x) \ \ to _ {t \ to 0 ^ {+}} \ f (x)}$

úgy, hogy a K hőmagjának aszimptotikus viselkedése legyen:

${\ displaystyle K (x, y, t) \ \ to _ {t \ to 0 ^ {+}} \ \ delta (xy)}$

hol a Dirac eloszlás . Tehát úgy tűnik, hogy a K ( x , y , t ) hőmag a Green egyenletének Green , vagy elemi megoldásának függvénye. ${\ displaystyle \ delta (x)}$

Spektrális elmélet

Ha a mező kompakt, a pozitív operátornak diszkrét sajátérték- spektruma van , amelyekhez a sajátvektorok Hilbert-féle alapja kapcsolódik (itt a Dirac jelöléseit használjuk ): $\Omega$ ${\ displaystyle {\ hat {H}} = - \ \ Delta}$

${\ displaystyle {\ hat {H}} \ | \ psi _ {n} \ rangle \ = \ \ lambda _ {n} \ | \ psi _ {n} \ rangle \ ,, \ quad 0 \ leq \ lambda _ {1} \ leq \ lambda _ {2} \ leq \ dots \ leq \ lambda _ {n} \ leq \ dots \ leq + \ infty}$

Ezután írhatunk a záró reláció kétszeres bevezetésével:

${\ displaystyle K (x, y, t) \ = \ \ langle y | e ^ {- \; t \; {\ hat {H}}} | x \ rangle \ = \ \ sum _ {n, m = 1} ^ {+ \ infty} \ \ langle y | \ psi _ {m} \ rangle \ \ langle \ psi _ {m} | e ^ {- \; t \; {\ hat {H}}} | \ psi _ {n} \ rangle \ \ langle \ psi _ {n} | x \ rangle}$

ki lesz:

${\ displaystyle K (x, y, t) \ = \ \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ \ langle y | \ psi _ {n} \ rangle \ \ langle \ psi _ {n} | x \ rangle \ e ^ {- \; t \; \ \ lambda _ {n}} \ = \ \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ {\ overline {\ psi _ {n} }} (y) \ \ psi _ {n} (x) \ e ^ {- \; t \; \ lambda _ {n}}}$

Hőmag nyom

A hőmag nyomát a következők határozzák meg:

${\ displaystyle \ mathrm {Tr} \ e ^ {- \; t \; {\ hat {H}}} \ = \ \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ e ^ {- \; t \; \ lambda _ {n}}}$

A sajátállamok normálisak, észrevehetik, hogy írhatnak:

${\ displaystyle \ int _ {\ Omega} dx \ K (x, x, t) \ = \ \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ e ^ {- \; t \; \ lambda _ {n}} \ \ int _ {\ Omega} dx \ | \ psi _ {n} (x) | ^ {2} \ = \ \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ e ^ { - \; t \; \ lambda _ {n}}}$

Ezért megvan az alapvető kapcsolat:

${\ displaystyle \ mathrm {Tr} \ e ^ {- \; t \; {\ hat {H}}} \ = \ \ int _ {\ Omega} dx \ K (x, x, t)}$

Ez a kapcsolat számos „ nyomképlethez ” kapcsolódik, például Selberg hiperbolikus geometriájához vagy Gutzwiller félklasszikus közelítéssel.

Spektrális funkciók

Meghatározzuk a sajátértékek számlálási függvényét :

${\ displaystyle {\ mathcal {N}} (\ lambda) \ = \ \ mathrm {Tr} \ \ theta ({\ hat {H}} - \ lambda) \ = \ \ sum _ {n = 1} ^ { + \ infty} \ \ theta (\ lambda _ {n} - \ lambda)}$

hol van a Heaviside megoszlása . A számláló függvény növekvő pozitív lépcsőfüggvény, amely a sajátértékek számát kisebb vagy egyenlő . Származéka a sajátértékek spektrális sűrűsége : $\ az adó)$ $\ lambda$

${\ displaystyle \ rho (\ lambda) \ = \ \ mathrm {Tr} \ \ delta ({\ hat {H}} - \ lambda) \ = \ \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ \ delta (\ lambda _ {n} - \ lambda)}$

A hőmag nyomai ezekhez a funkciókhoz kapcsolódnak egy Laplace-transzformációval :

${\ displaystyle \ mathrm {Tr} \ e ^ {- \; t \; {\ hat {H}}} \ = \ \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ e ^ {- \; t \; \ lambda _ {n}} \ = \ \ int _ {0} ^ {+ \ infty} e ^ {- \; t \; \ lambda} \ \ rho (\ lambda) \ d \ lambda \ = \ \ int _ {0} ^ {+ \ infty} e ^ {- \; t \; \ lambda} \ d {\ mathcal {N}} (\ lambda)}$

Spektrális zeta funkció

Feltételezzük itt, hogy az alapvető . A Riemann zeta függvény analógiájával mutatjuk be a spektrális zeta függvényt a Dirichlet típusú sorozattal : ${\ displaystyle \ lambda _ {1} \ neq 0}$

${\ displaystyle \ zeta (s) \ = \ \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ {\ frac {1} {\ lambda _ {n} ^ {s}}}}$

amely kellően nagyra konvergál . Ezt a zéta funkciót a hőmag nyomához egy Mellin típusú transzformáció kapcsolja : ${\ displaystyle \ Re \ mathrm {e} \ balra [\, s \, \ jobbra}}$

${\ displaystyle \ zeta (s) \ = \ {\ frac {1} {\ Gamma (k)}} \ \ int _ {0} ^ {+ \ infty} dt \ t ^ {s-1} \ \ mathrm {Tr} \ e ^ {- \; t \; {\ hat {H}}}}$

A zeta függvényt különösen az operátorok (en) azon tényezőinek szabályozására használják, amelyek a kvantumtérelmélet útvonalainak integráljainak kiszámítása során jelennek meg . Valójában a H operátor determinánsát az alábbiak határozzák meg:

${\ displaystyle \ mathrm {det} \ {\ hat {H}} \ = \ \ prod _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ \ lambda _ {n}}$

Azonossággal:

${\ displaystyle \ ln \ \ mathrm {det} \ {\ hat {H}} \ = \ \ ln \ \ balra (\ prod _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ \ lambda _ {n} \ jobbra) \ = \ \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ \ ln \ lambda _ {n} \ = \ \ mathrm {Tr} \ \ ln \ {\ hat {H}}}$

könnyen megmutatjuk a formális kapcsolatot:

${\ displaystyle \ mathrm {det} \ {\ hat {H}} \ = \ \ exp \, \ balra [\, - \ \ zeta '(0) \, \ right]}$

ahol a zéta függvény deriváltját s = 0 értéken értékeljük .

Kiterjesztés a kompakt Riemann-féle elosztókra

Az összes fenti definíció egészen természetesen kiterjed a Laplace-Beltrami operátor esetére egy kompakt Riemann-féle elosztón , amelynek ezután diszkrét spektruma is van. Egy kompakt osztó , az állandó funkció normalizálni egységet úgy, hogy az alapállapot társul a nulla sajátérték, ami nem degenerált.

Ezután kényelmes megkérdezni: és megvan: $\ lambda _ {0} = 0$

${\ displaystyle {\ hat {H}} \ | \ psi _ {n} \ rangle \ = \ \ lambda _ {n} \ | \ psi _ {n} \ rangle \ ,, \ quad 0 = \ lambda _ { 0} \ <\ lambda _ {1} \ leq \ lambda _ {2} \ leq \ dots \ leq \ lambda _ {n} \ leq \ dots \ leq + \ infty}$

A zeta függvény ehhez a spektrumhoz is társítható azzal a feltétellel, hogy a nulla sajátértéket „kézzel” eltávolítsuk.

A hőmag aszimptotikus fejlődése

A hőmag átlós terminusa kis idő alatt aszimptotikus fejlődést enged be .

Kompakt Riemannian fajta határ nélkül

Egy d dimenziós , határ nélküli kompakt Riemann-féle M sokszorosító számára Minakshisundaram-Pleijel (1949) fejleménye van:

${\ displaystyle K (x, x, t) \ \ sim \ {\ frac {1} {t ^ {d / 2}}} \ \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} a_ {n} (x) \ t ^ {n} \ qquad (t \ - 0 ^ {+})}$

ahol az együtthatók sima függvények az M-en , amelyek függenek a metrikától és annak deriváltjaitól x-ben . Integrálással minden ponton x , akkor arra következtethetünk, hogy a nyomát a hő kernel is elismeri aszimptotikus fejlődés kis ideje: $a_n (x)$

${\ displaystyle \ mathrm {Tr} \ e ^ {- \; t \; {\ hat {H}}} \ \ sim \ {\ frac {1} {t ^ {d / 2}}} \ \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} A_ {n} \ t ^ {n} \ qquad (t \ to 0 ^ {+})}$

ahol az állandókat a következők határozzák meg: $Év}$

${\ displaystyle A_ {n} \ = \ \ int _ {M} a_ {n} (x) \ d \ mu (x)}$

a mérés által indukált metrika. Ezek az állandók feltárják az M bizonyos globális geometriai jellemzőit ; például az állandó arányos a sokaság hipertérfogatával:, ahol: $A_0$ ${\ displaystyle \ mathrm {mes} \, (M)}$

${\ displaystyle \ mathrm {mes} \, (M) \ = \ \ int _ {M} \ d \ mu (x)}$

Fajták a fedélzeten

Az ilyen aszimptotikus fejlődés megléte kiterjeszthető a kellően szabályos élű fajtákra is. Ezután a Laplace-Beltrami operátornak megfelelő határfeltételeket kell biztosítani.

Spektrum és geometria

A hőmag nyomának kialakulása összefügg a sajátérték-számláló funkcióval (vagy annak deriváltjával, spektrális sűrűségével).

Kapcsolódó cikkek

Bibliográfia

Szakkönyvek

Marcel Berger, Paul Gauduchon és Edmond Mazet; A riemaniai sokaság spektruma , Lecture Notes in Mathematics 194 , Springer-Verlag (1971).
Isaac Chavel; Sajátértékek a riemann-i geometriában , a tiszta és alkalmazott matematikában 115 , Academic Press ( 2 e- kiadás 1984) ( ISBN 0121706400 ) .

Néhány cikk

S Minakshisundaram & A Pleijel; A Laplace-operátor saját funkcióinak egyes tulajdonságai Riemannian-sokaságokon , Canadian Journal of Mathematics 1 (1949), 242–256.
HP McKean & IM Singer; Görbület és a Laplacian-féle sajátértékek , Journal of Differential Geometry 1 (1) (1967), 43-69.
Peter B. Gilkey; Egy Riemann-féle elosztó spektrális geometriája , Journal of Differential Geometry 10 (4) (1975), 601-618.
Yves Colin de Verdière; A hőegyenlet aszimptotikus tulajdonságai egy kompakt elosztón P. Gilkey , Bourbaki szeminárium (1973. november).
Yves Colin de Verdière; Laplaci spektrum és a periodikus geodézia hossza (I) , Compositio Mathematica 27 (1) (1973), p. 83-106 . Numdam .
Yves Colin de Verdière; Laplaci spektrum és a periodikus geodézia hossza (II) , Compositio Mathematica , 27 (2) (1973), p. 159-184 . Numdam .
Mária Terézia Arede; A hőmag geometriája az elosztókon , posztgraduális értekezés, Marseille-i Egyetem (1983).
Teréz Arede; Elosztók, amelyekhez a hőmag geodéziai hosszúságok szempontjából van megadva , Letters in Mathematical Physics 9 (2) (1985), 121-131.
Gilkey B Péter; Hőegyenlet-aszimptotikumok , Proc. Szép. Tiszta és alkalmazott matematika. V54 (1993), 317-336.
Klaus Kirsten; Spektrális függvények a matematikában és a fizikában , Chapman & Hall / CRC, Boca Raton, FL (2002), ( ISBN 1-58488-259-X ) .
Peter B. Gilkey; Aszimptotikus képletek a spektrális geometriában , Studies in Advanced Mathematics, vol. 43, Chapman & Hall / CRC, Boca Raton, FL (2004), ( ISBN 1-58488-358-8 )

Virtuális könyvtár

Claude Bardos és Olivier Laffite; A laplaciák sajátértékeinek aszimptotikus viselkedésére vonatkozó régi és legújabb eredmények szintézise egy Riemann-sokaságon (1998). PostScript .
M. van den Berg, S. Desjardins és PB Gilkey; Riemanni sokaságok hőtartalmi aszimptotikái , in: Differenciálgeometria és alkalmazásai , O. Kowalski és D. Krupka (szerk.), A Differenciálgeometriáról és alkalmazásairól szóló 1992-es 5. nemzetközi konferencia anyagai a Sziléziai Egyetemen (1993), ( ISBN 80-901581 -0-2 ) , p. 61-64 . PostScript .
DV Vassilevich; Hőmag- bővítés: felhasználói kézikönyv , Physics Report 388 (2003), 279-360. ArXiv: hep-th / 0306138 .
Arlo Caine; A hőmag egy Riemann-féle elosztón , pdf .
Daniel Grieser; Megjegyzések a hőmagról a határoló sokaságokon , pdf .

Megjegyzések

A statisztikus fizika , ez a kanonikus partíciós függvény Z (t) a rendszer a „inverz hőmérséklet” t .
Subbaramiah Minakshisundaram & Åke Pleijel; A Laplace-operátor saját funkcióinak egyes tulajdonságai Riemannian-sokaságokon , Canadian Journal of Mathematics 1 (1949), 242–256.