Endomorfizmus polinom

A lineáris algebra , egy polinomiális endomorphism (vagy a mátrix ) egy lineáris kombinációja a hatáskörét (abban az értelemben, összetétele funkciók ) egy lineáris endomorphism .

Egy rögzített endomorphism egy K - vektortérnek E , ez a koncepció ad E szerkezetet egységet a gyűrű K [ X ] a polinomok az együtthatók a szervezetben K .

A legérdekesebb alkalmazás az endomorfizmust törlő polinomok keresésében rejlik : a projektorok jellegzetes viszonyai ( p 2 = p ), a szimmetriák ( s 2 = Id) alkotják a polinomok törlésének legegyszerűbb példáit.

Ezenkívül a törlődő polinomok keresése lehetővé teszi egy mátrix sajátértékeinek meghatározását anélkül, hogy kiszámítanánk a jellegzetes polinomot , vagy akár nagyon egyszerűen bebizonyítanánk, hogy átlósítható .

A koncepció érdeke

Ha u egy endomorphism az E tudjuk alkalmazni, hogy kétszer egymás után a vektort E ; akkor u 2-vel jelöljük a társított alkalmazást. Valójában annyiszor alkalmazhatja, ahányszor csak akarja. Ez lehetővé teszi az endomorfizmus pozitív egész hatványra való emelését. Több endomorfizmust is felvehetünk, és skalárral megszorozhatjuk . Ennek eredményeként lehetőség van polinom alkalmazására egy endomorfizmusra.

A morfizmus az algebrák természetben összefüggő u , polinomokból a endomorfizmusok, lehetővé teszi, hogy az export a tulajdonságait kommutativitás , a fő eszmék , hogy alkalmazza a Bézout azonosság vagy Lagrange interpoláció és bizonyítsa a lényegét szigorúan tételek. Társított lineáris alkalmazások túl sok számítási labirintus nélkül.

Ez a megközelítés lehetővé teszi az u minimális polinomjának létezésének bemutatását és a törlő polinomok szerkezetének meghatározását. Abban az esetben, ha a test algebrailag zárt , a jellegzetes alterületek tanulmányozásához vezet , amely az endomorfizmus egyszerű csökkentését biztosítja, az úgynevezett Jordan-csökkentést . Ezután lehetővé teszi annak megértését, hogy a jellegzetes polinom miért többszöröse a minimális polinomnak, és ezért bizonyítékot szolgáltat a Cayley-Hamilton tételre . Végül ez az algoritmuscsalád alapja, amely gyakran sokkal gyorsabb, mint a determinánsokon alapuló megközelítés .

Definíció és első tulajdonságok

Legyen E egy K- vektor tér. A szokásos L ( E ) jelölést használjuk endomorfizmusainak halmazának jelölésére. Legyen u E és E endomorfizmusa

{\ displaystyle P = a_ {0} + a_ {1} X + \ ldots + a_ {p} X ^ {p} = \ sum _ {k = 0} ^ {p} a_ {k} X ^ {k} \ K-ban [X]}

egy polinom.

Az endomorfizmus $P ( u ) \in$ L ( E ) polinomját definiáljuk

{\ displaystyle P (u) = a_ {0} \ mathrm {Id} _ {E} + a_ {1} u + a_ {2} u ^ {2} + \ ldots + a_ {p} u ^ {p} = \ sum _ {k = 0} ^ {p} a_ {k} u ^ {k}}

(az $u 0 = Id E$ megjegyzésével ).

A polinomok gyűrűje szintén egy K- vektortér, és ez a két szerkezet kompatibilis, így a K [ X ] K- algebra . Ugyanez vonatkozik a kompozícióval ellátott szaporodási endomorfizmusokra.

A P ↦ P ( u ) térkép a K -algebrák morfizmusa K [ X ] -ből L ( E ) -be .
Ennek a morfizmusnak a képe , amelyet K [ u ] jelöl , L ( E ) abeli alalgebrája .
Ha X egy sajátvektora a u egy sajátérték λ, akkor ez is egy sajátvektor a P ( u ) a sajátérték- P (λ).

Különösen, amikor a P ( u ) = 0, minden sajátértéke u jelentése gyökere P . (A fordítottja is triviálisan hamis, hiszen tudjuk nagyítani a készlet gyökerei megszüntetésével polinom szorozni minden polinom.)

Tüntetések

A P ↦ P ( u ) térkép a K -algebras morfizmusa :
Ez itt azt jelenti, hogy: és . A termék tulajdonságának igazolásához először azzal kell bebizonyítanunk, hogy akkor a linearitást használjuk. ${\ displaystyle (\ lambda P + \ mu Q) (u) = \ lambda P (u) + \ mu Q (u)}$ ${\ displaystyle (P \ cdot Q) (u) = P (u) \ circ Q (u)}$
${\ displaystyle (X ^ {k} Q) (u) = u ^ {k} \ circ Q (u)}$
Ennek a morfizmusnak a képe az L ( E ) abeli alalgebrája :
Ez azt jelenti, hogy ugyanazon endomorfizmus két polinomja ingázik egymással. Ez a tulajdonság abból adódik, hogy a kommutativitást mindig morfizmus hordozza, és hogy az endomorfizmusokkal ellentétben a polinomok kommutatív algebrát alkotnak.
Ha egy sajátvektorának egy sajátérték , akkor ez is egy sajátvektorának a lehető sajátérték : $x$ $u$ $\ lambda$ $Tudott)$ ${\ displaystyle P (\ lambda)}$ ${\ displaystyle P (u) (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {p} a_ {k} u ^ {k} (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {p} a_ { k} \ lambda ^ {k} x = P (\ lambda) x.}$

Az ideálok törlése

A többi cikket, azt feltételezzük, hogy az E jelentése a véges dimenzió n .

Ami a gyűrűs morfizmust illeti , a P ↦ P ( u ) morfizmus magja a kiinduló gyűrű ideálja , amely a következő megnevezést adja értelemben:

Nevezzük „megszüntetésével ideális” az u beállított polinomok, amelyek megsemmisítik u és „megszüntetésével polinomok” az u elemei az ideális.

Mivel K [ X ] euklideszi gyűrű, tehát főgyűrű , ez a fent említett eszmény fő . Sőt, ez a rendszermag nem csökken 0, mivel K [ X ] (végtelen dimenzió) nem lehet injektálunk L ( E ) (dimenzió n 2 ). Ez értelmet ad a definíciónak:

A minimális polinom az u az egység polinom , amely létrehozza a semmissé ideális.

Minden E vektorhoz ugyanúgy definiáljuk:

Legyen x E vektora , akkor az a P polinom halmaza , hogy P ( u ) eltűnik x-nél , egy fő ideál, amely az u törlő ideálját tartalmazza . Az x-nek az u-hoz képest ideális törlőjének nevezzük . Az azt létrehozó egységes polinomot x-nek az u-hoz viszonyított minimális polinomjának nevezzük .

Minimális polinom

A minimális polinom u rejt direkt összege bomlása a stabil altér által u . Ezeken a stabil altereken az endomorfizmus egyszerűbben kifejezhető. Ez az endomorfizmus csökkenése megfelel a polinom bontásának tényezőként elsődleges tényezőknek. Ez lehetővé teszi számunkra a tiszta lineáris algebra legfontosabb tételeinek felállítását:

Egy olyan vektor létezéséről mesél nekünk, amelynek minimális polinomja az endomorfizmus minimális polinomja, és megadja ennek a polinomnak a fokát,
Részt vesz Dunford lebontásában , a minimális polinom elemzésében, és lehetővé teszi erőteljes redukciók megtalálását abban az esetben, ha ez a polinom fel van osztva ,
A diagonalizáció szükséges és elégséges feltételét adja ,
Végül lehetővé teszi a Cayley-Hamilton tétel bizonyítását .

A stabil alterek közvetlen összegbontása

Az u endomorfizmus redukciója azon a megjegyzésen alapul, hogy bármely P polinom esetében a P ( u ) magja egy u által stabil vektortér , és a következő eredményre vezethető vissza:

A magok lemma - Legyen ( P i ) véges polinomcsalád, amely kettő-kettő között prímázódik. Ekkor a $ker$ P i ( u ) magok közvetlen összegben vannak, és ez az összeg megegyezik $ker$ ∏ i P i ( u ) -val . Ezenkívül a társított projektorokat polinomként fejezzük ki u-ban .

Legyen $χ$ az u endomorfizmus minimális polinomja , $χ i$ pedig $χ$ bontása prímtényezőkké kettőjük és kettő között, és ne legyen állandó . A fenti lemma szerint a $ker χ i$ ( u ) (amelyek stabil alterek) az E közvetlen összegbontását képezik . Továbbá:

A $ker χ i$ ( u ) nem nulla .
Létezik egy vektor x az E , amelynek minimális polinom egyenlő $χ$ .
A minimális polinom foka kisebb vagy egyenlő n-vel .

Demonstráció

A yn j ≠ i $χ j$ ( X ) polinom szigorúan kisebb, mint a $χ$ foka , tehát nem törli az u-t , így a közvetlen sum j ≠ i $ker χ j$ ( u ) összeg nem l teljes tér. Ez azt mutatja, hogy a $ker χ i$ ( u ) nem redukálódik nulla vektorra.
Lásd: „ Frobenius bontás ”.
Legyen x olyan, mint fent. Az ( x , u ( x ), u 2 ( x ),…, u n ( x )) család rokon, mivel több vektort tartalmaz, mint a tér dimenziója. Ez azt mutatja, hogy létezik egy n fokú törlő polinom .

Eset, amikor a minimális polinom fel van osztva

Azt mondják, hogy a minimális $yn$ polinom akkor oszlik meg, ha azt az első fokú polinomok szorzataként fejezik ki:

{\ displaystyle \ chi (X) = \ prod _ {\ lambda} (X- \ lambda) ^ {n _ {\ lambda}}}

Ebben az esetben az előző bekezdés szerint az endomorfizmus ( u - λ $Id$ E ) n λ magjai nem nulla stabil közvetlen összegű alterek, és összegük egyenlő E-vel . Jellegzetes altereknek nevezzük őket . Ez az osztott minimális polinommal rendelkező endomorfizmus redukciójának első lépése. Két fő tulajdonsága:

Az E tér a jellegzetes alterek közvetlen összege.
Az u endomorfizmus az átlósítható endomorfizmus és a köztük ingázó nilpotens endomorfizmus összege.

Átlósíthatóság

Az előző bekezdés az átlósíthatóság kritériumát tartalmazza:

Az endomorfizmus akkor és csak akkor diagonalizálható, ha minimális polinomja kettéválik a K-ra és egyszerű gyökerekkel rendelkezik .

Valóban, ha a gyökerek egyszerűek, akkor a nilpotens komponens nulla, tehát az endomorfizmus átlósítható (fordítva azonnal).

Cayley-Hamilton tétel

A karakterisztikus polinomja egy endomorphism u , hogy által meghatározott determinánsa a térkép λ $Id$ E - u . Gyökerei az u sajátértékei . Ezt a tulajdonságot a minimális polinom osztja. Ezért felveti a kérdést: mi a kapcsolat a jellegzetes polinom és a minimális polinom között? A válasz a Cayley-Hamilton tétel:

Cayley-Hamilton tétel - A minimális polinom megosztja a jellegzetes polinomot. Sőt, a minimális polinomnak és a jellegzetes polinomnak ugyanazok a redukálhatatlan tényezők.

Számos bizonyíték van erre a tételre. Az egyikük Jordan redukcióját használja , miután a testet algebrai kerítésbe vetette . Mátrixábrázolása ekkor háromszög alakú a sajátértékekkel, mint átlós értékekkel. A karakterisztikus polinomban mindegyik sokaságának sorrendje a kapcsolódó karakterisztikus tér dimenziója. Ez a sokféleség mindig nagyobb, mint a minimális polinomé, amely a kapcsolódó nilpotens térkép sorrendje .

Megjegyzések és hivatkozások

Jean-Pierre Ramis , André Warusfel et al. , Matematika. All-in-one a licencért , vol. 2, Dunod ,2014, 2 nd ed. ( 1 st ed. 2007), 880 p. ( ISBN 978-2-10-071392-9 , online olvasás ) , p. 235.

Külső hivatkozás

Alaeddine Ben Rhouma, Dunford bomlása körül. Spektrális elmélet és hatékony módszerek , CreateSpace Independent Publishing Platform (de) , 2013, 38 p. ( ISBN 978-1492343080 ) arXiv : 1307.4410