A matematika , a algebra véges csoport egy speciális esete az algebra egy monoid amelyek keretébe tartozik az elmélet ábrázolása egy véges csoport .
Egy algebra egy véges csoport az adat egy véges csoport , egy vektortér a dimenzió a sorrendben a csoport, és egy bázis által indexelt a csoport. A bázis elemeinek szorzását az indexek csoporttörvény alkalmazásával történő szorzásával kapjuk meg, ezt a teljes szerkezetre kiterjesztjük a linearitással. Egy ilyen szerkezet egy félig egyszerű algebra , van egy teljes elmélete, amelynek az oszlop az Artin-Wedderburn-tétel .
Ez a megközelítés új elemzési szöget hoz a csoportok képviseletében. Lehetővé teszi például a Frobenius , az Artin viszonosságának tételét vagy például az indukált karakterekre (en) vonatkozó Brauer-tétel tételét .
A cél egy véges G csoport reprezentációinak vizsgálata egy adott szögből. Először egyetlen reprezentációt, a rendszeres reprezentációt vizsgálunk . A kiindulási készlet linearizáljuk, azaz, hogy azonosították a vektor helyet a test K az ábrázolás, a csoport válik a kanonikus alapján a tér. A morfizmus csoportok a G a lineáris csoport a vektor tér meghosszabbodik linearitást. Asszociatív algebra struktúrát kapunk egy kommutatív mezőn , K [ G ] jelöléssel (a jelöléseket lásd a cikk polinomjában, több meghatározatlanban ). A szereplőkkel együtt ez a megközelítés a reprezentációelmélet két pillérének egyike .
A tétele Maschke azt mutatja, hogy ha a sorrendben a csoport nem többszöröse a jellemző a test K , az algebra félig egyszerű . Ez a szerkezet, amely egy hatalmas elmélet tárgya, számos tételének köszönhetően lehetővé teszi a különböző eredmények bemutatását. Az egyik legfontosabb kétségtelenül Artin-Wedderburné , jelzi, hogy ha az X g - 1 polinom fel van osztva, akkor az algebra izomorf a kész dimenziók K - vektortereinek endomorfizmusainak algebráinak közvetlen összegével . G itt a csoport sorrendjét jelöli.
Egy csoport algebra minden reprezentáción működik, elegendő a csoportok morfizmusát kibővíteni lineárisan. Olyan modulusszerkezetet kapunk, ahol a K [ G ] gyűrű az ábrázolás vektorterén működik. Egy ilyen szerkezetet G- modulnak hívunk. Szigorú ekvivalencia van a G- modul fogalma és a G ábrázolása között .
Az ábrázoláselmélet első eredményeinek többsége a félegyszerű algebrák általános tulajdonságainak közvetlen következménye. Kimutathatjuk az irreducibilis ábrázolások számának véges jellegét, vagy az egyenlőséget a csoport sorrendje és az irreducibilis reprezentációk dimenzióinak négyzetösszege között . Igaz, hogy ezek a tulajdonságok gyakran könnyen bemutathatók karakterek segítségével, gazdag, de néha összetett elmélet hozzáadása nélkül. Másrészt ezeknek az eredményeknek a némelyikét egyszerűbben szemléltethetjük félig egyszerű algebrákkal, ez a helyzet a Frobenius-féle viszonosság kritériumával .
Vannak az algebrákra jellemző elemek, amelyek elengedhetetlenek a reprezentációelmélethez. A K [ G ] algebra középpontja természetesen a K mező kommutatív abeli kiterjesztése . Lehetséges az algebrai egész szám fogalmának használata . Ez a megjegyzés lehetővé teszi egy számtan bevezetését , amely elkerülhetetlennek bizonyul. Ebben a cikkben arra használják, hogy bemutassák, hogy bármely redukálhatatlan reprezentációnak olyan fokozata van, amely elválasztja a csoport sorrendjét.
Abban az esetben, ha g a csoport jellemzőinek többszöröse, a karakterek alapvető tulajdonsága, nevezetesen a nem redukálható karakterek ortonormális aspektusa eltűnik. A csoportos algebra is elveszíti félegyszerűségét. Másrészt a félig egyszerű gyűrűk elmélete és különösen a Jacobson gyökök fogalma lehetővé teszi az ábrázolások természetének tisztázását.
A cikkben a következő jelöléseket és feltételezéseket használjuk:
G jelöli a szorzással jelölt véges csoportot, semleges elemét 1-gyel és a g- rendjét .
K jelentése egy mező , amelynek jellemző nem nem osztja g , és amelyen a polinom X g - 1 osztott (vagy akár csak a polinom X e - 1, ahol e jelöli a kitevő a G ).
K G a G alkalmazások K vektorterét jelöli . A kanonikus alapján a család ( δ ek ) sεG ahol δ s ( t ) = 1 t = s , és 0 a többi t ∈ G .
vagy:
Ez a belső szorzás kiterjeszti a csoport törvényét: δ s ∗ δ t = δ st .
Ezután van egy teljes szótárunk a G és a G- modulok ábrázolása között . Különösen :
Szerint a Maschke tétel :
Következik a termék meghatározása a gyűrűben K [ G ], hogy a központ épül fel a térképeket a G a K , amelyek a központi , azaz konstans minden egyes konjugációs osztályban . Ez a vektor altér a K G tehát, mint kanonikus alapján a család ( 1 c ) cεC a jelző funkciók ilyen konjugáció osztályok (ilyen indikátor lebontja a kanonikus alapján K G be: 1 c = Σ s εc δ s ).
Az is bebizonyosodott, hogy a szimmetrikus nem-degenerált bilineáris formában a K G által meghatározott
Ennek eredményeként (figyelembe véve ezen altér dimenzióját):
A csoportnak tehát K-n (egyenértékűségig) csak h nem redukálható reprezentációi vannak ( S 1 , ρ 1 ),… ( S h , ρ h ), amelyeknek karakterei χ 1 , ..., χ h alkotják a központi funkciók.
Az előző bekezdés jelöléseivel közvetlenül bizonyítjuk a következő alapvető tételt:
A rendszeres ábrázolása λ a G az egyetlen, amely megfelel, keresztül a korábban említett „szótár”, a természetes szerkezetét K [ G ] -module balra a algebra K [ G ]. Az algebra fenti bontásának köszönhetően:
Más szavakkal, a λ-val társított félegyszerű modulus izotipikus komponensei a
A két megközelítés karakterek szerinti és csoportos algebrai komplementaritása az ortogonalitás tulajdonságaira is vonatkozik. Legyen ( V 1 , ρ 1 ) és ( V 2 , ρ 2 ) G két ábrázolása .
Az előző jelölések segítségével vegye figyelembe:
Schur lemma igazolja, hogy homályos (Hom K G ( S i , S j )) = δ i, j ( Kronecker szimbóluma ). Következtethetünk:
A redukálhatatlan karakterek ortonormalitásának tulajdonsága lehetővé teszi a következtetést.
A csoport-algebra szerkezet használatára jó példát ad a Frobenius-kölcsönösségi kritérium. A G- modul felépítésének módját érinti, amelyet indukált reprezentációnak nevezünk . Legyen H a G egyik alcsoportja és W a K [ H ] -modul. Ekkor a következő szerkezet a W által indukált G- modul :
Az indukált reprezentáció a K [ H ] skalárok kiterjesztésének felel meg a H- modul W K [ G ] gyűrűjéhez . Abban az esetben, ha H egy normális részcsoport a G , az indukált G -module az egyenértékű egy félig-közvetlen termék .
A Frobenius-viszonossági kritérium egyszerű módszer az indukált modulus karakterének hermitikus szorzatának kiszámítására. Ha ψ kijelöli a H- W modulból származó representation reprezentáció karakterét és χ a G ρ reprezentáció karakterét , ha Ind ψ az indukált reprezentáció karakterét jelöli, vagyis a modulhoz társított ábrázolás indukálja és Res χ a ρ és H közötti korlátozás , akkor:
Egy K- asszociált algebra morfizmusának két szerkezete közötti izomorfizmus megállapításával bizonyítják, hogy a dimenziók egyenlősége lehetővé teszi a következtetést.
Ennek bizonyítására bebizonyítjuk, hogy az 1 c által generált véges típusú ℤ- modulus valójában ℤ-algebra .
Az előző bekezdések jelöléseivel következtethetünk:
Valójában az „Artin-Wedderburn-tétel” bekezdés szerint ez a szám az ρ i ( u ) homotetika aránya S i-n . Az előző tétel szerint ez a homotétia egész elem a element-n, tehát a kapcsolata is, mivel a térkép, amely egy homotétiához társítja a kapcsolatát, az algebrák morfizmusa.
Ha K értéke nulla, akkor a következő tulajdonságra lehet következtetni (ami valójában bármely tulajdonságban igaz) :
Tekintsük az u elemet, amely megegyezik a G-t leíró s összegével az χ i ( s -1 ) δ s elemek összegével . Az χ i ( s -1 ) algebrai egész szám , a karakterek összességével együtt . Másrészt χ i , mint minden karakter, egy központi funkció G-n , ami azt bizonyítja, hogy u a K [ G ] középpontjának eleme . Mivel a kanonikus bázis koordinátái algebrai egészek, az előző tétel érvényes és a g / d i algebrai egész szám. De racionális szám és ezért Z eleme is , amely azt mutatja, hogy d i osztja a csoport sorrendjét.
Ha a G véges csoport abeli, akkor kettős csoportja véges és izomorf (nem kanonikusan) a G-vel . Ezután rendelkezünk a harmonikus elemzés összes eszközével a csoport algebrán (komplex együtthatókkal). Meghatározzunk egy Fourier-transzformációt és egy konvolúciós szorzatot , és olyan tételek érvényesek, mint a Parseval egyenlőség , a Plancherel-tétel vagy a Pontryagin-kettősség .
Számos klasszikus tételt újraértelmeznek egy véges abeli csoport harmonikus elemzése szempontjából; Aritmetikában idézhetjük az olyan eszközök felépítését, mint a Legendre-szimbólum , a másodfokú kölcsönösségi törvény bemutatásához vagy a Gauss-periódusok kiszámításához és a ciklotomikus polinomok gyökereinek kereséséhez használt Gauss-összegeket .
Algebra a csoportoid (en)