Felső és alsó határ

A matematika , a fogalmak felső kötött és az alsó egy sor a valós számok szóba kerülnek elemzés , mint az adott esetben a következő általános meghatározása: a felső határértéket (vagy a supremum ) egy része a (részben) készlet elrendelte a legkisebb annak felső korlátja . Ilyen terminál nem mindig létezik, de ha létezik, akkor egyedi. Nem feltétlenül tartozik az érintett párthoz. Lyében , az alsó határ (vagy a infimum ) egy részének a legnagyobb annak alsó kötött.

Ha a rendezett halmaz a valósoké, akkor a felső határ megléte minden nem üres és behatárolt rész esetében biztosított : azt mondjuk, hogy ℝ a felső határ tulajdonságával rendelkezik . Ugyanez a tulajdonság biztosítja az alsó határ meglétét minden valós számmal csökkentett nem üres készlet számára. A empt nem üres határolt intervallumának felső és alsó határa egyszerűen annak vége.

A függvény felső és alsó határa az összes értékének határa.

Megjegyzés: A felső határ és az alsó határ angol kifejezések nem felelnek meg a „felső határ” és az „alsó határ”, hanem a felső és az alsó határértékeknek ; A „felső határ” a legkevesebb felső határt vagy szupremumot jelenti , az „alsó határ” pedig a legnagyobb alsó vagy legmagasabb értéket jelenti .

Meghatározás

Általános eset

Egy részben rendezett halmaz E , a felső terminál egy része F a E jelentése, ha van, a kisebb a felső határokat a F a E . Klasszikusan sup ( F ), és jellemzi: M = sup ( F ) if

M egy felső korlátja F : x ≤ M minden x az F , és
ez a legkisebb: minden y a E , ha y jelentése egy felső korlátja F (azaz, ha az összes X a F , x ≤ y ), majd M ≤ y .

Megjegyzések

A kapcsolat a fogalmát felső kötött, és hogy a legnagyobb elem (vö szakasz elején a „Példák” alább ) annak köszönhető, hogy az a tény, hogy ha M tartozik F , a fenti 2. pontban automatikusan ellenőrizni.
Ha M = sup ( F ), majd, egy adott elem y az E :
- a 2. pontot átírják:az y ≥ M , elegendő, ha az y nagy kiadók minden eleme F ;
- az 1. pont szerint, és ≤ tranzitivitással igaz , fordítva : ha y ≥ M , akkor y megadja az F egyes elemeit , vagy ismét ( ellentétben ):így ha y- t nem korlátozza M , elegendő, ha F- ben létezik olyan elem, amelyet nem korlátoz y .

Hasonlóképpen, az alsó határ az F a E jelentése, ha létezik, a legnagyobb alacsonyabb korlát az F . Klasszikusan inf ( F ), és kettős tulajdonságokkal jellemezhető (az egyenlőtlenségek irányának megfordításával).

Bármely rendezett halmaz egy része, még nagyobb is , nem feltétlenül rendelkezik felső határral, de ha mégis, akkor egyedi . Hasonlóképpen, alsó határa, ha létezik, egyedi.

Teljes megrendelés esete

Az előző definícióban mindig helyettesíthetjük a 2. pontot annak ellentmondásával . Ha a rendelést E jelentése teljes , azt következtetni, hogy egy elem M az E a felső határ egy részének F akkor és csak akkor, ha:

minden X az F, x ≤ M , és
minden y <M esetén E- ben F- ben létezik legalább egy x> y .

Realok esete

Amikor E = ℝ (a szokásos sorrenddel együtt), akkor az „összes y <M ” -re is helyettesíthetjük az „ M –ε alakú összes y esetén az ε> 0-val”. Valódi M tehát only F részének felső határa akkor és csak akkor, ha:

minden X az F, x ≤ M , és
bármely valós ε> 0 esetén F- ben létezik legalább egy x> M –ε.

Felső kötésű ingatlan

Azt mondjuk, hogy egy rendezett E halmaznak megvan a felső határ tulajdonsága, ha E bármely nem üres és korlátozott részének van felső határa.

Különösen igaz ez a valós számok ordered rendezett halmaza .

A racionalizált sorrend set halmazának nincs ilyen tulajdonsága

Elegendő azt mutatják, hogy találunk ℚ egy részét egy , nem üres és korlátos, ami nincs felső határa.

Ehhez vegye figyelembe az alkészletet . Az A egyértelműen megjelölve van, például 2-vel. Hadd b lehet racionális felső határa A , és mutat egy új, racionális felső korlát c < b , amely megmutatja, hogy egy nem kisebb racionális felső határa. $A = \ {x \ in \ mathbb {Q} \; | \; x ^ {2} \ leq 2 \}$

Megjegyzés először, hogy az 1 tartozik egy ezért b ≥ 1> 0, és úgy vélik, a racionális (épített merítő Heron módszer ). Mivel van c 2 ≥ 2, amiből következtethetünk: ${\ displaystyle c = {\ tfrac {b} {2}} + {\ tfrac {1} {b}}> 0}$ ${\ displaystyle c ^ {2} -2 = \ balra ({\ tfrac {b ^ {2} -2} {2b}} \ jobbra) ^ {2}}$

egyrészt, hogy a c jelentése egy felső határa A ;
másrészt azt , hogy amit (a c meghatározása szerint ) átírunk : b 2 ≥ 2. Mivel ℚ nem tartalmaz kettőből négyzetgyöket , még b 2 > 2 is van , ez, ami (megint c ) definíciója szerint fordítás: c < b . ${\ displaystyle {\ tfrac {2} {c}} \ A-ban$ ${\ displaystyle b \ geq {\ tfrac {2} {c}}}$

Példák

Ha F- nek van egy legnagyobb eleme (különösen, ha F egy E halmaz véges részhalmaza , amely teljesen as-ként rendezett ), akkor ez a maximális elem az F felső határa . Ebben az esetben a sup ( F ) tartozik F . Ezzel szemben, ha sup ( F ) létezik, és tartozik F , akkor sup ( F ) a legnagyobb eleme F .
A valós számok halmazában:
- a valós számok halmazának bármely nem üres nagyobb részének van felső határa;
- egy javítatlan résznek (például ℤ ) nincs felső határa;
- az üres halmaznak nincs felső vagy alsó határa;
- az intervallum] 0, 1 [0-t fogad el alsó határnak és 1-et felső határnak;
- a {(–1) n + 1 / n | halmaz n = 1, 2, 3…} –1 alsó korlátként és 3/2 maximális elemként (tehát felső határként) ismeri el;
- A racionális számok halmaza, amelyeknek négyzete kisebb, mint 2, √ 2- t fogad el felső határként és - √ 2- t alsó határként;
- A felső határa az összeg A + B két nem üres korlátos készlet A és B jelentése az összegével egyenlő saját felső korlátot;
- az infimum és a supremum fogalma kettős: inf ( S ) = –sup (- S ), ahol - S = {- s | s ∈ S }.
A racionális számok halmazában:
- A racionális számok halmaza, amelynek négyzete kisebb, mint 2, a ℚ korlátozott része, amelynek nincs felső határa.
A befejezett valós sorban ℝ = ℝ ∪ { –∞ , + ∞ }:
- a ℝ nem üres és korlátozott részeinek felső korlátja megegyezik a in-vel;
- egy nem üres rész, de nem korlátozódik valós számra, a $+ \infty-$ t felső határként ismeri el ;
- az üres halmaz $-\infty$ felső határként ismeri el , mivel a ℝ bármely eleme az üres halmaz felső határa, és közülük a legkisebb $-\infty$ (és a $+ \infty-$ t alsó határként ismeri el ).
A rács egy rendezett halmaz, amelyben minden párnak van felső és alsó határa. A rács teljesnek mondható, ha minden részének felső és alsó határa van (ez a feltétel valójában felesleges). Például a ℝ nem teljes rács, míg a ℝ egy teljes rács.
Minden nem üres halmaz, X , a beállított ℝ X a leképezések a X a ℝ (felruházva a terméket sorrendben ), ezért teljes. Tehát az X és ℝ közötti leképezések bármely családjának $( f i ) i \in I$ felső és alsó határai vannak . Meghatározásukból az következik, hogy minden $x$ $\in$ $X$ esetében ${\ displaystyle \ sup _ {i \ I} f_ {i}}$ ${\ displaystyle \ inf _ {i \ I} f_ {i}}$ $\ left (\ sup _ {{i \ in I}} f_ {i} \ right) (x) = \ sup _ {{i \ in I}} \ left (f_ {i} (x) \ right) \ quad {\ text {et}} \ quad \ left (\ inf _ {{i \ in I}} f_ {i} \ right) (x) = \ inf _ {{i \ in I}} \ left (f_ {i} (x) \ jobbra).$ Így egy funkciócsalád felső burkolata nem más, mint annak felső határa.

Asszociativitás

A felső határok - és hasonlóképpen az alsó határok - kielégítik az asszociativitás következő tulajdonságát :

Rendezett halmazban legyen ( F t ) t ∈ T egy részcsalád, amelyek mindegyikének felső határa van. Így

{\ displaystyle \ sup _ {t \ in T} \ left (\ sup (F_ {t}) \ right) = \ sup \ left ({\ cup _ {t \ in T} F_ {t}} \ right) ,}

abban az értelemben, hogy az egyenlőség bal oldala csak akkor létezik, ha a jobb oldal létezik, és ebben az esetben egyenlőek.

Demonstráció

Jelölje y t-vel (minden t index esetén ) F t felső határát , Y mindezek y t halmazát és F az F t unióját . Elég annak ellenőrzése, hogy a két Y és F halmaznak ugyanaz a felső határa van-e.

Az F összes felső határa mindegyik F t részt megkülönbözteti, így minden egyes felső határt y t , így az Y majorizálódik .
Minden felső korlátja Y majorises egyes y t , és még inkább az egyes részek F t , úgy, hogy az ülés majorises F .

Teljes rácsban, mint a ℝ - vö. § fenti „Példák” - az állítás leegyszerűsíthető (a felső határok mindig léteznek), és következtetni lehet például a rács bármely elemének kétszeresen indexelt családjára $( x s, t )$ :

{\ displaystyle \ sup _ {s \ in S} \ bal (\ sup _ {t \ in T} (x_ {s, t}) \ jobb) = \ sup _ {t \ in T} \ bal (\ sup _ {s \ in S} (x_ {s, t}) \ jobb).}

Megjegyzések és hivatkozások

Ez a cikk részben vagy egészben az " Infimum " című cikkből származik (lásd a szerzők felsorolását ) .

( Fr ) Ez a cikk részben vagy egészben venni a Wikipedia cikket angolul című „ infimum ” ( lásd a szerzők listáját ) .

Gustave Choquet , elemző tanfolyam, II . Kötet: Topológia , p. Az angol fordítás 129-130 .
(en) DA Vladimirov, Boole algebrák Analysis , Springer ,2002( online olvasható ) , p. 5.csak azt állítja és bizonyítja, hogy „csak akkor”, ha a T felesleges hipotézis nem üres.

Lásd is

Kapcsolódó cikkek

Külső hivatkozás

(en) " Infimum " a PlanetMath- on