A görög-latin négyzet vagy Euler-négyzet a rend n , több mint két G és L az egyes n szimbólumok, egy négyzet tömb n sorból és n oszlopot, amely a n 2 párok az L × G , és ha a sorban, és minden oszlop pontosan egyszer tartalmazza az L minden elemét (az n pár egyikének első pozíciójában ) és a G minden elemét (a második helyzetben). Két egymásra merőleges latin négyzet egymásra helyezése . Azt is mondjuk, hogy „bilatin tér”.
A „görög-latin” elnevezés onnan származik, hogy G és L esetében gyakran használtuk a görög és a latin ábécé elejét .
Tekintsük az alábbi két rendű latin négyzetet az L = { A , B , C , D } és G = {α, β, γ, δ} halmazokon :
Szuperpozíciójuk (szemben) egy görög-latin négyzet, mert egyetlen L × G pár sem ismétlődik meg (ezért minden pár egyszer és egyszer jelenik meg): azt mondjuk, hogy a két latin négyzet merőleges.
Helyettesítsük a fenti két latin négyzetből a másodikat a következővel:
Már nem merőleges az elsőre, vagyis hogy egymásra helyezésük nem ad görög-latin négyzetet:
Valójában azt vesszük észre, hogy négy pár kétszer jelenik meg (és négy hiányzik).
A posztumusz kiadás ( 1725 ) A Recreations Mathématiques et fizikum által Jacques Ozanam javasolja (vol. 4, p. 434 ), hogy össze egy görög-latin négyzet a rend 4. egy puzzle kifejezni játékkártya : a probléma az, hogy a szokásos játék összes ászát , királyát , királynőjét és emelõjét , és rendezze el õket egy 4 × 4-es rácson úgy, hogy minden sorban és minden oszlopban szerepeljen a négy jel ( klubok ♣ , gyémánt ♦ , szívek ♥ , ásók ♠ ) és a négy érték . Számos megoldás létezik.
A 1779 , a svájci matematikus Leonhard Euler meghatározott és részletesen tanulmányozta a görög-latin négyzetek rend n , a görög és a latin ábécé majd szigorúan pozitív egészek . Gyárt módszerek felépítésének néhány, ha n jelentése páratlan vagy több a 4. és ezért tovább kell kezelni az esetben, ha n jelentése kongruens modulo 2 4 . Észreveszi, hogy nincs a 2. rendű görög-latin négyzet, és a 6. rendet "36 tiszt gondjával" szemlélteti:
- Hat különböző rendfokozatú és hat különböző ezredből álló 36 tisztet, akiket négyzetbe kellett rendezni, úgy hogy minden vonalon, vízszintesen és függőlegesen is, hat különböző karakterű és ezredes tiszt volt. "
Azt sejteti, hogy ennek a problémának nincs megoldása:
„Most, miután megtettük a problémát a probléma megoldása érdekében, kötelességünk volt felismerni, hogy egy ilyen elrendezés abszolút lehetetlen, bár ezt nem tudjuk szigorúan bemutatni. "
és még ennél is általánosabban: bármely n együttható esetén 2 modulo 4 esetén nincs n rendű görög-latin négyzet :
"Ezzel a módszerrel nagyon sok négyzetet vizsgáltam […], és nem haboztam arra következtetni, hogy nem lehet egyetlen 36 négyzetből álló teljes négyzetet sem létrehozni, és hogy ugyanez a lehetetlenség kiterjed az n = esetekre is. 10, n = 14 és általában minden páratlan párosra. "
A 1842 , köszönhetően kimerítő keresés az esetek és az átkelés az eredményeket, a dán Thomas Clausen kezeli, minden valószínűség szerint bizonyítani az első sejtés Euler: nincs görög-latin négyzet a rend 6. De az igazolást van nem ért el hozzánk. Az első publikált bizonyíték, amely ugyanezt a módszert követi, a francia Gaston Tarrynek köszönhető, 1901-ben.
A 1959-ben - 1960-ban , Bose , Parker (EN) és Shrikhande teljesen érvényteleníti a második: eltekintve a két kivétellel már ismert ( n = 2 és n = 6), léteznek Greco-latin négyzetek rend n az összes n ≡ 2 ( mod 4) ezért végül: mindenki számára n .