Szimmetria csoport
Az objektum ( kép , jel , stb.) Szimmetriai csoportja az összes izometria csoportja , amelyek alatt ez az objektum globálisan invariáns , ennek a csoportnak a működése összetétel . Ez egy alcsoportja az euklideszi csoport , amely csoport a isometries a környezeti euklideszi affin teret .
(Ha nincs megadva, itt a szimmetriacsoportokat vesszük figyelembe az euklideszi geometriában , de a koncepció tágabb összefüggésekben is feltárható, lásd alább .)
Az "objektumok" geometriai ábrák, képek és minták lehetnek, például háttérképminták . A meghatározás pontosabbá tehető, ha megadjuk, hogy mit kell érteni a képen vagy a mintán, például egy pozíciófüggvény, amelynek színeinek értéke van. Például a 3D-ben lévő testek szimmetriájához érdemes figyelembe venni a fizikai összetételt is. A tér izometriáinak csoportja csoportos cselekvést indukál a benne lévő objektumokon.
A szimmetriacsoportot néha teljes szimmetriacsoportnak is nevezik, hogy hangsúlyozzák, hogy olyan izometriákat tartalmaz, amelyek fordított orientációt (például tükröződést , csúszott visszaverődést és nem megfelelő forgatást ) tartalmaznak, amelyek alatt az ábra invariáns. Az izometriák azon alcsoportját , amely megőrzi a tájolást (azaz annak fordítását , forgatását és kompozícióit), és amely az ábrát invariánsnak hagyja, a megfelelő szimmetriacsoportnak nevezzük . Az objektum megfelelő szimmetriacsoportja akkor és csak akkor egyenlő a teljes szimmetriacsoportjával, ha az objektum királis (és így nincsenek olyan izometriák, amelyek megfordítanák azt az irányt, amely alatt az invariáns).
Bármely szimmetriacsoport, amelynek elemeinek van közös rögzített pontja , ami igaz a határolt ábrák összes szimmetriacsoportjára, az O (n) ortogonális csoport részcsoportjaként ábrázolható azzal, hogy kiindulópontként egy fix pontot választunk. A megfelelő szimmetriacsoport ekkor az ortogonális SO (n) speciális csoport egyik alcsoportja, ezért is nevezik az ábra forgási csoportjának .
Háromféle diszkrét szimmetriacsoport létezik :
- a szimmetriacsoportok befejezett pontja, amely csak forgatásokat, visszaveréseket, inverziókat és alkalmatlan forgatásokat tartalmaz - amelyek valójában csak O (n) befejezett alcsoportjai,
- - végtelen hálózati csoportok , amelyek csak fordításokat tartalmaznak, és -
- a tér a végteleneket csoportosítja , amelyek mindkét előző típusú elemet egyesítik, és további változtatásokat is tartalmazhatnak, például csavarokat vagy csúsztatott tükröződéseket.
Vannak folyamatos szimmetriacsoportok (en) is , amelyek tetszőlegesen kis szögek forgatását vagy tetszőlegesen kis távolságok fordítását tartalmazzák. Az O (3) gömb összes szimmetriájának csoportja erre példa, és általában a folytonos szimmetriák ilyen csoportjait Lie csoportként tanulmányozzák .
Az euklideszi csoport alcsoportjainak osztályozásához a szimmetriacsoportok osztályozása felel meg.
Azt mondjuk, hogy a két geometriai számok is ugyanazokat típusú szimmetria, ha az illető szimmetria csoportok H 1 , H 2 a konjugátum alcsoportok az euklideszi csoport E ( n ), azaz ha van izometria g az R n úgy, hogy H 1 = g -1 H 2 g . Például :
- két 3D-s alaknak tükrös szimmetriája van, de egy másik tükörsík vonatkozásában;
- két 3D-s ábra 3-as rendű forgásszimmetriával rendelkezik, de egy másik tengelyhez viszonyítva;
- két 2D mintának transzlációs szimmetriája van, mindegyik egy irányban; a két transzlációs vektor azonos hosszúságú, de eltérő irányú.
Néha tágabb fogalmat, „azonos típusú szimmetriát” használnak, például mind a 17 háttérképcsoportban .
Az izometrikus csoportok figyelembevételével csak azokra szorítkozhatunk, ahol az összes pont esetében az izometriák alatti képkészlet topológiailag zárt . Ez kizárja például az 1. dimenzióban a fordítások racionális szám szerinti csoportját. Ezt a szimmetriacsoportot tartalmazó "ábrát" lehetetlen megrajzolni, és tetszőleges részletességgel homogén, anélkül, hogy valóban homogén lenne.
1. dimenzió
Az 1. dimenzióban található izometriák csoportjai, ahol az összes pont esetében az izometriák alatti képek halmaza topológiailag zárt:
- a triviális C 1 csoport
- a központi szimmetria által létrehozott két elem csoportjai ; ezek izomorf a ciklikus csoport 2-rendű, C 2
- a fordítás által létrehozott végtelen diszkrét csoportok; izomorfak a végtelen ciklikus csoporttal, Z-vel
- A transzláció és a központi szimmetria által létrehozott végtelen diszkrét csoportok; ezek izomorf az általánosított diédercsoport a Z , Dih ( Z ), vagy több, közvetlenül a végtelen diédercsoport D ∞ (ami egy félig-közvetlen termék a Z által C 2 ).
- Az összes fordítás által létrehozott csoport ( R izomorf ); ez a csoport nem lehet a "minta" szimmetriacsoportja: homogén lenne, ezért tükröződhetne is. Azonban egy egydimenziós vektormező rendelkezik ezzel a szimmetriacsoporttal.
- Az összes fordítás és reflexió által generált csoport minden ponton; izomorf az R , Dih ( R ) általánosított kettős csoportjával .
2. dimenzió
A konjugáció kivételével a kétdimenziós tér diszkrét pontcsoportjai a következő osztályokba tartoznak:
- A gyűrűs csoportok a C 1 , C 2 , C 3 , C 4 , stb ahol C n az összes forgásból áll, egy rögzített pont körül, a 360 ° / n szög többszörösével
- a dihedrális csoportok D 1 , D 2 , D 3 , D 4 stb. ahol D n (2-rendű n ) a szimmetria csoport egy szabályos sokszög a n oldalán. A C n-hez tartozó forgásokból és az e forgások közös középpontján áthaladó tengelyekhez viszonyított n szimmetriából áll .
C 1 az a triviális csoport, amely csak az azonosság műveletet tartalmazza, amely akkor jelenik meg, ha az ábrának egyáltalán nincs szimmetriája, például az F betű . C 2 a Z betű szimmetriai csoportja , C 3 egy triskele , C 4 egy horogkereszt és C 5 , C 6 stb. a horogkereszthez hasonló alakok szimmetriacsoportjai öt, hat stb. kar helyett négy.
D 1 jelentése a 2. csoportba tartozó elem, amely az azonosságát és egyetlen reflexió művelet, amely akkor jelenik meg az ábrán csak egy tengelye kétoldali szimmetriával , például a levél A . A D 2 , amely izomorf a Klein-csoportra nézve , egy nem négyzet alakú téglalap szimmetriacsoportja.
A konkrét szimmetriacsoportoknak ezekben az esetekben két szabadságfokuk van a forgás középpontjához, a kétdimenziós csoportoknál pedig még egy a tükörpozíciókhoz.
A maradék izometrikus csoportok 2D-ben rögzített ponttal, ahol az összes pont esetében az izometriák alatti képkészlet topológiailag zárt, a következők:
- a speciális ortogonális SO (2) csoport, amely egy rögzített pont körüli összes forgásból áll; Ez izomorf az körhöz csoport S 1 , amely a multiplikatív csoport komplex számok a modulus 1. Ez a megfelelő szimmetria csoportja egy kört, és a folyamatos ekvivalens C n . Egyik ábra sem képezi ezt a körcsoportot teljes szimmetriacsoportként , de egy vektor mező esetében ez megtörténhet (lásd alább a 3D esetet),
- az ortogonális O (2) csoport, amely egy rögzített pont körüli összes forgásból és az ezen a ponton áthaladó bármely tengely visszaverődéséből áll. Ez egy kör szimmetriacsoportja. Dih-nek (S 1 ) is hívják, mert ez az S 1 általánosított dihedrális csoportja .
A nem korlátozott adatok esetében további izometrikus csoportok tartalmazhatnak fordításokat; zárva vannak:
- a 7 fríz csoport ,
- a 17 háttérképcsoport ,
- az 1D-ben lévő összes szimmetriacsoport esetében a csoport összes szimmetriájának egy irányba és a merőleges összes fordítás kombinációja,
- ugyanígy hozzáadva a reflexiókat egy tengelyhez képest az első irányban.
3. dimenzió
A konjugáció kivételével a 3D szimmetria pontcsoportjainak halmaza (lásd a cikket: A szimmetria pontcsoportjai a 3 (in) dimenzióban ) 7 végtelen sorozatból és 7 különállóból áll. A kristálytanban korlátozottak, hogy kompatibilisek legyenek a kristályrács diszkrét transzlációs szimmetriáival. Az általános pontcsoportok végtelen családjának ez a kristálytani korlátozása 32 kristálytani pontcsoportot eredményez (27 a 7 végtelen sorozatból és 5 a 7 másikból).
A folytonos szimmetria pontcsoportok a következők:
- hengeres szimmetria a tengelyre merőleges síktól való visszaverődés nélkül, ez gyakran vonatkozik például egy palackra .
- hengeres szimmetria a tengelyre merőleges sík tükrözésével
- gömbszimmetria
Tárgyak és skaláris mezők esetében a hengeres szimmetria függőleges visszaverődési síkokat jelent. Ez nem vonatkozik a vektormezőkre : egy bizonyos tengelyhez viszonyított hengeres koordinátákban csak akkor van henger szimmetriája ehhez a tengelyhez képest, ha és csak akkor , ha ez a szimmetria, azaz nem függ φ-től. Van egy és csak akkor reflexió is .
A gömbszimmetria esetében nincs ilyen megkülönböztetés, ez reflexiós síkokat jelent.
Folyamatos szimmetriacsoportok fix pont nélkül tartalmazzák azokat, amelyek csavaros csatlakozással rendelkeznek , például egy végtelen spirál csoportját .
Általánosítás
Nagyobb kontextusban a szimmetriacsoport bármilyen transzformációs csoport vagy automorfizmus csoport lehet . Miután megtudtuk, milyen matematikai struktúrával van dolgunk, meghatározhatjuk, hogy mely alkalmazások őrzik meg. Ezzel szemben a szimmetria megadásával meghatározhatjuk a struktúrát, vagy legalábbis tisztázhatjuk, mit értünk invariáns , geometriai nyelv alatt, amely lehetővé teszi annak megértését; ez az egyik módja az Erlangen program megtekintésének .
Például egyes véges geometriai modellek (en) automorfizmus-csoportjai nem a szokásos értelemben vett "szimmetriacsoportok", bár megtartják a szimmetriát. Ezt úgy teszik, hogy a ponthalmazok családjait tartják meg, nem pedig maguk a ponthalmazok vagy "tárgyak".
Mint fent, a tér automorfizmusainak csoportja csoportos cselekvést indukál a benne lévő objektumokon.
Egy adott geometriai térben egy adott geometriai alak esetében a következő ekvivalencia összefüggést vesszük figyelembe: a tér két automorfizmusa ekvivalens, ha az ábra két képe megegyezik (itt "ugyanaz" nem jelent valami hasonlót, kivéve egy fordításhoz és egy forgatáshoz ", de jelentése" pontosan ugyanaz "). Ekkor az identitás ekvivalenciaosztálya az ábra szimmetriacsoportja, és mindegyik ekvivalenciaosztály megfelel az ábra izomorf változatának.
Bármely két ekvivalenciaosztály között van bijekció: az első ekvivalenciaosztály képviselőjének inverze, amelyet a második képviselője alkot.
Az egész tér véges automorfizmuscsoportja esetén annak sorrendje az ábra szimmetriacsoportjának sorrendje, szorozva az ábra izomorf változatainak számával.
Példák:
- Az euklideszi sík izometriái, az ábra egy téglalap: ekvivalenciaosztályok végtelenje van; mindegyik 4 izometriát tartalmaz.
- A tér egy kocka , euklideszi metrikával, az ábrák a térrel azonos méretű kockákat tartalmazzák, színükön vagy mintáikkal az arcokon, a tér automorfizmusai 48 izometria; az ábra egy kocka, amelynek arca más színű, szimmetriacsoportja 8 izometriát tartalmaz; 8 izometriának 6 ekvivalenciaosztálya van, az ábra 6 izomorf változatához.
Megjegyzések
- áttekintése 32 kristálytani pontcsoportok a University of Exeter hely
- (in) Steven H. Cullinane, Pattern csoportjai a helyszínen finitegeometry.org
- Hasonlítsa össze Lagrange tételével
- (fr) Ez a cikk részben vagy egészben venni a Wikipedia cikket angolul című „ Symmetry csoport ” ( lásd a szerzők listáját ) .
Lásd is
- Szimmetrikus csoport és permutáció
- Csoportosítja az izometria rögzített pontjait az euklideszi térben (in)
- Kristály rendszer
- Tércsoportok listája
- A sík szimmetriacsoportjainak listája
- Csoportelmélet
- Molekuláris szimmetria