Szabályos csillag sokszög

A geometriában a szabályos csillag sokszög (nem tévesztendő össze egy csillagrésszel ) egy szabályos, nem domború sokszög . A nem szabályos csillagozott sokszögek formálisan nincsenek meghatározva.

Branko Grünbaum két elsődleges fogalmat azonosít, amelyeket Kepler használ , az egyik a szabályos csillag sokszög metsző élekkel, amelyek nem hoznak létre új csúcsokat, a másik pedig egyszerű konkáv sokszög.

Etimológia

Ha a csillag sokszögnek kevés csúcsa vagy oldala van, a neve egyesítheti a szám előtagot, például a penta- öt csúcs vagy oldal ötös számához a görög -gone vagy -gramm utótaggal (a sokszög neve ekkor ötszög , vagy pedig pentagram egy csillag ötszög számára). A leggyakoribb előtag görögből származik, de a nona- például latinból származik , egy kilenc csúcsú sokszög " nonagram " nevében , amelyet " enneagramnak " is neveznek .

Szabályos csillag sokszög

{5/2}

{7/2}

{7/3} ...

A csillagos reguláris sokszög egy egyenlőszögű és egyenlő oldalú , önmagát keresztező sokszög, amelyet úgy hozunk létre, hogy egy szabályos sokszög csúcsát p oldalakkal összekötjük egy másik csúccsal, amely nem szomszédos, és folytatjuk a folyamatot, amíg vissza nem térünk az első csúcshoz. Alternatív megoldásként a p és q egész számok esetében konstrukciónak tekinthetjük, amely összeköti a p csúcsok halmazának q- dik csúcsát, rendszeresen elosztva és körbe helyezve. Például egy szabályos ötszögben ötágú csillagot kaphatunk, ha az első ponttól a harmadikig, majd a harmadiktól az ötödikig, majd az ötödiktől a másodikig, majd a másodiktól a vonalig húzunk egy vonalat. negyedik, végül a negyediktől az elsőig. Röviden: egy szabályos csillag sokszög úgy kapható meg, hogy egy szabályos konvex sokszöget bámul .

Egy rendszeres csillaggal megjelölt polinom jelöli annak Schläfli szimbólum { p / q }, ahol p és q jelentése relatív prím , és q ≥ 2.

A (z) { n / k } szimmetriacsoport a 2 n nagyságrendű D n kétdimenziós csoport, függetlenül a k-tól .

A csillaggal jelölt szabályos sokszögeket először Thomas Bradwardine , később Kepler tanulmányozta .

Degenerált csillag sokszög

Ha p és q nem elsődlegesek egymás között, akkor egy generált sokszög egybeeső csúcsokból és élekből származik. Például a {6/2} háromszögként jelenik meg, de két 1-6 csúcscsoporttal jelölhető. Ezt a jelenséget nem úgy kell tekinteni, mint két egymásra helyezett háromszöget, hanem mint egyetlen sokszöget, amely visszacsuklik önmagára.

Izotoxális egyszerű csillag sokszög

Ha a metsző vonalak eltávolítása, a csillag poligonok nem szabályos, de lehet tekinteni, mint 2n -gones egyetlen konkáv isotoxaux . Branko Grünbaum ezeket a csillagokat képviseli | n / a | Geometriájuk megegyezik az { n / d } sokszögek általánosabb {n α } jelölésével, amely n ágú csillagot képvisel, amelyek mindegyikének belső szöge α <180 (1 - 2 / n ) fok. A | n / d |, a belső csúcsok külső β szöge 360 ​​( d -1) / n

| n / a | {n α }	{3 30 ° }	{6 30 ° }	| 5/2 | {5 36 ° }	{4 45 ° }	| 8/3 | {8 45 ° }	| 6/2 | {6 60 ° }	{5 72 ° }
α	30 °		36 °	45 °		60 °	72 °
β	150 °	90 °	72 °	135 °	90 °	120 °	144 °
Izotoxikus csillag
Társult sokszög   {n / a}	{12/5}		{5/2}	{8/3}		{6/2}	{10/3}

Ezeket a sokszögeket gyakran megfigyelik a tessellációs modellekben. Az α paraméteres szög választható, hogy megfeleljen a szomszédos sokszögek belső szögeinek ilyen modellekben.

Csillag háromszögek	Csillag négyzetek	Csillag hatszögek		Csillagos nyolcszögek
(3,3 * α, 3,3 ** α)	(8,4 * π / 4,8,4 * π / 4)	(6,6 * π / 3,6,6 * π / 3)	(6,6 * π / 3,6,6 * π / 3)	Nem széltől szélig

Csillag sokszög belső terek

A csillag sokszög belseje többféleképpen is értelmezhető. Ezen értelmezések közül hármat szemléltet egy pentagram. Branko Grünbaum és Geoffrey Shephard kettőjüket szabályos csillagképes sokszögnek és konkáv izogonális 2n- gonnak tekinti .

Ezek tartalmazzák:

• az egyik oldal jobb oldala felfelé, egyik oldalát úgy kezeljük, mint kívülről, a másikat pedig belülről: ez a bal oldali (piros színű) értelmezés az ábrán;
• hányszor egy poligon lefedi az adott régiót, meghatározza annak sűrűségét. A külső nulla sűrűséget kap, és minden nulla sűrűségű régiót belsejében kezelnek; ez a középső értelmezése (sárga színnel);
• ahol egy vonal húzható két oldal között, az a régió, ahol található, az ábra belsejében található. Ez az értelmezés a jobb oldalon (kék színnel).

A fenti megközelítések mindegyike más-más területet ad a sokszögnek.

Csillag sokszögek a művészetben és a kultúrában

A csillag sokszögek kiemelkedő helyet foglalnak el a művészetben és a kultúrában. Akár szabályosak, akár nem, mindig nagyon szimmetrikusak. Idézhetünk például:

• A csillag ötszög {5/2}, más néven pentagramma , pentalpha vagy pentangle, és történelmileg számos mágikus és vallási kultuszban okkult jelentőségűnek tekinthető  ;
• A csillag-sokszögek {7/3} és {7/2},  amelyek heptagrammaként ismertek, és amelyek okkult jelentőséggel is rendelkeznek, különösen  Kabbalában  és Wiccában  ;
• A csillag sokszög {8/3}, az oktagram, az egyik geometriai minta, amelyet a mongol nép művészete és építészete általában használ. Az egyik megtalálható Azerbajdzsán címerén  ;
• A hendecagram , egy tizenegy ágú csillag, használták a sírja  Sha-h Ni'matulla-h Wali .

A  szabályos fekete nyolcszögbe épített vörös oktagramma {8/3}  .

Salamon pecsétje (körrel és pontokkal).

Megjegyzések és hivatkozások

1. (a) B. Grünbaum és GC Shephard, tilings and Patterns , New York, Freeman,1987( ISBN  0-7167-1193-1 ), 2.5. szakasz.
2. (in) HSM Coxeter , reguláris politopok , Dover ,1973, 321  p. ( ISBN  978-0-486-61480-9 , online olvasás ) , p.  93.
3. (in) Eric W. Weisstein , "  csillagsokszög  " on mathworld .
4. (a) HSM Coxeter, Bevezetés a geometria , 2 th  ed. , fej.  2.8 („Csillag sokszögek”) , p.  36-38.
5. (in) Branko Grünbaum, „Are Your Polyhedra Polyhedra My Ugyanaz, mint ő? » , Diszkrét és számítási geometriában ,2003( online olvasható ) , p.  461-488.
6. (in) HSM Coxeter, "  A szabályos polipok sűrűsödése  " , Proc. Camb. Philos. Soc. , vol.  27,1931, P.  201-211, P.  43  : Része angol szöveget kell lefordítani francia

   Angol fordítandó szöveg:
   Ha d páratlan, akkor a {p / q} sokszög csonkolása természetesen {2n / d}.

   A szöveg lefordítása • Eszközök • (+) .
7. (in) Joseph Myers, "  burkolási a Szabályos sokszögek csillag  " , Eureka , Vol.  56,2004, P.  20–27 ( online olvasás ).
8. (in) Branko Grünbaum és Geoffrey C. Shephard, "  Tilings by Regular Polygons  " , Mathematics Magazine , vol.  50,1977, P.  227–247 ( online olvasás )és n o  51 1978 p.  205-206 .