Lévy-folyamat

A valószínűségszámítás , a Lévy folyamat , melynek névadója a francia matematikus Paul Lévy , egy sztochasztikus folyamat a folytonos idejű , folyamatos korlátozott jobbról balra ( càdlàg ), 0-tól, a lépésekben stacionárius és független (ez a fogalom magyarázata alább) . A legismertebb példák a Wiener- folyamat és a Poisson-folyamat .

Meghatározás

A sztochasztikus folyamatot Lévy-folyamatnak nevezzük, ha x={xt:t≥0}{\ displaystyle X = \ {X_ {t}: t \ geq 0 \}}

1. x0=0{\ displaystyle X_ {0} = 0 \,} szinte biztosan
2. Független növekszik  : Minden olyan független0≤t1<t2<⋯<tnem<∞,{\ displaystyle 0 \ leq t_ {1} <t_ {2} <\ cdots <t_ {n} <\ infty,} xt2-xt1,xt3-xt2,...,xtnem-xtnem-1{\ displaystyle X_ {t_ {2}} - X_ {t_ {1}}, X_ {t_ {3}} - X_ {t_ {2}}, \ pontok, X_ {t_ {n}} - X_ {t_ { n-1}}}
3. Álló nő  : Minden , egyenlő a törvénys<t{\ displaystyle s <t \,}xt-xs{\ displaystyle X_ {t} -X_ {s} \,}xt-s{\ displaystyle X_ {ts} \,}
4. t↦xt{\ displaystyle t \ mapsto X_ {t}}szinte biztosan jobbra folytonos és balra korlátozott ( Càdlàg ).

Tulajdonságok

Független növekedések

Folyamatos időtartamú sztochasztikus folyamat egy tetszőleges X t változót társít bármikor t ≥ 0. Ezért a t véletlenszerű függvénye . Egy ilyen folyamat növekményei az X s - X t különbségek az értékei között különböző időpontokban t < s . Ha azt mondjuk, hogy a nő egy folyamat független azt jelenti, hogy a nő X s - X t és X u - X kontra vannak független valószínűségi változók attól a pillanattól kezdve, amikor az idő intervallumok nem fedik egymást, és általában minden olyan szám véges lépésekben, mint a nem - az átfedő időintervallumok kölcsönösen függetlenek (és nem csak kettő kettőtől függetlenek).

Stacionárius növekedés

Ha azt mondjuk, hogy a növekedések helyhez kötöttek, az azt jelenti, hogy minden egyes növekedés törvénye X s - X t csak az időintervallum s  -  t hosszától függ .

Például egy Wiener-folyamat esetében az X s  -  X t törvény egy normális törvény, amelynek várakozása 0 és szórása s  -  t .

Egy homogén Poisson folyamat , a törvény a X s  -  X t egy Poisson törvénye elvárás λ ( ek  -  T ), ahol λ> 0 a "intenzitás" vagy "sebesség" a folyamat.

Oszthatóság

A Lévy-folyamat összefügg a végtelenül osztható törvényekkel  :

• A Lévy-folyamat növekedésének törvényei végtelenül oszthatók, a t hosszúság növekedése a t / n hosszúság n növekedésének összege, amelyek hipotézis szerint azonosak (függetlenül azonos eloszlásúak).
• Ezzel szemben minden egyes végtelenül osztható törvénynek megfelel egy Lévy-folyamat: egy ilyen D törvény megadásakor sztochasztikus folyamatot határozunk meg minden pozitív racionális időre szorzással és osztással, annak törvényét 0-ban definiáljuk a Dirac eloszlásában 0-ban, végül menjen a határértékre bármely pozitív valós idejű értékre. A növekmények függetlensége és az állékonyság az oszthatóság tulajdonságából fakad, bár ellenőrizni kell a folytonosságot, és az a tény, hogy a határig való átlépés jól meghatározott funkciót ad az irracionális időkben.

Pillanatok

A Lévy-folyamat n- edik pillanata , amikor véges, egy polinomiális függvény a t-nél , amely ellenőrzi a binomiális típus azonosságát: μnem(t)=E(xtnem){\ displaystyle \ mu _ {n} (t) = E (X_ {t} ^ {n})}

μnem(t+s)=∑k=0nem(nemk)μk(t)μnem-k(s).{\ displaystyle \ mu _ {n} (t + s) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {n \ válassza k} \ mu _ {k} (t) \ mu _ {nk} (s ).}

Példák

Itt van a Lévy-folyamatok példáinak nem teljes listája.

Az alábbi példákban X egy Lévy-folyamat. Vegye figyelembe, hogy a determinisztikus sodródás ( ) egy Lévy-folyamat. xt=bt{\ displaystyle X_ {t} = bt}

Wiener-folyamat

Meghatározás

Az X csak akkor Wiener-folyamat (vagy standard Brown-mozgás)

1. mindent , valószínűségi változó egy normális eloszlás ,t≥0{\ displaystyle t \ geq 0}xt{\ displaystyle X_ {t}} NEM(0,t){\ displaystyle {\ mathcal {N}} (0, t)}
2. pályái szinte biztosan folyamatosak; vagyis szinte mindenre az alkalmazás folyamatos.ω{\ displaystyle \ omega}t↦xt(ω){\ displaystyle t \ mapsto X_ {t} (\ omega)}

Tulajdonságok

• Fourier-transzformációját a következő adja:

E[eénθxt]=exp⁡(-12tθ2){\ displaystyle \ mathbb {E} {\ Big [} e ^ {i \ theta X_ {t}} {\ Big]} = \ exp \ left (- {\ frac {1} {2}} t \ theta ^ {2} \ jobbra}}

lásd a Brown-mozgás oldalt .

Összetett Poisson-folyamat

Meghatározás

X egy Poisson-folyamat, amely valós szám paraméterekből áll , és akkor és csak akkor mér , ha Fourier-transzformációját megadja vs.≥0{\ displaystyle c \ geq 0} v{\ displaystyle \ nu}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}

E[eénθxt]=exp⁡(vs.t(∫Reénθxv(dx)-1)){\ displaystyle \ mathbb {E} {\ Big [} e ^ {i \ theta X_ {t}} {\ Big]} = \ exp \ left (ct \ left (\ int _ {\ mathbb {R}} e ^ {i \ theta x} \ nu (dx) -1 \ jobbra \ jobbra}}.

Tulajdonságok

• Paraméterekből álló Poisson-folyamat, és az 1 ( ) -ben szereplő Dirac-mérték egy Poisson-folyamat .vs.≥0{\ displaystyle c \ geq 0}v=δ1{\ displaystyle \ nu = \ delta _ {1}}
• Legyen N legyen Poisson folyamat paraméterrel , és egy véletlen séta , amelynek joga a lépések (a törvény ), akkor a folyamat által meghatározott egy olyan vegyület, Poisson folyamat.vs.≥0{\ displaystyle c \ geq 0}Snem=∑k=0nemYk{\ displaystyle S_ {n} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} Y_ {k}}v{\ displaystyle \ nu}Y1{\ displaystyle Y_ {1}}xt=SNEMt{\ displaystyle X_ {t} = S_ {N_ {t}}}

Alszámítógépek

Meghatározás

X akkor és csak akkor alszámítógép, ha X növekvő folyamat.

Tulajdonságok

• X van korlátos variáció .
• X átmeneti.
• Fourier-transzformációja a következő:

E[eénθxt]=exp⁡(-éntθ+t∫0∞(1-eénθx)v(dx)){\ displaystyle \ mathbb {E} {\ Big [} e ^ {i \ theta X_ {t}} {\ Big]} = \ exp \ left (-it \ theta + t \ int _ {0} ^ {\ infty} (1-e ^ {i \ theta x}) \ nu (dx) \ jobbra}}.

• Az alszámítógép lehetővé teszi az időjárás megváltoztatását, ezt alárendeltségnek nevezzük. Ha Z egy Lévy-folyamat és X egy független alszámítógép, akkor a folyamat egy Lévy-folyamat.(Zxt)t≥0{\ displaystyle (Z_ {X_ {t}}) _ {t \ geq 0}}

Stabil Lévy-folyamatok

Meghatározás

Az X egy stabil Lévy-folyamat (vagy egy Lévy- stabil folyamat ) csak akkor, ha a két folyamat és minden valós számra ugyanaz a törvény . α∈]0,2]{\ displaystyle \ alfa \ in \,] 0.2]}α{\ displaystyle \ alpha}(xvs.αt)t≥0{\ displaystyle (X_ {c ^ {\ alpha} t}) _ {t \ geq 0}}(vs.xt)t≥0{\ displaystyle (cX_ {t}) _ {t \ geq 0}}vs.>0{\ displaystyle c> 0}

Ezt a tulajdonságot stabilitási tulajdonságnak (vagy méretezésnek) nevezzük.

Tulajdonságok

• Igen , a Lévy-folyamat determinisztikus sodródás vagy Cauchy-folyamat .α=1{\ displaystyle \ alpha = 1}
• Ha , a Levy-folyamat egy Brown-mozgás.α=2{\ displaystyle \ alpha = 2}
• Mert Fourier-transzformája a következő:α∈]0,1[∪]1,2[{\ displaystyle \ alfa \ in] 0,1 [\ csésze] 1,2 [}

E[eénθxt]=exp⁡(vs.|θ|α(1-énksgn⁡(θ)Cser⁡(πα2))){\ displaystyle \ mathbb {E} {\ Big [} e ^ {i \ theta X_ {t}} {\ Big]} = \ exp \ left (c | \ theta | ^ {\ alpha} \ left (1- ik \, \ operátornév {sgn} (\ theta) \ tan \ bal ({\ frac {\ pi \ alfa} {2}} \ jobb) \ jobb) \ jobb)}.

Lévy - Khintchine képviselete

Bármely véletlen változó jellemző funkcióval jellemezhető . Abban az esetben, a Lévy folyamat , ez a jellemzés minden alkalommal t ad képviseletét Lévy-Khintchine (elnevezett orosz matematikus Alexandre Khintchine ): xt{\ displaystyle X_ {t}}

E[eénθxt]=exp⁡(nál néléntθ-12σ2tθ2+t∫R∖{0}(eénθx-1-énθxén|x|<1)W(dx)){\ displaystyle \ mathbb {E} {\ Big [} e ^ {i \ theta X_ {t}} {\ Big]} = \ exp {\ Bigg (} ait \ theta - {\ frac {1} {2} } \ sigma ^ {2} t \ theta ^ {2} + t \ int _ {\ mathbb {R} \ backslash \ {0 \}} {\ big (} e ^ {i \ theta x} -1-i \ theta x \ mathbf {I} _ {| x | <1} {\ nagy)} \, W (dx) {\ Bigg)}}

ahol , és az indikátor függvény . A Lévy-intézkedésnek igazolnia kell nál nél∈R{\ displaystyle a \ in \ mathbb {R}}σ≥0{\ displaystyle \ sigma \ geq 0}én{\ displaystyle \ mathbf {I}}W{\ displaystyle W}

∫R∖{0}min{x2,1}W(dx)<∞.{\ displaystyle \ int _ {\ mathbb {R} \ hátsó perjel \ {0 \}} \ min \ {x ^ {2}, 1 \} W (dx) <\ infty.}

A Lévy-folyamatot tehát három komponens jellemzi: sodródás, diffúziós együttható és ugráskomponens. Ezt a három komponenst, tehát a folyamat Lévy-Khintchine-ábrázolását teljes egészében a triplet határozza meg . Különösen a folyamatos Levy-folyamat egy Brown-mozgás sodródással. (nál nél,σ2,W){\ displaystyle (a, \ sigma ^ {2}, W)}

Lévy - Itō bomlás

Ezzel ellentétben a Lévy-folyamat a Lévy-Khintchine reprezentáció alatt megadott jellegzetes függvényből konstruálható. Ez a konstrukció megfelel egy mérték lebontásának a Lebesgue-féle bontási tétel szerint  : a sodródás és a diffúzió alkotja az abszolút folytonos részt, míg a W mérték az egyes szám.

Adott egy Lévy triplett három önálló Lévy folyamatok , ugyanazon a valószínűségi mezőn, mint például: (nál nél,σ2,W){\ displaystyle (a, \ sigma ^ {2}, W)}x(1){\ displaystyle X ^ {(1)}} x(2){\ displaystyle X ^ {(2)}}x(3){\ displaystyle X ^ {(3)}}

• x(1){\ displaystyle X ^ {(1)}}egy Brown-mozgás a sodródás, megfelelő abszolút folytonos része a mérési, amelynek együtthatókat egy a sodródás és a diffúziós;σ2{\ displaystyle \ sigma ^ {2}}
• x(2){\ displaystyle X ^ {(2)}}az összetett Poisson-folyamat , amely megfelel a W egyes szám tiszta pontjának  ;
• x(3){\ displaystyle X ^ {(3)}}egy ugrási folyamat, integrálható martingál négyzet, amely szinte biztosan megszámlálhatatlan számú komlót tartalmaz bármely véges intervallumban, amely megfelel a szinguláris W folyamatos részének .

Az által definiált folyamat egy hármas Lévy-folyamat . x=x(1)+x(2)+x(3){\ displaystyle X = X ^ {(1)} + X ^ {(2)} + X ^ {(3)}}(nál nél,σ2,W){\ displaystyle (a, \ sigma ^ {2}, W)}

Levelezés az élővilágban

A Levy-folyamatokhoz kapcsolódó számos fraktálmintázat figyelhető meg az élővilágban (és más tudományos területeken). Úgy tűnik például, hogy olyan változatos területeken vannak jelen, mint az emberek szemmozgása (legalábbis bizonyos körülmények között) és az állatok mozgásában.

Eredetüket az ökológiai rendszerek még mindig nem ismerik . Olyan kialakuló tulajdonságként értelmezték őket, amely a komplex rendszerek különféle univerzális elveiből származhat, vagy amelyek adaptív értékkel bírhatnak.

A Lévy-folyamatok közül például az intelligens ágensek mozgáskutatójában fedezték fel, amikor heterogén környezetben működnek, és úgy tűnik, hogy az állatok (beleértve a tengeri madarakat is) utazását és mozgatását "nagy léptékűvé" strukturálják ( "Levy Flight"  ; "Lévy" Séta " ). Alex James, Michael J. Plank és Andrew M. Edwards szerint ezeknek a Lévy-folyamatoknak a megfigyelése külső tényezőknek lenne köszönhető (például az erőforrások eloszlása, a megfigyeléshez választott mintavételi módszer, vagy még mindig több mozgás együttélése) stratégiák), nem pedig kifejezett stratégiai választás. Más szavakkal, a látszólagos Levy-folyamat számos tényezőből fakadhat, kivéve az ágenskutatási stratégiát.

Egyes szerzők feltételezik, hogy összefüggésbe hozhatók a sztochasztikus optimalizálás  mechanizmusaival (in) , olyan folyamatokkal, mint a szexuális partner keresése vagy keresése, vagy migrációs repülés állatokban (egyénekben vagy csoportokban), „ óceánban , a légkörben és az óceán felett”. madarak vagy például egy hatalmas erdőben , amikor az érzékelési képesség nem elegendő ahhoz, hogy az állat könnyen megtalálhassa azt, amit keres (étel, zsákmány, kakas, szexuális partner stb.).

Ha a Lévy-folyamat egyéni szinten így járt el, akkor ezek az alkalmazkodási mechanizmusok akkor is kihathatnak a szervezés és a dinamika magasabb szintjeire, akár az ökoszisztémák vagy akár a bioszféra skáláján is, ezért Frederic Bartumeus, az egyik szakember ezekben a kérdésekben - az állatok mozgásának vizsgálatával összefüggésben - azt javasolja, hogy ezentúl együttesen és többé ne vegyék figyelembe a skála változatlanságát, az intermittálás és a véletlen jelenségeit, amelyek koherens ökológiai és evolúciós keretek között esetleg új értelmet nyerhetnek.

Függelékek

Bibliográfia

• D. Applebaum, Lévy-folyamatok és sztochasztikus számítás , második kiadás, Cambridge University Press, 2009
• J. Bertoin, Lévy Processes , Cambridge University Press, Cambridge, 1996. ( ISBN  0-52164-632-4 )
• AE Kyprianou, Bevezető előadások a Lévy-folyamatok ingadozásaival az alkalmazásokkal , Springer, Berlin, 2006.
• KI Sato, Lévy-folyamatok és végtelenül osztható disztribúciók , Cambridge Univsersity Press, 1999. ( ISBN  0-521-55302-4 )

Megjegyzések és hivatkozások

1. Bartumeus F (2007) Lévy-folyamatok az állatok mozgásában: evolúciós hipotézis , Fractals, 15, 151 (2007). DOI: 10.1142 / S0218348X07003460 ( összefoglaló )
2. Damian Stephen, Daniel Mirman, James Magnuson, James Dixon. (2009) Lévy-féle diffúzió a szemmozgásokban a beszélt nyelv megértése során . Physical Review E 79: 5, élőben 1 -jén május 2009 ( összefoglaló )
3. F. Bartumeus. (2009) Viselkedési intermittencia, Lévy-minták és véletlenszerűség az állatok mozgásában . Oikos 118: 4, 488-494, megjelent 1 -jén április 2009 ( összefoglaló )
4. Nicolas E. Humphries, Nuno Queiroz, Jennifer RM Dyer, Nicolas G. Pade, Michael K. Musyl, Kurt M. Schaefer, Daniel W. Fuller, Juerg M. Brunnschweiler, Thomas K. Doyle, Jonathan DR Houghton, Graeme C. Hays, Catherine S. Jones, Leslie R. Noble, Victoria J. Wearmouth, Emily J. Southall, David W. Sims. (2010) A környezeti kontextus elmagyarázza a tengeri ragadozók Lévy és Brown mozgási mintázatát . Nature 465: 7301, 1066-1069. kiküldve 2010. június 24-én ( összefoglaló )
5. Andrew JJ MacIntosh, Laure Pelletier, Andre Chiaradia, Akiko Kato, Yan Ropert-Coudert. (2013) Időbeli fraktálok a tengeri madarak táplálkozási magatartásában: az idő skáláján való búvárkodás. 3. Tudományos jelentések . Feladva 2013. május 24 ( összefoglaló )
6. Frederic Bartumeus, Luca Giuggioli, Maite Louzao, Vincent Bretagnolle, Daniel Oro, Simon A. Levin. (2010) A halászati ​​visszadobások hatása a tengeri madarak mozgási mintáira regionális méretekben. Jelenlegi biológia 20: 3, 215–222, 2010. február 9. ( Absztrakt )
7. L. Seuront, HE Stanley. (2014) Az anomális diffúzió és multifraktalitás fokozza a párzási találkozásokat az óceánban. A Nemzeti Tudományos Akadémia folyóirata 111: 6, 2206-2211. Online közzététel dátuma: 2014. február 11. ( összefoglaló )
8. Dong Wang, Qian Zhuang, Ying Fan, Zeng-Ru Di. (2013) A fajok sokfélesége a kőzet - papír - olló játékban Levy repüléssel. Kínai fizika B 22:12, 128702. Online on 1 -jén december 2013 ( összefoglaló )
9. Deepika Janakiraman, K. Sebastian. (2012) Út-integrál megfogalmazás a Lévy-repülésekhez: A propagátor értékelése szabad, lineáris és harmonikus potenciálokhoz a túl- és az alacsonyabb határokon . Fizikai áttekintés E 86: 6. 2012. december 1- én lépett életbe . ( összefoglaló )
10. Sam Baron. (2014) Optimalizálás és matematikai magyarázat: a Lévy séta elvégzése. Szintézis 191: 3, 459-479. Online on 1 -jén február 2014 ( összefoglaló )
11. Andy M. Reynolds, Patrick Schultheiss, Ken Cheng. (2013) Lévy repülési mintái a távolság becslésében a Weber - Fechner törvényből származnak? . Viselkedési ökológia és szociobiológia 67: 8, 1219-1226. . Online közzététel dátuma: 2013. augusztus 1. További információ: http://www.worldscientific.com/doi/abs/10.1142/S0218348X07003460
12. AM Reynolds. (2012) A fitnesz-maximalizáló szecskázók a tapasz minőségével kapcsolatos információk alapján dönthetnek a foltok keresésének módjáról és azokon belül: optimális Levy séta keresési minták az optimális takarmányozás elméletéből . Journal of The Royal Society Interface 9:72, 1568-1575, közzétéve 2012. július 7 ( absztrakt )
13. Reynolds AM (2009) Lépték nélküli állatmozgási minták: Lévy véletlenszerű keresési szcenáriókban felülmúlja a frakcionált Brown és a frakcionált Lévy mozgásokat . Journal of Physics A: Matematikai és elméleti 42:43, 434006 .. Online közzététel dátuma: 2009. október 30. ( összefoglaló )
14. AM Reynolds. (2012) A csonka Levy-séták az adatgyűjtés skáláján túl várhatók, amikor a korrelált véletlenszerű séták a megfigyelt mozgásmintákat testesítik meg . Journal of The Royal Society Interface 9:68, 528-534, megjelent 2012. március 7-én ( absztrakt )
15. James Alex , Plank Michael J. és Edwards Andrew M. , „  felmérése Lévy séták modellek állati takarmányozás  ”, Journal of the Royal Society Interface , vol.  8, n o  62,2011. szeptember 7, P.  1233–1247 ( PMID  21632609 , PMCID  PMC3140726 , DOI  10.1098 / rsif.2011.0200 , online olvasás , hozzáférés : 2019. július 29. )
16. MA Lomholt, K. Tal, R. Metzler, K. Joseph. (2008) Előnyösek az időszakos keresési folyamatokban alkalmazott illeték stratégiák. Proceedings of the National Academy of Sciences 105: 32, 11055-11059, megjelent 2008. augusztus 12-én ( absztrakt )
17. Reynolds AM (2013) Hatékony vezetés állatcsoportokban, ha egyénnek sincs releváns információja az erőforrások elhelyezkedéséről: Hogyan eredményezheti a vezetők és a követők közötti interakció Lévy séta mozgásmintázatát . EPL (Europhysics Letters) 102: 1, 18001, internetes óta 1 -jén április 2013 ( összefoglaló )
18. Gleb Oshanin, Katja Lindenberg, Horacio S Wio, Sergei Burlatsky. (2009) Hatékony keresés optimalizált intermittáló véletlenszerű sétákkal . Journal of Physics A: Matematikai és elméleti 42:43, 434008, közzétéve 2009. október 30 ( absztrakt )

• (fr) Ez a cikk részben vagy egészben venni a Wikipedia cikket angolul című „  Lévy folyamat  ” ( lásd a szerzők listáját ) .

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">