A matematika , különösen a lineáris algebra , endomorphism csökkentési célok kifejezni mátrixok és endomorfizmusok egyszerűbb formában, például hogy megkönnyítse számításokat. Ez lényegében a következőkből áll találni bomlása a vektor tér egy direkt összege a stabil altér amelyen az indukált endomorphism egyszerűbb. Kevesebb geometriailag ez megfelel találni alapján a helyet, ahol a endomorphism egyszerűen kifejezve.
Az alábbi első két alfejezet lényeges fogalmakat érint, amelyeket az alábbiakban fogunk feltárni. A következő kettő konkrét esetekre vonatkozik.
A vektortér, amelyre az endomorfizmust alkalmazzák, az esettől függően különböző tulajdonságokkal rendelkezik. Amikor a tér véges , a test szerkezete határozza meg a legtöbb redukciós tulajdonságot. Ez a megközelítés, amely magában foglalja a gyűrű a polinomok kapcsolódó szervezet, elemezzük a cikkben endomorphism polinom . A legegyszerűbb az az eset, amikor a mező algebrailag bezárt , vagyis bármely nem állandó polinom legalább egy gyöket beismer. Ez a helyzet a komplex számokkal . Tehát a csökkentés különösen hatékony. A sajátérték fogalma a megfelelő eszközzé válik ebben az összefüggésben. Ha van egy alap a sajátvektorok akkor beszélünk diagonalizáció .
Két akadály akadályozza meg a véges dimenziós endomorfizmus diagonalizálhatóságát.
Az első akkor jelenik meg, ha a mező nincs algebrailag bezárva (például ha a valós számok mezője ). Ebben az esetben az elsődleges tényező a karakterisztikus polinomja (vagy minimális polinom ) a endomorphism u lehet foka nagyobb vagy egyenlő 2 Ezt az esetet kezelni § „Nem trigonalisable ügy” alatti , a legtöbb közös módszert. egyszerűbb, hogy megszüntesse ezt az első akadályt lény szét a polinomok , a kiterjesztése a skalár .
Amikor jellegzetes polinomja (vagy minimális polinomja) feloszlik, az u jellegzetes alterekre bomlik, ahol az endomorfizmus a homotetika és a nilpotens endomorfizmus összege . A második, belsőbb akadály a nulla nélküli nilpotens endomorfizmusok. A bomlás át ciklikus altér, azonban biztosítja a Jordan csökkentését , amely rendszer a trigonalization a u a lehető legegyszerűbb formában.
Bármilyen szokásos endomorphism egy hermitikus tér van diagonalizable egy ortonormáiis bázis , vagy újra: bármely szokásos mátrix van diagonalizable (a ℂ) együtt egy egységes átjáró mátrixot : ez egy következménye a Schur 'bomlási tétel (egy euklideszi térben , vagy a diagonalizáció egy valódi normál mátrix on-jén ugyanaz az eredmény, feltéve, hogy az összes sajátérték valós.
Ebben az összefüggésben a nilpotens kivétel tehát hiányzik. A redukció egyszerűbb és a kapcsolódó algoritmikus technikák gyorsabbak.
Bármely hermitikus mátrix - különösen bármely valódi szimmetrikus mátrix (amely szimmetrikus bilináris formát képvisel ) - normális, ezért ortonormális alapon átlósítható.
Általánosságban elmondható, hogy egy bonyolult Hilbert térben minden normál kompakt kezelőnek megfelelő Hilbert alapja van .
A differenciál operátorok , mint a laplaciánus vagy d'Alembertianus , a fizika fontos problémáinak kulcsa, amelyeket lineáris egyenletként, de végtelen dimenziós térben felfoghatunk. Ebben az összefüggésben Jordan általános megközelítése kudarcra van ítélve, mivel a polinomok nem érvényesek. Hilbert innovatív megközelítése , amely már nem korlátozza az elemzést egy adott pontra (az egyenlet megoldási függvénye), megnyitja a matematika egy új ágát, amely a múlt században elengedhetetlenné vált: a funkcionális elemzést . A modern fizika mind kvantum formájában, mind relativisztikus formájában széles körben alkalmazza ezt a nézetet a dolgokról.
Ebben a szakaszban E egy vektorteret jelöl egy K mező fölött , és annak végét feltételezett dimenzióját n jelöli .
Van egy első természetes jelölt a redukcióra, ez megfelel a megfelelő alterekre bomlásnak.
A sajátvektor egy nem nulla vektor, amelynek u képe kollináris az eredeti vektorral. A kollinearitás arányát sajátértéknek nevezzük. A λ sajátérték és a nulla vektor sajátvektoraiból álló készletet a λ sajátértékhez társított u sajátértéknek nevezzük .
A megfelelő alterekre bomlás jó tulajdonságokkal rendelkezik:
Az optimális redukcióra keresett tulajdonságok „szinte” kombinálódnak.
Valójában egy további tulajdonság elegendő lenne: az, hogy az igen részterek közvetlen összege legyen a teljes vektortér. Ezután azt mondjuk, hogy u átlósítható. A következő öt tétel egyenértékű:
Ehhez a meghatározáshoz más fontos tulajdonságok is társulnak. Lényegében az endomorfizmus polinomiális megközelítéséből származnak . A karakterisztikus polinomja az u van, véges dimenzióban, egy hatékony eszköz elemzésére endomorfizmusok. Ez a meghatározás szerint a meghatározó az X Id - u . Mivel a determináns akkor és csak akkor tűnik el, ha a társított lineáris térkép magja nem redukálódik nulla vektorra, a polinom gyökerei az endomorfizmus sajátértékei. Az első egyszerű tulajdonság összeköti az átlósíthatóságot és a jellegzetes polinomot:
Elégséges feltétel (a Redukció és a megfelelő altérek szerint , vagy az alábbi szükséges és elégséges feltétel következményeként), de nem szükséges (> 1 dimenzióban a homotetikának egyedi sajátértéke van, míg egyértelműen átlósítható).
Szükséges és elégséges feltétel megfogalmazásához a jellegzetes polinomból két további meghatározás szükséges:
Mindig volt
(a második egyenlőtlenség azonnali, és az elsőt a megfelelő altér alapjának kitöltésével és a jellegzetes polinom blokkokkal történő kiszámításával kapjuk ). A fenti § Átlósítás szerint azonban u akkor és csak akkor lehet átlósítani, ha d λ összege egyenlő n-vel . Következtetjük a szükséges és elégséges feltételt:
A jellegzetes polinom megközelítése első eredményeket kínál, de ennek a polinomnak, valamint az igen alterületek dimenziójának kiszámítása gyakran nehézkes.
A minimális polinomnak ugyanazok az elsődleges tényezői vannak, mint a jellegzetes polinomnak. Specifikuma a következő szükséges és elégséges feltételekben fejeződik ki:
u akkor és csak akkor lehet átlósítható, ha minimális polinomja kettéválik K felett és egyszerű gyökerekkel rendelkezik .
Hiányában, hogy diagonalizable, a endomorphism (vagy a mátrix) van trigonalisable a K akkor és csak akkor, ha a karakterisztikus polinom Split K (vagy ami ezzel egyenértékű, ha a minimális polinom). Ebben az esetben még finomabb módon is „csökkenthetjük” őket.
A minimális polinom felosztásához elegendő, ha a mezőt algebrailag bezárják , mint a komplexek mezőjét. Ha a polinom nincs felosztva, mint a valós számok mezőjében szereplő egyes polinomok, akkor az alábbi „Nem trigonalizálható eset” -t alkalmazzuk .
Dunford bomlásHa a polinom fel van osztva, a Dunford-bontás érvényes:
Ha a minimális polinomja u oszlik majd u összege egy diagonalizable endomorphism és nilpotens endomorphism amely ingázik .
Ebben az összefüggésben a minimális yn polinomot formában írjuk
Az E λ = Ker ( u - λ Id ) n λ magokat az u jellemző E altereinek nevezzük .
A következő négy tulajdonság összefoglalja a Dunford bomlásához kapcsolódó legtöbb tulajdonságot:
Az u csökkentésének folytatásához az E λ minden jellegzetes altéren csökkenteni kell a kapcsolódó nilpotens endomorfizmust.
A nilpotens endomorfizmus esetében az egyedi sajátérték 0, tehát az egyedi saját altér a mag. Következésképpen az egyetlen átlósítható nilpotens endomorfizmus a null endomorfizmus.
A nilpotens endomorfizmusoknak azonban van redukciójuk: azt mondjuk, hogy az E vektor altere ciklikus egy u endomorfizmusra, ha egy ( x , u ( x ), u 2 ( x ), ...) alakú család generálja , és van:
Ha u nilpotens, akkor E az u ciklikus altereinek közvetlen összege .
Jordánia csökkentéseEzeket az altéreket (homotetikusan stabilak), amelyeknek az E λ jellegzetes altere a közvetlen összeg, Jordan altereknek nevezzük.
A Frobenius-bontás a legalkalmasabb, ha a polinom nincs felosztva, és nem akarjuk módosítani a mezőt.
Egy másik lehetséges megközelítés, hogy meghosszabbítja a skalár : az egyik elmerül a test K saját algebrai lezárását K majd K -space E a tenzor termék E = K ⊗ K E . Az E endomorfizmusa ezután egyedülállóan kiterjed E-re . A mátrix nézőpontja akkor előnyös, mivel ugyanazt a mátrixot tartjuk meg a kezdeti endomorfizmushoz vagy annak kiterjesztéséhez: egyszerűen M n ( K ) mátrixnak tekintjük . Abban az esetben, ha K a valós számok mezője, ezt a műveletet komplexitásnak nevezzük .
Az átlósítás gyakran a legjobb megközelítés a konkrét problémákra. A diagonalizable mátrixok pedig sűrű a tér mátrixok komplex együtthatók, pontatlansága a kezdeti adatok azt jelenti, hogy megfelelő mátrixot egy valós probléma mindig diagonalizable.
A statisztikákban az átlósítás lehetővé teszi egy főkomponens-elemzés elvégzését .
A mátrixok redukciója (diagonalizáció vagy Jordan-redukció) lehetővé teszi ennek a mátrixnak és az exponenciális értéknek a kiszámítását . Ezenkívül az exp ( tA ) kiszámítása különösen hasznos lineáris differenciálrendszerek állandó együtthatókkal történő megoldásához .