Háromszög megoldása
A geometria , megoldása egy háromszög áll meghatározására különböző elemeinek egy háromszög ( hosszúságú oldalainak, mérjük a szögek , terület ) bizonyos mások. Történelmileg a háromszögek felbontását motiválták
Ma a háromszögek felbontását továbbra is számos olyan problémában alkalmazzák, amelyek magukban foglalják a háromszögelést ( építészet , kataszteri felmérések , binokuláris látás ) és általánosabban a trigonometriát ( csillagászat , kartográfia ).
Az euklideszi geometriában a háromszög három elemének adatai, beleértve legalább az egyik oldalt, szükségesek és elegendőek a háromszög felbontásához, az egyik esetben a felbontás két megoldást is képes elfogadni. Gömbös vagy hiperbolikus geometriában a három szög adata is elegendő. Az állásfoglalás magában trigonometria , különösen bizonyos klasszikus kapcsolatok a háromszög olyan , mint az Al-Kashi tétel , a szinusztétel a tangenstétel , és összege a szögek .
Történelem
Felbontás esete euklideszi geometriában
Egy háromszög megoldása az euklideszi geometriában számos összefüggést használ a háromszög elemei között. A leggyakrabban használt
bár más kapcsolatok is felhasználhatók a megoldás elérésére.
Az alábbiakban felsoroljuk a különböző eseteket a három szög és a három oldal között ismert három elem szerint. Analitikai képleteket adunk az oldalakra és / vagy ismeretlen szögekre és az S területre . A számszerű meghatározáshoz adaptálni kell őket , mivel önmagukban fontos hibákat adnak a háromszögeknél "csapban", vagyis az egyik oldala kicsi a többihez képest, és a háromszögek "majdnem derékszögűek". », Vagyis az egyik szög körülbelül 90 °.
A három oldal
Olyan háromszöget tekintünk, amelynek három oldala a , b és c ismert. A szögeket Al-Kashi tételéből , a területet ( S ) pedig Heron képletéből vezetjük le :
- α=arccos(b2+vs.2-nál nél22bvs.){\ displaystyle \ alpha = \ arccos \ balra ({\ frac {b ^ {2} + c ^ {2} -a ^ {2}} {2bc}} \ jobbra)}
![\ alpha = \ arccos \ bal ({\ frac {b ^ {2} + c ^ {2} -a ^ {2}} {2bc}} \ jobbra)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e2ac5a61af7051f9985fe9e4fc779ce5e309ce0)
- β=arccos(vs.2+nál nél2-b22vs.nál nél){\ displaystyle \ beta = \ arccos \ balra ({\ frac {c ^ {2} + a ^ {2} -b ^ {2}} {2ca}} \ jobbra)}
![\ beta = \ arccos \ balra ({\ frac {c ^ {2} + a ^ {2} -b ^ {2}} {2ca}} \ jobbra)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a2280075fc56ef3fe8a7f4bd4525443e2cd8a9c)
- γ=arccos(nál nél2+b2-vs.22nál nélb){\ displaystyle \ gamma = \ arccos \ balra ({\ frac {a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2}} {2ab}} \ jobbra)}
![\ gamma = \ arccos \ left ({\ frac {a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2}} {2ab}} \ jobbra)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f694b8cdcf769d3fc5f32c2c52fee55cef5aabae)
- S=o(o-nál nél)(o-b)(o-vs.), val vel o=nál nél+b+vs.2{\ displaystyle S = {\ sqrt {p (pa) (pb) (pc)}}, \, {\ text {with}} \, p = {\ frac {a + b + c} {2}}}
![{\ displaystyle S = {\ sqrt {p (pa) (pb) (pc)}}, \, {\ text {with}} \, p = {\ frac {a + b + c} {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c703c7fb67cf7547eaa59b9d50429ff32bcf2d6)
Az S kifejezésének minden tényezője pozitív, a háromszög egyenlőtlenség alapján .
Egy szög és a két szomszédos oldal
Olyan háromszöget tekintünk, amelynek γ szöge ismert, valamint a két szomszédos a és b oldalt . Az utolsó oldalt Al-Kashi tételének , a két hiányzó szögnek az érintők törvényével és a π kiegészítésével , valamint a területet a kereszt szorzat képletével kapjuk meg :
- vs.=nál nél2+b2-2nál nélbkötözősalátaγ{\ displaystyle c = {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2} -2ab \ cos \ gamma}}}
![c = {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2} -2ab \ cos \ gamma}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee6252334ef0137bc78bb693bfeb00e032742db9)
- α=π2-γ2+arctan(nál nél-bnál nél+bköltségγ2){\ displaystyle \ alpha = {\ frac {\ pi} {2}} - {\ frac {\ gamma} {2}} + \ arctan \ left ({\ frac {ab} {a + b}} \ cot { \ frac {\ gamma} {2}} \ jobbra)}
![\ alpha = {\ frac \ pi 2} - {\ frac \ gamma 2} + \ arctan \ bal ({\ frac {ab} {a + b}} \ cot {\ frac \ gamma 2} \ jobb)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdc221898e41f24f1f6654607aa5510be980a47c)
- β=π2-γ2-arctan(nál nél-bnál nél+bköltségγ2){\ displaystyle \ beta = {\ frac {\ pi} {2}} - {\ frac {\ gamma} {2}} - \ arctan \ left ({\ frac {ab} {a + b}} \ cot { \ frac {\ gamma} {2}} \ jobbra)}
![\ beta = {\ frac \ pi 2} - {\ frac \ gamma 2} - \ arctan \ left ({\ frac {ab} {a + b}} \ cot {\ frac \ gamma 2} \ right)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a464fc8da331d6e0891f5c93de37f7bd452397f4)
- S=12nál nélbbűnγ{\ displaystyle S = {\ frac {1} {2}} ab \ sin \ gamma}
![S = {\ frac 12} ab \ sin \ gamma](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e2d315201a3c9cce95052b74d706fd66763874e)
Szög, az ellentétes és a szomszédos oldal
Olyan háromszöget veszünk figyelembe, amelynél ismert a β szög , valamint ennek a c szögnek a szomszédos és az ellenkező b oldalát . A második szög γ van kapott szinusztétel , az utolsó szög α által kiegészítője tc és az utolsó oldalon a szinusztétel:
- γ=arcsin(vs.bűnβb){\ displaystyle \ gamma = \ arcsin \ bal ({\ frac {c \ sin \ beta} {b}} \ jobb)}
![\ gamma = \ arcsin \ bal ({\ frac {c \ sin \ beta} b} \ jobb)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4885ef7b4c9a1e5e6367d71b4eee3401e8301897)
- α=π-β-arcsin(vs.bűnβb){\ displaystyle \ alpha = \ pi - \ beta - \ arcsin \ bal ({\ frac {c \ sin \ beta} {b}} \ jobb)}
![\ alpha = \ pi - \ beta - \ arcsin \ bal ({\ frac {c \ sin \ beta} b} \ jobb)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c29cf37332e22b22da8ea65ce968f56901c0abc5)
- nál nél=b2-vs.2bűn2β+vs.kötözősalátaβ{\ displaystyle a = {\ sqrt {b ^ {2} -c ^ {2} \ sin ^ {2} \ beta}} + c \ cos \ beta}
![a = {\ sqrt {b ^ {2} -c ^ {2} \ sin ^ {2} \ beta}} + c \ cos \ beta](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b81853b675c3ca770e09a289de8f8a54fccc7296)
- S=12vs.(b2-vs.2bűn2β+vs.kötözősalátaβ)bűnβ{\ displaystyle S = {\ frac {1} {2}} c \ left ({\ sqrt {b ^ {2} -c ^ {2} \ sin ^ {2} \ beta}} + c \ cos \ beta \ right) \ sin \ beta}
![S = {\ frac 12} c \ bal ({\ sqrt {b ^ {2} -c ^ {2} \ sin ^ {2} \ beta}} + c \ cos \ beta \ right) \ sin \ beta](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bc48183ceb35f07af242ef30f4316c4f3113f10)
Ha β akut és b < c , van egy második megoldás:
- γ=π-arcsin(vs.bűnβb){\ displaystyle \ gamma = \ pi - \ arcsin \ bal ({\ frac {c \ sin \ beta} {b}} \ jobb)}
![\ gamma = \ pi - \ arcsin \ bal ({\ frac {c \ sin \ beta} b} \ jobb)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdcb31cbbecd1d2f1a701c051aebdcbc34d26b8e)
- α=-β+arcsin(vs.bűnβb){\ displaystyle \ alpha = - \ beta + \ arcsin \ bal ({\ frac {c \ sin \ beta} {b}} \ jobb)}
![\ alpha = - \ beta + \ arcsin \ bal ({\ frac {c \ sin \ beta} b} \ jobb)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/045fac71eed53916b4c6969e4958c3308d08d8b2)
- nál nél=vs.kötözősalátaβ-b2-vs.2bűn2β{\ displaystyle a = c \ cos \ beta - {\ sqrt {b ^ {2} -c ^ {2} \ sin ^ {2} \ beta}}}
![a = c \ cos \ beta - {\ sqrt {b ^ {2} -c ^ {2} \ sin ^ {2} \ beta}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a283e6437a825416d80f334cd6a5eaf3312739ac)
- S=12vs.(b2-vs.2bűn2β-vs.kötözősalátaβ)bűnβ{\ displaystyle S = {\ frac {1} {2}} c \ left ({\ sqrt {b ^ {2} -c ^ {2} \ sin ^ {2} \ beta}} - c \ cos \ beta \ right) \ sin \ beta}
![S = {\ frac 12} c \ bal ({\ sqrt {b ^ {2} -c ^ {2} \ sin ^ {2} \ beta}} - c \ cos \ beta \ right) \ sin \ beta](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9af7cda0533d0241359ece3a14f736548addf7f)
A felbontás nem minden paraméterértéknél lehetséges. A következő feltételnek teljesülnie kell:
b>vs.bűnβ{\ displaystyle b> c \ sin \ beta \,}![b> c \ sin \ beta \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a38ea7ea11d4350c2daf9124b14f707045c04a94)
.
Két szög és a közös oldal
Olyan háromszöget tekintünk, amelynek egyik c oldala, valamint az a két α és β szög ismert. Az utolsó szöget a π kiegészítésével kapjuk, és a két másik oldalt a szinuszok törvényével :
- nál nél=vs.bűnαbűn(α+β){\ displaystyle a = {\ frac {c \ sin \ alpha} {\ sin (\ alpha + \ beta)}}}
![a = {\ frac {c \ sin \ alpha} {\ sin (\ alpha + \ beta)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed53819e89be8159cb215acde3206d376a9b9b73)
- b=vs.bűnβbűn(α+β){\ displaystyle b = {\ frac {c \ sin \ beta} {\ sin (\ alpha + \ beta)}}}
![b = {\ frac {c \ sin \ beta} {\ sin (\ alpha + \ beta)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bab694837c08be6e49e524e752910c4a2ec5ff6c)
- γ=π-α-β{\ displaystyle \ gamma = \ pi - \ alfa - \ beta \,}
![\ gamma = \ pi - \ alfa - \ beta \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/917eb86bb264e5cb7a36db17f5662e9f65363465)
- S=12vs.2bűnαbűnβbűn(α+β){\ displaystyle S = {\ frac {1} {2}} c ^ {2} \, {\ frac {\ sin \ alpha \ sin \ beta} {\ sin (\ alpha + \ beta)}}}
![S = {\ frac 12} c ^ {2} \, {\ frac {\ sin \ alpha \ sin \ beta} {\ sin (\ alpha + \ beta)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99e0b919fa7d87e354e3962511b6a79a8f06a41a)
Két szög és egy nem mindennapi oldal
Olyan háromszöget tekintünk, amelynek két α és β szöge ismert, valamint egy olyan oldalt, amely nem közös e két szögben a . Az utolsó szöget a π kiegészítésével kapjuk, és a két másik oldalt a szinuszok törvényével :
- b=nál nélbűnβbűnα{\ displaystyle b = {\ frac {a \ sin \ beta} {\ sin \ alpha}}}
![b = {\ frac {a \ sin \ beta} {\ sin \ alpha}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18e79f7f6113b3c3031305df50a0258d1160e0e9)
- vs.=nál nélbűn(α+β)bűnα{\ displaystyle c = {\ frac {a \ sin (\ alpha + \ beta)} {\ sin \ alpha}}}
![c = {\ frac {a \ sin (\ alpha + \ beta)} {\ sin \ alpha}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e890a527a4fd261dbd91c58b869f51a291e79750)
- γ=π-α-β{\ displaystyle \ gamma = \ pi - \ alfa - \ beta \,}
![\ gamma = \ pi - \ alfa - \ beta \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/917eb86bb264e5cb7a36db17f5662e9f65363465)
- S=12nál nél2bűn(α+β)bűnβbűnα{\ displaystyle S = {\ frac {1} {2}} a ^ {2} \, {\ frac {\ sin (\ alpha + \ beta) \ sin \ beta} {\ sin \ alpha}}}
![S = {\ frac 12} a ^ {2} \, {\ frac {\ sin (\ alpha + \ beta) \ sin \ beta} {\ sin \ alpha}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f96784edf50d815a36a90a5b10583e8184131bb9)
Felbontás esete gömb geometriában
A háromszög felbontása a gömb geometriában ( nem euklideszi geometriában ) kissé eltér az euklideszi esettől, mert a szinuszok törvénye nem teszi lehetővé az egyik oldal egyértelmű megszerzését - csak a szinuszát. Ezenkívül egy gömb alakú háromszög, amelynek három szöge ismert, oldható, ellentétben az euklideszi sík háromszögével, és a megoldás egyedülálló.
A gömb alakú háromszög megoldására használt képletek a következők:
A három oldal
Egy háromszögben, amelynek három oldala ismert a , b és c , a szögeket Al-Kashi tétel általánosításával, a területet Huilier tételével kapjuk meg :
-
α=arccos(kötözősalátanál nél-kötözősalátabkötözősalátavs.bűnbbűnvs.){\ displaystyle \ alpha = \ arccos \ bal ({\ frac {\ cos a- \ cos b \ cos c} {\ sin b \ sin c}} \ jobb)}
,
-
β=arccos(kötözősalátab-kötözősalátavs.kötözősalátanál nélbűnvs.bűnnál nél){\ displaystyle \ beta = \ arccos \ bal ({\ frac {\ cos b- \ cos c \ cos a} {\ sin c \ sin a}} \ jobb)}
,
-
γ=arccos(kötözősalátavs.-kötözősalátanál nélkötözősalátabbűnnál nélbűnb){\ displaystyle \ gamma = \ arccos \ bal ({\ frac {\ cos c- \ cos a \ cos b} {\ sin a \ sin b}} \ jobb)}
,
-
E=4arctanCser(o2)Cser(o-nál nél2)Cser(o-b2)Cser(o-vs.2){\ displaystyle E = 4 \ arctan {\ sqrt {\ tan \ left ({\ frac {p} {2}} \ right) \ tan \ left ({\ frac {pa} {2}} \ right) \ tan \ left ({\ frac {pb} {2}} \ right) \ tan \ left ({\ frac {pc} {2}} \ right)}}}
hol .o=12(nál nél+b+vs.){\ displaystyle p = {\ frac {1} {2}} (a + b + c)}![p = {\ frac 12} (a + b + c)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf7dd1082611f3df33b5a1b599aab74f6e4048e7)
Egy szög és a két szomszédos oldal
Egy olyan háromszögben, ahol két a és b oldal és az általuk képzett szög ismert, az utolsó oldalt az általánosított Al-Kashi tétel , a két megmaradt szöget pedig a Napier-analógiák kapják :
-
vs.=arccos(kötözősalátanál nélkötözősalátab+bűnnál nélbűnbkötözősalátaγ){\ displaystyle c = \ arccos \ left (\ cos a \ cos b + \ sin a \ sin b \ cos \ gamma \ right)}
,
-
α=arctan{2bűnnál nélCser(γ/2)bűn(b+nál nél)+költség(γ/2)bűn(b-nál nél)}{\ displaystyle \ alpha = \ arctan \ left \ {{\ frac {2 \ sin a} {\ tan (\ gamma / 2) \ sin (b + a) + \ cot (\ gamma / 2) \ sin (ba )}} \ jobb \}}
,
-
β=arctan{2bűnbCser(γ/2)bűn(nál nél+b)+költség(γ/2)bűn(nál nél-b)}{\ displaystyle \ beta = \ arctan \ left \ {{\ frac {2 \ sin b} {\ tan (\ gamma / 2) \ sin (a + b) + \ cot (\ gamma / 2) \ sin (ab )}} \ jobb \}}
,
-
E=γ+2arctan{költség(γ2)kötözősaláta(12(nál nél-b))kötözősaláta(12(nál nél+b))}-π{\ displaystyle E = \ gamma +2 \ arctan \ bal \ {\ cot \ balra ({\ frac {\ gamma} {2}} \ jobbra) {\ frac {\ cos \ balra ({\ frac {1} { 2}} (ab) \ jobb)} {\ cos \ bal ({\ frac {1} {2}} (a + b) \ jobb)}} \ jobb \} - \ pi}
.
Szög, az ellentétes és a szomszédos oldal
Olyan háromszöget tekintünk, amelynek β szöge , a szomszédos c és a szemközti b oldal ismert. A γ szöget a szinuszok törvénye, a többi elemet pedig Napier analógiái kapják . Csak akkor van megoldás, ha
b>arcsin(bűnvs.bűnβ){\ displaystyle b> \ arcsin (\ sin c \, \ sin \ beta) \,}![b> \ arcsin (\ sin c \, \ sin \ beta) \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/531621a5aef53fb4e6e550aea48cafa3f5be3086)
.
Így
-
γ=arcsin(bűnvs.bűnβbűnb){\ displaystyle \ gamma = \ arcsin \ bal ({\ frac {\ sin c \, \ sin \ beta} {\ sin b}} \ jobb)}
,
-
nál nél=2arctan{Cser(12(b-vs.))bűn(12(β+γ))bűn(12(β-γ))}{\ displaystyle a = 2 \ arctan \ left \ {\ tan \ left ({\ frac {1} {2}} (bc) \ right) {\ frac {\ sin \ left ({\ frac {1} {2 }} (\ beta + \ gamma) \ jobb)} {\ sin \ bal ({\ frac {1} {2}} (\ beta - \ gamma) \ jobb)}} \ jobb \}}
,
-
α=2arccot{Cser(12(β-γ))bűn(12(b+vs.))bűn(12(b-vs.))}{\ displaystyle \ alpha = 2 \ operátornév {arccot} \ bal \ {\ tan \ bal ({\ frac {1} {2}} (\ beta - \ gamma) \ jobb) {\ frac {\ sin \ left ( {\ frac {1} {2}} (b + c) \ jobb)} {\ sin \ bal ({\ frac {1} {2}} (bc) \ jobb)}} \ jobb \}}
.
- E=α+β+γ-π{\ displaystyle E = \ alpha + \ beta + \ gamma - \ pi \,}
![E = \ alpha + \ beta + \ gamma - \ pi \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e7856cbc7e4c9f0781ef6a5ecfcbec0e5e20163)
Más megoldás létezik, ha b > c és γ akut:
-
γ=π-arcsin(bűnvs.bűnβbűnb){\ displaystyle \ gamma = \ pi - \ arcsin \ bal ({\ frac {\ sin c \, \ sin \ beta} {\ sin b}} \ jobb)}
stb.
Két szög és a közös oldal
Egy olyan háromszögben, ahol két α és β szög ismert, valamint a c szögek közös oldala , az utolsó szöget al-Kashi képletével, az utolsó két oldalt pedig Napier analógiáival kapjuk meg. A hiányzó szög és oldalak képletei úgy néznek ki, mint a kiegészítő megoldási eset esetében ( egy szög és a két ismert szomszédos oldal ):
-
γ=arccos(bűnαbűnβkötözősalátavs.-kötözősalátaαkötözősalátaβ){\ displaystyle \ gamma = \ arccos (\ sin \ alfa \ sin \ beta \ cos c- \ cos \ alfa \ cos \ beta) \,}
,
-
nál nél=arctan{2bűnαköltség(vs./2)bűn(β+α)+Cser(vs./2)bűn(β-α)}{\ displaystyle a = \ arctan \ left \ {{\ frac {2 \ sin \ alpha} {\ cot (c / 2) \ sin (\ beta + \ alpha) + \ tan (c / 2) \ sin (\ béta - \ alpha)}} jobb \}}
,
-
b=arctan{2bűnβköltség(vs./2)bűn(α+β)+Cser(vs./2)bűn(α-β)}{\ displaystyle b = \ arctan \ left \ {{\ frac {2 \ sin \ beta} {\ cot (c / 2) \ sin (\ alpha + \ beta) + \ tan (c / 2) \ sin (\ alfa - \ béta)}} \ jobb \}}
,
-
E=α+β+arccos(bűnαbűnβkötözősalátavs.-kötözősalátaαkötözősalátaβ)-π{\ displaystyle E = \ alpha + \ beta + \ arccos (\ sin \ alpha \ sin \ beta \ cos c- \ cos \ alpha \ cos \ beta) - \ pi \,}
.
Két szög és egy nem mindennapi oldal
Úgy véljük, egy háromszög, amelyben két szög a- és β ismert, valamint egy ellentétes oldalán egy ilyen szögek egy . A b oldalt a szinuszok törvénye, a többi elemet pedig a Napier-analógiák találják meg . Vegye figyelembe az alábbi egyenletek és a kiegészítő felbontási eset közötti hasonlóságot ( szög, ellentétes és szomszédos oldal ):
-
b=arcsin(bűnnál nélbűnβbűnα){\ displaystyle b = \ arcsin \ bal ({\ frac {\ sin a \, \ sin \ beta} {\ sin \ alpha}} \ jobb)}
,
-
vs.=2arctan{Cser(12(nál nél-b))bűn(12(α+β))bűn(12(α-β))}{\ displaystyle c = 2 \ arctan \ left \ {\ tan \ left ({\ frac {1} {2}} (ab) \ right) {\ frac {\ sin \ left ({\ frac {1} {2 }} (\ alpha + \ beta) \ right)} {\ sin \ left ({\ frac {1} {2}} (\ alpha - \ beta) \ right)}} \ right \}}
,
-
γ=2arccot{Cser(12(α-β))bűn(12(nál nél+b))bűn(12(nál nél-b))}{\ displaystyle \ gamma = 2 \ kezelőnév {arccot} \ left \ {\ tan \ left ({\ frac {1} {2}} (\ alpha - \ beta) \ right) {\ frac {\ sin \ left ( {\ frac {1} {2}} (a + b) \ jobb)} {\ sin \ bal ({\ frac {1} {2}} (ab) \ jobb)}} \ jobb \}}
,
-
E=α+β+γ-π{\ displaystyle E = \ alpha + \ beta + \ gamma - \ pi \,}
.
Ha a akut és α > β , van egy másik megoldás:
-
b=π-arcsin(bűnnál nélbűnβbűnα){\ displaystyle b = \ pi - \ arcsin \ bal ({\ frac {\ sin a \, \ sin \ beta} {\ sin \ alpha}} \ jobb)}
stb.
A három szög
Abban az esetben, ha a három szög ismert, az oldalakat Al-Kashi szögekre vonatkozó tételének egy változatával kapjuk meg . Az oldalakat tartalmazó képletek hasonlóak a kiegészítő felbontási esethez ( a három ismert oldal ):
-
nál nél=arccos(kötözősalátaα+kötözősalátaβkötözősalátaγbűnβbűnγ){\ displaystyle a = \ arccos \ left ({\ frac {\ cos \ alpha + \ cos \ beta \ cos \ gamma} {\ sin \ beta \ sin \ gamma}} \ jobb)}
,
-
b=arccos(kötözősalátaβ+kötözősalátaγkötözősalátaαbűnγbűnα){\ displaystyle b = \ arccos \ left ({\ frac {\ cos \ beta + \ cos \ gamma \ cos \ alfa} {\ sin \ gamma \ sin \ alpha}} \ jobb)}
,
-
vs.=arccos(kötözősalátaγ+kötözősalátaαkötözősalátaβbűnαbűnβ){\ displaystyle c = \ arccos \ left ({\ frac {\ cos \ gamma + \ cos \ alfa \ cos \ beta} {\ sin \ alpha \ sin \ beta}} \ jobb)}
.
- E=α+β+γ-π{\ displaystyle E = \ alpha + \ beta + \ gamma - \ pi \,}
![E = \ alpha + \ beta + \ gamma - \ pi \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e7856cbc7e4c9f0781ef6a5ecfcbec0e5e20163)
Alkalmazási példák
Háromszögelés
Az 1. ábra szemlélteti a hajó távolságának háromszögeléssel történő meghatározásának módszerét: két olyan ponttól, amelyek l távolsága ismert , megmérik annak irányát, függetlenül attól, hogy az iránytű segítségével azimut- e , vagy pedig az α és β szögeket a vonalat összekötő vonallal. két pont. Az elvégzett mérések alapján grafikusan levezethető a távolság, ha az ismert elemeket megfelelő skálán ábrázoljuk egy grafikonon. Analitikai képlet is megtalálható a háromszög megoldásával , amelynek két szögét és közös oldalát ismerjük :
d=bűnαbűnβbűn(α+β)l=CserαCserβCserα+Cserβl{\ displaystyle d = {\ frac {\ sin \ alfa \, \ sin \ beta} {\ sin (\ alpha + \ beta)}}, l = {\ frac {\ tan \ alfa \, \ tan \ beta } {\ tan \ alpha + \ tan \ beta}} \, l}![d = {\ frac {\ sin \ alpha \, \ sin \ beta} {\ sin (\ alpha + \ beta)}} \, l = {\ frac {\ tan \ alfa \, \ tan \ beta} {\ tan \ alpha + \ tan \ beta}} \, l](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11502576e5c0f4577962344d4ca1bd071d82e720)
.
A parti hajózásban egy változatot használnak : a szögeket a hajóról nézve a tereptárgyak (a szárazföldi referenciapontok) azimutjaival becsüljük meg.
Egy másik lehetőség a mérési magasságának h egy hegy vagy hegyi egy völgyben mérve annak szögletes magassága α és β két pontján ismert távolság l . A szemközti 2. ábra egy egyszerűsített esetet mutat be, amelyben a mérési pontok és a tetejének a talajra vetített vetülete egybeesik. A hegy magassága grafikusan vagy analitikusan meghatározható a háromszög megoldásával ( a fentiekkel megegyező eset ):
h=bűnαbűnβbűn(β-α)l=CserαCserβCserβ-Cserαl{\ displaystyle h = {\ frac {\ sin \ alfa \, \ sin \ beta} {\ sin (\ beta - \ alpha)}}, l = {\ frac {\ tan \ alfa \, \ tan \ beta } {\ tan \ beta - \ tan \ alpha}} \, l}![h = {\ frac {\ sin \ alpha \, \ sin \ beta} {\ sin (\ beta - \ alpha)}}, l = {\ frac {\ tan \ alfa \, \ tan \ beta} {\ tan \ béta - \ tan \ alfa}} \, l](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4cf095c1094fdfd9f35e2eec81d89aee2ff93ed)
.
A gyakorlatban a felbontási módszer némi nehézséggel szembesül: a talaj nem feltétlenül sík, ami megköveteli a két pont közötti lejtés becslését; a valódi csúcs nem feltétlenül figyelhető meg a síkságról, és a legmagasabb pont, mivel a megfigyelt pontok a tangenciális hatás függvényében változnak a két megfigyelési pont között; a dombormű különböző elemeit lépésről lépésre kell háromszögbe állítani a mérési hibákat felhalmozó bordáktól. Így a műholdas térképezés néhány méterrel módosította egyes csúcsok hagyományos becsült értékeit. Mindezen nehézségek ellenére a XIX th században , Friedrich Georg Wilhelm von Struve építette a Struve földmérő vonal , a lánc felmérés markerek Európában körülbelül 2800 km- Norvégiából a Fekete-tenger és a cél az volt, hogy az intézkedés a mérete és alakja a föld: 1853-ban a tudós a föld meridiánjának ívét 188 m pontossággal (2 × 10 -5 ) és a föld lapítását 1% pontossággal megmérte.
A földgömb két pontja közötti távolság
Vegyük figyelembe a megfelelő λ A és λ B szélesség A és B földgömbjének két pontját , valamint az L A és L B hosszúságokat . Távolságuk meghatározásához az ABC háromszöget vesszük figyelembe, ahol C az északi pólus. Ebben a háromszögben ismertek:
- nál nél=90∘-λB{\ displaystyle a = 90 ^ {\ circ} - \ lambda _ {\ mathrm {B}} \,}
![{\ displaystyle a = 90 ^ {\ circ} - \ lambda _ {\ mathrm {B}} \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53510ea41541b0c2b9772a8e51e5328ad683ef56)
- b=90∘-λNÁL NÉL{\ displaystyle b = 90 ^ {\ circ} - \ lambda _ {\ mathrm {A}} \,}
![{\ displaystyle b = 90 ^ {\ circ} - \ lambda _ {\ mathrm {A}} \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1db0fce6fdd1f5f4dc815ae11203f1361fe244f3)
- γ=LNÁL NÉL-LB{\ displaystyle \ gamma = L _ {\ mathrm {A}} -L _ {\ mathrm {B}} \,}
![\ gamma = L _ {{\ mathrm {A}}} - L _ {{\ mathrm {B}}} \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b8ae3047aac8652c5bc13a976f574cc4b96b6fb)
A háromszög felbontása abban az esetben, ha egy szög és a két szomszédos oldal ismert, lehetővé teszi ennek megállapítását
NÁL NÉLB=Rarccos{bűnλNÁL NÉLbűnλB+kötözősalátaλNÁL NÉLkötözősalátaλBkötözősaláta(LNÁL NÉL-LB)}{\ displaystyle \ mathrm {AB} = R \ arccos \ left \ {\ sin \ lambda _ {\ mathrm {A}} \, \ sin \ lambda _ {\ mathrm {B}} + \ cos \ lambda _ {\ mathrm {A}} \, \ cos \ lambda _ {\ mathrm {B}} \, \ cos \ bal (L _ {\ mathrm {A}} -L _ {\ mathrm {B}} \ jobb) \ jobb \}}![{\ mathrm {AB}} = R \ arccos \ bal \ {\ sin \ lambda _ {{\ mathrm {A}}} \, \ sin \ lambda _ {{\ mathrm {B}}} + \ cos \ lambda _ {{\ mathrm {A}}} \, \ cos \ lambda _ {{\ mathrm {B}}} \, \ cos \ balra (L _ {{\ mathrm {A}}} - L _ {{\ mathrm {B}}} \ right) \ right \}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d2d3ff69dd1ebe880cb52a4a0f783307e90991c)
,
ahol R jelentése a sugara a Föld . Koordinátákat át kell alakítani radiánban a numerikus alkalmazás , kivéve, ha a számológép elfogadja fok trigonometrikus függvények .
Megjegyzések és hivatkozások
-
Valóban, amint arra Boscovich atya emlékeztet : „a három oldalt nem a három szög határozza meg, mert az összegük mindig egyenlő két derékszöggel, a három szög meghatározása nem ad mást, mint a csak kettő meghatározása” (Opera Pertinentia ad Opticam and Astronomiam, 4. kötet, 1785, 316. o. )
-
(a) JR Smith, A Struve geodéziai Arc
Lásd is
Kapcsolódó cikkek
Külső linkek
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">