Felhívjuk gyökér a valós vagy komplex polinom egy gyökere polinom P ( X ) egyetlen változó, amelynek együttható valós vagy komplex , azaz egy számot α, valós vagy komplex, megfelelő P (α) = 0. más szavakkal: egy valós vagy komplex polinom gyöke egy olyan polinomiális egyenlet megoldása, amelynek együtthatóit ℝ vagy taken-ből vesszük.
Az első fokú , a második fokú , a 3. és a 4. fokú polinomok gyökereit a szokásos négy művelet és az n- edik gyök segítségével fejezzük ki . Az Abel-Ruffini-tétel szerint ez kivételes esetek kivételével nem általánosít magasabb fokokra . A mértéke 5 általános Hermite oldatot magában elliptikus függvények . A magasabb fokú egyenleteknél, néhány speciális eset kivételével, csak a numerikus számítás marad meg , ami a legkisebb fokok esetén is hasznos. Ekkor felmerülnek az egyenletek megoldásának, a megoldások becslésének, a megoldások előjelének meghatározásának, az algoritmusok megoldásának és az összes kapcsolódó problémának a problémája.
A XIX . Században és a XX . Század első felében ezeket a problémákat gyakran az "egyenletek elmélete" vagy az "algebrai egyenletek elmélete" kifejezés alá csoportosították, mások mellett, például a rendszerek lineáris egyenleteinek felbontásával kapcsolatos problémák mellett. , vagy a felbontás radikálisok általi elemzése Galois-elmélettel .
A megoldás kiszámításához ismert algoritmusok többsége a keresett megoldáshoz közeli primeren alapul. Felmerül tehát a kérdés egy olyan régió meghatározása, ahol a megoldások megtalálhatók.
Gyakran nem kell pontosan megismerni a megoldásokat. Ezeknek a megoldásoknak a becslése elegendő, vagy csak a megoldások száma vagy előjele, ha ez nem egyszerű felső határ .
A cikk célja áttekintést adni e megoldások becslésének ötletes módszereiről, amelyeket olykor már régóta felfedeztek.
A következőkben a figyelembe vett polinomokat kibővített formában adjuk meg a képlet szerint .
Az együttható a z változó k- edik hatványának együtthatója .
A P polinom mértéke megegyezik a legmagasabb rangú nulla nélküli együtthatóval .
Ha a figyelembe vett változó valós, akkor x-et írunk .
A P gyökét bármilyen értéknek nevezzük , valósnak vagy komplexnek, így
Az elmélet első tárgya az együtthatók és a polinom gyökei közötti kapcsolatok vizsgálata. Látni fogjuk, hogy az együtthatók és a gyökerek közötti kapcsolatok egyre bonyolultabbak, ahogy a polinom mértéke növekszik. Első fokon elemi, a másodikban ésszerű, a gyökerek kifejezése az együtthatók függvényében a harmadik és a negyedik fokozattal nehezebbé válik, az ötödik fokozatban nagyon összetett és azon túl kibonthatatlan.
Az első fokú polinom a gyökérre vonatkozik .
A másodfokú polinom két összetett gyököt ismer be a képletek alapján:
ahol és a komplex számok halmazában elvégzendő osztások és négyzetgyök.
Ebben a részben egy komplex együtthatójú polinomot tekintünk, amelynek összetett gyökereit keressük. Szerint a d'Alembert-Gauss-tétel :
Bármely komplex együtthatójú n fokú polinom az első fokú n tag szorzatává bomlik, bemutatva a komplex gyökereket .
Számos bizonyíték létezik, amelyek közül egy nagyon rövid a Liomville-tétel által adott holomorf funkciók tulajdonságát használja (lásd a dedikált cikket ).
D'Alembert-Gauss tételének Liouville-tétel általi igazolása azonban nem nyújt információt a bonyolult gyökerek helyzetéről. A második módszert Rouché tétele adja :
Legyen f és g két holomorf függvény zárt γ kontúrban, amely nem fedi egymást, és olyan, amely bármely γ z pontra vonatkozik . Tehát, belső γ , f és g azonos nullák száma (számított azok multiplicitásukkal).
Különösen a következő tételt vezetjük le, pontosabb, mint az Alembert-Gauss tétel:
Legyen P normalizált n fokú polinom ( z n együttható 1), A pedig a többi P együttható maximális modulusa . Ekkor P- nek pontosan n gyöke van (szorzataikkal számolva) a 0 központú és 1 + A sugarú körön belül .
DemonstrációA bizonyítás abból áll, hogy Rouché tételét alkalmazzuk P-re és a z n polinomra, amely 0-t ismeri el az n multiplicitás gyökerének . A körön | z | = 1 + A , megvan:
, ezért az eredmény.Következmény :
Hadd P legyen a polinom foka n írásbeli
és legyen a két szám
.P gyökerei a koronában vannak
.Az együtthatók és a gyökerek közötti kapcsolat nagyon bonyolult. Ezért arra kell számítanunk, hogy erősebb hipotézisekkel érdekes eredményeket érünk el. Ez a következő tétel, Kakeya miatt, és egy sajátos következmény, amelyet 1893-ban adott Eneström (de) .
Legyen egy polinom, valódi együtthatóval, amely . Ekkor a komplex gyökerek az egységlemezen kívül vannak.
A Rouché tételével kapott becsléshez hasonlóan, de az előbbinél korábban ez a tétel kapcsolatot hoz létre a komplex együtthatójú polinomok és a valós együtthatójú polinomok között.
Hadd P legyen a polinom foka n írásbeli
és Q a hozzá tartozó polinom
Legyen r a Q ( z ) = 0 egyenlet egyedi pozitív gyöke . Ekkor P összes gyökének modulusai kisebbek vagy egyenlőek, mint r.
Ez a tétel maga is Lagrange becslésének bonyolult változata, az eredményt valós esetben adják meg ( lásd alább ).
Míg a Cauchy-tétel csak egy felső határt ad meg, a következő tétel megadja a megfelelő alsó határt, miközben javítja a Cauchy-eredményt.
Mivel Cauchy-tétel és használata tétel Grace (en) , Cohn kezdetben megmutatta legalább az egyik a gyökerek a P nagyobb volt, mint a modul . Ezt az eredményt Berwald (de) javította .
Cauchy-tétel jelöléseiben hagyjuk P. komplex gyökereit. Megvan az egyenlőtlenség
Ebben a részben egy valós együtthatójú P polinomot tekintünk, amelynek valódi gyökereit keressük. A d'Alembert-Gauss tétel következménye, hogy bármely valós fokú n fokú polinom felírható valódi együtthatókkal rendelkező legfeljebb két fokos polinomok szorzataként, a másodfokú tényezőknek nincs valódi gyökere.
Ha tudjuk, hogy két valós szám egy és b olyan, hogy és úgy, hogy akkor létezik (legalább) egy gyökér c a származtatott polinom P ' :
Ez a tétel a P és a P ' gyökerek elválasztásának tétele . A P két gyöke között mindig van legalább egy P ' gyök .
Ha P ( a ) és P ( b ) nem ugyanaz az előjele, létezik legalább egy valós gyöke c között egy és b .
" Legyen P (x) egy valós együtthatójú polinom, hogy a legmagasabb hatványokhoz tartozó k együtthatók pozitívak vagy nullaak legyenek, és ha G-t a negatív együtthatók közül az abszolút értékben a legnagyobbnak és a legmagasabb fokú tag együtthatójának nevezzük, akkor a valódi gyökerek, ha vannak, kisebbek vagy egyenlőek
" DemonstrációPozitív valós x-nek tekintjük .
P ( x ) ekkor nagyobb vagy egyenlőegy geometriai sorozat összegéből. Azáltal, hogy ugyanarra a nevezőre redukáljuk, megvan Most, ha x > 1, akkor Tehát, ha nekünk van és ezért P ( x )> 0. Ezért ha létezik , az egyenlet gyöke szükségszerűen kisebb, mintEz a szabály nagyon megkönnyíti a negatív gyökök alsó határának megtalálását a szabály P (- x ) -re való alkalmazásával , feltéve, hogy vannak ilyenek.
A szabályt a P (1 / x ) számlálójára alkalmazva, miután ugyanazon nevezőre redukált, keressen egy becslést a legkisebb pozitív gyökről, ha létezik .
Megjegyzés: Cauchy tétele nem más, mint a Lagrange-becslés komplex esetéhez való alkalmazkodás.
Példa:Bármelyiket . Megpróbáljuk keretbe foglalni a pozitív és negatív gyökereket.
A Lagrange-növekedés alkalmazása és G = 2 . Másrészt k = 3 . Tehát a pozitív gyökerek kevesebbek, mint . Számítsuk ki a P (1 / x ) értéket. Megállapítottuk, hogy a számláló azEzért , G = 2 és k = 3 . A legkisebb pozitív gyök, ha van ilyen, nagyobb, mint .Nézzük megbecsülni a negatív gyökerek azonos módon: tehát , G = 3 és k = 1 . Ezért megvan, hogy a negatív gyökerek mind nagyobbak, mint –1 - 3 = –4 .
Ezért , G = 3 és k = 1 . Bármely negatív gyök kevesebb, mint –1 / (1 + 3/2) = –2/5 .
A numerikus számítás két gyököt ad, kb. –2,7 és –1,2, és nincs pozitív gyökér .
Ezt a szabályt René Descartes adta La Géométrie (1637) című művének III. Könyvében . Célja egy valós együtthatójú polinom pozitív és negatív gyökeinek meghatározása.
Descartes így fejezi ki magát , ahol az „igazi” gyökerek a pozitívak, míg a „hamis” gyökerek a negatívak:
„Ebből is tudjuk, hány igaz gyökér lehet és hány hamis gyökér az egyes egyenletekben: nevezetesen annyi igaz gyökér lehet, ahány + és - jelet meg kell változtatni, és ahány hamisat, hogy vannak kétszer két jel + vagy két jel - amelyek követik egymást. "
Feltételezzük, hogy az egy változóval és valós együtthatóval rendelkező polinomot a kitevők csökkenő sorrendjében rendezik.
Ekkor a polinom pozitív gyökeinek száma megegyezik a jelek változásainak számával két nem nulla együttható között, amelyet valószínűleg 2-szeres szorzóval lehet csökkenteni (figyelembe véve a konjugátum-komplex gyökereket, amelyeket nem számolunk), mindegyik pozitív gyök sokasága szerint számolva.
Az x változó (- x ) -re változtatásával a szabály lehetővé teszi a negatív gyökök számának megállapítását 2-szeresére, mivel a pozitív és a negatív gyököket az átalakítással permutáltuk.
Nyilvánvaló, hogy ha a polinom csak valódi gyökereket ismer be, akkor Descartes-szabály megadja a pozitív gyökerek pontos számát.
Ugyanígy meg lehet határozni Descartes szabálya alapján, hogy a polinomban xc - vé átalakult x változó változásával hány valós gyök nagyobb, mint egy adott c érték .
Ha átalakítjuk x- ből - x-t , akkor megvan , ami két jelváltozást ad. Tehát 2 vagy 0 negatív gyök van.
Itt nemcsak a valós együtthatójú polinomokat vesszük figyelembe, hanem a valós hatványokkal rendelkező polinomokra hasonlító kifejezéseket is.
Egy 1883-ban megjelent cikkében Edmond Laguerre igazolja Descartes uralmát Rolle tételéből, és ez a bizonyíték lehetővé teszi arra a következtetésre, hogy Descartes jelszabálya akkor is érvényes, ha a kitevők nem egészek és valós számok, ami az első Descartes-szabály általánosítása.
Ezután ugyanabban a cikkben ( 106. o. ) Laguerre megpróbálja növelni Descartes szabályát:
Laguerre tétele : Az x növekvő hatványai szerint rendezett „polinomot” figyelembe véve a kitevők bármilyenek lehetnek, de valósak.
A számos pozitív gyökerei az egyenlet , amelyek kevesebb, mint egy mennyiség A növeljük száma változói a „szekvencia” . És ha ez a két szám eltér, akkor a különbség páros szám.
Ez a javaslat akkor is fennmarad, ha a kifejezések száma korlátozott, feltéve, hogy az ezekből a kifejezésekből álló sorozat konvergens x = A esetén .
Érdekes speciális esetet kapunk az A = 1 felvételével.
Példák
akár digitálisan
Ezért három váltakozás létezik (+ -; - +; + -), ezért legfeljebb három pozitív gyökér. Vagy egy vagy három pozitív gyökér. Grafikusan ellenőrizzük, hogy csak 0,473661675 körül van-e.
Schur tétele közvetlenül megadja a pozitív gyökerek számának felső határát.
Schur tétele :
„Ha valódi együtthatókkal rendelkező polinom m pozitív valós gyökeket ismer be, akkor "Egy konkrét eset a következő tétel, Laguerre miatt:
"Ha n fokú egység polinom, amelynek valódi gyöke van, akkor ezek a gyökerek mind abban az intervallumban vannak [a, b], ahol a és b a polinom gyökerei "
Newton bizonyíték nélkül megadta az Arithmetica Universalis számában az egyenlet valódi gyökereinek számának növekedését, amelyet sok matematikus hiába igyekezett bemutatni, többek között MacLaurin, Waring és Euler. Végül 1865-ben Sylvester demonstrálta ezt.
A Gerschgorin-tételt gyakran használják a polinomok gyökereinek becslésére egy mátrix segítségével.
Gershgorin tétele :
„ Legyen A komplex együttható mátrix . Legyen a vonal nem átlós együtthatóinak modulusainak összege . Ezután az A sajátértékei bekerülnek az által definiált lemezek egyesítésébe
Ugyanaz a tétel oszlopokon játszódik le. "
Ostrowski tétele
„ Legyen P a polinom foka n formájában oly módon, hogy
P összes gyöke a 0 középpontú és (1 + √ 5 ) / 2 sugarú korongban található . "
Megjegyzés: legyen óvatos, a (z) együttható nulla.