A matematika és pontosabban algebra , Abel-tétel , néha Abel-Ruffini tétel vagy Ruffini tétel , azt jelzi, hogy bármely egész szám n nagyobb vagy egyenlő, mint 5, akkor nem lehet általános képletű expresszáló "által gyökök„a gyökerek a bármely polinom a n fok , vagyis a képlet, amely csak az együtthatókat, az 1. értéket, a négy műveletet és az n- edik gyök kinyerését használja . Ez ellentétben áll fok 2 , 3 és 4 , melyek az ilyen általános képletekben léteznek, a legjobb ismert az, hogy a mértéke 2, amely kifejezi a megoldásokat az ax 2 + bx + c = 0 formájában ( - b ± √ b 2 - 4 ac ) / 2 a .
Ezt az eredményt először Paolo Ruffini fejezi ki , majd Niels Henrik Abel szigorúan bemutatja . Évariste Galois egy későbbi tétele szükséges és elégséges feltételt ad ahhoz, hogy a polinomegyenlet gyökök által oldható legyen. Ez pontosabb változata lehetővé teszi, hogy mutatnak egyenletek mértéke 5 , azzal egész együtthatók , amelynek komplex gyökerek - amelyek léteznek szerinti d'Alembert-Gauss-tétel - nem fejezi ki gyökök.
Az ebben a cikkben figyelembe vett összes mező feltételezhetően kommutatív és nulla karakterisztikájú .
Abel tétele és d'Alembert-Gauss tétele az egyenletelmélet két alaptétele , vagyis az az elmélet, amely polinom vagy ekvivalens egyenletekkel foglalkozik . Egy egyenlet akkor mondható polinomnak, ha P ( x ) = 0 alakú , ahol P jelentése polinom. A d'Alembert-Gauss tétel azt jelzi, hogy a komplex együtthatójú polinomegyenletnek legalább egy összetett gyöke van.
A numerikus módszerek, például Newton vagy Laguerre módszere az egyenlet mértékétől függetlenül alkalmazhatók. Ha n , a polinom foka kicsi, úgynevezett algebrai módszerek is léteznek az egyenlet megoldására. Tehát, ha n egyenlő 2-vel, és ha P-t írunk aX 2 + bX + c , a megoldásokat a klasszikus ( - b ± √ b 2 - 4 ac ) / 2 a képlet adja meg , ahol b 2 - 4 ac a diszkriminánsa a polinom; azt mondjuk, hogy √ b 2 - 4 ac egy gyök . Hasonló (de bonyolultabb) képletek léteznek a 3. vagy 4. fokú polinomok esetében, amint azt Cardan és Ferrari módszerei mutatják .
De szigorúan 4-nél nagyobb fokozatoknál, és több évszázados erőfeszítés ellenére sem találtak a 2., 3. és 4. fokhoz hasonló általános képletet. Ábel tétele kifejezi azt a tényt, hogy nincs ilyen formula. A gyökerek kifejezésének egyik módszere azonban az n- edik gyökerekénél nagyobb funkciós család , például az elliptikus függvények használata ; de az így kapott formuláknak csak elméleti érdekük van; a gyakorlatban sokkal érdekesebb megközelítő értékeket szerezni például Newton módszerével .
Ábel 1824-es emlékiratában a következő kifejezést használja:
Ábel tétele - Az ötödik fok általános egyenletét radikálisokkal lehetetlen megoldani.
Ábel hozzáteszi, hogy „Ebből a tételből következik, hogy az ötödiknél nagyobb fokú általános egyenleteket radikálisokkal sem lehet megoldani. "
Évariste Galois a tétel teljesebb formájának a szerzője. Módszere az, amelyet általában a tétel bizonyítására használnak. Ez a megfogalmazás a Galois- tétel vagy az Abel-Galois-tétel nevét veszi fel, néha nincs megadva név. Megfogalmazása általánosabb, mert bármely K mezőre vonatkozik (kommutatív és nulla karakterisztikájú, amint azt a bevezetőben közöltük), és jelzi, hogy egy algebrai egyenlet megoldható-e gyökök által, vagy sem.
Galois tétel - egy polinom egyenlet együtthatók K jelentése megoldható csoport, ha, és csak akkor, ha a Galois -csoport jelentése megoldható .
Hagyja K test és L egy kiterjesztése a K .
A kifejezés Galois " tétel fenti célokra fogalmak származó elméletét . A hasító területén L a P jelenti a legkisebb tartalmazó mezőt K és az összes gyökereit P . Ezért egy véges kiterjesztése és normális , hogy K . A feltételezést, hogy a K jelentése nulla jellemző biztosítja többek között, hogy ez tökéletes , ez azt jelenti, hogy minden irreducibilis polinom együtthatók a K van az egyszerű gyökerek . Ezért a K L kiterjesztése is elválasztható . Összefoglalva: L egy Galois kiterjesztés véges K .
A legfontosabb struktúra, hogy tanulmányozza az ilyen kiterjesztés a Galois-csoport : a csoport a test automorfizmusainak az L rögzítő minden elem K . Bizonyítjuk, hogy egy véges Galois-kiterjesztés Galois-csoportjának sorrendje megegyezik a kiterjesztés mértékével (nem tévesztendő össze a K L kiterjesztése esetén a P polinom fokával ).
A tétel központi fogalma egy megoldható csoporté . Az oldható csoportok első példái az abeli csoportok . A következő példák a G csoportok, amelyeknek a G / G 1 vagy abeli hányadosaként a normál abeli G 1 alcsoportja van . Általános esetben:
Egy csoport G azt mondják, hogy megoldható , ha létezik egy véges szekvencia G 0 , G 1 , ..., G k a alcsoportok G olyan, hogy:
ahol G i , 0 és k - 1 közötti összes i esetén a G i +1 normális alcsoportja, így a G i +1 / G i hányadoscsoport abeli. Az I. csoport itt a triviális csoportot jelöli .
Az egyenletek elméletének áttekintése, különös tekintettel Abel tételére, az „ Egyenletelmélet (tudománytörténet) ” cikkben található .
Ha az első szisztematikus vizsgálata algebrai egyenletek visszamegy a VIII th században , a The tömör Book számítás elvégzésével és Kiegyensúlyozó az iráni matematikus arab Al-Khwarizmi , az ötlet egyesíti egy csoport szerkezete egyenlet csak akkor jelenik meg XVIII th században . Joseph-Louis Lagrange kiemeli a gyökérmutációk csoportjának tulajdonságai és a köbös vagy kvartikus egyenlet megoldásának lehetőségét . Ha ezekben a munkákban meg lehet tekinteni a permutációk ezen a területen való használatának eredetét, másrészt sem az összetétel törvényét, sem a permutációk halmazát nem használják megfelelő szerkezetként. Megközelítése azonban elegendő ahhoz, hogy komoly kétségeket merítsen bármely n fokú polinom gyökereit kifejező képlet létezésében , ha n szigorúan nagyobb, mint 4.
Paolo Ruffini elsőként megerősíti, hogy az általános egyenlet és különösen a kvintikus egyenlet nem enged megoldást. Ismét Lagrange megközelítését veszi figyelembe, amely azt mutatja, hogy az összes eddig alkalmazott módszer visszatér egy általánosabb megközelítés egyes eseteire. Ruffini kimutatta, hogy Lagrange-módszer az 5. fokozat egyenletéhez nem adhat meg olyan képletet, amely egyenértékű a 3. fokú Cardanéval. 1799-ben könyvet adott ki erről a kérdésről.
Az akkori tudományos közösség nem ismerte el munkáját. 1801-ben elküldte könyvét Lagrange-nak, de nem kapott választ. A Tudományos Akadémiának szóló hivatalos bemutató már nem sikeres. Lagrange , Legendre és Lacroix matematikusok felelnek bizonyításának érvényességének értékeléséért. A jelentés munkáját lényegtelennek minősíti, demonstrációja hiányos, semmi nem utal arra, hogy nem léteznének más módszerek, amelyek eltérnének Lagrange-tól és ezért az eddig találtaktól, és amelyek lehetővé tennék a radikális megoldást. Az Angol Királyi Társaság új kísérlete szimpatikusabb választ kap: ha egy ilyen munka nem tartozik a hatáskörébe, úgy tűnik, hogy az eredmények nem tartalmaznak hibát. Két másik publikáció 1803-ban és 1808-ban alig volt sikeresebb. Az akkori matematikusok számára az eredmény hamis vagy anekdotikus. Csak Augustin Louis Cauchy érti munkájának mélységét. 1821- ben levelet küldött neki , amelyben megjelölte a tárgyalt kérdés érvényességét és fontosságát. Cauchy általánosítja az eredményt a Ruffini munkájának alapjául szolgáló permutációkra.
1821-ben sikertelen kísérlet után Niels Henrik Abel norvég matematikus saját költségén rövid, hatoldalas szöveget tett közzé. Ruffini munkájától eltérően ez a dokumentum a tétel teljes bizonyítékát jelenti. Ennek ellenére félreértést kap, hasonlóan az előző szövegekhez. Még Carl Friedrich Gauss is lényegtelennek tartja a témát. Ábel levelét Gauss halála után bontatlanul találják meg. A 1801 , ez a matematikus fejezte be a tézis, hogy a keresést a megoldást a radikálisok volt érdeklődés nélkül, ez elég volt ahhoz, hogy bármilyen nevet a gyökér. Igaz, hogy a numerikus technika szempontjából sokkal egyszerűbb egy Newton-féle módszert használni egy gyökérték hozzávetőleges értékének megszerzéséhez; a radikális állásfoglalásnak a XIX . századtól már nem ugyanaz az érdeklődése, mint az előző évszázadokban a numerikus számítás iránt. És ha nem numerikus közelítésre van szükség, akkor használhat egy betűt is a gyökér leírására. Még Cauchy is, aki 1826-ban fogadta Ábelt , aligha méltóztatja meg, hogy szemügyre vegye munkáját.
További cikkeket írtak 1826 és 1828 között, amelyek bizonyítékot szolgáltattak az általános esetben a felbontás lehetetlenségére. Ábel munkája végül meggyőzte a tudományos közösséget. A 1830 , Cauchy megtalálta a kéziratot, és Abel végül megszerezze a nagydíjat a matematikában a Tudományos Akadémia ugyanabban az évben posztumusz.
Abel munkája után csak három elem hiányzik a tétel végleges kifejezéséhez: hatékony megközelítés, az egyenlet feloldhatóságának szükséges és elégséges feltétele és a feloldhatóságot lehetővé tevő mechanizmusok mély megértése. Ez Évariste Galois , aki eléri a három előleget.
Megközelítése ugyanolyan félreértésben szenved, mint elődei. Az első írások, bemutatták a Tudományos Akadémia az 1829. véglegesen elvesznek. Joseph Liouville újra felfedezte és kiadta egy 1831- ben Galois által írt emlékiratot , aki 1843-ban a következőképpen mutatta be a tudományos közösségnek : „[…] Remélem, hogy érdekelni fogom az Akadémiát azzal, hogy bejelentem, hogy az Évariste Galois lapjaiban megtaláltam olyan pontos megoldás, amilyen mélyreható ez a gyönyörű probléma: Ha egy redukálhatatlan elsőfokú egyenletet adunk meg, döntsük el, hogy oldható-e gyökök felhasználásával. Galois hozzájárulása jelentős; G. Verriest a következő fogalmakkal írja le: „Galois zsenialitása az volt, hogy felfedezte, hogy a probléma lényege nem a hozzáadandó mennyiségek közvetlen keresésében rejlik, hanem a csoport csoportjának jellegének tanulmányozásában. egyenlet. Ez a csoport […] kifejezi a megkülönböztethetetlen gyökerek mértékét […]. Ezért már nem az egyenlet mértéke méri a megoldás nehézségeit, hanem a csoportjának jellege. "
Ha P egy ciklotomikus polinom , azaz egy redukálhatatlan osztó ℚ [ X ] -ben, az X n - 1 formájú polinom , akkor a P ( x ) = 0 egyenlet gyök által triviálisan megoldható. Abel tétele ebben a konkrét esetben beigazolódik, mivel a megfelelő ciklotomikus kiterjesztés Galois-csoportja abeli (tehát megoldható). Pontosabban, a Galois csoport körosztási polinom Φ n jelentése izomorf az egység csoport a gyűrű ℤ / n ℤ .
Megjegyezzük időlegesen, hogy egy alaposabb tanulmány (vö. „ Gauss-Wantzel tétel ”) meghatározza, hogy az Φ n ( x ) = 0 egyenlet mely feltétel mellett oldható fel nemcsak (bármilyen sorrendű) gyökök, hanem négyzetgyök által is . , állapot, amely egyenértékű a szerkeszthetőség, hogy az uralkodó és az iránytű a szabályos sokszög a n csúcsú.
Tekintsük azt az esetet, amikor a P polinom 2 fokos, racionális együtthatókkal, amelyeknek nincs racionális gyökere. Még akkor is, ha ez azt jelenti, hogy elosztjuk a P- t domináns együtthatóval, feltételezhetjük, hogy egységes :
Jelöljük x 1-gyel és x 2-vel az egyenlet két gyökét. Következtethetünk:
Mivel a kiterjesztés Galois és 2. fokozatú , a Galois csoport 2. rendű: két eleme az L azonossága és a szimmetria, amely rögzíti az ésszerűségeket és kicseréli az x 1 és az x 2 értékeket . Tehát létezik az L vector- vektortér alapja (1, r ) és egy racionális a , amely szerint x 1 = a + r és x 2 = a - r .
Következtethetünk:
A Galois-csoport tehát lehetővé teszi a másodfokú egyenlet hatékony felbontását.
A Cardan módszere általában lehetővé teszi a 3 fokú polinom kinyerését vagy gyökereit.
TábornokVizsgáljuk meg azt az esetet, amikor a P polinom racionális együtthatókkal rendelkező 3. fokozatú és irreducibilis . Még akkor is, ha azt jelenti, hogy elosztjuk a P- t domináns együtthatóval és a változót lefordítjuk, feltételezhetjük, hogy P alakú:
Jelölje x 1-gyel , x 2-vel és x 3-val az egyenlet három ( különálló ) gyökét. Nak,-nek
következtetünk:
A Galois csoport G a P egy alcsoportja a szimmetrikus csoport S 3 . Ennek az alcsoportnak a sorrendje megegyezik az L omp bomlástest dimenziójával . Ezért többszöröse 3, mivel az L tartalmazza a gyökér , amelynek minimális polinom foka 3. G ezért izomorf hogy vagy S 3 (rend 6), vagy annak egyedi rendű alcsoport 3, az alternáló csoport A 3 .
Mindkét esetben, a G megoldható (mert A 3 jelentése a normális in S 3 , és A 3 és S 3 / A 3 jelentése Abel, és még ciklusos ), így Abel-tétel garantálja, hogy a polinom túl.
A Galois-csoport meghatározásaTekintsük az L nem nulla elemét : δ = ( x 1 - x 2 ) ( x 2 - x 3 ) ( x 3 - x 1 ) . Bármely elem g a G , g ( δ ) = ε ( g ) δ , ahol ε ( g ) jelöli a aláírását a permutációs által végzett g a három gyökerek. A G tehát akkor és csak akkor redukálódik A 3-ra, ha δ invariáns a G összes elemével , azaz (lásd a Galois-elmélet alaptételének 3. tulajdonságát ) akkor és csak akkor, ha δ racionális. Azt is bebizonyítjuk (lásd a „ Diszkrimináns ” cikket ), hogy δ 2 = –4 p 3 - 27 q 2 . Következtethetünk:
A Galois csoportja P izomorf A 3 , ha -4 p 3 -27 q 2 a négyzete egy racionális, és hogy az S 3 egyébként.
GyökérszámításA Cardan képleteinek egyik módja az, ha megkérdezi:
,ahol j és j 2 az egység két primitív köbgyökét jelöli .
Valójában így kapjuk:
és csak annyi marad, hogy kiszámoljuk az u és v értékeket a polinom együtthatóinak függvényében:
, .A következő egyenletrendszer lehetővé teszi a következtetés levonását:
Az egyenlet tehát a gyökök által jól megoldható, amint azt Ábel tétele és a Galois-csoport kiszámítása előirányozza. Pontosabban: négyzetgyökkel ( j és j 2 kifejezésére, valamint u 3 és v 3 kiszámítására ) és köbösre ( u és v kivonására ).
Ezeknek az u és v elemeknek a következő értelmezése van a Galois-elméletben. Láttuk, hogy a G legalább az alternáló csoport A 3 , vagyis, hogy létezik automorfizmusa m a L (rend 3) rögzítik a racionális és ellenőrzése:
Tegyük fel először, hogy L tartalmaz j-t és j 2-t . A field [ j ] részmező bármely eleme 1 vagy 2 fokú a ℚ-n, ezért m rögzíti . Ezért m- et az ℚ [ j ] -vektor L tér endomorfizmusának tekinthetjük , és a vektorok , majd m- nek megfelelőnek tűnnek , mivel felépítéssel
Ha L nem tartalmaz j-t és j 2-t , akkor ellenőrizzük, hogy nem tartalmaz-e a racionális számokon kívül más of [ j ] elemeket , ami lehetővé teszi m természetes kiterjesztését L [ j ] ℚ [ j ] -automorfizmusára, amelyre , hasonlóképpen u és v megfelelőek.
A Ferrari módszer lehetővé teszi a 4. fokú polinom gyökének (gyökeinek) kivonását általános esetben.
A részletes cikk azt mutatja, hogy a Galois csoport ℚ polinom P ( X ) = X 5 - 3 X - 1 jelentése a szimmetrikus csoport S 5 , ami nem megoldható. A P ( z ) = 0 egyenlet tehát nem oldható meg gyökök által, vagyis ennek a polinomnak a gyökereit nem lehet egész számokból kifejezni a szokásos négy művelet és a gyökök segítségével, ami azt mutatja, hogy nem lehet kifejezést találni. a gyökerekre az ötödik fokú egyenlet általános esetben, ahogy az 1., 2., 3. vagy 4. fokozat egyenleteire is megtehetjük.
Jegyzet. Helytelen azt mondani, hogy a P ( z ) = 0 egyenlet nem oldható meg. Ennek az egyenletnek 5 gyöke van, amelyek a kívánt pontossággal közelítenek, és amelyeket pontosan ellipszis integrálok segítségével fejeznek ki .
A bármely egész szám n ≥ 2, létezik egy végtelen polinomok (irreducibilis és mértéke n ) egész együtthatós amelynek Galois csoport ℚ van a szimmetrikus csoport S n vagy az n ≥ 5, ez a csoport nem megoldható .
DemonstrációEz a konstrukció használ egy tétele Richard Dedekind a modulo p csökkentése Galois csoportok , csatlakozott a következő két tény:
Három elválasztható, n fokú egységes polinomot választunk :
majd egységes polinom P fokú n egész együtthatós amelynek modulo 2, 3 és 5 csökkentések egyenlő P 2 , P 3 és P 5 : P irreducibilis, mivel a P 2 jelentése, ezért Galois csoport tranzitívan hat annak N gyökerek, és tartalmaz egy transzpozíciót ( P 3 választásával ) és egy ( n - 1) ciklust ( P 5 választásával ). Ez az alcsoport tehát teljes egészében S n .
Hagyja n mértéke véges Galois kiterjesztése L a K . Galois G csoportja tehát n rendű .
Először azzal az esettel foglalkozunk, amikor G abeli, először is azt feltételezve, mint Cardan módszerében (amelyben az n = 3 eset felel meg annak az esetnek, amikor G abeli), hogy K tartalmazza az egység n gyökét n- ed . Ezután megszabadulunk ettől a hipotézistől.
A feltételezés, a bomlási test L a P tartalmazza kiterjesztése K (α 1 , ..., α k ) úgy, hogy minden i 1 és k , α i n i tartozik K (α 1 , ..., α I - 1 ) valamilyen természetes számra n i . Mi nyilvánvalóan feltételezik továbbá (használ, hogy a α UV = (α u ) v és közbülső gyökök), hogy minden egyes n i a i > 1 egy prímszám , és, hogy a szekvencia a kiterjesztések A hozzáadásával kezdődik, egy primitív gyök n 1 α 1 egységének tizede , n 1 esetén megegyezik e prímszámok szorzatával. Az alábbiakban megmutatjuk, a indukcióval i , hogy minden egyes mellék K (α 1 , ..., α i ) a K ezután Galois és megoldható csoport. A Galois-elmélet alaptétele szerint az L alextenzió Galois- csoportja akkor is megoldható, K (α 1 ,…, α k ) hányadosaként .