Kepler-egyenlet

A csillagászatban a Kepler egyenlet egy kötőanyag-képlet egy pályán, az e excentricitás és az E excentrikus anomália az M átlagos anomáliával . Ennek az egyenletnek a jelentősége az, hogy lehetővé teszi a csillag mozgásának dinamikus paramétereitől (az átlagos anomália) a geometriai paraméterekig (az excentrikus anomália) való áttérést. Ez az egyenlet hozta létre Kepler esetében ellipszis pályák , elemezve a helyzetben mért a Mars bolygó által végzett Tycho Brahe . Ezután általánosították a pályák egyéb formáira ( parabolikus , hiperbolikus , kvázi parabolikus, egyenes vonalúakra) a newtoni mechanika elveinek felhasználásával .

Bemutatjuk a Kepler-egyenletet

A Kepler-egyenlet önmagában az, amelyet Kepler az elliptikus pályákra alapozott. Több formában azonban elutasítható, hogy a pályák minden esetére kiterjedjen.

Az elliptikus pálya esete

Kepler egyenlete az elliptikus pályán:

{\ displaystyle Ee \ cdot \ sin {(E)} = M}

az átlagos $M$ anomáliával, amelyet az alábbiak határoznak meg:

{\ displaystyle M = n \ cdot (t-t_ {0})}

a $n$ a közeg mozgás:

{\ displaystyle n = {\ frac {2 \ cdot \ pi} {T}}}

$t$ az idő és $t 0$ a periapsisba való átjutás pillanata . $T$ a keringési periódus .

Demonstráció

Bemutatása egyszerű és magában foglalja egy ellipszis szektor területének kiszámítását, amelynek csúcsát a két góc egyikének foglalja el, két különböző módszerrel, amelyek közül az egyik a területek törvényét használja , míg az l 'másik a számítással ennek az elliptikus szektornak az ellipszis fő körére vetített területe.

Szerint a Kepler második törvénye , a terület ellenőrzését a szegmens $SP$ az ábrán arányos ideig. Tehát az $SzP$ elliptikus szektor területe egyenlő $k ( t - t 0 )$ , ahol $t$ az idő, $t 0$ pedig a csillag $z$ áthaladásának pillanata . A $k$ arányosság $állandója$ könnyen meghatározható: a $T$ keringési periódus végén a söpört terület megegyezik az $π ab$ ellipszis teljes területével ( $a$ és $b$ a fél- és féltengely az ellipszis tengelye), vagy:

{\ displaystyle SzP = {\ frac {\ pi ab} {T}} (t-t_ {0})}

Továbbra is határozza meg a területet az ellipszis szektor $SZP$ geometriailag, hogy a kapcsolat a óta eltelt idő áthaladás $z$ , és a helyzet a pályán.

A Kepler erre az ellipszisre körülírt segédkört használt (egy kör alakú szektor területe könnyen megismerhető).

Az $Szx$ szektor területe megegyezik a $czx körszektor$ és a $cSx$ háromszög $különbségével$ . ${\ displaystyle Szx = czx-cSx = {\ frac {1} {2}} a ^ {2} \ cdot E - {\ frac {1} {2}} a ^ {2} \ cdot e \ cdot \ sin (E)}$

ahol $E$ radiánban van kifejezve.

Végül, $SZP = SZX \times b / egy$ : az egyik a tömörítési a másik az arány $b / egy$ (ahol pontosabban, egy affinitása az arány $b / a$ ) szerezzük Kepler egyenlet, miután az egyszerűsítés, elmagyarázza a egyenlőség $SZP = k ( t - t 0 )$ , vagyis:

{\ displaystyle {\ frac {2} {ab}} SzP = {\ frac {2 \ pi} {T}} (t-t_ {0}) = Ee \ cdot \ sin (E)}

Az átlagos mozgás a következőképpen is kifejezhető:

{\ displaystyle n = {\ sqrt {\ frac {G \ cdot \ (m_ {1} + m_ {2})} {a ^ {3}}}}}

vagy

$G$ az univerzális állandó a gravitáció
$m 1$ és $m 2$ a két test tömege
$a$ az ellipszis féltengelye ; $p$ pedig a paraméter az ellipszis ${\ displaystyle a = {\ frac {p} {1-e ^ {2}}}}$

Kepler-egyenlet, amely összefüggésben van az $E$ excentrikus anomália és a valódi anomália közötti kapcsolattal $v$

{\ displaystyle \ tan {(v / 2)} = {\ sqrt {\ frac {1 + e} {1-e}}} \ cdot \ tan {(E / 2)}}

lehetővé teszi a csillag pályájának időbeli helyzetének meghatározását.

Hiperbolikus pálya esete

Hiperbolikus pálya ( $e > 1$ ) esetén analitikusan igazolni tudjuk a Kepler-egyenlettel egyenértékű kapcsolatot:

{\ displaystyle e \ cdot \ sinh {(H)} - H = M}

ahol $sinh$ a hiperbolikus $szinuszt$ jelöli .

M-t ugyanúgy definiáljuk, mint az elliptikus esetben, a következő átlagos mozgás kifejezésével:

{\ displaystyle n = {\ sqrt {\ frac {G \ cdot \ (m_ {1} + m_ {2})} {(- a) ^ {3}}}}}

A H argumentum már nem szög, mint az E elliptikus mozgás esetén. Ebben az esetben a H kapcsolódik a valódi anomália v szerint:

{\ displaystyle \ tan {(v / 2)} = {\ sqrt {\ frac {e + 1} {e-1}}} \ cdot \ tanh {(H / 2)}}

Parabolikus pálya esete

Kepler-egyenletet a parabolikus mozgás ( $e = 1$ ) nem határozza meg . Helyébe a Barker-egyenlet lép.

{\ displaystyle M = s + {\ frac {s ^ {3}} {3}}}

val vel

{\ displaystyle ~ s = \ tan {(v / 2)}}

{\ displaystyle M = n \ cdot (t-t_ {0})}

és

{\ displaystyle n = 2 \ cdot {\ sqrt {\ frac {G \ cdot \ (m_ {1} + m_ {2})} {p ^ {3}}}}}

Ez a köbös egyenlet analitikusan megoldható Cardan módszerével .

Kepler-egyenlet egyetemes kifejezése

A változó megváltoztatásával az elliptikus, a parabolikus és a hiperbolikus Kepler-egyenletek egyetlen "univerzális" egyenletbe csoportosíthatók. Az egyik lehetséges kifejezés:

{\ displaystyle qx + ex ^ {3} c_ {3} (\ alpha x ^ {2}) = {\ sqrt {G \ cdot \ (m_ {1} + m_ {2})}} (t-t_ { 0})}

a periapsis $q = a (1- e )$ , és az $α = 1 / a$ . $α$ pozitív az elliptikus pályáknál, nulla a parabolikus pályáknál és negatív a hiperbolikus pályáknál. Az új $x$ változót a következő határozza meg:

{\ displaystyle x = E \ cdot {\ sqrt {a}}}

a $c 3 ( t )$ függvény pedig az egyik Stumpff-függvény , amelyet általános esetben írunk:

{\ displaystyle c_ {k} (t) = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {(2n + k)!}} t ^ { nem}}

Demonstráció

Az elliptikus egyenletből kiindulva

{\ displaystyle Ee \ cdot \ sin {(E)} = {\ sqrt {\ frac {\ mu} {a ^ {3}}}} (t-t_ {0})}

val vel

{\ displaystyle \ mu = G \ cdot \ (m_ {1} + m_ {2})}

és a változó megváltoztatásával

${\ displaystyle x = E \ cdot {\ sqrt {a}}}$

azt kapjuk

{\ displaystyle ax-ea {\ sqrt {a}} \ cdot \ sin {\ left ({\ frac {x} {\ sqrt {a}}} \ right)} = {\ sqrt {\ mu}} (t -t_ {0})}

A sinus soros fejlesztésével a következőket találjuk:

{\ displaystyle \ sin \ left ({\ frac {x} {\ sqrt {a}}} \ right) = {\ frac {x} {\ sqrt {a}}} - {\ frac {x ^ {3} } {a {\ sqrt {a}}}} \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {{\ frac {(-1) ^ {n}} {(2n + 3)!}} { \ balra ({\ frac {x ^ {2}} {a}} \ jobbra)} ^ {n}}}

Kepler-egyenlet a következõvé alakul:

{\ displaystyle qx + ex ^ {3} \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {{\ frac {(-1) ^ {n}} {(2n + 3)!}} {(\ alfa x ^ {2})} ^ {n}} = {\ sqrt {\ mu}} (t-t_ {0})}

A diszkontinuitás $a$ parabolikus pályáját már eltávolították, és a kifejezést $a$ továbbiakban nem látszik alatt négyzetgyök, hogy ez az egyenlet felhasználható továbbá hiperbolikus kering. A hiperbolikus Kepler-egyenletből kiindulva kapott képlet minden pontban egyenértékű lenne ezzel a ponttal . ${\ displaystyle x = iH \ cdot {\ sqrt {a}}}$

Az $x$ meghatározása az univerzális egyenlet alapján lehetővé teszi a test pályájának $( X , Y )$ helyzetének meghatározását az alábbiak szerint:

{\ displaystyle X = a (\ cos {E} -e) = q + a \ cdot \ cos {\ bal ({\ frac {x} {\ sqrt {a}}} \ jobbra)} = qx ^ {2 } \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {{\ frac {(-1) ^ {n}} {(2n + 2)!}} {(\ alpha x ^ {2})} ^ {n}} = qx ^ {2} c_ {2} (\ alpha x ^ {2})}

{\ displaystyle Y = a {\ sqrt {1-e ^ {2}}} \ sin {E} = {\ sqrt {a (1-e ^ {2})}} {\ sqrt {a}} \ sin {\ left ({\ frac {x} {\ sqrt {a}}} \ right)} = x \ cdot {\ sqrt {q (1 + e)}} \ sum \ limits _ {n = 0} ^ { + \ infty} {{\ frac {(-1) ^ {n}} {(2n + 1)!}} {(\ alpha x ^ {2})} ^ {n}} = x \ cdot {\ sqrt {q (1 + e)}} c_ {1} (\ alpha x ^ {2})}

A $c 1 ( t )$ és $c 2 ( t )$ függvényeket ugyanúgy definiáljuk, mint a fenti $c 3 ( t )$ -et.

Egyenes vonalú pályák

Az egyenes vonalú pályája határeseteit a többi pályája, azáltal, hogy a távolság a periapsis $q$ hajlamosak nulla felé, miközben a félig-nagytengely $egy$ állandó: a pályán, majd felé hajlik egy szegmens vagy egy félig-line. A esetében elliptikus és a hiperbolikus pályáját, Ez azt feltételezi, hogy az excentricitás $e$ hajlamosak felé 1, mert a félig-nagytengely $egy$ , excentricitást $e$ és periapsis $q$ köti össze $q = a (1- e )$ . Ezért háromféle egyenes vonalú pálya létezik: elliptikus, parabolikus és hiperbolikus. A gyakorlatban ezeknek a pályáknak csak egy részét írja le a csillag, ami ütközést vagy menekülést eredményez. Bizonyos kamikaze-üstökösök, amelyeket az űrszolár obszervatóriumok ( SoHO , SDO stb.) Vagy a bolygóközi szondák pályájának szakaszai detektálnak , közel állnak a egyenes vonalú pályákhoz.

Az elliptikus, egyenes vonalú pályán Kepler-egyenlet:

{\ displaystyle ~ E- \ sin {(E)} = M}

az átlagos $M$ anomáliával, amelyet az alábbiak határoznak meg:

{\ displaystyle ~ M = n \ cdot (t-t_ {0})}

A valódi anomáliának már nincs jelentősége egyenes vonalú pályán, a csillag helyzetét az r fő csillagtól elválasztó távolság határozza meg :

{\ displaystyle ~ r = a (1- \ cos {(E)})}

A hiperbolikus egyenes pályára a Kepler-egyenlet:

{\ displaystyle ~ \ sinh {(H)} - H = M}

és a csillag helyzete:

{\ displaystyle ~ r = a (1- \ cosh {(H)})}

$Egy$ lény negatív hiperbolikus pályák

Végül a parabolikus egyenes pályára:

{\ displaystyle M = {\ frac {s ^ {3}} {6}}}

val vel

{\ displaystyle ~ M = n \ cdot (t-t_ {0})}

és

{\ displaystyle n = {\ sqrt {G \ cdot \ (m_ {1} + m_ {2})}}}

és a csillag helyzete:

{\ displaystyle r = {\ frac {s ^ {2}} {2}}}

Kepler-egyenlet megoldása

Kepler-egyenlet

{\ displaystyle Ee \ cdot \ sin {(E)} = M}

lehetővé teszi, hogy közvetlenül kiszámítja a dátum (kapcsolódik $M$ ), amely megfelel egy adott pozícióban (kapcsolódik $E$ ), például, hogy meghatározzuk a dátumot a napéjegyenlőségek. Másrészt az inverz probléma, amely meghatározza egy bolygó helyzetét egy adott dátumra, megköveteli $E$ meghatározását , ismerve $M$ és $e$ . Ez a probléma nem oldható meg egyszerűen.

Kepler-egyenlet megoldása az $E ( e , M ) megtalálása$ :

mint Fourier-sorozat, mivel ez $M$ páratlan periodikus függvénye
mint egy egész sorozat a $e$ , ha $e < e 0 : = 0,6627 ...$ , sugara konvergencia a sorozat.
numerikus értékként számjegyekkel ( $d$ ), optimalizált $tc ( d )$ számítási időre .

Fourier sorozat

Ez Lagrange aki megtalálja a kifejezést, bár a név $J n ( x )$ van társítva a neve Bessel .

$E - M$ jelentése egy periodikus páratlan funkciója $M$ :

${\ displaystyle EM = e \ cdot \ sin E = 2 \ cdot \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} {\ frac {J_ {n} (ne)} {n}} \ sin (nM) }$

ahol $J n ( x )$ jelentése a Bessel-függvény az egyik újra fajta rend $n$ .

Demonstráció

$E - M$ a $2π$ periódus folyamatos, páratlan és periodikus függvénye ; ezért Fourier-sorokban fejleszthető, amelyek koszinusz-együtthatói nullaak.

{\ displaystyle EM = e \ cdot \ sin E = \ Sigma _ {p = 1} b_ {p} \ sin (pM)}

val vel

{\ displaystyle b_ {p} = {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} e \ sin (E) \ sin (pM) ~ \ mathrm {d} M}

Az integrációs változó megváltoztatásához részekre integráljuk, $u = sin ( E )$ és $d v = sin ( pM ) d M beállításával$ kapjuk meg:

{\ displaystyle b_ {p} = {\ frac {e} {p \ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ cos (E) \ cos (pM) ~ \ mathrm {d} E}

A koszinuszok szorzatának koszinuszok összegévé alakításával kapjuk:

{\ displaystyle b_ {p} = {\ frac {e} {p}} \ bal ({\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ cos [(1 + p) E-ep \ sin (E)] ~ \ mathrm {d} E + {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ cos [(1- p) E + ep \ sin (E)] ~ \ mathrm {d} E \ jobb)}

cseréje után $d M$ által $(1- e cos E ) d E$ (egyenlőség kapott eredő Kepler egyenlet).

Az első típusú Bessel-funkciókat azonban a következők fejezik ki:

{\ displaystyle J_ {p} (x) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ cos [pE-x \ sin (E)] ~ \ mathrm {d} E}

honnan :

{\ displaystyle b_ {p} = {\ frac {e} {p}} [J_ {p + 1} (pe) + J_ {p-1} (pe)]}

Ezenkívül Bessel funkciói igazolják az ismétlődési összefüggést:

{\ displaystyle J_ {p-1} (x) + J_ {p + 1} (x) = {\ frac {2p} {x}} J_ {p} (x)}

ezért végül:

{\ displaystyle b_ {p} = {\ frac {2} {p}} J_ {p} (pe).}

Egész különc sorozat

Még mindig Lagrange találja meg a megoldást, amelyet Laplace a konvergencia sugarának megadásával teljesít. Ezek a munkák inspirálják Cauchyt , aki az analitikai sorok elméletét megtalálja e tövises probléma megoldására; ennek a csúcspontja lesz Puiseux munkája .

Alkalmazása Lagrange-sorozat inverzió tétel értelmében:

${\ displaystyle EM = \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} {e ^ {n} \ n felett!} \ cdot a_ {n} (M)}$

val vel

{\ displaystyle \ a_ {n} (M) = {\ mathrm {d} ^ {n-1} \ felett {\ mathrm {d} M ^ {n-1}}} (\ sin ^ {n} M) .}

A sorozat $M-től$ függő minimális konvergencia-sugara eléri az $M = π / 2 értéket$ , és $megegyezik$ $e 0 = 0,6627434193 értékkel,$ amint azt Laplace ( 1823 ) jelzi és Cauchy és Puiseux bizonyítja:

{\ displaystyle e_ {0} = 2 {\ frac {\ sqrt {x (1-x)}} {1-2x}}}

és

x

olyan, hogy .

{\ displaystyle {\ frac {1-x} {x}} = \ exp \ bal ({\ frac {2} {1-2x}} \ jobb)}

Ez miatt ez a képlet alkalmazhatatlan az üstökösök helyzetének meghatározására, amelyek excentricitása gyakran 1-hez közelít.

Az első kifejezések a következők:

{\ displaystyle EM = e \ cdot \ sin M + e ^ {2} \ cdot \ sin M \ cdot \ cos M + e ^ {3} \ cdot \ left (\ sin M \ cdot \ cos ^ {2} M - {\ sin ^ {3} M \ felett 2} \ jobbra) + \ pontok}

Megjegyzés: ezt a bővítést sorozatban lehet megszerezni, ha az előző Fourier sorozatban a Bessel-funkciókat korlátozott bővítéssel helyettesítjük:

{\ displaystyle J_ {n} (x) = (x / 2) ^ {n} \ sum _ {p = 0} ^ {\ infty} {(- 1) ^ {p} \ p felett (n + p )!} (x / 2) ^ {2p}}

Ezután a korlátozott kiterjesztést sokkal egyszerűbben kapjuk meg, mint a sorozat inverzió módszerével:

{\ displaystyle EM =}

{\ displaystyle \ left (e - {\ frac {e ^ {3}} {8}} + {\ frac {e ^ {5}} {192}} + \ cdots \ right) \ cdot \ sin M + \ balra ({\ frac {e ^ {2}} {2}} - {\ frac {e ^ {4}} {6}} + {\ frac {e ^ {6}} {48}} + \ cdots \ jobbra) \ cdot \ sin 2M + \ left ({\ frac {3} {8}} e ^ {3} - {\ frac {27} {128}} e ^ {5} + \ cdots \ right) \ cdot \ sin 3M}

{\ displaystyle + \ bal ({\ frac {e ^ {4}} {3}} - {\ frac {4} {15}} e ^ {6} + \ cdots \ right) \ cdot \ sin 4M + \ balra ({\ frac {125} {384}} e ^ {5} + \ cdots \ right) \ cdot \ sin 5M + \ left ({\ frac {27} {80}} e ^ {6} + \ cdots \ right) \ cdot \ sin 6M}

Vegye figyelembe, hogy bár a Fourier-sorozat konvergál $0 < e <1-re$ , és a Bessel-függvények kiterjesztéseinek végtelen konvergencia-sugara van, a kifejezések átszervezése utáni eredmény csak $e$ $<0,662 esetén$ konvergál $...$

Üstökösök esete:

e > e 0

Elsőként Horrocks , majd különösen Halley szembesül a különc üstökösének $e = 0,9673 számításával$ .

Számos megoldást javasoltak a Barker-egyenlet ( $e = 1$ ) enyhe módosításával . A Bessel ( 1805 ) által javasolt megoldás az $e > 0,997$ tartományra terjed ki . Gauss azzal illusztrálta magát, hogy szép megoldást adott $0,2 < e <0,95-re$ .

A Barker-egyenlet általánosítása egy sorozatbővítés , amely annál gyorsabban konvergál, mivel az $e$ excentricitás közelít az 1-hez, ami kiderül, hogy alkalmas az üstökösök eseteire (ez a sorozat enyhén hiperbolikusra is vonatkozik):

{\ displaystyle n (t-t_ {0}) = S + (1-2 \ gamma) {\ frac {S ^ {3}} {3}} - \ gamma (2-3 \ gamma) {\ frac { S ^ {5}} {5}} + \ gamma ^ {2} (3-4 \ gamma) {\ frac {S ^ {7}} {7}} - \ ldots = S + \ sum _ {p = 1} ^ {\ infty} (- \ gamma) ^ {p-1} \ bal (p- (p + 1) \ gamma \ jobb) {\ frac {S ^ {2p + 1}} {2p + 1} }}

amelynek konvergencia sugara: ${\ displaystyle | \ gamma | S ^ {2} <1}$

a $S = tan ( v / 2)$

{\ displaystyle n = {\ frac {k} {2}} {\ frac {\ sqrt {1 + e}} {q ^ {3/2}}}}

{\ displaystyle \ gamma = {\ frac {1-e} {1 + e}}}

$v$ a valódi anomália , $k$ a Gauss-féle gravitációs állandó , $e$ és $q$ a pályaexcentricitása és periastronja , $t$ az idő és $t 0$ a periastronba való áthaladás pillanata.

Ha $e = 1$ , akkor a sorozat a Barker-egyenletre redukálódik.

Demonstráció

Kepler első törvénye szerint a pályák kúpos szakaszok (ellipszisek, parabolák vagy hiperbolák), amelyek középpontjában a nap áll. Tehát az üstökös - nap távolság r és az igazi v anomália összefügg a kúpos szakasz egyenletével polárkoordinátákban:

${\ displaystyle r = {\ frac {p} {1 + e \ cos v}}}$

ahol $p$ és $e$ a kúp excentricitásának paramétere.

Kepler második törvénye (a nap-üstökösszegmens egyenlő területeket egyenlő időkben söpri el) kifejezhető, figyelembe véve a végtelenül kis $d t$ időintervallumot :

${\ displaystyle r ^ {2} {\ frac {\ mathrm {d} v} {\ mathrm {d} t}} = h}$

ahol $h$ egy állandó, az úgynevezett terület állandó .

E két egyenlet kombinálásával eltüntethetjük az $r-t$ , hogy megkapjuk a kapcsolatot az idő és a valódi anomália között, vagyis a Kepler-egyenlet bármely olyan formáját, amely bármilyen pályára vonatkozik.

${\ displaystyle \ left ({\ frac {p} {1 + e \ cos {v}}} \ right) ^ {2} dv = h ~ \ mathrm {d} t}$

vagy integrálva $t 0$ és $t$ :

${\ displaystyle {\ frac {h} {p ^ {2}}} (t-t_ {0}) = \ int _ {0} ^ {v} {\ frac {1} {{(1 + e \ cos {x}}) ^ {2}}} ~ \ mathrm {d} x}$

az $s = tan ( x / 2)$ integrációs változó megváltoztatásával és az $S = tan ( v / 2)$ beállításával ezt a trigonometrikus integrált racionális függvényintegrálissá alakítjuk :

${\ displaystyle {\ frac {h (1 + e) ^ {2}} {2p ^ {2}}} (t-t_ {0}) = \ int _ {0} ^ {S} {\ frac {1 + s ^ {2}} {{(1+ \ gamma s ^ {2}}) ^ {2}}} ~ \ mathrm {d} s.}$

A racionális függvény közvetlenül integrálható a Kepler-egyenletek fent látható összes formájának megszerzéséhez, a $y$ előjelétől függően . De a racionális frakció egész $s-$ sorokká való kibővítésével , majd a sorozat kifejezésenkénti integrálásával megkapjuk:

${\ displaystyle {\ frac {h (1 + e) ^ {2}} {2p ^ {2}}} (t-t_ {0}) = \ int _ {0} ^ {S} {\ frac {1 + s ^ {2}} {{(1+ \ gamma s ^ {2}}) ^ {2}}} ~ \ mathrm {d} s = \ int _ {0} ^ {S} 1+ \ összeg _ {p = 1} ^ {\ infty} (- \ gamma) ^ {p-1} \ bal (p- (p + 1) \ gamma \ jobb) s ^ {2p} ~ \ mathrm {d} s = S + \ sum _ {p = 1} ^ {\ infty} (- \ gamma) ^ {p-1} \ bal (p- (p + 1) \ gamma \ jobb) {\ frac {S ^ {2p + 1}} {2p + 1}}}$

a kúp paraméterének és a területek állandójának kapcsolata ,

${\ displaystyle p = a (1-e ^ {2}) = q (1 + e) = {\ frac {h ^ {2}} {G (m_ {1} + m_ {2})}} }$

lehetővé teszi a keresett képlet megtalálását ( az üstökös $m 2$ tömegének a naphoz viszonyított elhanyagolásával ).

Numerikus számítás

A Kepler-egyenlet algoritmus segítségével oldható meg a függvény nullájának megtalálásához . Típusmódszerek coaching, felezési módszer , hamis pozíció módszer megköveteli egy kezdő keretet, amelyben a gyökér van jelen. A Kepler-egyenlet periodicitása és paritása miatt mindig lehetséges a kezdési intervallumot $[0, π] -re$ csökkenteni . Ez ad kiindulópontot ezekhez a módszerekhez, de könnyebb megtalálni finomabb módszereket.

Az eljárások a fix pont típusú szükséges kezdeti becslést a gyökér, a csíra a módszer $E 0$ , hogy indítsa el a számításokat: sok az irodalomban, a legegyszerűbb módja az $E 0 = M$ .

A Kepler által használt legegyszerűbb fixpontos módszer:

{\ displaystyle E_ {0} = M ~}

{\ displaystyle E_ {n + 1} = M + e \ cdot \ sin E_ {n} {\ text {for}} n = 0,1 \ ldots}

Lassan konvergál, ha $e$ közel 1-hez. Ezután előnyös hozzáadni egy konvergencia-gyorsulás algoritmust: például Aitken Delta-2- jét vagy Steffensen-variánsát.

A Kepler-egyenlet különösen jól alkalmazható olyan algoritmusok számára, amelyek magas egymás utáni származékok kiszámítását igénylik, a gépi számítás alacsony költsége miatt. Valóban :

{\ displaystyle f (E) = Ee \ cdot \ sin EM}

{\ displaystyle f '(E) = 1-e \ cdot \ cos E}

{\ displaystyle f '' (E) = e \ cdot \ sin E}

{\ displaystyle f '' '(E) = e \ cdot \ cos E}

A következő származékokat ciklikusan vezetjük le az előzőekből. Newton és Halley módszerének magasabb rendű változatai tehát ebben az esetben nagyon hatékonyak. Meg kell jegyezni, hogy ezeknek a módszereknek bizonyos esetekben nehézségeik vannak a konvergálásra ( $e$ közel 1 és $M$ közel 0). Ezekben a zónákban előnyösebb vagy kevésbé durva kiindulási értéket javasolni (Mikkola ( Seppo Mikkola ) vagy Markley magja ), vagy korlátozni kell az iteratív módszereket, hogy összefogásra kényszerüljenek ( a Newton-módszer Hamming módosítása ), vagy kevésbé lokális konvergenciával rendelkező iteratív módszerek alkalmazásához ( Laguerre-módszer ).

Példa

Legutóbbi, 1986-os látogatása során Halley üstökösét a Giotto szonda kereste fel . Az üstökös helyzetének meghatározásához a találkozás során szükséges adatok a következők:

$t$ $0$ perihelionra való áttérés dátuma :1986. február 9ekkor: 10:59:55 UTC
a találkozó időpontja $t$ :1986. március 14UTC 00: 03: 00-kor, azaz $t - t 0$ = 32,54328 nap
a pálya excentricitása $e$ : 0,96727426
távolság a $q$ perihéliumig : 0,58710224, vagy a fél-fő tengely $a = q / (1- e ) = 17,940753$ és az átlagos mozgás $n = k / a 1,5 = 0,0002263836 rad / nap$ .

Az átlagos anomália értéke $M = n ( t - t 0 ) = 0,0073673887 rad$

A Kepler megoldandó egyenlete:

{\ displaystyle E-0.96727426 \ sin (E) = 0.0073673887}

$E 0 = M-$ ből kiindulva és Newton módszerével

{\ displaystyle E_ {n + 1} = E_ {n} - {\ frac {E_ {n} -e \ cdot \ sin E_ {n} -M} {1-e \ cdot \ cos E_ {n}}} }

egymás után találjuk meg:

0,0073673887 0.2249486948 0.1929911041 0.1909186907 0.1909107985 0.1909107984

… (A következő értékek megegyeznek) Az üstökös helyzetének szögét a pályáján (a valódi anomália) $v = 1,2771772327 rad = 73,176865125 °$

Az üstökös és a nap távolságát $r = a (1 - e cos ( E ))$ = 0,902374257 AU (valamivel kevesebb, mint a föld és a nap távolsága).

A sebesség az üstökös egyenlő 43,780 8 km / s ${\ displaystyle v = 42.1219 {\ sqrt {1 / r-1 / (2a)}}}$

Az üstökösök esetében az iterációk nem mindig mennek olyan jól, amint azt a szemközti grafikon mutatja. A 0,97-et meghaladó excentricitások esetén a konvergencia bizonytalan az $E 0 = M$ iterációk kiindulópontjaként . Más pontosabb kiindulópontok lehetővé teszik ennek a buktatónak a elkerülését.

Az üstökösök esetében a Barker-egyenlet kvázi parabolikus általánosításának megoldása két problémát vet fel:

a sorozat hozzávetőleges kiszámítása, amely nagyszámú kifejezést igényelhet, vagy ha lehet, lehetetlen, ha eltér. Kiderült, hogy ez a sorozat különösen jól alkalmazható a konvergencia-gyorsulás algoritmusainak, nevezetesen Aitken Δ² vagy Peter Wynn ε-algoritmusának , amelyek nemcsak felgyorsítják a konvergenciát, de kiterjesztik a konvergencia tartományát is. A gyakorlatban a nehézségek akkor merülnek fel, amikor az üstökös nagyon távol áll a periapisétől (ez hosszú ideig láthatatlan volt), vagy excentrikája jelentősen eltér az 1-től (ebben az esetben ésszerűbb megoldani az elliptikus vagy hiperbolikus Kepler egyenlet).
Maga az egyenlet megoldása. Ez a Newton típusú módszerekkel hajtható végre az alábbiakkal:

{\ displaystyle F (S) = - n (t-t_ {0}) + S + \ sum _ {p = 1} ^ {\ infty} (- \ gamma) ^ {p-1} \ cdot (p- (p + 1) \ cdot \ gamma) \ cdot {\ frac {S ^ {2p + 1}} {2p + 1}}}

azzal, hogy észreveszi, hogy a származék egyszerűen kifejeződik:

{\ displaystyle F '(S) = {\ frac {1 + S ^ {2}} {{(1+ \ gamma \ cdot S ^ {2})} ^ {2}}}}

a következő származékok könnyen levezethetők.

Az $S 0$ iteráció kiinduló értékeként választhatjuk a köbös egyenlet megoldását, amelyet az első tagok megtartásával kapunk (kissé eltérően a Barker-egyenlettől), Cardan módszerrel

{\ displaystyle n (t-t_ {0}) = S_ {0} + (1-2 \ cdot \ gamma) \ cdot {\ frac {{S_ {0}} ^ {3}} {3}}.}

Jelenlegi kutatás

A szimplektikus integrátorokon keresztül történő számításokhoz mindig a tizedesjegyek számának határán kell maradni, a legalacsonyabb számítási költség mellett. Nagyon függ a dubletttől $( M , e )$ , $M-től$ 0 és $π-ig$ és $e-től$ , különösen akkor, ha ez az utolsó paraméter közel 1-hez.

Nijenhuis (1991) átveszi Mikkola (1987) módszerét, amely a 4. rendű Newton módszere, azáltal, hogy az $E 0$ csírát a dublett $( M , e )$ szerint „megfelelően” választja .

Egyértelmű, hogy a numerikus számítások, a kötet a számítások elengedhetetlen, mint a tizedes helyek számát, mivel a bizonytalanság a Naprendszer értékelni a Liapunov együttható a $10 (t / 5 Myr)$ . Egy exponenciális falnak állunk szemben: nehéz 128 Myr-nél tovább lépni, még 128 bites feldolgozással is.

Ezek a (csillagászati ... de számítógépes) számítások működnek az IMCCE-Paris gépein. Kiszámítjuk a földi napsütést az északi 65 °, I (65, t) szélességen, és megpróbáljuk levezetni a korrelációt a múlt éghajlatával: levezetjük a geológiai skálát egészen a neogénig (25 millió év) in (Gradstein 2004 geológiai lépték). A következő tervezett lépés: a 65 millió éves korosztály.

Tudománytörténet

Kepler előtt az egyenletet más okokból már tanulmányozták:

ez az a probléma, hogy a helyi koordinátákat geocentrikus koordinátákká redukáljuk: csökkenteni kell a parallaxis korrekciót. Habash al Hasib már megoldotta.

1700 előtt már sok kísérlet történt: természetesen Kepler, Curtz (1626), Niele, Boulliau (1645, 1657), Seth Ward (1653), Paganus (1657), Horrebow (1717), Cassini (1669), Newton (1665) ?), Wren (1658), Wallis (1659), Jeremiah Horrocks (1638) ...

Megjegyzések

(La) J. Kepler, Astronomia nova aitiologetos, seu physica coelestis, tradita commentariis de motibus stellae Martis, ex observibus GV Tychonis Brahe , The Warnock Library, 1609
(be) T. Barker (be) , Beszámoló a dicoveries aggályos üstökösökről, a pályájuk megtalálásának módjáról, valamint néhány fejlesztés az ülőhelyek felépítésében és kiszámításában , London 1757
(in) RH Battin, csillagászati Guidance , McGraw-Hill, New York, 1609, fickó. 2
(in) K. Stumpff (de) , "A forgórészek megvalósításáról az égi mechanika problémáira" a NASA D-4447. Sz . Műszaki megjegyzésében , New York, 1968, c. 2
J.-L. Lagrange, „Kepler problémájáról”, a berlini Királyi Tudományos Akadémia emlékirataiban , t. 1771, 25. o. 204-233
(in) Peter Colwell, " Bessel-függvények és Kepler-egyenlet " , Amer. Math. Havi , vol. 99, n o 1,1992. január, P. 45-48
A. Cauchy: " Emlékirat a különböző elemzési pontokról", a Királyi Tudományos Akadémia (Párizs) emlékirataiban , vol. 1829, 8. o. 97-129 .
V. Puiseux, "A bolygók elliptikus mozgásának elméletében megjelenő sorok konvergenciájáról", a tiszta és alkalmazott matematika folyóiratában , vol. 1849. 14., p. 33-39
(in) E. Halley, "Astronomiae cometicae synopsis" a Royal Society filozófiai tranzakcióiban , Vol. 24, 1705, p. 1882-1899
(La) CF Gauss, Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conisis solem ambientium , Hamburg, Perthes & Besser, 1809, p. 35–44 .
Kisbolygó Circular 10634 (április 24, 1986)
(a) "Orbitális sebesség" a Wikipédiában ,2021. június 15( online olvasás )

Bibliográfia

(en) Peter Colwell , Kepler egyenletének megoldása három évszázad alatt , Richmond, Va, Willmann-Bell,1993, 202 p. ( ISBN 978-0-943-39640-8 , OCLC 28724376 )
(en) John Brinkley , Trans Roy Irish Ac , vol. 7, 1803, p. 321-356
en) Jean Meeus , csillagászati algoritmusok , Richmond, Va, Willmann-Bell,1991, 429 p. ( ISBN 978-0-943-39635-4 , OCLC 24067389 )
(en) Albert Nijenhuis (de) , „ Kepler-egyenlet megoldása nagy hatékonysággal és pontossággal ” , Celest. Mech. Dyn. Astron. , vol. 51,1991, P. 319-330 ( online olvasás )
(en) Seppo Mikkola , „ Köbös közelítés a Kepler-egyenlethez ” , Celest. Mech. Dyn. Astron. , vol. 40,1987, P. 303–312 ( online olvasás )

Lásd is

Kapcsolódó cikkek

Külső linkek

[OI] (in) " Kepler-egyenlet " [ "Kepler-egyenlet"] hatóság rekord n o 20110803100034177 az Oxford index (OI) az adatbázisban Oxford Reference az Oxford University Press (OUP) .
(en) Danby és Burkardt cikksorozata [1] [2]
(en) Odell és Gooding algoritmusa és számítási programja [3]
(fr) Gauss-féle módszer a Kepler-egyenlet megoldására
Hatósági nyilvántartások :