A topológiában az elválasztási axióma olyan tulajdonság, amelyet bizonyos topológiai terek kielégítenek , hasonlóan a Hausdorff-elválasztási tulajdonsághoz (más néven T 2 ), és a pontok elválasztására vagy zártra vonatkozik , akár a szomszédságok szempontjából , akár a valós folytonos funkciókat .
A szétválasztás különféle axiómái értelemszerűen elrendelhetők, különös tekintettel a "T" betűvel és egy numerikus indexszel kódolt axiómák sorozatára, ezek az axiómák általában annál szigorúbbak, mivel az indexek magasak, és a megfelelő topológiák finomabbak. .
Figyelem : az irodalomban a szókincs néha nagyon ingatag, és ezek közül a definíciók közül néhány felcserélhető.
Azt mondjuk, hogy egy topologikus tér X jelentése Kolmogorov , vagy megfelel az ingatlan T 0 , ha bármely két különböző pontok X , egy (legalább) a két pont elismeri a környéken, amely nem tartalmazza a másik pont. Vagy megint: a két pont egyike nem ragaszkodik a másikhoz.
A T 1 tér egy topológiai tér, amelynek szingulettjei zárva vannak. Ez egyenértékű azzal, hogy: bármely pont x , metszi a fajta környéken x csökken a Singleton { x }. Vagy megint bármely két különálló pont esetében a két pont megengedi a szomszédságot, amely nem tartalmazza a másik pontot. Vagy a két pont egyike sem ragaszkodik a másikhoz.
A space T 1 , ha, és csak akkor, ha mind a T 0 és R 0 .
Az „egyedi szekvenciális határértékkel rendelkező hely” (a név ingyenes fordítása angolul, amely által ez a fogalom jobban ismert: egyedi szekvenciális határértékkel rendelkező hely vagy US-space ) egy X tér , amelyben minden egyes konvergens szekvenciának csak egy korlátja van, vagy mint az átlós van egymás után zárva a X × X .
Az egyetlen szekvenciális határértékkel rendelkező bármely hely T 1, de fordítva hamis.
DemonstrációLegyen X szóköz, egyetlen szekvenciális határértékkel. Ezután, az összes különböző pontok x és y az X , az állandó szekvenciája értéke x nem konvergál felé y , így létezik olyan szomszédságában y , amely nem tartalmaz x , ami bizonyítja, hogy X jelentése T 1 .
A cofiniteness egy végtelen halmaz egy szóköz T 1 , ahol a injektív szekvenciák konvergálnak bármelyik pontján X .
Egy másik példa a „két eredetű egyenes”. Ez a tér a ℝ × {0, 1} hányadosa a következővel: bármely nem nulla valós x esetében ( x , 0) az ( x , 1). Csak helyileg külön .
A topologikus tér X enyhén elválasztjuk, vagy gyengén Hausdorff, vagy T 2 , ha a tér minden kompakt K és bármely folytonos térképezés f a K a X , a kép K által f zárva X .
Bármely gyengén elválasztott tér T 1 (de nem feltétlenül egyetlen szekvenciális határértékkel). Annak igazolására, hogy minden szingli zárva van, akkor elegendő figyelembe venni egy kompakt K és a folyamatos térkép f a K e egyke.
A KC tér egy olyan tér, amelyben minden kvázi-kompakt zárva van (ezzel kapcsolatos fogalom a kompaktan létrehozott tér fogalma ).
Bármely KC tér gyengén van elválasztva. Valójában a kompakt kép folyamatos alkalmazással kvázi kompakt.
Bármely KC tér egyedi szekvenciális korlátral rendelkezik, de fordítva hamis.
DemonstrációLegyen X szóköz KC. Miután észrevettük, hogy X T 1 (minden egyes szingulett zárva van), mutassuk meg, hogy ha egy ( x n ) szekvencia konvergál x-hez és y-hez , akkor x = y . Ha a szekvencia az y érték szorzatának végtelen számát veszi fel , ez az egyenlőség azonnali (a T 1 térben egy állandó szekvenciának csak egy határa van). Egyébként legyen Egy legyen a készlet x n elkülönülő y . Ekkor A ∪ { x } kvázi kompakt, ezért zárt X-ben, ezért y-t tartalmaz (mivel a komplementere nyitott, és hogy x n → y ), ezért y = x .
Hagyja, X lesz a Arens-Fort tér , amely elkülönül, és amelyben a kompaktok a véges részei, és hagyja, hogy X + a Alexandrov kiterjesztése (ami kvázi-kompakt, de nem különálló, mert X nem lokálisan kompakt ). Ekkor az X + olyan tér, amelynek csak egy szekvenciális korlátja van, amelyben X + \ {(0,0)} zárt kvázi-kompakt.
Azonban egyetlen szekvenciális határértékkel rendelkező szekvenciális térben bármelyik számszerűen kompakt rész zárva van, tehát a tér KC.
Egy adott téren a kvázi kompakt topológia akkor és csak akkor maximális ennek a tulajdonságnak, ha KC, és a KC topológia minimális ehhez a tulajdonsághoz, ha és csak akkor, ha kvázi kompakt, így a maximálisan kvázi kompakt topológiák és minimum KC megegyeznek.
Ez a klasszikus ingatlan. A topologikus tér az úgynevezett T 2 , vagy Hausdorff , vagy külön helyet , ha bármely két ( x, y ) a különálló elemek X , létezik két diszjunkt nyílások , amelyek közül az egyik tartalmazza az X és a másik tartalmaz y . Ez egyenértékű azzal, hogy: minden egyes pontja x , a kereszteződésekben a negyedek zárt a x csökken a Singleton { x }, vagy még: az átlós van zárva X × X .
A T 2 elválasztás magában foglalja a KC elválasztást (ez az a klasszikus tétel, amely szerint a külön-külön minden tömörítése zárt ).
Ellenkezőleg, hamis, de a szomszédságok megszámlálható alapjaival rendelkező helyet elválasztják, amint egyedi szekvenciális korlátja van .
DemonstrációA Alex Alexandrov kiterjesztése (ami kvázi kompakt) nincs elválasztva, mivel ℚ nem helyileg kompakt , de ez egy KC tér. Egy másik példa a ℝ kódszámozott topológiája .
Vagy X a szomszédságok megszámlálható alapterülete és egyetlen szekvenciális határ, akkor az átlót egymás után lezárjuk X × X-ben . Mivel ez a termék a szekvenciális (mert még mindig van egy megszámlálható alapján negyedek), az átlós következésképpen zárva, így X elválasztjuk.
A Zariski topológia egy algebrai fajta jelentése T 1 , de általában nincs elválasztva.
A topológiai tér egy T 2 1/2 tér, amikor két különálló pont befogadja azokat a szomszédságokat, amelyeknek az adhéziói nem kapcsolódnak egymáshoz. Vagy megint két különálló pont ismeri el a zárt környezetek szétválasztását.
Bármely T 2 1/2 szóköz el van választva, de az ellenkezője hamis, amint azt a következő példa mutatja. Figyelembe vesszük a sík E halmazát, amely az 1 sugarú O középpontú korong belsejéből és a két pontról (1, 0) és (–1, 0) áll. A korong belsejében egy pont szomszédságainak alapja képződik a korongokról. Az (1, 0) pont szomszédságainak alapja ennek a pontnak az egyesüléséből és egy félköríves (a szokásos értelemben nyitott) sávból áll, amely szomszédos ezzel a ponttal és szegmensekkel határolt [(0, 1), (0, 1) - h)] és [(0, –1), (0, –1 + h)]. Ugyanígy a (–1, 0). A szemközti rajzon színesen ábrázoltuk a lemez belsejében lévő pont szomszédságát, valamint az (1, 0) és (–1, 0) pont szomszédságát. Ha ez utóbbi két szomszédság nyitott, akkor nincsenek összekapcsolódva, de adhézióik keresztezik azokat a közös szegmenseket, amelyek korlátozzák őket. Az E tér tehát külön, de nem T 2 1/2 .
A topologikus tér X nevezzük Urysohn helyet , amikor az összes különböző pontok x és y a X , létezik egy folytonos függvény f az X a szegmensben [0, 1] oly módon, hogy az f ( x ) = 0, és F ( y ) = 1 Az Urysohn-tér T 2 1/2 .
Az űr akkor csak akkor Urysohn, ha a kő- čech kompaktuális kánoni térkép injektív.
A topologikus tér X kielégíti T 3 , ha az bármely ponton X a X és minden zárt F az X nem tartalmazó x , van két diszjunkt nyitott amelyek közül az egyik tartalmazza az X és a másik tartalmaz F .
Bármely T 3 és T 0 ellenőrző helyet elválasztunk. Egy ilyen térről azt mondják, hogy szabályos . Ellenőrzi a T 2 1/2 értéket , de nem mindig a T 2 3/4 értéket . Ezzel szemben a ℝ K-topológiája kielégíti a T 2 3/4 -et, de a T 3-ot nem .
A topologikus tér X ellenőrzi T 3 1/2 , ha az bármely ponton X a X és bármilyen zárt F a X nem tartalmazó x , létezik egy folytonos függvénye X a szegmensben [0, 1] egyenlő 0- X és 1 az F-n . Ez egyenértékű azzal, hogy: X jelentése uniformizable .
A T 3 1/2 és a T 0 értéket igazoló bármely helyet elválasztjuk. Egy ilyen tér teljesen szabályosnak minősül (mi is mondjuk: Tychonov- tér ). A teljesen szabályos tér tehát nemcsak szabályos, hanem Urysohn is.
Egy tér akkor és csak akkor szabályos, ha egy kompakt térbe merül .
A topologikus tér X kielégíti T 4 , ha bármely két zárt diszjunkt E és F , van egy pár diszjunkt nyitott amelyek közül az egyik tartalmazza az S , és a másik tartalmaz F .
Ezt az axiómát nem lehet megőrizni sem az alterekbe történő áthaladással, sem a termékekbe történő átadással (azonban a T 4 tér bármely zárt altere a T 4 ).
Ez nem jelenti az előzőek egyikét sem. Különösen egy tér igazolja a T 4- et elválasztás nélkül: a durva topológia kielégíti a T 4-et . Másrészt, ha a tér kielégíti T 4 és T 1 majd elválasztjuk.
Egy külön teret ellenőrzése T 4 azt mondják, hogy a normális .
Ha X kielégíti T 4 minden egyes pár zárt diszjunkt E és F , van egy folyamatos függvénye X a szegmensben [0, 1] ahol 0 E és 1 F . Ezt a figyelemre méltó tulajdonságot Urysohn lemmának hívják . Általánosságban elmondható, hogy a Tietze kiterjesztés-tétel biztosítja, hogy a zárt X bármely folytonos funkciója folyamatosan kiterjedjen X-re .
Különösen az összes normál tér teljesen szabályos.
Bármely parakompakt tér (főleg minden kompakt) normális.
A topologikus tér X kielégíti T 5 , ha az összes alkatrész A és B az X úgy, hogy A ∩ B = ∅ és B ∩ A = ∅, van két diszjunkt nyitott amelyek közül az egyik tartalmazza A és a másik tartalmaz B .
Ez ekvivalens: X bármely altere kielégíti a T 4-et , és ehhez elég, ha X nyitott alterei kielégítik a T 4-et .
DemonstrációEgy külön teret ellenőrzése T 5 azt mondják, hogy teljesen normális .
Egy tér tehát teljesen és akkor normális, ha minden altere normális.
A rend topológiájával ellátott, teljesen rendezett halmazok - például a sorszámhoz kapcsolódó bármely topológiai tér - teljesen normálisak.
A Tychonov [0, ω 1 ] × [0, ω ] tábla , két teljesen szabályos tér szorzata, nem teljesen normális kompakt.
Külön helyet X azt mondta, hogy teljesen normális , ha minden zárva az X az a hely, a törlés (en) egy folytonos térkép f re X az ℝ.
Bármely mérhető hely teljesen normális (vegye figyelembe a f zárt funkció távolságát).
A teljesen normális tér bármely altere továbbra is teljesen normális.
Egy teljesen normális tér normális (és ezért teljesen normális, az alterek korábbi stabilitása alapján). Jobb: az összes zárt diszjunkt E és F az ilyen terület X , e és f pedig folytonos függvényeket, amelyek eltűnnek pontosan ilyen zárt, a függvény folytonos, és értéke 0, pontosan a E és 1 pontosan a F .
Bármilyen teljesen normális tér egy tér G δ (a) , azaz olyat, amelyben bármely zárt egy részhalmaza G δ (megszámlálható metszéspontjában nyílások), ebben az esetben , de a fordítottja is hamis: a K-topológia egy G rés δ IS nem egészen normális vagy akár normális.
Az eredeti meghatározás ( Čech és ennek megfelelője miatt ): egy tér teljesen normális, ha egy normális G δ tér .
A teljesen normális, de nem teljesen normális térre példa a [0, ω₁] (a sorrend topológiájával együtt), ahol ω₁ az első megszámlálhatatlan sorszámot jelöli .
(en) Karl H. Hofmann, „ Az alacsony elválasztási axiómák (T 0 ) és (T 1 ) ” , Darmstadti Műszaki Egyetem ,2001
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">