Véletlen változók konvergenciája

A valószínűségelméletben a véletlen változók konvergenciájának különböző fogalmai vannak . A véletlen változók szekvenciáinak konvergenciája (az alábbiakban leírt egyik értelemben) a valószínűségelmélet fontos fogalma, amelyet különösen a statisztikában és a sztochasztikus folyamatok tanulmányozásában használnak . Például $n$ független és azonos eloszlású véletlen változó átlaga szinte biztosan konvergál e véletlen változók közös várakozásához (ha van ilyen). Ez az eredmény a nagy számok erős törvényeként ismert .

Ebben a cikkben feltételezzük, hogy $( X n )$ valós véletlen változók sorozata , hogy $X$ valós véletlen változó, és hogy ezek a változók ugyanazon a valószínűségi téren vannak meghatározva . $(\ Omega, \ mathcal {F}, \ mathbb {P})$

Konvergencia a jogban

Let $F 1 , F 2 , ...$ a következtében a eloszlásfüggvényeket kapcsolódó valószínűségi változók $X 1 , X 2 , ...$ , és $F$ az eloszlásfüggvénye a valódi véletlen változó $X$ . Más szóval, $F n$ van meghatározva $F n ( x ) = P ( X n \leq x )$ , és $F$ a $F ( x ) = P ( X \leq x )$ .

Az $X n$ szekvencia törvényben vagy eloszlásban konvergál $X$ -hez , ha

\ lim _ {{n \ rightarrow \ infty}} F_ {n} (a) = F (a),

minden valós

a

hol

F

jelentése folyamatos .

Mivel $F ( a ) = P ( X \leq a )$ , ez azt jelenti, hogy annak a valószínűsége, hogy $X$ egy bizonyos intervallumhoz tartozik, nagyon közel áll annak a valószínűségéhez, hogy $X n$ ebben az intervallumban $n$ elég nagy. A jogi konvergenciát gyakran megjegyzik

X_ {n} {\ xrightarrow {{\ mathcal {L}}}} X

vagy

X_ {n} {\ xjobboldali {d}} X

A jogi konvergencia a leggyengébb forma abban az értelemben, hogy általában nem jelenti az alábbiakban meghatározott konvergencia egyéb formáit, míg a konvergencia ezen egyéb formái a jogi konvergenciát jelentik. Ezt a fajta konvergenciát alkalmazzák a Központi Határ Tételben .

Ekvivalens módon az $( X n )$ szekvencia törvényben konvergál $X-hez$ , és csak akkor, ha bármilyen korlátozott folytonos függvény esetén

{\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ mathbb {E} [f (X_ {n})] = \ mathbb {E} [f (X)].}

Tétel folytonossági Levy - Legyen $φ n ( t )$ a karakterisztikus függvénye az $X n$ és $φ ( t )$ , hogy az $X$ . Így

\ left \ {\allall t \ in {\ mathbb {R}}: \ varphi _ {n} (t) \ to \ varphi (t) \ right \} \ quad \ Leftrightarrow \ quad \ left \ {X_ {n } {\ xrightarrow {{\ mathcal L}}} X \ right \}

Más szóval, $( X n )$ eloszlásban konvergál $X$ akkor és csak akkor, ha a karakterisztikus függvénye a valós valószínűségi változó $X n$ konvergál egyszerűen a karakterisztikus függvénye az igazi valószínűségi változó $X$ .

Példa: központi határ tétel:

A központosított és integrálható, négyzet alakú véletlen változók, függetlenek és azonos törvények átlaga, miután $\sqrt n$ újra normalizálta, konvergál a törvényben a normál törvény felé

{\ sqrt {n}} {\ bar X} _ {n} {\ xrightarrow {{\ mathcal {L}}}} {\ mathcal {N}} (0, \ sigma ^ {2}).

Példa: a hallgatói törvény konvergenciája:

A $k$ Student disztribúciós paraméter konvergál, ha $k$ $+ + -ra$ hajlik , a Gauss-törvényhez :

{\ mathrm {t}} (k) {\ xrightarrow {{\ \ mathcal {L}}}} {\ mathcal {N}} (0,1).

Ebben az esetben mi is használni Scheffé lemma , amely egy konvergencia kritérium egy sor sűrűségű véletlen változók felé sűrűségű véletlen változó .

Példa: elfajult törvény:

A szekvencia a törvényben konvergál egy degeneráltnak nevezett $X$ $0$ véletlen változó felé , amely egyetlen valószínűséggel (0) vesz fel 1 valószínűséggel (néha Dirac tömegről beszélünk 0-ban, megjegyezte $ée$ $0$ ): ${\ mathcal {N}} \ balra (0, {\ frac {1} {n}} \ jobbra)$

{\ mathbb {P}} (X_ {0} \ leq x) = \ delta _ {0} \ left (] - \ infty, x] \ right) = {\ begin {esetben} 0 és {\ text {si }} x <0, \\ 1 és {\ text {si}} x \ geq 0. \ end {esetek}}

Konvergencia a valószínűségben

Definíció - Legyen $( X n ) n$ valós véletlen változók sorozata, ugyanazon a valószínűségi téren definiálva . Azt mondjuk, hogy $X$ $n$ valószínűség szerint konvergál $X-hez$ , ha ${\ displaystyle \ left (\ Omega, {\ mathcal {A}}, \ mathbb {P} \ right)}$

\ forall \ varepsilon> 0, \ qquad \ lim _ {{n \ rightarrow \ infty}} {\ mathbb {P}} \ left (\ left | X_ {n} -X \ right | \ geq \ varepsilon \ right) = 0.

Néha megjegyezzük

X_ {n} {\ xjobboldali {p}} X

vagy

X_ {n} {\ xrightarrow {{\ mathbb {P}}}} X

Lemma - Ha a következő konvergenciák vannak, $( E , d )$ és in $\ mathbb {R}$

X_ {n} {\ xrightarrow [{}] {(d)}} X \ qquad {\ text {és}} \ qquad d (X_ {n}, Y_ {n}) {\ xrightarrow [{}] {( d)}} 0

így van

(X_ {n}, Y_ {n}) {\ xrightarrow [{}] {(d)}} (X, X)

a végtelen távolsággal biztosított $E \times E$ térben .

Demonstráció

Hagyja, $F$ zárt $E \times E$ . Minden $ε > 0$ esetén jelöljük

{\ displaystyle F _ {\ varepsilon}: = \ {(x, y) \ E \ alkalommal E: d _ {\ infty} ((x, y), F) \ leq \ varepsilon \}}

Így

{\ mathbb {P}} ((X_ {n}, Y_ {n}) \ in F) \ leq {\ mathbb {P}} ((X_ {n}, X_ {n}) \ in F _ {{ \ epsilon}}) + {\ mathbb {P}} (d (X_ {n}, Y_ {n}) \ geq \ epsilon)

A két feltételezés és a 3 e pontos tételből álló állvány segítségével $átadható limsupot$ kapunk

\ limsup _ {n} {\ mathbb {P}} ((X_ {n}, Y_ {n}) \ in F) \ leq {\ mathbb {P}} ((X, X) \ in F _ {{ \ epsilon}})

akkor úgy, hogy az $ε$ 0 felé hajlik , mivel F zárva van

\ limsup _ {n} {\ mathbb {P}} ((X_ {n}, Y_ {n}) \ F-ben) \ leq {\ mathbb {P}} ((X, X) \ F-ben

Arra a következtetésre jutottunk segítségével ismét a 3 rd pont a fogas tétel.

Tulajdonság - Ha $X n$ valószínűség szerint konvergál $X-hez$ , akkor $X n$ törvényben $X$ -hez konvergál .

Demonstráció

Az előző lemma következménye, ha $X n = X-et$ vesszük, és megjegyezzük, hogy a törvényi konvergencia

d (X, Y_ {n}) {\ xjobboldali nyíl [{}] {(d)}} 0

in egyenértékű a valószínűség konvergenciájával $\ mathbb {R}$

Y_ {n} {\ xrightarrow [{}] {{\ mathbb {P}}}} X

$( E , d )$ -ben .

Ellenkező esetben a következőképpen járhat el. Kezdjük egy lemma megfogalmazásával.

Lemma - Legyen $X$ , $Y$ valós véletlenszerű változó, $c$ a valós és $ε > 0$ . Így

{\ mathbb {P}} (Y \ leq c) \ leq {\ mathbb {P}} (X \ leq c + \ varepsilon) + {\ mathbb {P}} (XY> \ varepsilon)

Valóban elegendő észrevenni, hogy:

\ {Y \ leq c \} \ subset \ {X \ leq c + \ varepsilon \} \ cup \ {X> c + \ varepsilon, Y \ leq c \}

Az egyenlőtlenség természetesen következik.

Az összes $ε > 0$ esetén ennek a lemának köszönhető:

{\ mathbb {P}} (X_ {n} \ leq a) \ leq {\ mathbb {P}} (X \ leq a + \ varepsilon) + {\ mathbb {P}} (\ balra | X_ {n} - X \ jobb |> \ varepsilon)

{\ mathbb {P}} (X \ leq a- \ varepsilon) \ leq {\ mathbb {P}} (X_ {n} \ leq a) + {\ mathbb {P}} (\ balra | X_ {n} -X \ right |> \ varepsilon)

Így van

{\ mathbb {P}} (X \ leq a- \ varepsilon) - {\ mathbb {P}} (\ left | X_ {n} -X \ right |> \ varepsilon) \ leq {\ mathbb {P}} (X_ {n} \ leq a) \ leq {\ mathbb {P}} (X \ leq a + \ varepsilon) + {\ mathbb {P}} (\ balra | X_ {n} -X \ jobbra |> \ varepsilon).

Bármelyik $az$ $F X$ folytonosságának pontja . Rögzítünk egy valós $ε ' > 0 értéket$ . A folytatásával a $F X$ at $egy$ , létezik egy valódi $ε > 0$ oly módon, hogy

{\ displaystyle | \ mathbb {P} (X \ leqslant a + \ varepsilon) - \ mathbb {P} (X \ leqslant a) | <\ varepsilon '\ mathrm {és} | \ mathbb {P} (X \ leqslant a - \ varepsilon) - \ mathbb {P} (X \ leqslant a) | <\ varepsilon '}

A konvergencia $( X n ) n$ a valószínűsége, hogy $az X$ , akkor következtetni lehet arra, hogy létezik egy egész szám $N$ , hogy: ha $n$ $\geq$ $N$ . ${\ mathbb {P}} (\ bal | X_ {n} -X \ jobb |> \ varepsilon) <\ varepsilon '$

Hol: . ${\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N}, n \ geqslant N \ Rightarrow | \ mathbb {P} (X_ {n} \ leqslant a) - \ mathbb {P} (X \ leqslant a) | <2 \ varepsilon '}$

Slutsky-tétel - Ha $X n$ konvergál a jogot , hogy $X$ , és ha $Y n$ konvergál valószínűsége, hogy állandó $c$ , akkor a páros $( X n , Y n )$ konvergál jog a pár $( X , c )$ .

Szinte biztos konvergencia

Definíció - Azt mondjuk, hogy $X n$ majdnem biztosan konvergál az $X$ , ha

{\ mathbb {P}} \ bal (\ lim _ {{n \ rightarrow \ infty}} X_ {n} = X \ jobb) = 1

vagy azzal egyenértékű módon, ha létezik - elhanyagolható $N$ $\subset Ω$ részhalmaz , amely $\ mathbb {P}$

\ forall \ omega \ in \ Omega \ setminus N, \ qquad X_ {n} (\ omega) {\ xrightarrow [{n \ to \ infty}] {}} X (\ omega)

Szinte mindenhol beszélünk a konvergenciáról , vagy 1 vagy nagyobb valószínűséggel , és írunk

X_ {n} {\ xjobboldali {ps}} X

vagy angolul ( szinte biztosan )

X_ {n} {\ xrightarrow {as}} X

A szinte biztonságos konvergenciát a következőképpen írják át:

{\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0, \ qquad \ mathbb {P} \ bal (\ liminf _ {n} \ {| X_ {n} -X | <\ varepsilon \} \ right) = 1}

vagy

{\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0, \ qquad \ mathbb {P} \ bal (\ limsup _ {n} \ {| X_ {n} -X |> \ varepsilon \} \ right) = 0}

vagy

{\ displaystyle \ liminf _ {n} \ {| X_ {n} -X | <\ varepsilon \}: = \ bigcup _ {N \ in \ mathbb {N}} \ bigcap _ {n \ geq N} \ { | X_ {n} -X | <\ varepsilon \} = \ {| X_ {n} -X | <\ varepsilon \ {\ textrm {a}} \ {\ textrm {start}} \ {\ textrm {d ' a}} \ {\ textrm {bizonyos}} \ {\ textrm {rang}} \}}

{\ displaystyle \ limsup _ {n} \ {| X_ {n} -X |> \ varepsilon \}: = \ bigcap _ {N \ in \ mathbb {N}} \ bigcup _ {n \ geq N} \ { | X_ {n} -X |> \ varepsilon \} = \ {| X_ {n} -X |> \ varepsilon \ {\ textrm {végtelen}} \ {\ textrm {gyakran}}. \}}

Tétel - Ha $X n$ konvergál $X$ szinte biztosan majd $X n$ konvergál $X$ a valószínűsége .

Demonstráció

By Fatou lemma , van minden $ε > 0$ :

{\ displaystyle \ liminf _ {n} \ mathbb {P} (| X_ {n} -X | <\ varepsilon) \ geq \ mathbb {P} \ bal (\ liminf _ {n} \ {| X_ {n} -X | <\ varepsilon \} \ right) = 1}

Szinte biztos, hogy a konvergenciát alkalmazzák a nagy számok erős törvényében .

Az r rend átlagos konvergenciája

Definíció - Legyen $r > 0$ és $( X n ) n$ valós véletlen változók sorozata, ugyanazon a valószínűségi téren definiálva . Azt mondjuk, hogy $X$ $n$ konvergál $X-hez$ r rend átlagaként vagy L r normaként, ha minden $n-re$ és ha $\ bal (\ Omega, \ mathcal A, P \ jobb)$ $E (| X_ {n} | ^ {r}) <+ \ infty$

\ lim _ {{n \ rightarrow \ infty}} E \ bal (\ bal | X_ {n} -X \ jobb | ^ {r} \ jobb) = 0

Néha észrevesszük . $X_ {n} {\ xrightarrow {{\ mathbb {L}} ^ {r}}} X$

Mert r = 1, akkor egyszerűen beszélni átlagos konvergencia és r = 2 Root Mean Square konvergencia .

Property - A r > s ≥ 1, norma konvergencia azt norma konvergencia . ${\ mathbb {L}} ^ {r}$ ${\ mathbb {L}} ^ {s}$

Demonstráció

Jensen egyenletlenségének egyszerű alkalmazása a konvex funkcióval $x \ mapsto x ^ {{r / s}}$

Mert r = 2, mi a következő eredménnyel:

Tulajdonság - Legyen $c$ valódi állandó. Akkor megvan

X_ {n} {\ xrightarrow {{\ mathbb {L}} ^ {2}}} c

ha, és csak akkor ha

\ lim _ {{n \ to \ infty}} {\ mathbb {E}} [X_ {n}] = c \ qquad {\ text {és}} \ qquad \ lim _ {{n \ to \ infty}} \ operátornév {Var} [X_ {n}] = 0

Demonstráció

Ez a következő azonosságot követi:

{\ mathbb {E}} \ left [(X_ {n} -c) ^ {2} \ right] = \ operátor neve {Var} (X_ {n}) + \ left ({\ mathbb {E}} [X_ {n}] - c \ jobbra) ^ {2}

Tulajdonság - Ha $X n$ konvergál $X$ -hez L r normában , akkor $X n$ konvergál $X$ -hez valószínűség szerint .

Demonstráció

A Markov-egyenlőtlenség közvetlen alkalmazása valódi véletlenszerű változókra, amelyek beengednek egy r sorrendet :

{\ mathbb {P}} \ left (\ left | X_ {n} -X \ right | \ geq \ varepsilon \ right) \ leq {\ frac {\ operátornév {E} [\ left | X_ {n} -X \ right | ^ {r}]} {\ varepsilon ^ {r}}}

Példa:

A nagy számok gyenge törvénye ennek az utóbbi két tulajdonságnak a közvetlen következménye

Egy véletlen változó függvényének konvergenciája

Egy nagyon praktikus tétel, amelyet angolul általában leképezési tételnek (en) neveznek , kimondja, hogy az $X-hez$ konvergáló változóra alkalmazott folytonos $g$ függvény minden konvergencia-módban konvergál $g$ $($ $X$ $)$ -re:

Tétel - ( leképezési tétel ) Legyen egy folytonos függvény a $C$ halmaz bármely pontján úgy, hogy : $g: \ mathbb {R} ^ {k} \ to \ mathbb {R} ^ {m}$ ${\ mathbb {P}} (X \ C-ben) = 1$

Ha ; $X_ {n} {\ xrightarrow {{\ mathcal {L}}}} X {\ text {then}} g (X_ {n}) {\ xrightarrow {{\ mathcal {L}}}} g (X)$
Ha ; $X_ {n} {\ xrightarrow {p}} X {\ text {then}} g (X_ {n}) {\ xrightarrow {p}} g (X)$
Igen . $X_ {n} {\ xrightarrow {ps}} X {\ text {then}} g (X_ {n}) {\ xrightarrow {ps}} g (X)$

Példa:

A statisztika , a konvergens becslő a variancia $σ 2$ képlet adja meg:

s _ {{n-1}} ^ {2} \ equiv {\ frac {1} {n-1}} \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} \ balra (y_ {i} - \ overline {y} \ right) ^ {2}

Mi akkor tudja a folyamatos leképezés tétel , hogy a becslés a szórás $σ$ $=$ $a \sqrt$ $σ$ $2$ $konvergens, mert a$ $gyökér$ $funkció$ $folytonos függvény.$ ${\ sqrt {s _ {{n-1}} ^ {2}}}$

Kölcsönös következmények

Összefoglalva, megvan a vonzat a véletlen változók konvergenciájának különböző fogalmai között:

{\ begin {matrix} {\ xrightarrow {L ^ {s}}} és {\ underset {s> r \ geq 1} {\ Rightarrow}} és {\ xrightarrow {L ^ {r}}} && \\ && \ Lefelé && \\ {\ xrightarrow {ps}} & \ Rightarrow & {\ xrightarrow {\ p \}} & \ Rightarrow & {\ xrightarrow {\ d \}} \ end {mátrix}}

A valószínűség konvergenciája nem jelenti a konvergenciát, és nem is biztos, hogy konvergencia, amint azt a következő példa mutatja: ${\ mathbb {L}} ^ {r}$

Példa:

Legyen $r > 0$ . $( X n ) n \geq 1$ független véletlen változók sorozatát tekintjük olyannak, hogy

{\ mathbb {P}} (X_ {n} = n ^ {{1 / r}}) = {\ frac {1} {n}} \ qquad {\ text {és}} \ qquad {\ mathbb {P }} (X_ {n} = 0) = 1 - {\ frac {1} {n}}

Az $( X n ) n$ szekvencia valószínűség szerint konvergál 0-ra, mert

\ forall \ varepsilon> 0, \ qquad \ forall n \ geq \ varepsilon, \ qquad {\ mathbb {P}} (| X_ {n} | \ geq \ varepsilon) = {\ mathbb {P}} (X_ {n } = n ^ {{1 / r}}) = {\ frac {1} {n}} \ 0-ra

Másrészt nem konvergál, mert ${\ mathbb {L}} ^ {r}$ ${\ mathbb {E}} [X_ {n} ^ {r}] = 1 \ nregyenes 0$

Mutassuk meg, hogy ez sem konvergál szinte biztosan. Ha ez lenne a helyzet, akkor a majdnem bizonyos határa szükségszerűen a valószínűségi határa lenne, mégpedig 0. Mivel azonban és mivel az $X$ $n$ véletlen változók függetlenek, Borel nulla-egy törvénye szerint : $\ sum _ {n} {\ mathbb {P}} (X_ {n} = n ^ {{1 / r}}) = + \ infty$

{\ mathbb {P}} \ balra (\ limsup _ {n} \ {X_ {n} = n ^ {{1 / r}} \} \ jobbra) = 1

azaz szinte biztosan $X n = n 1 / r$ $n$ végtelenig . Tehát szinte biztosan az A fortiori $X$ $n$ szinte nem konvergál 0-ra. $\ limsup _ {n} X_ {n} = + \ infty.$

Példa:

Az előző példában annak elkerülése érdekében, hogy Borel nulla egy törvényéhez folyamodjunk, az $X n$ szekvenciát kifejezetten az alábbiak szerint definiálhatjuk . Válasszuk $Ω = [0; 1]$ ellátva annak Borelian törzs és a Lebesgue intézkedés . Mi jelent , az , akkor $a_ {1}: = 0$ $a_ {n}: = {\ frac {1} {2}} + \ cdots + {\ frac {1} {n}} {\ pmod 1}$ $n \ geq 2$

I_ {n}: = \ balra \ {{\ kezdődik {mátrix} \ balra [a _ {{n-1}}, a_ {n} \ jobbra] és {\ text {si}} a _ {{n- 1}} <a_ {n} \\\ balra [0, a_ {n} \ jobbra] \ csésze \ balra [a _ {{n-1}}, 1 \ jobbra] és {\ text {si}} a _ {{n -1}}> a_ {n} \ end {mátrix}} \ right.

Végül meghatározzuk

X_ {n} (\ omega): = \ bal \ {{\ begin {mátrix} n ^ {{1 / r}} és {\ text {si}} \ omega \ I_ {n} \\ 0 és { \ text {si}} \ omega \ notin I_ {n} \ end {mátrix}} \ right.

Az így definiált $X n$ nem független, de igazolja, mint az előző példában

{\ mathbb {P}} \ balra (\ limsup _ {n} \ {X_ {n} = n ^ {{1 / r}} \} \ jobbra) = 1

Néhány kivételtől eltekintve ezek a következmények szigorúan véve nincsenek kölcsönös viszonyok. Az alábbiakban azonban bemutatunk néhány hasznos tulajdonságot, amelyek leírhatók a "kölcsönösség látszatának":

Ha $X n$ a törvényben konvergál egy valódi $c$ állandó felé , akkor $X n$ valószínűséggel konvergál a $c$ felé .
Ha $X n$ valószínűséggel konvergál $X-hez$ , akkor létezik olyan alszekvencia, amely szinte biztosan konvergál $X-hez$ . ${\ displaystyle X _ {\ sigma (n)}}$
Ha $X n$ valószínűség szerint konvergál $X-hez$ , és ha minden $n-re$ és néhány b-re vonatkozik , akkor $X$ $n$ átlagosan $r$ és $X$ sorrendben konvergál minden $r$ $\geq 1 esetén$ . Általánosabban elmondható, hogy ha $X$ $n$ valószínűség szerint konvergál $X-hez$ , és ha a család ( $X$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (| X_ {n} | \ leq b) = 1}$ $p n$ ) Egységesen integrálható, akkor $X n$ p és $X$ sorrendben konvergál .
Ha az összes $ε > 0$ ,

$\ sum _ {n} {\ mathbb P} \ bal (| X_ {n} -X |> \ varepsilon \ jobb) <\ infty,$ akkor $X n$ szinte biztosan konvergál $X-hez$ . Más szavakkal, ha $X n$ konvergál valószínűsége, hogy $X$ elég gyorsan ( i . E . A fenti sorozat konvergál minden $ε > 0$ ), akkor $X n$ konvergál szinte biztosan, hogy a $X$ . Ez a Borel-Cantelli-tétel közvetlen alkalmazásából adódik .

Legyen $( X n ) n \geq 1$ független valós véletlen változók sorozata. Az $n$ értékre beállítjuk:

$S_ {n} = X_ {1} + \ cdots + X_ {n}$ . Ekkor a szekvencia $( S n ) n \geq 1$ szinte biztos konvergenciája egyenértékű annak valószínűség szerinti konvergenciájával; más szavakkal, az $X n$ általános kifejezés sorozatának szinte biztos konvergenciája egyenértékű annak valószínűségi konvergenciájával.

Szerint Skorokhod reprezentációs tétel , ha $X n$ eloszlásban konvergál $X$ , akkor van másolatai $X n$ és $X$ , mondjuk $Y n$ és $Y$ , oly módon, hogy $Y n$ konvergál szinte biztosan, hogy $Y$ . (Lásd: Konvergencia a törvényben és az elosztási funkcióban, és különösen (1 → 3).)

Megjegyzések és hivatkozások

Erről a példáról bővebben lásd Davidson és McKinnon 1993 , fejezet. 4.
Vaart 1998 , p. 7.

Bibliográfia

en) Russell Davidson és James McKinnon ( német nyelvről lefordítva ), Becslés és következtetés az ökonometria területén , New York, Oxford University Press ,1993, 874 p. ( ISBN 978-0-19-506011-9 , LCCN 92012048 ) , p. 874
(hu) GR Grimmeti és DR Stirzaker , Valószínűségszámítás és véletlenszerű folyamatok , Oxford, Clarendon Press,1992, 2 nd ed. ( ISBN 0-19-853665-8 ) , p. 271-285
en) Adrianus Willem van der Vaart ( német fordítás ), Asymptotic Statistics , Cambridge, Cambridge University Press ,1998, 1 st ed. , 443 p. , keménytáblás ( ISBN 978-0-521-49603-2 , LCCN 98015176 ) , p. 443

Külső linkek

[1] : 1. évfolyam a párizsi központi iskolában a random változók konvergenciájáról