Kettős kúp

A matematika , és pontosabban konvex analízis , a kettős kúp egy része egy euklideszi tér a halmaza vektorok az képező szöge kisebb, mint a vektorok . Ez egy zárt, nem üres domború kúp . P{\ displaystyle P} E{\ displaystyle E}E{\ displaystyle E}π/2{\ displaystyle \ pi / 2}P{\ displaystyle P}

Mi határozza meg általában, egy része a valós vektor tér , a kettős (algebrai) kúp , amely a kúp a duális tér , és ha egy topológiai vektor tér , a topológiai kettős kúp , amely a kúp a topológiai kettős . P{\ displaystyle P} E{\ displaystyle E}P{\ displaystyle P} E∗{\ displaystyle E ^ {*}}E{\ displaystyle E}P{\ displaystyle P} E′{\ displaystyle E '}

Definíciók

Legyen egy valódi vektortér nem üres része . A kettős kúpja az által meghatározott halmazP{\ displaystyle P}E{\ displaystyle E}P{\ displaystyle P}P∗⊂E∗{\ displaystyle P ^ {*} \ E ^ {*}} részhalmaz

P∗: ={y∈E∗∣∀x∈P⟨y,x⟩⩾0},{\ displaystyle P ^ {*}: = \ {y \ E ^ -ben {*} \ közepes \ összes x \ -ban P \; \; \ langle y, x \ rangle \ geqslant 0 \},}

vagyis a sor lineáris formák szóló melyek pozitív . E{\ displaystyle E}P{\ displaystyle P}

Ez a kúp is néha a pozitív kettős kúp , míg az ellentétes az úgynevezett negatív kettős kúp (vagy néha poláris kúp , bár az utóbbi is utal, hogy egy másik koncepció). -P∗{\ displaystyle -P ^ {*}}

A bidual kúp a jelentése . P{\ displaystyle P}P∗∗: =(P∗)∗{\ displaystyle P ^ {**}: = (P ^ {*}) ^ {*}}

Ha egy igazi topológiai vektor tér, definiáljuk analóg módon a topológiai kettős kúp: a kúp folyamatos lineáris formák szóló melyek pozitív . E{\ displaystyle E}P′⊂P∗{\ displaystyle P ^ {'} \ P halmaz P ^ {*}}E{\ displaystyle E}P{\ displaystyle P}

Ha van a véges dimenzióban , és . E{\ displaystyle E}E′=E∗{\ displaystyle E '= E ^ {*}}P′=P∗{\ displaystyle P '= P ^ {*}}

Ha egy Hilbert-tér valóságos, a Riesz reprezentációs tétele azonosítására használnak a , és ezért egy kúp . A kúpról akkor azt mondják, hogy autodual, ha egyenlő a kettősével. E{\ displaystyle E}E′{\ displaystyle E '}E{\ displaystyle E}P′{\ displaystyle P '}E{\ displaystyle E}

E két speciális eset metszéspontja az, ahol egy euklideszi tér van. Csak ezt az esetet vesszük figyelembe a cikk további részében. E{\ displaystyle E}

Jelölések

E{\ displaystyle E}és euklideszi tereket jelölnek (a hozzájuk tartozó skaláris szorzatot és normát jelöljük , ill. F{\ displaystyle F}⟨⋅,⋅⟩{\ displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}‖⋅‖{\ displaystyle \ | \ cdot \ |}

Bármelyik része . Észrevettük P{\ displaystyle P}E{\ displaystyle E}

• P¯{\ displaystyle {\ overline {P}}}a tapadást a .P{\ displaystyle P}
• társ⁡P{\ displaystyle \ kezelőnév {co} P}A konvex borítékot a és annak zárt konvex borítékot .P{\ displaystyle P}társ¯P: =társ⁡P¯{\ displaystyle {\ overline {\ operatornév {co}}} P: = {\ overline {\ operátornév {co} P}}}

Jelöljük az affin borítékot egy nem - üres konvex a és annak relatív belsejének . aff⁡VS{\ displaystyle \ kezelőnév {aff} C}VS{\ displaystyle C}E{\ displaystyle E}ir⁡VS{\ displaystyle \ kezelőnév {ir} C}

Bármely lineáris leképezés , a térkép a járuléka az . NÁL NÉL:E→F{\ displaystyle A: E \ - F}NÁL NÉL∗:F→E{\ displaystyle A ^ {*}: F \ E-igNÁL NÉL{\ displaystyle A}

Minden mátrix , a mátrix a transzponáltja a . NÁL NÉL{\ displaystyle A}NÁL NÉL⊤{\ displaystyle A ^ {\ top}}NÁL NÉL{\ displaystyle A}

Az első tulajdonságok

P∗{\ displaystyle P ^ {*}}egyértelműen a zárt, nem üres konvex kúp , mint metszéspontja az nem üres család zárt félig terek , indexelt . E{\ displaystyle E}{y∈E∣⟨x,y⟩⩾0}{\ displaystyle \ {y \ E \ mid \ langle x, y \ rangle \ geqslant 0 \}}x∈P{\ displaystyle x \ in P}

A következő tulajdonságokkal is rendelkezünk.

Hagyja , és nem üres rész és egy nemüres család a nemüres részein . Így : P{\ displaystyle P}Q{\ displaystyle Q}E{\ displaystyle E}(Pén)én∈én{\ displaystyle (P_ {i}) _ {i \ I}} -banE{\ displaystyle E}

1. (∪én∈énPén)∗=∩én∈énPén∗{\ displaystyle (\ cup _ {i \ in I} P_ {i}) ^ {*} = \ cap _ {i \ in I} P_ {i} ^ {*}} ;
2. P∗=(társ¯(R+P))∗{\ displaystyle P ^ {*} = \ balra ({\ overline {\ operátornév {co}}} (\ mathbb {R} _ {+} P) \ jobbra) ^ {*}} ;
3. A bidual a legkisebb zárt konvex kúp tartalmazó  :  ;P{\ displaystyle P}P{\ displaystyle P}P∗∗=társ¯(R+P){\ displaystyle P ^ {**} = {\ overline {\ operátornév {co}}} (\ mathbb {R} _ {+} P)}
4. (P+Q)∗⊃P∗∩Q∗{\ displaystyle (P + Q) ^ {*} \ supset P ^ {*} \ cap Q ^ {*}}, egyenlőséggel, ha  ;0∈P∩Q¯{\ displaystyle 0 \ in {\ overline {P \ cap Q}}}
5. ha és zárt konvex kúpok akkor .P{\ displaystyle P}Q{\ displaystyle Q}(P∩Q)∗=P∗+Q∗¯{\ displaystyle (P \ cap Q) ^ {*} = {\ overline {P ^ {*} + Q ^ {*}}}}

Megjegyzések

• A 3. pont egyenlőségében az azonnali befogadás azt a tényt jelenti, amely zárt konvex kúpot tartalmaz . A kölcsönös zárvány ,, geometrikusan értelmezhető a következőképpen. Ez azt jelenti, hogy ha egy vektor nem tartozik , akkor , ami annyit jelent, hogy létezik egy vektort úgy, hogy vagy újra, mint például egy bizonyos ortogonális hipers'ıkot hogy szigorúan elválasztani ettől . A 3. pont igazolása a két domború szigorú elválasztásával is elvégezhető ( Hahn-Banach tétel ).társ¯(R+P)⊂P∗∗{\ displaystyle {\ overline {\ operátornév {co}}} (\ mathbb {R} _ {+} P) \ P részhalmaz P ^ {**}}P∗∗{\ displaystyle P ^ {**}}P{\ displaystyle P}P∗∗⊂társ¯(R+P){\ displaystyle P ^ {**} \ subset {\ overline {\ operatorname {co}}} (\ mathbb {R} _ {+} P)}b{\ displaystyle b}társ¯(R+P){\ displaystyle {\ overline {\ operátornév {co}}} (\ mathbb {R} _ {+} P)}b∉P∗∗{\ displaystyle b \ notin P ^ {**}}y0∈P∗=(társ¯(R+P))∗{\ displaystyle y_ {0} \ in P ^ {*} = \ left ({\ overline {\ operatorname {co}}} (\ mathbb {R} _ {+} P) \ right) ^ {*}}⟨y0,b⟩<0{\ displaystyle \ langle y_ {0}, b \ rangle <0}y0{\ displaystyle y_ {0}}{b}{\ displaystyle \ {b \}}társ¯(R+P){\ displaystyle {\ overline {\ operátornév {co}}} (\ mathbb {R} _ {+} P)}
• Az 5. pontban (amelyet a kettősségből levezetnek a 4-ből) eltávolíthatjuk az adhéziót, ha és sokszögűek vagyunk (mint egy bizonyos pozitív ortánsa ) - mert akkor a sokszög tehát zárt -, vagy ha , de ez nem elég . Például, ha a kürt van, és ha igen ( autodualité kürt) , miközben nincs zárva.P{\ displaystyle P}Q{\ displaystyle Q}Ro{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {p}}P∗+Q∗{\ displaystyle P ^ {*} + Q ^ {*}}ir⁡P∩ir⁡Q≠∅{\ displaystyle \ operátornév {ir} P \ cap \ operátornév {ir} Q \ neq \ varnothing}P∩ir⁡Q≠∅{\ displaystyle P \ cap \ operátornév {ir} Q \ neq \ varnothing}R3{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}P{\ displaystyle P} R▽3{\ displaystyle \ mathbb {R} _ {\ triangledown} ^ {3}}Q={x∈R3∣x2=x3}{\ displaystyle Q = \ {x \ in \ mathbb {R} ^ {3} \ x x_ {2} = x_ {3} \}}P∗=R▽3{\ displaystyle P ^ {*} = \ mathbb {R} _ {\ triangledown} ^ {3}}Q∗={d∈R3∣d1=0,d2+d3=0}{\ displaystyle Q ^ {*} = \ {d \ in \ mathbb {R} ^ {3} \ d_ közepén {1} = 0, \; d_ {2} + d_ {3} = 0 \}}P∩ir⁡Q=P∩Q={x∈R3∣x1=0,x2=x3≥0}≠∅{\ displaystyle P \ cap \ operátornév {ir} Q = P \ cap Q = \ {x \ in \ mathbb {R} ^ {3} \ x x {1} = 0, \; x_ {2} = x_ { 3} \ geq 0 \} \ neq \ lakkozás}P∗+Q∗={d∈R3∣d2+d3>0}∪{d∈R3∣d1=0,d2+d3=0}{\ displaystyle P ^ {*} + Q ^ {*} = \ {d \ in \ mathbb {R} ^ {3} \ d közepén {2} + d_ {3}> 0 \} \ csésze \ {d \ itt: \ mathbb {R} ^ {3} \ d_ közepe {1} = 0, \; d_ {2} + d_ {3} = 0 \}}

Farkas lemma és következményei

Farkas lemmája különféle értelmezésekkel bír. Itt azt látjuk, hogy a lineáris térkép segítségével meghatározott halmaz kettős kúpját kiszámíthatjuk.

Általánosított Farkas lemma

A kettõs kúp fogalma általánosítja az ortogonális altér fogalmát , mivel ha egy altér vektor, akkor . Jól tudjuk, a mátrix esetében a kapcsolat P{\ displaystyle P}P∗=P⊥{\ displaystyle P ^ {*} = P ^ {\ perp}}NÁL NÉL{\ displaystyle A}

Ker⁡(NÁL NÉL⊤)⊥=Im⁡(NÁL NÉL){\ displaystyle {\ operátornév {Ker} {(A ^ {\ top})}} ^ {\ perp} = \ operátornév {Im} {(A)}},

amely megtanítja nekünk, hogy mi a homogén lineáris egyenletrendszer által meghatározott halmaz kettős kúpja . Természetes kérdés az, hogy feltesszük, mi a homogén lineáris egyenlőtlenségek által adott halmaz kettős kúpja . Erre a kérdésre Farkas lemma ad választ ( lásd alább ), amelyet a következőképpen lehet általánosítani.

Általánosított Farkas lemma  -  Legyen egy lineáris térkép és egy nem üres konvex kúp . Így, NÁL NÉL:E→F{\ displaystyle A: E \ - F}K{\ displaystyle K}E{\ displaystyle E}

(NÁL NÉL∗-1(K∗))∗=NÁL NÉL(K)¯.{\ displaystyle \ left ({A ^ {*}} ^ {- 1} (K ^ {*}) \ right) ^ {*} = {\ overline {A (K)}}.}

Egy azonnali számítás azt mutatja, hogy minden nem üres része az , . Következésképpen az „általánosított Farkas lemma” a fenti 3 tulajdonság egyszerű avatara (bármilyen konvex kúp esetében ), ezért geometriai értelemben ugyanúgy értelmezhető. K{\ displaystyle K}E{\ displaystyle E}(NÁL NÉL∗-1(K∗))∗=NÁL NÉL(K)∗∗{\ displaystyle \ balra ({A ^ {*}} ^ {- 1} (K ^ {*}) \ jobbra) ^ {*} = A (K) ^ {**}}P{\ displaystyle P}P∗∗=P¯{\ displaystyle P ^ {**} = {\ overline {P}}}

Ne feledje, hogy az „általánosított Farkas lemma” azonosságát azért is írják, mert - ellentétben - a domború kúp szükségképpen zárva van, ezért egyenlő a kettősével. NÁL NÉL∗-1(K∗)=(NÁL NÉL(K))∗{\ displaystyle {A ^ {*}} ^ {- 1} (K ^ {*}) = (A (K)) ^ {*}}NÁL NÉL(K){\ displaystyle A (K)}NÁL NÉL∗-1(K∗){\ displaystyle {A ^ {*}} ^ {- 1} (K ^ {*})}

Az azonosító a „generalizált Farkas lemma” lehetővé teszi, hogy egy szükséges feltétele a lineáris rendszer van egy megoldás a . Valóban szükség van erre és ezért arra NÁL NÉLx=b{\ displaystyle Ax = b}x{\ displaystyle x}K{\ displaystyle K}b∈NÁL NÉL(K)⊂NÁL NÉL(K)¯{\ displaystyle b \ A (K) \ részhalmazban {\ overline {A (K)}}}

mindenért y mint például NÁL NÉL∗y∈K∗ mi vagyunk ⟨y,b⟩⩾0.{\ displaystyle {\ mbox {mindenre}} ~ y ~ {\ mbox {úgy, hogy}} ~ A ^ {*} y \ a K ^ -ban {*} ~ {\ mbox {van}} ~ \ langle y, b \ rangle \ geqslant 0.}

Ha zárt (például ha - tehát szintén - sokszögű, vagy ha zárt és ), akkor ez a feltétel be van kapcsolva és szintén elegendő. Ha nincs lezárva, megtalálhatjuk a szükséges és elégséges feltételeket , amelyek megerősítik a fenti kifejezést. Mikor van a pozitív ortánsa , zárva van, és a más formában kifejezett eredményt akkor alternatív tételnek nevezzük (az Alternatív tételek cikkben különféle variációkat veszünk figyelembe ). NÁL NÉL(K){\ displaystyle A (K)}K{\ displaystyle K}NÁL NÉL(K){\ displaystyle A (K)}K{\ displaystyle K}-K∩Ker⁡NÁL NÉL⊂K{\ displaystyle -K \ cap \ operátornév {Ker} A \ K halmazNÁL NÉL{\ displaystyle A}b{\ displaystyle b}NÁL NÉL(K){\ displaystyle A (K)}b∈NÁL NÉL(K){\ displaystyle b \ A (K) -ben}K{\ displaystyle K}Rnem{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}NÁL NÉL(K){\ displaystyle A (K)}

Következmények

1. következmény (Farkas)  -  Bármely mátrixhoz , B{\ displaystyle B}

{y∣B⊤y⩾0}∗={Bx∣x⩾0},{\ displaystyle \ {y \ mid B ^ {\ top} y \ geqslant 0 \} ^ {*} = \ {Bx \ x x geqslant 0 \},}

ahol az euklideszi skaláris szorzat kettős kúpját jelöli. {⋅}∗{\ displaystyle \ {\ cdot \} ^ {*}}

Megtaláljuk az azonosságot, amikor ( blokkokban ). Ker⁡(NÁL NÉL⊤)⊥=Im⁡(NÁL NÉL){\ displaystyle {\ operátornév {Ker} {(A ^ {\ top})}} ^ {\ perp} = \ operátornév {Im} {(A)}}B=(NÁL NÉL-NÁL NÉL){\ displaystyle B = {\ elején {pmatrix} A & -A \ vége {pmatrix}}}

Corollárium 2 (kettős egy konvex poliéder)  -  A kettős kúpos egy konvex poliéder az egy konvex poliéder. E{\ displaystyle E}

A kettős kúp belseje és relatív belseje  -  Legyen az ortogonális kivetítő és legyen a vektor altéren . Így P⊂E{\ displaystyle P \ E alkészlet}P(aff⁡P∗){\ displaystyle P _ {(\ operátornév {aff} {P ^ {*}})}}aff⁡P∗{\ displaystyle \ kezelőnév {aff} {P ^ {*}}}

d∈int⁡P∗⟺∃ε>0, ∀x∈P, nekünk van ⟨d,x⟩⩾ε‖x‖.d∈ir⁡P∗⟺∃ε>0, ∀x∈P, nekünk van ⟨d,x⟩⩾ε‖P(aff⁡P∗)x‖.{\ displaystyle {\ begin {tömb} {rcl} d \ a \ operátornévben {int} {P ^ {*}} és \ Longleftrightarrow & \ létezik \, \ varepsilon> 0, ~ \ forall \, x \ P-ben, ~ {\ mbox {a}} ~ \ \ langle d, x \ rangle \ geqslant \ varepsilon \ | x \ |. \\ d \ in \ operátornév {ir} {P ^ {*}} és \ Longleftrightarrow & \ létezik \, \ varepsilon> 0, ~ \ forall \, x \ P-ben, ~ {\ mbox {a}} ~ \ langle d, x \ rangle \ geqslant \ varepsilon \ | P _ {(\ operátornév {aff} { P ^ {*}})} x \ |. \ End {tömb}}}

Moreau bomlás

Nyilvánvaló, hogy minden az összege pozitív és negatív részei és (komponens komponens), vagyis annak merőleges vetülete (az euklideszi skalár szorzat) on és . Moreau bomlása általánosítja a kúpok azonosságát, nem a pozitív ortáns . x∈Rnem{\ displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {n}} max(0,x){\ displaystyle \ max (0, x)}min(0,x){\ displaystyle \ perc (0, x)}R+nem{\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+} ^ {n}}R-nem{\ displaystyle \ mathbb {R} _ {-} ^ {n}}R+nem{\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+} ^ {n}}

Moreau bomlás  -  Legyen zárt konvex kúpja és negatív kettős kúpja. Jelöljük és az ortogonális projektorokkal és rendre. Ezután, a , és a megadott , a következő tulajdonságok ekvivalensek: K{\ displaystyle K}E{\ displaystyle E}K-=-K∗{\ displaystyle K ^ {-} = - K ^ {*}}PK{\ displaystyle P_ {K}}PK-{\ displaystyle P_ {K ^ {-}}}K{\ displaystyle K}K-{\ displaystyle K ^ {-}}x{\ displaystyle x}y{\ displaystyle y}z{\ displaystyle z}E{\ displaystyle E}

1. z=x+y{\ displaystyle z = x + y}, , És ,x∈K{\ displaystyle x \ K-ban}y∈K-{\ displaystyle y \ K ^ nyelven {-}}⟨x,y⟩=0{\ displaystyle \ langle x, y \ rangle = 0}
2. x=PK(z){\ displaystyle x = P_ {K} (z)}és .y=PK-(z){\ displaystyle y = P_ {K ^ {-}} (z)}

Az en bomlását a fenti 1. pont szerint Moreau-bontásnak nevezzük , amely megfelel a kúpnak . z{\ displaystyle z}x+y{\ displaystyle x + y}z{\ displaystyle z}K{\ displaystyle K}

Megjegyzések és hivatkozások

1. J.-J. Moreau , „Közelség és kettősség egy Hilbert-térben”, Bull. Soc. Math. Fr. , n o  93., 1965, p.  273-299 .
2. Különösen .P⊂Q⇒P∗⊃Q∗{\ displaystyle P \ Q részhalmaz \ Rightarrow P ^ {*} \ supset Q ^ {*}}
3. View (in) JB Lasserre, "  A szabvány nélküli Farkas lemma bezárást biztosított  " , SIAM Journal on Control and Optimization , Vol.  35,1997, P.  265-272.

Kapcsolódó cikkek

• Poláris készlet ( a kettős kúptól eltérő készlet , amelyet néha kettős készletnek is neveznek )
• Teljesen pozitív mátrixok ( ko- pozitív mátrixok kettős kúpja, a rögzített sorrendű valós szimmetrikus mátrixok terében)
• Alternatív tételek
• Koecher-Vinberg tétel

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">