Elosztási funkció

A valószínűségszámítás , a eloszlásfüggvény , vagy kumulatív eloszlási függvény , egy valódi véletlen változó $X$ jelentése a függvény $F X$ , amely a valódi $x$ , társítja a valószínűsége megszerzésének értéke kisebb vagy egyenlő:

{\ displaystyle F_ {X} (x) = \ mathbb {P} (X \ leq x)}

Ez a függvény a véletlen változó valószínűségi törvényére jellemző . Lehetővé teszi a bal oldali félnyitott intervallumok valószínűségének kiszámítását] a, b] ahol a <b, by

{\ displaystyle \ mathbb {P} (X \ in] a, b]) = \ mathbb {P} (a <X \ leq b) = F_ {X} (b) -F_ {X} (a)}

Az eloszlásfüggvény egy valószínűségi mérték meghatározása az Borelian törzs a funkció $F$ amely bármely valós $x$ társult ${\ mathbb P}$ ${\ mathcal B} (\ mathbb {R})$

F (x) = {\ mathbb P} (] - \ infty, x]).

Az első tulajdonságok

Egy valós véletlen változó eloszlásfüggvénye mindig növekszik, folyamatosan jobbra halad, nulla és 1 hüvelykkel megegyező határértékkel . $- \ infty$ $+ \ infty$

Ezzel szemben bármely, a négy tulajdonságon definiált és kielégítő függvény egy véletlen változó eloszlásfüggvénye. $\ mathbb {R}$

Példák eloszlásfüggvény-számításokra

Sűrűségváltozók

A CDF $F X$ egy véletlenszerű változó $X$ a valószínűségi sűrűség $f X$ jelentése egy primitív (abban az értelemben kissé megjelent, lásd alább) a sűrűség $f X$ . Pontosabban, $F X-$ et bármely valós $x$ számra meghatározza :

F_ {X} (x) = \ int _ {{- \ infty}} ^ {{x}} f_ {X} (t) \, {\ mathrm d} t.

Ez azonban nem minden esetben általánosságban primitív a kifejezés szoros értelmében: csak megerősíteni lehet:

hogy az $F X$ elosztási függvény szinte mindenütt differenciálható (a Lebesgue-méréshez );
Ha a változó $X$ jelentése sűrűségű legyen, majd a származék $F X$ jelentése majdnem mindenütt (a Lebesgue ) és egyenlő $F X$ .

De sok „ellenpélda” van: az egységes törvény intervallumon belüli eloszlásfüggvénye, vagy az exponenciális törvény eloszlási funkciója nem mindenben különböztethető meg, és ezért szoros értelemben nem primitívek. $\ mathbb {R},$

Figyeljük meg, hogy, ellentétben a diszkrét változó sűrűségű változó $X$ ellenőrzések bármely valós szám $még$ : tehát az eloszlás sűrűség függvényében változó folytonos minden pontján. Valójában egy valós $X$ véletlen változó akkor és csak akkor rendelkezik valószínűségi sűrűséggel, ha eloszlásfüggvénye abszolút folyamatos az egyes korlátozott intervallumokon. ${\ mathbb P} (X = a) = 0$

Diszkrét változók

A valószínűségi változó $X$ azt mondják, hogy a diszkrét, ha annak támogatása $S$ jelentése véges vagy megszámlálható , vagy, egyenértékű módon, ha létezik olyan véges vagy megszámlálható halmaz $A$ , mint például:

{\ mathbb P} (X \ A-ben) = 1.

Az $X$ törvényét egyértelműen meghatározza $( p s ) s \in S$ vagy $( p s ) s \in A adatai$ , ahol

p_ {s} = {\ mathbb P} (X = s).

Ha például $X$ egy véletlen változó valós , akkor mi

F_ {X} (x) = \ sum _ {{s \ in S}} p_ {s} 1 _ {{[s, + \ infty [}} (x).

ahol $1 E$ az $E$ halmaz indikátorfüggvénye .

A leggyakoribb diszkrét valószínűségi változók (például a egységes , binomiális , Poisson eloszlás ) $S$ egy jól rendezett halmaza : Tudjuk majd számát annak elemeit növekvő módon, pe $s 1 \leq s 2 \leq s 3 \leq ...$ átszámozására a valószínűségek $p s$ ennek megfelelően, pl azáltal $p i = p s i , i \geq 1$ . Ekkor megkapjuk, ha $x \in [ s i , s i + 1 [$ ,

F_ {X} (x) = \ összeg _ {{1 \ leq j \ leq i}} p_ {j}.

Vagy általánosabban:

{\ begin {aligned} F_ {X} (x) & = \ sum _ {{i \ geq 1}} \ q_ {i} \ 1 _ {{[s_ {i}, s _ {{i + 1} } [}} (x), \\ q_ {i} & = \ sum _ {{1 \ leq j \ leq i}} p_ {j}. \ end {igazítva}}

Az eloszlásfüggvény ekkor intervallumonként állandó függvény, és grafikus ábrázolása lépcsőzetes . A ugrik az egyik lépésben a lépcső másik találhatók az abszcisszán $s i$ , és az amplitúdó a abszcissza ugrás $s$ jelentése $p s = F X ( ek ) - F X ( k - )$ . Különösen eloszlásfüggvénye diszkrét változó $X$ jelentése szakaszos pontosan pont $s$ mint a lásd a Properties eloszlásfüggvény egy bemutatót. ${\ mathbb P} (X = s)> 0.$

Különleges eset: tisztán szinguláris folyamatos eloszlásfüggvény

A Cantor $F$ lépcső a folyamatos eloszlásfüggvény példája, de ennek a deriváltja szinte mindenhol nulla. Így az előző képletek már nem igazak a Cantor lépcsőházra: például $x > 0$ esetén nincs

{\ displaystyle F (x) = \ int _ {- \ infty} ^ {x} F ^ {\ prime} (t) \, \ mathrm {d} t}

mert $F$ szigorúan pozitív értékeket vesz fel $] 0, + \infty [-ra$ , míg a jobb oldalt alkotó integrál nulla. Valóban, az egész

{\ displaystyle \ {t \ in \ mathbb {R} \ közepén F ^ {\ prime} (t) \ neq 0 \}}

nulla Lebesgue-mérték. Ezenkívül a Cantor lépcsőhöz kapcsolódó valószínűségi törvény diffúz (atom nélkül), mivel $F$ folyamatosan be van kapcsolva . Cantor lépcsőháza valójában egy folyamatos eloszlásfüggvény példája, de nem feltétlenül folyamatos az egyes intervallumok alatt: akkor azt mondjuk, hogy pusztán egyedülálló folytonos. $\ mathbb {R}$

Elosztási függvény tulajdonságai

Jellemző tulajdonságok

Tétel - Az $X$ véletlen változó eloszlásfüggvényének a következő jellemző tulajdonságai vannak:

$F X$ jelentése növekszik ;
Mindenhol folyamatos jobbra;
$\ lim _ {{x \ to - \ infty}} F_ {X} (x) = 0$ ;
$\ lim _ {{x \ to + \ infty}} F_ {X} (x) = 1.$

Demonstráció

Az 1. pont a valószínűségi mérések növekedési tulajdonságából következik

\ {x \ leq y \} \ Rightarrow \ {] - \ infty, x] \ \ subset \] - \ infty, y] \} \ Rightarrow \ {{\ mathbb P} _ {{X}} (] - \ infty, x]) \ leq {\ mathbb P} _ {{X}} (] - \ infty, y]) \}.

Mivel $F X$ jelentése monoton függvény , 2. pont csökkenti azt mutatják, hogy

\ lim _ {n} F _ {{X}} \ balra (x + {\ tfrac 1n} \ jobbra) = F _ {{X}} (x),

vagy ezzel egyenértékűen

\ lim _ {n} {\ mathbb P} _ {{X}} \ left (\ left] - \ infty, x + {\ tfrac 1n} \ right] \ right) = {\ mathbb P} _ {X} \ bal (\ bal] - \ infty, x \ jobb] \ jobb).

De a boréliaiak $] -\infty, x + 1 / nem [$ csökkenő szekvenciát képez, és

\ bigcap _ {{n \ geq 1}} \ bal] - \ infty, x + {\ tfrac 1n} \ right] \ = \ \ left] - \ infty, x \ right],

ezért a 2. pont a valószínűségek axiómáinak következménye . Mivel $F X$ monoton, a 3. pontot csökkenteni lehet ennek bizonyítására

\ lim _ {n} F_ {X} (- n) = 0.

Ez ismét a valószínűségek axiómáinak következménye , mivel

\ bigcap _ {{n \ geq 1}} \ balra] - \ infty, -n \ jobbra] = = \ ürít.

A 4. pont ugyanúgy következik a

\ bigcup _ {{n \ geq 1}} \ bal] - \ infty, n \ right] \ = \ \ mathbb {R}.

Mint mondtuk, rámutat 1-4 jellemző az eloszlási függvény egy valódi valószínűségi változó $X$ : adott egy valós függvény a valós változó, Jelöljük $F$ , kielégíti pontokat 1-től 4, tudjuk építeni konkrétan egy igazi valószínűségi változó $X$ , amelynek $F$ az eloszlásfüggvényhez, lásd a reciprok tételét . Ne feledje, hogy az inverz tétel alkalmazásával konkrétan tetszőleges méretű mintákat állítanak elő tetszőleges valószínűségi törvény alapján, amely a Monte-Carlo módszerek alapanyaga .

jegyzet

Így definiálhatjuk az eloszlásfüggvény fogalmát anélkül, hogy bevezetnénk egy véletlen változót: elég csak az, hogy kielégítse az előző 1–4. Pontokat. Ha ehhez hozzávesszük az aritmetikai függvény fogalmát , akkor gyorsan eljutunk a számok valószínűségi elméletéhez .

Egyéb tulajdonságok

Az 1., 3. és 4. pont miatt $F X$ korlátozott, pontosabban

\ forall x \ in \ mathbb {R}, \ \ \ 0 \ leq F_ {X} (x) \ leq 1.

Mint minden korlátos monoton függvény, $F X$ elismeri bármely ponton $x$ egy bal határt $F X ( X - )$ , a bal felső határa megegyezett, vagy sem, hogy $az F X ( x )$ attól függően, hogy $az F X$ folytonos x, vagy sem. $F X$ a càdlàg függvény .

Az eloszlásfüggvény ismerete lehetővé teszi bármely intervallum valószínűségének kiszámítását

${\ mathbb P} (X \ in] - \ infty; x]) \, = \, {\ mathbb P} (X \ leq x) \, = \, F_ {X} (x),$
${\ mathbb P} (X \ in] x; + \ infty [) \, = \, {\ mathbb P} (X> x) \, = \, 1-F_ {X} (x),$
${\ mathbb P} (X \ in] x; y]) \, = \, {\ mathbb P} (x <X \ leq y) \, = \, F_ {X} (y) -F_ {X} (x),$
${\ mathbb P} (X \ in] - \ infty; x [) \, = \, {\ mathbb P} (X <x) \, = \, F_ {X} (x _ {-}),$
${\ mathbb P} (X \ in] x; y [) \, = \, {\ mathbb P} (x <X <y) \, = \, F_ {X} (y _ {-}) - F_ {X} (x),$
${\ mathbb P} (X \ in [x; y [) \, = \, {\ mathbb P} (x \ leq X <y) \, = \, F_ {X} (y _ {-}) - F_ {X} (x _ {-}),$
${\ mathbb P} (X \ -ban [x; y]) \, = \, {\ mathbb P} (x \ leq X \ leq y) \, = \, F_ {X} (y) -F_ {X } (x _ {-}),$

és

${\ mathbb P} (X = x) = F_ {X} (x) -F_ {X} (x _ {-}) \,$

Demonstráció

$\ {\ mathbb P} (X \ in] - \ infty; x]) \, = \, {\ mathbb P} (X \ leq x) \, = \, F_ {X} (x),$ az elosztási függvény meghatározása.
a komplementerre váltáskor kapjuk meg, $\ {\ mathbb P} (X \ in] x; + \ infty [) \, = \, {\ mathbb P} (X> x) \, = \, 1-F_ {X} (x)$
az általunk használt a $A$ $=] -\infty;$ $x$ $]$ és $B$ $=] -\infty;$ $y$ $]$ , ${\ mathbb P} (X \ in] x; y]) \, = \, {\ mathbb P} (x <X \ leq y) \, = \, F_ {X} (y) -F_ {X} (x),$ $\ {A \ B részhalmaz \} \ \ Rightarrow \ \ {{\ \ mathbb P} (B \ setminus A) = {\ mathbb P} (B) -P (A) \},$
A kapcsolat a legkényesebb, és magában foglalja a valószínűségek axiómájának következményét a növekvő halmazsorozat egyesülésének valószínűségére. Figyelembe vesszük a növekvő realok sorozatát $($ $x$ $n$ $)$ , konvergálva az $x-hez$ . Az intervallum $] -\infty;$ $x$ $[$ ekkor az intervallumok növekvő szekvenciájának megszámolható egyesülése $] -\infty;$ $x$ $n$ $]$ . Az intervallum valószínűsége $] -\infty;$ $x$ $[$ tehát az intervallumok valószínűségének határa $] -\infty;$ $x$ $n$ $]$ , azaz az $F$ $X$ $($ $x$ $n$ $)$ szekvencia határa . A növekvő függvények tulajdonságai alapján ez a határ létezik, és $megegyezik F$ $X$ $($ $x$ $-$ $)$ $értékkel$ . ${\ displaystyle \ mathbb {P} (X \ in] - \ infty; x [) \, = \, \ mathbb {P} (X <x) \, = \, F_ {X} (x _ {-} ),}$

Az utolsó 5 tulajdonság az $A$ és $B$ különböző választási lehetőségeiből származik : $\ {A \ B részhalmaz \} \ \ Rightarrow \ \ {{\ mathbb P} (B \ setminus A) = {\ mathbb P} (B) - {\ mathbb P} (A) \},$

${\ displaystyle \ mathbb {P} (X \ in] x; y [) \, = \, \ mathbb {P} (x <X <y) \, = \, F_ {X} (y _ {-} ) -F_ {X} (x), \ {\ textrm {for}} \ A =] - \ infty; x], \ quad \ B =] - \ infty; y [,}$
${\ displaystyle \ mathbb {P} (X \ in [x; y [) \, = \, \ mathbb {P} (x \ leq X <y) \, = \, F_ {X} (y _ {- }) -F_ {X} (x _ {-}), \ {\ textrm {for}} \ A =] - \ infty; x [, \ quad \ B =] - \ infty; y [,}$
${\ displaystyle \ mathbb {P} (X \ -ban [x; y]) \, = \, \ mathbb {P} (x \ leq X \ leq y) \, = \, F_ {X} (y) - F_ {X} (x _ {-}), \ {\ textrm {pour}} \ A =] - \ infty; x [, \ quad \ B =] - \ infty; y],}$
${\ displaystyle \ mathbb {P} (X = x) = F_ {X} (x) -F_ {X} (x _ {-}), \ {\ textrm {for}} \ A =] - \ infty; x [, \ quad \ B =] - \ infty; x].}$

Hívjuk atom valószínűségi változó $X$ valódi $olyan$ , amelyre . Tehát a fenti lista utolsó tulajdonságának köszönhetően ${\ mathbb P} (X = a)> 0$

Tulajdonság - Az $X$ véletlen változó atomjai pontosan az eloszlásfüggvény megszakításának pontjai.

Az $X$ véletlen változó eloszlásfüggvénye tehát csak akkor folytonos, ha $X-$ nek nincs atomja, vagyis csak akkor és csak akkor

\ forall x \ in \ mathbb {R}, \ {\ mathbb P} [X = x] = 0.

Ekkor azt mondjuk, hogy a törvény az $X$ jelentése diffúz , vagy anélkül atom , és tágabb, hogy a véletlen változó $X$ maga diffúz vagy anélkül atom . Különösen a valószínűségi sűrűségű valós véletlenszerű változók diffúzak. Vannak azonban olyan diffúz véletlen változók, amelyeknek nincs valószínűségi sűrűsége, például azzal a véletlen változóval, amelynek eloszlásfüggvénye a Cantor lépcső .

Megjegyezzük, hogy az $F X$ megszakítási pontok halmaza véges vagy megszámlálható , mint bármely korlátozott monoton függvény esetében:

Következmény - Az $X$ véletlen változó atomjainak $S$ halmaza véges vagy megszámlálható .

A törvény jellemzése az eloszlásfüggvény alapján

Tétel - A valószínűség törvénye egy valódi véletlen változó jellemzi eloszlásfüggvény.

Vagy még egyszer: ha két valós véletlen változónak ugyanaz az eloszlásfüggvénye, akkor ugyanaz a törvényük (és fordítva).

Demonstráció

Az $F X = F Y$ hipotézis alapján elemi módon be tudjuk bizonyítani, hogy amint $A$ "egyszerű" Borelianus (például ha $A$ intervallum). Másrészt az általános bizonyíték (bármely boreli $A esetében$ ) a lemma valószínûségek egyediségének sajátos esete , maga a monotonikus osztály következménye, a lemma osztályra alkalmazva ${\ mathbb P} (X \ A-ban) = {\ mathbb P} (Y \ A-ban),$

{\ mathcal C} = \ bal \ {(- \ infty, x] \ | \ x \ in \ mathbb {R} \ jobb \}.

Ezt ellenőrizni kell

az osztály véges metszéspont szerint stabil, ${\ mathcal C}$
A törzs generált által tartalmaz (és valójában egyenlő) a Borelian törzs . ${\ mathcal C}$

Ezután a valószínűségek egyediségének lemma lehetővé teszi számunkra a következtetést.

Nézzük ellenőrizni 1. Legyen $lehetek$ egy véges részhalmaza . Van- $e$ az $I$ minimális eleme . Így $\ mathbb {R}$

\ bigcap _ {{x \ in I}} (- \ infty, x] \, = \, (- \ infty, y] \ \ in {{\ mathcal C}.

Nézzük 2. A törzs által termelt jegyezni . A boréliai törzset - mint gyakran - megjegyzik . jegyzet ${\ mathcal C}$ $\ sigma ({\ mathcal C})$ ${\ mathcal B} (\ mathbb {R})$

{\ mathcal D} = \ bal \ {(x, + \ infty) \ | \ x \ in \ mathbb {R} \ jobb \}.

A törzsek stabilitása révén a komplementerre, tehát a létrehozott törzs meghatározásával jutunk át . Kettős befogadással cserélődhetünk egymással, és ami megelőzi, ${\ mathcal D} \ subset \ sigma ({\ mathcal C}),$ $\ sigma ({\ mathcal D}) \ sigma ({\ mathcal C}) részhalmaz,$ ${\ mathcal C}$ ${\ mathcal D}$

\ sigma ({\ mathcal C}) = \ sigma ({\ mathcal D}).

A nyílások halmazának részeként arra következtetünk ${\ mathcal D}$

\ sigma ({\ mathcal C}) = \ sigma ({\ mathcal D}) \ \ subset \ {\ mathcal B} (\ mathbb {R}).

De meg kell mindenekelőtt bizonyítania felvételét az ellenkező irányba, és, az, hogy bizonyítani, hogy minden nyitott az van (tehát egy törzs, amely minden nyílást , míg a legkisebb törzs, amely minden nyílást ). Gyors érv az $\ mathbb {R}$ $\ sigma ({\ mathcal C})$ $\ sigma ({\ mathcal C})$ $\ mathbb {R}$ ${\ mathcal B} (\ mathbb {R})$ $\ mathbb {R}$

minden nyitott a nyitott intervallumok megszámlálható egyesülése , és ez $\ mathbb {R}$
nyitott intervallumok vannak . $\ sigma ({\ mathcal C})$

Az első pont abból adódik, hogy

a nyitott az összekapcsolt komponenseinek szétválasztott uniója (ez a rész bármely részére igaz ), ${\ mathcal O}$ $\ mathbb {R}$
a csatlakoztatott részek (és különösen a fenti csatlakoztatott alkatrészek) pontosan az intervallumok $\ mathbb {R},$ $\ mathbb {R},$
amint helyileg van csatlakoztatva, a nyitott készülék csatlakoztatott elemei automatikusan megnyílnak. $\ mathbb {R}$
csatlakoztatott készülékek $A$ mi nyitott , akkor válasszon ki egy racionális szám $q$ $A$ . A $q$ $A$ azért különbözik egymástól, mert az összetevők diszjunkt. Tehát $A$ $\to$ $q$ $A$ egy összekapcsolódó alkatrészek családja és egy része közötti bijekció . A kapcsolt komponensek családja tehát véges vagy megszámlálható. ${\ mathcal O}$ ${\ mathcal O}$ $\ mathbb {Q}.$ ${\ mathcal O}$

A második pont az

$\ forall x \ in \ mathbb {R}, \ qquad (x, + \ infty) \ \ in \ \ sigma ({\ mathcal C}),$ ahogy fentebb láttuk;
$\ forall y \ in \ mathbb {R}, \ qquad (- \ infty, y) \ = \ \ bigcup _ {{n \ geq 1}} \ \ left (- \ infty, y - {\ tfrac 1n} \ jobbra] \ \ in \ \ sigma ({\ mathcal C})$ ;
$\ forall x <y \, \ in \ \ mathbb {R}, \ qquad (x, y) \ = \ (- \ infty, y) \, cap, (x, + \ infty) \ \ in \ \ sigma ({\ mathcal C}).$

CQFD

Más szavakkal, ha két valós véletlen változó, $X$ és $Y$ teljesül

\ forall x \ in \ mathbb {R}, \ qquad {\ mathbb P} (X \ leq x) = {\ mathbb P} (Y \ leq x),

akkor azt is ellenőrzik, hogy van-e bármilyen boréliai $A$ ,

{\ mathbb P} (X \ A-ban) = {\ mathbb P} (Y \ A-ban).

Ezenkívül ellenőrzik, hogy van-e bármilyen mérhető funkció $φ$ ,

{\ mathbb E} [\ varphi (X)] = {\ mathbb E} [\ varphi (Y)],

amint az egyenlőség két kifejezésének egyikének jelentése van.

Kölcsönös tétel

Legyen $F legyen$ függvénye az kielégíti a 4 jellemző tulajdonságait. Jelöljük $G-vel$ az $ω$ $\in] 0$ $értékre$ meghatározott függvényt $;$ $1 [$ által $\ mathbb {R}$ $\ mathbb {R}$

G (\ omega) = \ inf \ left \ {x \ in \ mathbb {R} \ | \ F (x) \ geq \ omega \ right \}.

Ekkor $G$ egy igazi véletlen változó meghatározása az probabilized hely , ahol és amennyiben jelöli korlátozás a Lebesgue mérték a . A tétel kimondja, hogy: $\ balra (\ Omega, {\ mathcal A}, {\ mathbb P} \ jobbra)$ $\ bal (\ Omega, {\ mathcal A} \ jobb) = \ bal (] 0,1 [, {\ mathcal B} (] 0,1 [) \ jobb)$ ${\ mathbb P}$ ${\ mathcal B} (] 0,1 [)$ $\ mathbb {R}$

Tétel - A térben , az eloszlásfüggvény $G$ jelentése $F$ . $\ balra (\ Omega, {\ mathcal A}, {\ mathbb P} \ jobbra)$

Így minden olyan funkciót, $F$ az a kielégítésére a négy jellemző tulajdonságait a függvénye az eloszlása egy valódi véletlen változó (a $G$ , például), vagy akár egy valószínűségi mérték a (a törvény a $G$ , például). $\ mathbb {R}$ $\ mathbb {R}$ $\ balra (\ mathbb {R}, {\ mathcal B} (\ mathbb {R}) \ jobbra)$

Demonstráció

A $co \in ohm =] 0; 1 [$ , jegyzet

A _ {\ omega} = \ balra \ {x \ in \ mathbb {R} \ | \ F (x) \ geq \ omega \ right \}.

Tehát $G ( ω ) = inf A ω$ . A 4. pont miatt , és a 3. pont miatt $A$ $ω$ lent van korlátozva, tehát $G$ jól definiálható. $A _ {{\ omega}} \ neq \ emptyyset$

Kezdjük a képzés egyszerű esetével:

F

szigorúan növekszik folyamatosan

Ha $F$ folytonos szigorúan növekvő fölött , akkor $F$ jelentése bijekciót a be $] 0;$ $1 [$ , és $G$ az $F$ reciproka (erről meggyőzhetjük magunkat az $A$ $ω$ ábrázolásával az $F$ grafikonja segítségével ). Mint ilyen, $G$ folyamatos és szigorúan növekszik $] 0$ felett $;$ $1 [$ , és különösen a $G$ mérhető (tehát egy var). Nekünk is van $\ mathbb {R}$ $\ mathbb {R}$

\ left \ {G (\ omega) \ leq x \ right \} \ Leftrightarrow \ left \ {\ omega \ leq F (x) \ right \},

ebből kifolyólag

{\ begin {aligned} \ left \ {\ omega \ in \ Omega \ | \ G (\ omega) \ leq x \ right \} & = balra \ {\ omega \ in \ Omega \ | \ \ omega \ leq F (x) \ right \} \\ & =] 0, F (x)]. \ End {igazítva}}

Így

{\ mathbb P} \ bal (G \ leq x \ right) = {\ mathbb P} (] 0, F (x)]) = F (x).

Általános eset

Általános esetben nekünk is van

\ left \ {G (\ omega) \ leq x \ right \} \ Leftrightarrow \ left \ {\ omega \ leq F (x) \ right \},

és ezért pontosan ugyanúgy következtetünk, mint korábban, de a fenti egyenértékűség bemutatása kevésbé közvetlen. Először is, ha $ω \leq ω '$ , $A ω' \subset A ω$ , és ezért $G ( ω ) \leq G ( ω ' )$ . Mivel $G$ monoton, ebből következik, hogy $G$ mérhető.

Van, definíció szerint az $A ω$ és $G ( ω )$ ,

\ left \ {\ omega \ leq F (x) \ right \} \ Rightarrow \ left \ {x \ in A _ {{\ omega}} \ right \} \ Rightarrow \ left \ {G (\ omega) \ leq x \ jobb \}.

Az ellenkezője abból a tényből ered, hogy a ${ G ( ω ) \in A ω }$ , azaz ${ ω \leq F ( G ( ω ))}$ , amely, a ${ G ( ω ) \leq x }$ magában foglalja, a növekedés a $F$ , ${ F ( G ( ω )) \leq F ( x )}$ , végül ${ ω \leq F ( x )}$ . Tegyük fel, hogy $G ( ω ) \notin A ω$ , és vegyük figyelembe az $A$ $ω$ elemeinek szigorúan csökkenő $( x n ) n \neq 0$ szekvenciáját , hogy

\ lim _ {n} x_ {n} \ = \ \ inf A _ {\ omega} \ \ balra (= \ G (\ omega) \ jobbra).

$F-$ től jobbra való folytonosság által ,

\ lim _ {n} F (x_ {n}) = F (G (\ omega)),

hanem definíció szerint az $A ω$ ,

\ lim _ {n} F (x_ {n}) \ geq \ omega,

ami $G ( ω ) \in A ω-hoz vezet$ , ezért ellentmondás (a bizonyíték nagyrészt Sidney Resnick-től származik, Egy valószínűségi út ).

Megjegyzések.

Amikor $F$ egy bikontinuus bijekciót egy intervallum $I$ be $] 0; 1 [$ (vagyis $F$ szigorúan növekvő folytonos), $G$ egészen egyszerűen a kölcsönös a $F$ (azaz $G \circ F = Id I$ és $F \circ G = Id ] 0; 1 [$ ). Emiatt $G$ néha generalizált kölcsönös az $F$ .
$G-$ t kvantilis függvénynek is nevezzük .
Ennek a tételnek a gyakorlati érdeklődését az inverz transzformációs módszer , valamint a következő szakasz fejti ki.

Az inverz tétel következményei

Az önkényes eloszlás valós véletlenszerű változóinak szimulációja

U

jelentése egységes valós valószínűségi változó több mint

[0; 1]

, akkor

X = G ( U )

F

elosztási függvénnyel rendelkezik .

Így bármely véletlenszám-generátorral rendelkező programozási nyelvben szimulálhatjuk az $F$ eloszlásfüggvény független változóinak tetszőleges hosszúságú szekvenciáját , feltéve, hogy $G$ ismert: akkor elegendő ezt a generátort többször felhívni, és a $G-$ t alkalmazni. függvény az ismételt hívások által létrehozott számokhoz.

Példák

	valószínűségi sűrűség	elosztási függvény	kölcsönös (általánosított)	kódolt
Cauchy törvénye	${\ frac 1 {\ pi (1 + x ^ {2})}}$	$F (x) = {\ frac 1 {\ pi}} \ bal ({\ frac {\ pi} 2} + \ arctan (x) \ jobb)$	$G (\ omega) = \ tan \ bal (\ pi (\ omega - {\ frac 12}) \ jobb)$	$x \ leftarrow \ tan \ left (\ pi ({\ mathrm {rand ()}} - {\ frac 12}) \ jobbra)$
Exponenciális törvény	$\ lambda \, e ^ {{- \ lambda x}} \ 1 _ {{x \ geq 0}}$	$F (x) = \ bal (1-e ^ {{- \ lambda x}} \ jobb) \ 1 _ {{x \ geq 0}}$	$G (\ omega) = - {\ frac 1 {\ lambda}} \ \ ln (1- \ omega)$	$x \ leftarrow \ - {\ frac 1 {\ lambda}} \ \ ln ({\ mathrm {rand ()}})$
Egységes törvény a $[ a , b ] -ről$	${\ frac {1} {ba}} \ 1 _ {{[a, b]}} (x)$	$F (x) = {\ frac {xa} {ba}} \ 1 _ {{[a, b]}} (x) \ + \ 1 _ {{] b, + \ infty [}} (x)$	$G (\ omega) = a + \ omega (ba)$	$x \ balra a + (ba) {\ mathrm {rand ()}}$
Bernoulli törvénye		$F (x) = (1-p) \ 1 _ {{[0,1 [}} (x) \ + \ 1 _ {{[1, + \ infty [}} (x)$	$G (\ omega) = \ lfloor p + \ omega \ rfloor$	$x \ leftarrow \ lfloor p + \ {\ mathrm {rand ()}} \ rfloor$
Egységes törvény a (z) ${1,2, ..., n } -ról$		${\ displaystyle F (x) = {\ frac {\ lfloor x \ rfloor} {n}} \ 1 _ {[0, n]} (x) \ + \ 1 _ {] n, + \ infty [} ( x)}$	$G (\ omega) = \ lceil n \ omega \ rceil$	$x \ leftarrow \ lceil n \ {\ mathrm {rand ()}} \ rceil$
Normál eloszlás , binomiális eloszlás	mivel nincs elég explicit képlet az elosztási függvényhez, és még kevésbé kifejezett explicit képlet az utóbbi fordításához, a tétel ekkor nem működik.

Mindent megtalál, amire a szakember generálásának valószínűségi változók tetszőleges törvények, például egységes változók , a Non-Uniform Random variate Generation által szerkesztett Springer, az interneten elérhető.

Az inverz tétel egyéb következményei

Az $F$ általánosított fordítottja egy példa a var-ra, amelynek eloszlásfüggvénye $F$ , de ez egy példa. Alkalmazási területe számos, kezdve tulajdonságai sztochasztikus érdekében , hogy tulajdonságai a Wasserstein távolság (in) , beleértve a Skorokhod reprezentációs tétel , lásd a következő részt.

Konvergencia a törvényben és az elosztási funkció

Vegyünk egy véletlen változó $( X n ) n \geq 0$ (ill. Egy véletlen $X$ változó ) sorozatát, amelyet valószínűsített tereken határozunk meg (ill. ) Lehetséges, hogy különböznek, de mindegyiknek ugyanazon a metrikus térben vannak az értékei $($ $S$ $,$ $d$ $)$ . Azt mondjuk, hogy $($ $X$ $n$ $)$ $n$ $\geq 0$ konvergál a jogot , hogy $az X$ , ha bármely korlátos folyamatos függvénye $($ $S$ $,$ $d$ $)$ a , $\ balra (\ Omega _ {n}, {\ mathcal A} _ {n}, {\ mathbb P} _ {n} \ jobbra)$ $\ balra (\ Omega, {\ mathcal A}, {\ mathbb P} \ jobbra)$ $\ mathbb {R}$

\ lim _ {{n \ rightarrow \ infty}} {\ mathbb E} \ left [f (X_ {n}) \ right] = {\ mathbb E} \ left [f (X) \ right].

A következő tétel áll rendelkezésünkre:

Tétel - Abban az esetben, véletlen változók valós ( ) közé tartoznak $($ $F$ $n$ $)$ $n$ $\geq 0$ $,$ $F$ eloszlás függvények $($ $X$ $n$ $)$ $n$ $\geq 0$ és $X$ . Ekkor ekvivalencia van az alábbi három javaslat között: $S = \ mathbb {R}$

$( X n ) n \geq 0$ konvergál a jogot , hogy $X$ ,
bármely valós $x$ amelyben $F$ jelentése folyamatos , , $\ lim _ {{n \ rightarrow \ infty}} F_ {n} (x) = F (x)$
létezik egy valószínűsített tér , és ezen a téren definiálva valós véletlen változók ( X ' n ) n ≥ 0 és X' olyanok, hogy egyszerre (Ω^,NÁL NÉL^,P^){\ displaystyle \ left ({\ widehat {\ Omega}}, {\ widehat {\ mathcal {A}}}, {\ widehat {\ mathbb {P}}} \ right)} $\ left (\ widehat {\ Omega}, \ widehat {{\ mathcal A}}, \ widehat {{{\ mathbb P}} \ right)$
1. $X '$ ugyanaz a törvény, mint $X$ ,
2. mindegyik $n$ esetében $X n '$ törvénye megegyezik $X n értékével$ ,
3. $( X ' n ) n \geq 0$ majdnem biztosan konvergál , hogy $X'$ .

Az implikáció 1.⇒3. akkor marad igaz, ha a valós véletlenszerű változókat véletlen változók váltják fel egy Lusin-tér $( S , d )$ , azaz egy meglehetősen általános metrizálható térben szereplő értékekkel ( és erre példa). Az implikáció 1.⇒3. majd a Skorokhod ábrázolási tétel nevét viseli . $S = \ mathbb {R} ^ {d}$ $S = {\ mathcal C} ([0,1], \ mathbb {R})$

Demonstráció

A bizonyítás lehetséges szerkezete a 3.⇒1.⇒2.⇒3.

3. azt jelenti 1.

Ez a legkönnyebb. Ezt be kell mutatni

\ lim _ {{n \ rightarrow \ infty}} {\ mathbb E} \ left [f (X_ {n}) \ right] = {\ mathbb E} \ left [f (X) \ right],

vagy ezzel egyenértékűen

\ lim _ {{n \ rightarrow \ infty}} {\ mathbb E} \ left [f (X_ {n} ^ {\ prime}) \ right] = {\ mathbb E} \ left [f (X ^ {\ prime}) \ right].

De $f$ folytonossága biztosítja, hogy $f ( X n ')$ szinte biztosan konvergáljon $f ( X ')$ -hez . Ezenkívül $| f |$ korlátozva, megvan

\ left | f (X_ {n} ^ {\ prime}) \ right | \ \ leq \ Vert f \ Vert _ {{\ infty}}

minden $n számára$ . A Lebesgue által dominált konvergencia tétel itt alkalmazható, és megadja a kívánt következtetést.

1. azt jelenti 2.

A behatárolt folyamatos függvények családját használjuk, amelyet a szemközti grafikon határoz meg. Ők ellenőrzik, minden valódi véletlen változó $Y$ , $\ balra (\ varphi _ {{a, b}} \ jobbra) _ {{(a, b) \ in \ mathbb {R} ^ {2}, \ a <b}}$

{\ mathbb P} \ bal (Y \ leq a \ jobb) \ leq {\ mathbb E} \ bal [\ varphi _ {{a, b}} (Y) \ jobb] \ leq {\ mathbb P} \ bal (Y \ leq b \ right),

és főleg

{\ mathbb E} \ left [\ varphi _ {{x- \ varepsilon, x}} (X_ {n}) \ right] \ leq F_ {n} (x) \ leq {\ mathbb E} \ left [\ varphi _ {{x, x + \ varepsilon}} (X_ {n}) \ right].

Ekkor észrevesszük, hogy minden $ε > 0$ esetén

{\ begin {aligned} \ limsup _ {n} F_ {n} (x) & \ leq \ lim _ {n} {\ mathbb E} \ left [\ varphi _ {{x, x + \ varepsilon}} ( X_ {n}) \ right] \\ & = {\ mathbb E} \ left [\ varphi _ {{x, x + \ varepsilon}} (X) \ right] \ leq {\ mathbb P} \ bal (X \ leq x + \ varepsilon \ right) = F (x + \ varepsilon), \ end {igazítva}}

és

{\ begin {aligned} \ liminf _ {n} F_ {n} (x) & \ geq \ lim _ {n} {\ mathbb E} \ left [\ varphi _ {{x- \ varepsilon, x}} ( X_ {n}) \ right] \\ & = {\ mathbb E} \ left [\ varphi _ {{x- \ varepsilon, x}} (X) \ right] \ geq {\ mathbb P} \ left (X \ leq x- \ varepsilon \ right) = F (x- \ varepsilon). \ end {igazítva}}

Azáltal, hogy az $ε$ 0 felé hajlik , megkapjuk

F (x _ {{-}}) \ leq \ liminf _ {{n \ rightarrow \ infty}} F_ {n} (x) \ leq \ limsup _ {{n \ rightarrow \ infty}} F_ {n} ( x) \ leq F (x).

Így amint $x$ $F$ folytonossági pontja ,

\ lim _ {{n \ rightarrow \ infty}} F_ {n} (x) = F (x), \ qquad {\ textrm {CQFD.}}

2. azt jelenti 3.

Megjegyzés $( G n ) n \geq 0 , G$ , generalizált reciprok $( F n ) n \geq 0 , F$ . A hármashoz válassza ki a Borelians törzset , és vegye figyelembe a megfelelő Lebesgue-mértéket (azaz korlátozva legyen $(0; 1)$ ). A választás a $X '$ $n$ $=$ $G$ $N$ $,$ $X'$ $=$ $G$ kielégíti 3.1. és a 3.2. alapján az inverz tétel . Ezenkívül a 2 eredményeként $($ $G$ $n$ $)$ $n$ $\geq 0$ szinte biztosan konvergál $G-hez$ . $\ left (\ widehat {\ Omega}, \ widehat {{\ mathcal A}}, \ widehat {{{\ mathbb P}} \ right)$ $\ widehat {\ Omega} = (0,1)$ $\ left (\ widehat {{\ mathcal A}}, \ widehat {{\ mathbb P}} \ right)$

Megjegyzések és hivatkozások

A pdf verzió (szabad és engedélyezett) az (en) Luc Devroye , Non-Uniform Random variate Generation , New York, Springer-Verlag ,1986, 1 st ed. ( online olvasás ) elérhető, valamint humoros beszámoló Luc Devroye szerkesztőjével folytatott veszekedéseiről.
[1]

Lásd is

Kapcsolódó cikkek