Valószínűségértelmezések

A valószínűség szót különféle területeken használták, mióta először alkalmazták a szerencsejátékok matematikai vizsgálatára . A valószínűség méri-e valaminek a tényleges fizikai hajlamát, vagy annak mértéke, amelyről feltételezik, hogy megtörténik, vagy mindkettőre kell támaszkodnia? Ahhoz, hogy ezekre a kérdésekre válaszolni, matematikusok értelmezze a valószínűségi értékek valószínűségi elmélet .

A valószínűségértelmezéseknek két tág kategóriája van, amelyeket "bizonyításnak" és "fizikai" valószínűségnek nevezhetünk. A fizikai valószínűségeket, amelyeket objektív valószínűségnek vagy frekvenciának is nevezünk, véletlenszerű fizikai rendszerekhez társulnak, mint például rulett játékok , kockák vagy radioaktív atomok . Az ilyen rendszerekben egy adott típusú esemény (például egy hatost dobó szerszám) hajlamos ismeretlen számú próbálkozás esetén tartós sebességgel vagy "relatív gyakorisággal" bekövetkezni. A fizikai valószínűségek magyarázzák ezeket a stabil frekvenciákat, vagy ezekre hivatkoznak. A fizikai valószínûségek elméletének két fõ típusa a gyakorta mondott kijelentések (például Venn, Reichenbach és von Mises ) és a hajlamos beszámolók (például Popper , MillerDavid Miller (filozófus) , Giere (in) és Fetzer).

A Bayes-valószínűség , vagy szubjektív valószínűség rendelkezésre álló információk alapján (a rendelkezésre álló bizonyítékok - angol: bizonyíték) lehet rendelni olyan kijelentést, akkor is, ha nem véletlen folyamatról van szó, mint egy módja annak, hogy képviselje valószínűsége. A legtöbb szerint ezeket a bizonyítékokon alapuló valószínűségeket a meggyőződés fokának tekintik, meghatározott fogalmakhoz hasonló fogalmakkal meghatározva. E "nyilvánvaló" valószínűségek négy fő értelmezése: a klasszikus értelmezés (például Laplace értelmezése), a szubjektív ( Finetti és Savage ) értelmezés, az episztemikus vagy az induktív értelmezés ( Ramsey , Cox ) és a logikai értelmezés ( Keynes és Carnap ). Vannak olyan szubjektív csoport valószínűségnek tekintett bizonyítási valószínűségek értelmezései is, amelyeket gyakran „interszubjektívnek” neveznek (ezt a kifejezést Gillies és Rowbottom javasolja).

A valószínűség néhány értelmezése összefügg a statisztikai következtetések megközelítésével , beleértve a becslési elméleteket és a hipotézisek tesztelését . A fizikai értelmezést például a "gyakoriak" statisztikai módszerek felhasználói, például Ronald Fisher , Jerzy Neyman és Egon Pearson alkalmazzák . Az ellentétes Bayes-i iskolai statisztikusok általában elfogadják a fizikai valószínűségek létezését és fontosságát, de a bizonyítási valószínűségek kiszámítását is érvényesnek és szükségesnek tartják a statisztikákban. Ez a cikk azonban a valószínűség értelmezésére összpontosít, nem pedig a statisztikai következtetés elméleteire.

A téma terminológiája meglehetősen zavaró, részben azért, mert a valószínűségeket különféle tudományos területeken tanulmányozzák. A "gyakoriak" szó különösen kényes. A filozófusok számára a fizikai valószínűség sajátos elméletére utal, amelyet többé-kevésbé elhagytak. A tudósok számára viszont a "gyakorisági valószínűség" csak egy másik neve a fizikai (vagy objektív) valószínűségnek. Azok, akik Bayes következtetéseinek "gyakorisági statisztikáinak" nézetét a statisztikai következtetések csak a fizikai valószínűségeket felismerő megközelítésként támogatják. A valószínűségre alkalmazott "objektív" jelző néha pontosan azt is jelenti, hogy mit jelent a "fizikai", ugyanakkor bizonyítási valószínűségeket is használ, amelyeket racionális korlátok rögzítenek, például logikai valószínűségek és episztémiák.

Filozófia

A valószínűség filozófiája problémákat vet fel különösen az ismeretelméletben, valamint a matematikai fogalmak és a hétköznapi nyelv közötti interfészben . A valószínűségelmélet a matematikában megalapozott tanulmányi terület. Eredete a Blaise Pascal és Pierre de Fermat közötti szerencsejátékról folytatott beszélgetéseket a XVII . Században, Andrey Kolmogorov a XX . Században formalizálta és axiomatikussá tette a matematika külön ágaként . Axiomatikus formájában a valószínűségelmélettel kapcsolatos matematikai kijelentések ugyanolyan ismeretelméleti keménységet hordoznak, mint a matematikafilozófia többi matematikai állítása.

A matematikai elemzés olyan játékok viselkedésének megfigyeléséből származik, mint a kártyázás és a kocka , amelyeket kifejezetten véletlenszerűen kiegyenlített elemek bevezetésére terveztek; matematikai szempontból közömbösség kérdése . Ez nem az egyetlen valószínűségi eszköz, amelyet a hétköznapi emberi nyelvben használnak: például amikor az emberek azt mondják, hogy "valószínűleg esni fog", akkor általában nem azt mondják, hogy az eső eredménye a nem esőnek véletlenszerű tényező, hogy a az esélyek most kedveznek; ehelyett az ilyen állításokat talán úgy értjük a legjobban, hogy bizonyos fokú bizalommal minősítik az esőre vonatkozó várakozásukat.

Thomas Bayes olyan logikát próbált biztosítani, amely képes kezelni a bizalom változó mértékét; mint ilyen, a Bayes-i valószínûség egy kísérlet a valószínûségi állapotok reprezentációjának átdolgozására, mint az általuk kifejtett hiedelmek bizalmának mértéke.

A valószínűség néhány értelmezésének összefoglalása

	Klasszikus	Gyakori	Szubjektív	Hajlam
Fő feltételezések	A közöny alapelve	Az esemény gyakorisága	A hit foka	Az ok-okozati összefüggés mértéke
Fogalmi alap	Hipotetikus szimmetria	Korábbi adatok és referenciaosztály	Tudás és intuíció	A rendszer jelenlegi állapota
Megközelítés fogalmi	Feltevésen alapuló	Empirikus	Szubjektív	Metafizikai
Egyetlen eset lehetséges	Igen	Nem	Igen	Igen
Különleges	Igen	Nem	Nem	Igen
Problémák	A közöny kétértelműségének elve	Referencia osztály probléma	igazolatlan vélemény	vitatott koncepció

(1132. o.)

Klasszikus meghatározás

Az első kísérlet a matematikai szigorra a valószínűség terén, amelyet Pierre-Simon Laplace védett , ma már klasszikus definícióként ismert . A szerencsejátékok (például a kocka dobása ) tanulmányaiból kifejlesztve azt jelzi, hogy a valószínűség az összes lehetséges eredmény között egyenlő, feltéve, hogy ezeket az eredményeket egyformán valószínűnek lehet tekinteni.

Ez matematikailag a következőképpen ábrázolható: ha egy véletlenszerű kísérlet N kölcsönösen kizáró és ugyanolyan valószínű eredményekhez vezethet, és ha ezek az eredmények az A esemény bekövetkezését eredményezik, akkor az A valószínűségét a következő határozza meg: ${\ displaystyle {N_ {A}}}$

{\ displaystyle P (A) = {N_ {A} \ N felett}

A klasszikus meghatározásnak két egyértelmű határa van. Először is csak azokra a helyzetekre alkalmazható, amelyekben csak "véges" számú lehetséges kimenetel létezik. Néhány fontos véletlenszerű kísérlet, mint például egy érme dobása , végtelen eredményhalmazhoz vezet. Másodszor pedig előre meg kell határoznia, hogy minden lehetséges eredmény egyformán valószínű.

Gyakoriság

A gyakoriak azt feltételezik, hogy egy esemény valószínűsége az idő relatív gyakorisága. Ezt véletlenszerűségnek is nevezik . Feltételezzük, hogy az eseményeket véletlenszerű fizikai jelenségek vezérlik, amelyek vagy kiszámítható jelenségek, elvileg elegendő információk (lásd Determinizmus ); vagy lényegében kiszámíthatatlan jelenségek. Az első típus például a kocka dobása vagy az orosz rulett forgatása ; a második fajtára példa a radioaktív bomlás . Egy érme dobása esetén a gyakoriak azt mondják, hogy a fej megszerzésének valószínűsége 1/2, nem azért, mert két egyforma valószínűségű kimenetel létezik, hanem azért, mert nagyszámú kísérlet ismételt sorozatai azt mutatják, hogy az empirikus gyakoriság a határ felé konvergál. 1/2, mivel a vizsgálatok száma a végtelenségig terjed.

Ha tudomásul vesszük az előfordulások számát az esemény a vizsgálatok, akkor ha azt mondhatjuk, hogy ${\ displaystyle \ textstyle n_ {a}}$ ${\ mathcal {A}}$ ${\ displaystyle \ textstyle n}$ ${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {n_ {a} \ over n} = p}$ ${\ displaystyle \ textstyle P ({\ mathcal {A}}) = p}$

A gyakoribb nézetnek megvannak a maga problémái. Természetesen lehetetlen elvégezni egy véletlenszerű kísérlet végtelen ismétlését az esemény valószínűségének meghatározásához. De ha csak a folyamat véges számú ismétlését hajtják végre, akkor a különböző kísérletsorozatokban különböző relatív gyakoriságok jelennek meg. Míg ezek a relatív gyakoriságok általában meghatározzák a valószínűséget, a valószínűség kissé eltérő lesz minden egyes méréskor. De a valós valószínűségnek minden alkalommal ugyanaznak kell lennie. Ha felismerjük azt a tényt, hogy egy adott mérési hibával nem mérhetünk valószínûséget, akkor is olyan problémákat kapunk, amelyeket a mérési hiba nem fejezhet ki valószínûségként, éppen azt a fogalmat, amelyet megpróbálunk meghatározni. Ez még körkörössé is teszi a frekvencia meghatározását; lásd például: " Mennyi az esély egy földrengésre? "

Logikai, ismeretelméleti és induktív valószínűség

Széles körben elismert tény, hogy a "valószínűség" kifejezést néha olyan összefüggésekben használják, ahol ennek semmi köze a fizikai véletlenhez. Vegyük például azt az állítást, hogy a dinoszauruszok kihalását valószínűleg a földet érő nagy meteorit okozta. Az olyan állításokat, mint a "H hipotézis valószínűleg igaz", úgy értelmezték, hogy az empirikus bizonyítékok (például E) nagy mértékben támogatják H-t. A H E-nek való ilyen mértékű alátámasztását H-nek adott E logikai valószínűségének , vagy H adott episztemikus valószínűségének , vagy H adott E induktív valószínűségének nevezik .

Ezen értelmezések közötti különbségek meglehetősen kicsiek, és következménytelennek tűnhetnek. Az egyet nem értés egyik fő pontja a valószínűség és a hit kapcsolata. A logikai valószínűségeket (pl. A valószínűségről szóló Keynes-i Szerződésben (in)) úgy tervezik , hogy logikai objektív összefüggések legyenek a javaslatok (vagy kifejezések) között, és ezért semmilyen módon nem függenek a meggyőződéstől. Ezek a logikai következmények fokai, nem a hit fokai . Frank P. Ramsey viszont szkeptikus volt az ilyen objektív logikai kapcsolatok létezésével kapcsolatban, és azzal érvelt, hogy a valószínűség "a részleges hit logikája". Más szavakkal, Ramsey úgy vélte, hogy az episztemikus valószínűségek egyszerűen a racionális hit fokozatai, nem pedig logikus kapcsolatok, amelyek egyszerűen korlátozzák a meggyőződés mértékét.

A nézeteltérés másik pontja a bizonyítás valószínűségének egyediségét érinti egy adott tudásállapothoz viszonyítva. Rudolf Carnap például azzal érvel, hogy a logikai elvek minden állításhoz mindig egyetlen logikai valószínűséget határoznak meg, bármilyen bizonyítékhoz képest. Ramsey éppen ellenkezőleg, azt gondolta, hogy ha a meggyőződés fokai bizonyos racionális korlátozásoknak vannak kitéve (mint például a valószínűség axiómái, de nem korlátozódnak rájuk), akkor ezek a korlátozások általában nem határoznak meg egyetlen értéket. Más szavakkal, a racionális emberek némileg eltérhetnek a meggyőződés mértékétől, annak ellenére, hogy mindegyiknek ugyanaz az információja van.

Hajlam

A hajlamelméleti elméletek szerint a valószínűség fizikai hajlandóság, vagy egy adott típusú fizikai helyzet hajlama egy bizonyos típusú eredmény elérésére, vagy az eredmény hosszú távú relatív gyakoriságának elérésére. Ezt a fajta objektív valószínűséget néha "szerencsének" nevezik.

A hajlamok (vagy esélyek) nem relatív frekvenciák, hanem a megfigyelt stabil relatív frekvenciák feltételezett okai. Hajlamokat fejtünk ki annak magyarázatára, hogy egy bizonyos típusú kísérlet megismétlése miért generálja a kitartó sebességgel adott eredménytípusokat, amelyeket hajlamnak vagy esélynek nevezünk. A gyakoriak nem képesek ezt a megközelítést alkalmazni, mivel relatív gyakoriság nem létezik egyetlen érme dobásnál, hanem csak nagy halmazoknál. Ezzel szemben a propenzitista a nagy számok törvényével képes megmagyarázni a hosszú távú frekvencia-viselkedést. Ez a törvény, amely a valószínűség axiómáinak következménye, azt mondja, hogy ha (például) egy érmét ismételten dobálnak úgy, hogy a leszállási fejek valószínűsége mindkét oldalon azonos, akkor a fejek relatív gyakorisága közel lesz a a fej valószínűsége minden egyes húzásnál.

A hajlamelméletek fő kihívása az, hogy pontosan megmondjuk, mit jelent a hajlam. (És akkor természetesen annak bemutatására, hogy az így definiált hajlam rendelkezik-e a szükséges tulajdonságokkal.) Jelenleg sajnos egyik közismert hajlamos beszámoló sem közelíti meg ezt a kihívást.

A valószínűségek hajlamának elméletét Charles Sanders Peirce adta meg . A hajlam elméletét később Karl Popper filozófus javasolta , aki azonban csak csekély tudással rendelkezett a CS Peirce írásairól. Popper megjegyezte, hogy egy fizikai kísérlet eredményét bizonyos "termelési feltételek" eredményezik. Ha azt mondjuk, hogy az előállítási feltételek halmazának van p hajlama az E eredmény előállítására, az azt jelenti, hogy a pontos feltételek, ha a végtelenségig megismétlődnek, eredménysorozatot eredményeznek, amelyben az E korlátozott relatív p gyakorisággal áll elő . Popper esetében ekkor egy determinisztikus kísérlet hajlamos lenne 0 vagy 1 értéket kapni minden eredményre, mivel ezek a termelési feltételek ugyanazt az eredményt adták volna minden kísérletnél. Más szavakkal, a nem triviális hajlamok (azok, amelyek eltérnek a 0-tól és az 1-től) csak a valóban indeterminisztikus tapasztalatokra vonatkoznak.

Számos más filozófus, köztük David Miller és Donald A. Gillies , Popperéhez hasonlóan hajlamos elméleteket javasolt.

Más hajlamelméleti teoretikusok (pl. Ronald Giere ) egyáltalán nem határozzák meg kifejezetten a hajlamokat, inkább a hajlamot, ahogyan azt a tudományban betöltött elméleti szerep meghatározza. Azt állítják például, hogy a fizikai mennyiségek, például az elektromos töltés nem határozhatók meg kifejezetten. Hasonlóképpen, a hajlam bármi, ami betölti azokat a különféle szerepeket, amelyeket a fizikai valószínűség a tudományban játszik.

Milyen szerepet játszik a fizikai valószínűség a tudományban? Milyen tulajdonságai vannak? A véletlen központi tulajdonsága, ha ismert, arra kényszeríti a racionális hitet, hogy ugyanazt a számértéket vegye fel. David Lewis fő elvnek nevezte, ezt a kifejezést a legtöbb filozófus elfogadta. Tegyük fel például, hogy biztos abban, hogy egy adott elfogult érme 0,32 hajlamos arra, hogy minden egyes dobáskor az arcra szálljon. Tehát mi a helyes ára az 1 eurós tétnek, ha az érme ezen az oldalon landol, és semmi más nincs? Az Alapelv szerint a valós ár 32 cent .

Szubjektivizmus

A szubjektivisták, más néven bayesiánusok , vagy az "episztemikus valószínűség" követői szubjektív státuszt adnak a valószínűség fogalmának azáltal, hogy azt az egyén által a helyzet bizonytalanságával kapcsolatban adott "hit fokának" mércéjének tekintik.

Az episztémiás valószínűség egyik példája egy valószínűség hozzárendelése ahhoz a tételhez, hogy a javasolt fizikatörvény igaz; egy másik meghatározza a gyanúsított valószínű bűncselekményének mértékét a bemutatott bizonyítékok alapján.

A sportfogadás vagy a lóversenyzés során az esélyeket az esetleges győztesre fogadók számának megfelelően kell meghatározni, így míg a magas esélyű játékosok mindig nyernek, a fogadóirodák minden esetben nyernek.

A bayesi valószínűség használata felveti a filozófiai vitát arról, hogy segíthet-e igazolni a hit megalapozottságát .

Bayesians pont a munkája Ramsey (p 182) és de Finetti (p 103) keresztül a bizonyíték, hogy a szubjektív meggyőződés követnie kell a valószínűség törvényei , ha azt akarjuk, hogy következetes . A bizonyítékok megkérdőjelezik azt a tényt, hogy az emberek következetes hiedelmekkel rendelkeznek.

Jóslás

A valószínűség alternatívája hangsúlyozza az előrejelzés szerepét - a jövőbeli megfigyelések előrejelzése a múltbeli megfigyelések alapján, nem pedig megfigyelhetetlen paraméterek alapján. Ez volt a fő funkciója a valószínűsége, mielőtt a 20 th században, de kegyvesztett felett parametrikus megközelítés, amely modellezett jelenségek, mint fizikai rendszert észlelték a hibát, mint a mechanika mennyei . A modern prediktív megközelítés úttörője Bruno de Finetti volt , a felcserélhetőség központi gondolatával úgy, hogy a jövőbeni megfigyelések úgy viselkedjenek, mint a korábbi megfigyelések. Ez a nézet 1974-ben de Finetti könyvének fordításával került az angol nyelvterület figyelmébe, és azóta olyan statisztikusok javasolták, mint Seymour Geisser .

Axiomatikus valószínűség

A matematika valószínűség lehet fejleszteni egy teljesen magától értetődő módon, amely független az értelmezés: lásd a cikkek az elmélet a valószínűség és axiómák valószínűséggel részletes kezelésére.

Lásd is

Gyakoriság (statisztika)
Valószínűségi amplitúdó (kvantummechanika)
A matematika filozófiája

Hivatkozások

(fr) Ez a cikk részben vagy egészben venni a Wikipedia cikket angolul című „ valószínűség értelmezések ” ( lásd a szerzők listáját ) .

View (in) Hájek, "A valószínűség értelmezése" , Edward N. Zalta, The Stanford Encyclopedia of Philosophy ,2012 tél( online olvasás ) amely a valószínűségértelmezések pontosabb és részletesebb taxonómiáját nyújtja.
Ramón de Elía és René Laprise , „ A valószínűség értelmezésének sokfélesége: következmények az időjárás-előrejelzésre ”, Havi időjárási áttekintés , vol. 133, N o 5, 2005, P. 1129–1143 ( DOI 10.1175 / mwr2913.1 )
(a) John Venn , logikája Chance , London, MacMillan,1876( online olvasás )
(in) Hans Reichenbach , A valószínûségelmélettel vizsgálatot a logikai és matematikai alapjait a matematika valószínűség , University of California Press ,1948
(in) Darrell Rowbottom , valószínűség , Cambridge, Polity2015, 180 p. ( ISBN 978-0-7456-5257-3 )
Laplace, Pierre-Simon Esszé valószínűségek , Bachelor, Párizs, 6. th Edition, 1840.
(en) Bruno de Finetti (HE Smokler), tanulmányok a szubjektív valószínűségről , New York, Wiley ,1964, 93–158 . , "Előrelátás: logikai törvényei, szubjektív forrásai"
(a) LJ Savage , A alapjai statisztikák , New York, John Wiley & Sons, Inc.,1954, 310 p. ( ISBN 0-486-62349-1 )
Fermat és Pascal a valószínűségről (@ socsci.uci.edu)
László E., Szabó fizikalista értelmezése valószínűség (Talk bemutatásra a Philosophy of Science Seminar, Eötvös, Budapest, október 8, 2001.
László E., Szabó célkitűzés valószínűség-szerű dolgokat anélkül objektív indeterminizmus Tanulmányok Történelem és Filozófia Modern Fizika 38 (2007) 626-634 ( Nyomdaipari )
Freedman, David és Philip B. Stark (2003) "Mi az esélye egy földrengésnek?"
(a) John Maynard Keynes , Értekezés a valószínűsége , MacMillan1921( online olvasás )
(in) Frank Plumpton Ramsey , a matematika és más logikai esszé alapjai , London,1931, 157 o. ( online olvasás ) , „VII. fejezet: Igazság és valószínűség (1926)”
(in) Martin Peterson , Bevezetés a döntés elmélet , Cambridge, UK New York, Cambridge University Press ,2009, 317 o. ( ISBN 978-0-521-71654-3 ) , p. 140
Richard W. Miller , „ Hajlandóság: Popper vagy Peirce? ”, British Journal for the Philosophy of Science , vol. 26, n o 21975, P. 123–132 ( DOI 10.1093 / bjps / 26.2.123 , online olvasás )
Susan Haack , Kolenda, Konstantin és Kolenda , „ Két fallibilista az igazságot kutatva ” , Arisztotelészi Társaság közleményei , vol. 51, n o Kiegészítő kötetek,1977, P. 63–104 ( JSTOR 4106816 )
(in) Arthur W. Burks , Luck, ok és indoka: vizsgálatot indít a Nature tudományos bizonyítékok , University of Chicago Press ,1978, 694 oldal o. ( ISBN 0-226-08087-0 )
Peirce, Charles Sanders és Burks, Arthur W., szerk. (1958), Charles Sanders Peirce 7. és 8. kötetének összegyűjtött papírjai, Harvard University Press, Cambridge, MA, szintén Belnap Press (Harvard University Press) kiadás, t. 7-8 összekötve, 798 oldal, online az InteLexen keresztül , 1998-ban újranyomtatva Thoemmes Continuum.
(in) Daniel Kahneman , Gondolkodó, gyors és lassú , New York, Farrar, Straus és Giroux ,2011, 499 p. ( ISBN 978-0-374-27563-1 )
William M. Grove és Paul E. Meehl , „ Az informális (szubjektív, impresszionista) és formális (mechanikus, algoritmikus) predikciós eljárások összehasonlító hatékonysága: A klinikai-statisztikai ellentmondás ”, Pszichológia, közpolitika és törvény , vol. 2 n o 21996, P. 293–332 ( DOI 10.1037 / 1076-8971.2.2.293 )
(in) Seymour Geisser , Prediktív következtetés: Bevezetés , New York / London, CRC Press ,1993, 264 p. ( ISBN 0-412-03471-9 , online olvasás )

További irodalom

(en) L Cohen , Bevezetés az indukció és a valószínűség filozófiájába , Oxford New York, Clarendon Press Oxford University Press,1989, 217 o. ( ISBN 978-0-19-875078-9 )
(en) Antony Eagle , A valószínűség filozófiája: kortárs olvasmányok , Abingdon, Oxon New York, Routledge ,2011, 543 p. ( ISBN 978-0-415-48387-2 )
(en) Donald Gillies , A valószínűség filozófiai elméletei , London New York, Routledge ,2000, 223 p. ( ISBN 978-0-415-18276-8 , online olvasás )Átfogó monográfia, amely a jelenlegi négy fő értelmezést foglalja magában: logikus, szubjektív, gyakoriság, hajlam. Új interszubjektív értelmezést is javasol.
(en) Ian Hacking , A valószínűség megjelenése: filozófiai tanulmány a valószínűségről, az indukcióról és a statisztikai következtetésekről , Cambridge New York, Cambridge University Press ,2006, 209 p. ( ISBN 978-0-521-68557-3 , online olvasás )
Paul Humphreys, szerk. (1994) Patrick Suppes: tudományos filozófus , Synthese Library, Springer-Verlag.
- Repülési. 1: Valószínűség és valószínűségi okozati összefüggés .
- Repülési. 2: A fizika filozófiája, az elmélet felépítése és mérése, valamint a cselekvéselmélet .
Jackson, Frank és Robert Pargetter (1982) "A fizikai valószínűség mint hajlam" Nous 16 (4): 567-583.
en) Andrej Khrennikov , A valószínűség értelmezése , Berlin New York, Walter de Gruyter ,2009, 2. kiadás , 217 o. ( ISBN 978-3-11-020748-4 )Főleg a nem Kolmogorov valószínűségi modelleket fedi le, különös tekintettel a kvantumfizikára .
(en) David Lewis , Philosophical papers , New York, Oxford University Press ,1983( ISBN 978-0-19-503646-6 )
(en) Jan von Plato , Modern valószínűség megteremtése: matematikája, fizikája és filozófiája történelmi perspektívában , Cambridge England New York, Cambridge University Press ,1994, 323 p. ( ISBN 978-0-521-59735-7 , online olvasás )
(en) Darrell Rowbottom , Valószínűség , Cambridge, Polity,2015, 180 p. ( ISBN 978-0-7456-5257-3 )Könnyen hozzáférhető bevezetés a valószínűség értelmezéséhez. Átfogja az összes fő értelmezést, és újszerű csoportszintű (vagy „interszubjektív”) értelmezést javasol. Kitér a tévedésekre és az értelmezések alkalmazására a társadalom- és természettudományokban is.
(en) Brian Skyrms , választás és esély: bevezetés az induktív logikába , Ausztrália Belmont, Kalifornia, Wadsworth / Thomson Learning,2000, 174 p. ( ISBN 978-0-534-55737-9 )

Külső linkek

"A valószínűség értelmezése" Stanfordi filozófiai enciklopédia