A matematika filozófiája a tudomány filozófiájának az az ága, amely megkísérli megválaszolni a matematika alapjaival és azok felhasználásával kapcsolatos kérdéseket. Olyan kérdésekkel találkozunk, mint például: "szükség van-e a matematikára?" "," Miért hasznos vagy hatékony a matematika a természet leírásában ? Milyen értelemben mondhatjuk, hogy léteznek matematikai entitások? "Vagy" miért és hogyan mondhatjuk, hogy egy matematikai tétel igaz ? ".
Az ezekre a kérdésekre adott válaszok különböző gondolkodási iskolákba vannak szervezve, amelyek között többek között megszámlálhatjuk:
Ezeket az utakat a cikk később tárgyalja.
Az ismétlődő témák a következők:
Miről szól a matematika? A molekuláris biológia a molekulák közötti kémiai kölcsönhatások tanulmányozásával igyekszik elmagyarázni az élőlények működését. A kozmológia az univerzum egészének összefüggő leírását igyekszik megadni, elfelejtve az adott struktúrákat. Az idegtudomány az agy belső működésének feltárására és a gondolat eredetének megértésére törekszik. Mi van a matematikával?
A matematika sok különböző tulajdonságú objektummal foglalkozik. De ezek a tárgyak definíciók, amelyek emberi reflexióból származnak. Ebben az értelemben a matematika az emberi elme alkotása, egy "idegsejt-konstrukció" eredménye, amint azt Jean-Pierre Changeux neurológus is megerősítette . A matematikai feltárás az előzőleg meghatározott objektumok által ellenőrzött tulajdonságok felsorolásában állna. A gyakorlat azonban lehetővé teszi az igaz és a hamis megkülönböztetését, az érvelés helyességének, sőt a definíciók relevanciájának azonosítását.
Éppen ellenkezőleg, sok matematikus azon a véleményen van, hogy a matematikai érvelést már létezőnek tekinti az emberi elme számára. Ebben az értelemben az új tétel megfogalmazása nem találmány , hanem felfedezés . Jean-Pierre Serre francia matematikus egyetért ezzel. Különleges esetek, példák és ellenpéldák tanulmányozása tűnik kísérletezésnek .
Első pillantásra a matematika egy olyan tudományág, amely nem áll szemben a valósággal. Csak első pillantásra. Ha a matematika nélkülözhetetlen nyelv a fizika leírásához, akkor a természettudományok a matematika belső fejlődéséhez vezettek. Így :
Mikor kezdődik a matematika? Nehéz pontosan válaszolni. Minden a "matematikai" kifejezés jelentésétől függ.
A matematika nagyon tág értelemben numerikus és térbeli fogalmak összessége, amely az érvelés három formájához kapcsolódik: dedukcióhoz, teljes indukcióhoz (megismétlődéshez) és az abszurd értelemhez. A matematika tehát a számlálással és a méréssel kezdődik. Ez a tudás megelőzi az írást . A csontok rovatai előrevetítik a holdnaptárakat, mint például Ishango csontja . A számok használata az első civilizációktól (Mezopotámia, IV . Ezredév) már hatékony volt .
Ha azonban a matematikát érvényes érvelésen alapuló tudományos ismeretekre korlátozzuk, az első matematika a görög civilizáció gyümölcse.
Egy másik iskola A matematika kezdeteit az iszlám világ kulturális újjáéledésével datálja az iszlám tudományok aranykorában, például Al-Khwârizmî , az algebra alapítója .
Még egy A matematika kezdeteit a reneszánsz idején bekövetkezett európai kulturális újjáéledéssel datálja.
Ezek a viták a matematika eredetével kapcsolatban inkább e tudomány meghatározására, mintsem a történelmi bizonyítékok hitelességére vonatkoznak.
A valósághoz és a gondolathoz való viszonyuk révén a matematika megkülönböztethető a tudás és a kutatás egyéb területeitől . Ez a kettős viszony a gondolattal és a valósággal arra készteti a tudomány filozófusait, hogy megkérdőjelezzék a tudomány nevét . A tudományfilozófiában a fallibilizmust Charles Sanders Peirce használja a tudomány fundamentalizmussal való szembeállítására ; ezt a koncepciót Karl Popper kritikai racionalizmusa veszi át a cáfolhatóság kifejezés alatt . Popper a matematikát tudományként ismeri el Alfred Tarski szemantikai munkáját követve . Az, hogy a matematika tudomány-e, a matematika filozófiájának kérdése. A matematika nagyon jó helyet foglalhat el az emberi tudományok, a filozófia és az egzakt tudományok mellett.
Dominique Lecourt emlékeztet arra, hogy „ Bachelard a hozzávetőleges tudásról szóló esszé óta (1928), miszerint a matematika nem képzelhető el jól elkészített nyelvként. [...] A matematika lényege a találmány erejében rejlik; a tudományos gondolkodás dinamizmusának mozgatórugójaként jelennek meg. A matematika nem redukálható egyszerű nyelvre, amely a maga módján megfigyelési tényeket fejez ki ”. (100. oldal)
Számos matematikusnak szánta ezt a tudományágat, mert érzékeli a matematikai szépséget, amelyet érzékel benne.
Az ő munkája a Arany Ratio, SE Huntley tárgya az az érzés, az olvasás és a megértés a bemutató egy matematikai tétel valaki mástól, hogy hogy a néző előtt egy remekmű műalkotás - az olvasó egy demonstrációs is hasonló értelemben eufória, ha megértette azt, mint az eredeti szerző, bár úgy véli, hogy egy remekmű nézőjének az eredeti festőhöz vagy szobrászhoz hasonló eufóriája van. Valójában matematikai és tudományos írásokat tanulmányozhatunk irodalomként .
Philip J. Davis és Reuben Hersh rámutattak, hogy a matematikai szépség jelentése egyetemes. Példaként két bizonyítékot nyújtanak a √2 irracionalitására . Az első az Euclidnak tulajdonított hagyományos ellentmondásbeli bizonyítás ; a második egy közvetlenebb bizonyítás, amely magában foglalja az aritmetika alapvető tételét, amely állításuk szerint a kérdés középpontjában áll. Davis és Hersh azzal érvelnek, hogy a matematikusok a második bizonyítást esztétikusabbnak találják, mert közel áll a probléma természetéhez.
Erdős Pál arról az állításáról volt ismert, hogy egy "könyv" tartalmazza a legelegánsabb és legszebb matematikai bemutatókat. Nincs egyetemes egyetértés abban, hogy az eredmény "legelegánsabb" demonstrációval bír; Gregory Chaitin ezen érvelés ellen érvelt.
A filozófusok olykor azt kritizálták, hogy a matematikusok szépsége vagy eleganciája jobb esetben lazán rögzített. Ugyanakkor a matematika filozófusai igyekeztek jellemezni, mi teszi az egyik bizonyítást elegánsabbá, mint a másikat.
Az esztétika egy másik aspektusa a matematikával kapcsolatban a matematikusok nézete a matematika lehetséges etikai vagy nem megfelelő célokra történő felhasználásával szemben . Ennek a nézetnek a legismertebb megnyilvánulását GH Hardy A matematikus apológiája című könyve ismerteti , ahol Hardy azt állítja, hogy a tiszta matematika nagyobb szépséggel rendelkezik, mint az alkalmazott matematika éppen azért, mert semmilyen célra nem használható. Etikátlan.
A matematika nyilvánvaló egyetemessége és hatékonysága - legalábbis az ókori Görögország óta - filozófiai és metafizikai kérdések forrása. Az eszmetörténet szorosan kapcsolódik a matematika természetéről való gondolkodáshoz. Három fő kérdést különböztethetünk meg:
Más tudományágak (kognitív tudományok, elmefilozófia stb.) Fejlődése további kérdéseket vet fel, például:
"Azt, hogy senki nem lép ide, ha nem földmérő", vésették az Akadémia , a Platóni iskola portáljára . Ennek a filozófusnak a matematika közvetítő az Ötletek birodalmába való belépéshez .
A matematikát illetően Arisztotelészt még mindig nagyon átitatja a platonizmus . A Holdon túli univerzumot, a csillagokat és a bolygókat a matematika megértheti, mert örök és tökéletes törvények szerint vannak rendezve . Másrészt Arisztotelész számára a szubununális világ változásoknak és mozgásoknak van kitéve, és a fizika semmiképpen sem állíthatja, hogy megszerezné a matematika szigorát és egyetemességét.
A logika úgy véli, hogy a matematika egésze beletartozik az elméletileg kifejezett elemi logikai kapcsolatokba, amelyek egy demonstrációt alkotnak.
" G. Frege törekvése nem korlátozódott a logika újjáépítésére, hanem a matematikát is a logikára kívánta alapozni". „Frege elállt logicista program” után, hogy nem oldja meg a paradoxon Bertrand Russell a (együttes, amely nem tartalmaz egy elemet). Bertrand Russell feltalálja a típusok elméletét annak megoldására.
H. Barreau szerint "a logika váltságdíja a számtan legmegbízhatóbb alapjainak elérésének megfigyelt lehetetlensége".
Hervé Barreau szerint, aki D.Hilbertet veszi át : "a formalista program a matematikusok azon óhajából született, hogy üdvözöljék a matematikusok igényeihez igazított formális logikát anélkül, hogy feltétlenül betartanák a logikus programot", és tovább: "A továbbiakban nem az érvelés helyett. matematikai lények, értelmezni kell a jelentéstől megfosztott jeleket.
Ez az áram az eredete a metamatematika és másrészt konstruktív tüntetések létezés különös feltételeit konzisztencia (azaz nem ellentmondás) és feltételeit a teljesség (azaz vagyis az a képesség, hogy bizonyítani hogy minden helyesen megfogalmazott állítás igaz vagy hamis. ” Kurt Godel , aki nem volt formalista, javasolta a 2 hiányosság tételt, amelyek megváltoztatták a matematika nézetét.
H. Barreau szerint "a formalizmus ára [senkinek] való kielégítés és a matematikusok saját felelősségére való kalandozásának engedése".
Ez a matematikusok áramlata, akik Hervé Barreau szerint "elutasítják azt a zavart, amelyet a formalisták a valódi matematika, amely mindig konstruktív, és a formalizált elméletek között, amelyek nem akarják tudni, miről beszélnek".
„A matematikai tudomány lehetősége megoldhatatlan ellentmondásnak tűnik. Ha ez a tudomány csak küllemében deduktív, honnan ered ez a tökéletes szigor, amelyet senki sem álmod meg a megkérdőjelezésről? Ha éppen ellenkezőleg, a formális logika szabályaiból levonhatók az általa elhangzott összes javaslat, akkor miként nem redukálható a matematika hatalmas tautológiává? A szillogizmus nem taníthat meg minket semmire, ami lényegében új, és ha minden eltérne az identitás elvétől, akkor mindennek vissza is kell tudnia térni. », Henri Poincaré , Tudomány és hipotézis .
LEJ Brouwer azt javasolja: "A matematika egyetlen lehetséges alapját ebben a konstruktív folyamatban kell keresni, amelynek kötelessége elgondolkodással, finomítással és kultúrával megkülönböztetni azokat az ötleteket, amelyek elfogadhatók az intuíció számára, nyilvánvalóak az elme számára. ők nem ".
H. Barreau szerint "az [intuíció] szigorúságának váltságdíja, amely kizárólag a klasszikus matematika területére terjed ki, bizonyos képtelenség lefedni ".
Van egy független "időtlen" matematikai valóság ... Kurt Godelt idézi H. Barreau: "Nem látok okot arra, hogy kevésbé bízzunk az ilyen típusú érzékelésben, vagyis a matematikai intuícióban, ami az érzéki érzékelésben ... Ezenkívül az objektív valóság egyik aspektusát képviselik. "
Mert Albert Lautman , a világ matematikai ötletek mintaképe a világ platóni ötletek. Pontosabban úgy véli, hogy a demonstrációkban kiemelt matematikai objektumok közötti kapcsolatok általánosabbak, metamatematikus összefüggések. Lautman műveiben megmutatja, hogy egy tétel bizonyítása során a filozófusok által teljesen más kontextusban kidolgozott ötletek valósulnak meg.
Lautman részéről:
A konstruktivista elismeri, hogy a matematika épült . Technikailag csak a bizonyításokban fogadják el a véges következtetéseket. Például az indukcióval folytatott érvelés, valamint a választott axióma tilos. Az abszurd módon történő demonstrációk szintén tilosak, mivel a matematikai lény létezését csak a nemlétének lehetetlensége adja, nem pedig a létezésének konkrét magyarázata.
A strukturalizmus azt állítja, hogy a matematikai elméletek leírják a struktúrákat, és hogy a matematikai objektumokat kimerítően meghatározza az ezekben a struktúrákban elfoglalt helyük. Ezért a strukturalizmus fenntartja, hogy a matematikai objektumok nem rendelkeznek belső tulajdonságokkal, hanem a rendszerben lévő külső kapcsolataik határozzák meg őket. Például a strukturalizmus fenntartja, hogy az 1 egész számot a 0 utódja kimerítően definiálja a természetes számelmélet struktúrájában. Ennek a példának az általánosításával, ebben a struktúrában mindent meghatároz a számegyenes helye. A matematikai objektumok további példái lehetnek a geometriában lévő vonalak és síkok , vagy az absztrakt algebra elemei és műveletei .
A strukturalizmus episztemológiailag reális nézet , mivel fenntartja, hogy a matematikai állításoknak objektív igazságértéke van . Fő állítása azonban csak arra vonatkozik, hogy milyen típusú entitás egy matematikai objektum vagy szerkezet, és nem a létezésük típusára (más szóval nem az ontológiájukra ). A matematikai objektumok létezésének típusa attól a struktúrától függ, amelybe beépülnek; a strukturalizmus különböző alfajtái különböző ontológiai állításokkal élnek e tekintetben.
A kalkulatikusok azok, akik szeretik Stephen Wolframot, azonosítják a természetet a számítással. Számukra a csökkenő alma van egy példánya, a számítás a mechanika.