Laplaciai operátor
A laplaciánus operátor , vagy egyszerűen a laplakiai , a differenciáloperátor, amelyet a gradiens operátor, majd a divergenciaoperátor alkalmazása határoz meg :
Δϕ=∇→2ϕ=∇→⋅(∇→ϕ)=div(grad→ ϕ).{\ displaystyle \ Delta \ phi = {\ vec {\ nabla}} ^ {2} \ phi = {\ vec {\ nabla}} \ cdot ({\ vec {\ nabla}} \ phi) = \ kezelőnév {div } \ left ({\ overrightarrow {\ operatorname {grad}}} ~ \ phi \ right).}
Intuitív módon egyesíti és összefüggésbe hozza egy mező statikus leírását (amelyet gradiense ír le) ennek a mezőnek a térben és időben bekövetkező dinamikus hatásaival (divergenciájával). Ez az elliptikus operátor legegyszerűbb és legnépszerűbb példája .
Számos elméleti tudományág matematikai megfogalmazásában jelenik meg, például geofizika , elektrosztatika , termodinamika , klasszikus és kvantummechanika . Szisztematikusan megtalálható a Laplace-egyenlet , a Poisson-egyenlet , a hőegyenlet és a hullámegyenlet szempontjából .
A kétszer alkalmazott laplaciai operátort bilaplaciának hívják .
Bemutatás
Fizikai hatás
A laplaciánus megértésének megközelítésének egyik módja az, ha észrevesszük, hogy ez a harmadik (vagy kettő vagy több) dimenzió kiterjesztését jelenti annak, ami az első dimenzió második deriváltja.
Ahogy a gradiens 3D-ben egyenértékű az időbeli változással , úgy a laplaciánus a második deriváltat tükrözi, a gyorsulást : fontos értékeket vesz fel olyan területeken, amelyek erősen konkávak vagy domborúak, vagyis amelyek egy hiány a gradiens által megvalósított "átlagos eloszlás" síkjához képest . A laplacianus fontos (pozitív vagy negatív) értéke azt jelenti, hogy lokálisan a skalármező értéke meglehetősen eltér a környezete átlagától; és dinamikusan ezt az értékkülönbséget áthidalni kell.
Általánosságban elmondható, hogy fizikai egyenleteink lesznek, amelyek azt mutatják, hogy egy fizikai mennyiség evolúciójának sebessége egy ponton annál nagyobb lesz, mivel a Laplacianus ekkor fontos, a kettő közötti arányt diffúziós együttható adja meg.
Ezt fordítja le például a hőegyenlet :
∂∂t{\ displaystyle {\ frac {\ részleges} {\ részleges t}}}T{\ displaystyle T}= .
α{\ displaystyle \ alpha}∇2{\ displaystyle \ nabla ^ {2}}T{\ displaystyle T}
A hőmérséklet-változás sebessége egy pontban (együtthatón belül) annál nagyobb, annál nagyobb a hőmérséklet-különbség a környezete átlagával.
Meghatározás
A görög delta betűvel szimbolizálva tehát megfelel a nabla operátornak, amelyet kétszer alkalmaztak a figyelembe vett funkcióra. Leggyakrabban skaláris mezőkre alkalmazzák , ennek eredménye pedig akkor is skaláris mező. A nabla első alkalmazása skalárra vonatkozik: ez tehát gradiens , és az eredmény egy vektor:
∇→ϕ=(∂ϕ∂x∂ϕ∂y∂ϕ∂z){\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ phi = {\ begin {pmatrix} {\ frac {\ részleges \ phi} {\ részleges x}} \\ {\ frac {\ részleges \ phi} {\ részleges y }} \\ {\ frac {\ részleges \ phi} {\ részleges z}} \ vég {pmatrix}}}A második művelet ezután egy vektorhoz kapcsolódik. Ez akkor divergencia , és az eredmény egy skalár:
∇→⋅(∇→ϕ)=(∂∂x∂∂y∂∂z).(∂ϕ∂x∂ϕ∂y∂ϕ∂z)=∂2ϕ∂x2+∂2ϕ∂y2+∂2ϕ∂z2{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ cdot ({\ vec {\ nabla}} \ phi) = {\ begin {pmatrix} {\ frac {\ részben} {\ részleges x}} és {\ frac { \ részleges {{részleges y}} és {\ frac {\ részleges} {\ részleges z}} \ vég {pmatrix}}. {\ kezdet {pmatrix} {\ frac {\ részleges \ phi} {\ részleges x} } \\ {\ frac {\ részleges \ phi} {\ részleges y}} \\ {\ frac {\ részleges \ phi} {\ részleges z}} \ vég {pmatrix}} = {\ frac {\ részleges ^ { 2} \ phi} {\ részleges x ^ {2}}} + {\ frac {\ részleges ^ {2} \ phi} {\ részleges y ^ {2}}} + {\ frac {\ részleges ^ {2} \ phi} {\ részleges z ^ {2}}}},
ezért a bevezetőben említett identitások.
Mivel az eredmény egy kettős térbeli deriválás, ha felvisszük egy fizikai mennyiség G a dimenzió [ G ], az eredmény az lesz a [ G ] négyzetméterenként.
A koordináta-rendszer megváltoztatása
Egy skaláris mező esetében, amint a g metrikus tenzor létrejött , a következőket tehetjük meg:
Δnál nél=1detg∂én(detggénj∂jnál nél){\ displaystyle \ Delta a = {\ frac {1} {\ sqrt {\ det g}}} \ részleges _ {i} \ balra ({\ sqrt {\ det g}} \; g ^ {ij} \ részleges _ {j} a \ jobbra}}.
Ez a képlet megkönnyíti a Laplacian számítását bármilyen koordinátarendszerben .
A tenzorok laplakija
Általánosabban, a vektor Laplace üzemeltető vonatkozik vektor mezők , és a meghatározást a Laplace által divergencia a gradiens (az utóbbi hozott tenzor index által létrehozott gradiens) érvényes egy tetszőleges tenzor mezőt egy . Vigyázzon azonban arra, hogy ebben az esetben a képlet hamissá váljon. A koordináta-mátrix laplaciája a laplaci-koordináták mátrixa. Laplacian
Δϕ=∇(∇ϕ){\ displaystyle \ Delta \ phi = \ nabla (\ nabla \ phi)}
Δnál nél=nál nél;én;én=génjnál nél;én;j{\ displaystyle \ Delta a = a _ {; i} ^ {; i} = g ^ {ij} a _ {; i; j}}
ugyanannyi indexe van, mint a . A Laplacianus általánosítást ismer el a kellően sima, nem euklideszi terekről, az úgynevezett Laplace-Beltrami operátornak .
Kifejezés különböző koordinátarendszerekben
- Kétdimenziós derékszögű koordinátákban a laplakus:
Δ=∇2=∂2∂x2+∂2∂y2{\ displaystyle \ Delta = \ nabla ^ {2} = {\ frac {\ részleges ^ {2}} {\ részleges x ^ {2}}} + {\ frac {\ részleges ^ {2}} {\ részleges y ^ {2}}}}.
- Háromdimenziós derékszögű koordinátákban:
Δ=∇2=∂2∂x2+∂2∂y2+∂2∂z2{\ displaystyle \ Delta = \ nabla ^ {2} = {\ frac {\ részleges ^ {2}} {\ részleges x ^ {2}}} + {\ frac {\ részleges ^ {2}} {\ részleges y ^ {2}}} + {\ frac {\ részleges ^ {2}} {\ részleges z ^ {2}}}}.
- Es n derékszögű koordinátákban :
Δf(x1,...,xnem)=∑k=1nem∂2f∂xk2(x1,...,xnem){\ displaystyle \ Delta f (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = \ összeg _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {\ részleges ^ {2} f} {\ részleges x_ { k} ^ {2}}} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}.
Polárkoordinátákban (tehát a 2. dimenzióban) a Laplaciust a következőképpen fejezzük ki:
Δf=1r∂∂r(r∂f∂r)+1r2∂2f∂θ2=∂2f∂r2+1r∂f∂r+1r2∂2f∂θ2.{\ displaystyle {\ begin {aligned} \ Delta f & = {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ részleges} {\ részleges r}} \ balra (r {\ frac {\ részleges f} { \ részleges r}} \ jobbra) + {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ részleges ^ {2} f} {\ részleges \ theta ^ {2}}} \\ & = {\ frac {\ részleges ^ {2} f} {\ részleges r ^ {2}}} + {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ részleges f} {\ részleges r}} + {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ részleges ^ {2} f} {\ részleges \ theta ^ {2}}}. \ Vége {igazítva}}}
Elég hozzáadni a Laplaciust a fenti polárkoordinátákban, hogy megkapjuk a hengeres paraméterezésnek megfelelőt :
∂2f∂z2{\ displaystyle {\ frac {\ részleges ^ {2} f} {\ részleges z ^ {2}}}}(x=rkötözősalátaθ,y=rbűnθ,z){\ displaystyle (x = r \ cos \ theta, y = r \ sin \ theta, z)}
Δf=1r∂∂r(r∂f∂r)+1r2∂2f∂θ2+∂2f∂z2=∂2f∂r2+1r∂f∂r+1r2∂2f∂θ2+∂2f∂z2.{\ displaystyle {\ begin {aligned} \ Delta f & = {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ részleges} {\ részleges r}} \ balra (r {\ frac {\ részleges f} { \ részleges r}} \ jobbra) + {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ részleges ^ {2} f} {\ részleges \ theta ^ {2}}} + {\ frac {\ részleges ^ {2} f} {\ részleges z ^ {2}}} \\ & = {\ frac {\ részleges ^ {2} f} {\ részleges r ^ {2}}} + {\ frac { 1} {r}} {\ frac {\ részleges f} {\ részleges r}} + {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ részleges ^ {2} f} {\ részleges \ theta ^ {2}}} + {\ frac {\ részleges ^ {2} f} {\ részleges z ^ {2}}}. \ vége {igazítva}}}
A beállítással
(x=rbűn(θ)kötözősaláta(φ),y=rbűn(θ)bűn(φ),z=rkötözősaláta(θ)){\ displaystyle (x = r \ sin (\ theta) \ cos (\ varphi), y = r \ sin (\ theta) \ sin (\ varphi), z = r \ cos (\ theta))},
a laplaciust a következőképpen fejezzük ki:
Δf=∂2f∂r2+2r∂f∂r+1r2∂2f∂θ2+1r2Cserθ∂f∂θ+1r2bűn2θ∂2f∂φ2{\ displaystyle \ Delta f = {\ frac {\ részleges ^ {2} f} {\ részleges r ^ {2}}} + {\ frac {2} {r}} {\ frac {\ részleges f} {\ részleges r}} + {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ részleges ^ {2} f} {\ részleges \ theta ^ {2}}} + {\ frac {1} { r ^ {2} \ tan \ theta}} {\ frac {\ részleges f} {\ részleges \ theta}} + {\ frac {1} {r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} { \ frac {\ részleges ^ {2} f} {\ részleges \ varphi ^ {2}}}}.
Vagy más formában, amely alkalmasabb lehet bizonyos számításokhoz, és megadja az előző képletet:
Δf=1r2∂∂r(r2∂f∂r)+1r2bűnθ∂∂θ(bűnθ∂f∂θ)+1r2bűn2θ∂2f∂φ2{\ displaystyle \ Delta f = {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ részleges} {\ részleges r}} \ balra (r ^ {2} {\ frac {\ részleges f} {\ részleges r}} \ jobbra) + {\ frac {1} {r ^ {2} \ sin \ theta}} {\ frac {\ részleges} {\ részleges \ theta}} \ balra (\ sin \ theta { \ frac {\ részleges f} {\ részleges \ theta}} \ jobbra) + {\ frac {1} {r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} {\ frac {\ részleges ^ {2} f} {\ részleges \ varphi ^ {2}}}}.
A beállítással
(x=rkötözősaláta(ψ)kötözősaláta(φ)kötözősaláta(θ),y=rkötözősaláta(ψ)kötözősaláta(φ)bűn(θ),z=rkötözősaláta(ψ)bűn(φ),t=rbűn(ψ)){\ displaystyle (x = r \ cos (\ psi) \ cos (\ varphi) \ cos (\ theta), y = r \ cos (\ psi) \ cos (\ varphi) \ sin (\ theta), z = r \ cos (\ psi) \ sin (\ varphi), t = r \ sin (\ psi))},
a laplaciust a következőképpen fejezzük ki:
Δf=∂2f∂r2+3r∂f∂r+1r2kötözősaláta2ψkötözősaláta2φ∂2f∂θ2+1r2kötözősaláta2ψ∂2f∂φ2-Cserφr2kötözősaláta2ψ∂f∂φ+1r2∂2f∂ψ2-2Cserψr2∂f∂ψ{\ displaystyle \ Delta f = {\ frac {\ részleges ^ {2} f} {\ részleges r ^ {2}}} + {\ frac {3} {r}} {\ frac {\ részleges f} {\ részleges r}} + {\ frac {1} {r ^ {2} \ cos ^ {2} \ psi \ cos ^ {2} \ varphi}} {\ frac {\ részleges ^ {2} f} {\ részleges \ theta ^ {2}}} + {\ frac {1} {r ^ {2} \ cos ^ {2} \ psi}} {\ frac {\ részleges ^ {2} f} {\ részleges \ varphi ^ { 2}}} - {\ frac {\ tan \ varphi} {r ^ {2} \ cos ^ {2} \ psi}} {\ frac {\ részleges f} {\ részleges \ varphi}} + {\ frac { 1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ részleges ^ {2} f} {\ részleges \ psi ^ {2}}} - {\ frac {2 \ tan \ psi} {r ^ {2} }} {\ frac {\ részleges f} {\ részleges \ psi}}}.
Gömbös koordináták bármilyen dimenzióban
A hyperspheric koordinátákat
(x1=φ1kötözősalátaφ2,x2=φ1bűnφ2kötözősalátaφ3,...,xnem-1=φ1bűnφ2...bűnφnem-1kötözősalátaφnem,xnem=φ1bűnφ2...bűnφnem-1bűnφnem){\ displaystyle (x_ {1} = \ varphi _ {1} \ cos \ varphi _ {2}, x_ {2} = \ varphi _ {1} \ sin \ varphi _ {2} \ cos \ varphi _ {3 }, \ ldots, x_ {n-1} = \ varphi _ {1} \ sin \ varphi _ {2} \ ldots \ sin \ varphi _ {n-1} \ cos \ varphi _ {n}, x_ {n } = \ varphi _ {1} \ sin \ varphi _ {2} \ ldots \ sin \ varphi _ {n-1} \ sin \ varphi _ {n})},
a laplaciust a következőképpen fejezzük ki:
Δf=∂2f∂φ12+nem-1φ1∂f∂φ1+1φ12(∂2f∂φ22+nem-2Cserφ2∂f∂φ2)+1φ12∑én=3nem[(∏k=2én-11bűn2φk)(∂2f∂φén2+nem-énCserφén∂f∂φén)]{\ displaystyle \ Delta f = {\ frac {\ részleges ^ {2} f} {\ részleges \ varphi _ {1} ^ {2}}} + {\ frac {n-1} {\ varphi _ {1} }} {\ frac {\ részleges f} {\ részleges \ varphi _ {1}}} + {\ frac {1} {\ varphi _ {1} ^ {2}}} \ bal ({\ frac {\ részleges ^ {2} f} {\ részleges \ varphi _ {2} ^ {2}}} + {\ frac {n-2} {\ tan \ varphi _ {2}}} {\ frac {\ részleges f} { \ részleges \ varphi _ {2}}} \ jobbra) + {\ frac {1} {{\ varphi _ {1}} ^ {2}}} \ összeg _ {i = 3} ^ {n} \ balra [ {\ balra (\ prod _ {k = 2} ^ {i-1} {\ frac {1} {\ sin ^ {2} \ varphi _ {k}}} \ jobbra) \ balra ({\ frac {\ részleges ^ {2} f} {\ részleges \ varphi _ {i} ^ {2}}} + {\ frac {ni} {\ tan \ varphi _ {i}}} {\ frac {\ részleges f} {\ részleges \ varphi _ {i}}} \ right)} \ right]}.
Tulajdonságok
- A laplaci operátor lineáris :Δ(λf+g)=λΔf+Δg {\ displaystyle \ Delta (\ lambda f + g) = \ lambda \ Delta f + \ Delta g ~}
- A laplaciai operátor teljesíti Leibniz másodrendű differenciálművezetőre vonatkozó szabályát :Δ(fg)=(Δf)g+2⋅(∇f)⋅(∇g)+f(Δg){\ displaystyle \ Delta (fg) = (\ Delta f) \, g + 2 \ cdot (\ nabla f) \ cdot (\ nabla g) + f (\ Delta g)}
- A laplaci operátor negatív operátor abban az értelemben, hogy bármilyen sima , kompakt támogatású funkció esetén :
∫ϕΔϕ = -∫‖grad ϕ‖2≤0{\ displaystyle \ int \ phi \, \ Delta \ phi \ = \ - \ int \ | \ operátor neve {grad} \ \ phi \ | ^ {2} \ quad \ leq 0}.Ezt az egyenlőséget a reláció , a részek szerinti integrálás és a Stokes-tétel egyik változatának használata bizonyítja , amely egydimenziós esetben áttér a részek általi integrációra.Δ=div grad{\ displaystyle \ Delta = {\ text {div grad}}}
- A laplaci operátor független a térbeli változókat leíró ortonormális alap megválasztásától .
Harmonikus funkció
A (with ) függvény akkor mondható harmonikusnak, ha kielégíti a következő Laplace-egyenletnek nevezett egyenletet :
f:E→R{\ displaystyle f: E \ rightarrow \ mathbb {R}}E⊂Rnem{\ displaystyle E \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}
∀x∈E,(Δf)(x)=0{\ displaystyle \ forall x \ E-ben, \ quad (\ Delta f) (x) = 0}.
Értelmezés
Az indokolás a terv esetére korlátozódik. A függvény deriváltját egy vonalon elhelyezkedő pontban a függvény e pontja körüli variációk és a változó arányának határértékeként határozzuk meg, amikor ez az utolsó variáció nulla felé fordul. A numerikus számítás során ennek a származéknak a közelítését kapjuk meg egy h lépéshez , véges különbségek felhasználásával :
ϕ′(x)=ϕ(x+h/2)-ϕ(x-h/2)h{\ displaystyle \ phi '(x) = {\ frac {\ phi (x + h / 2) - \ phi (xh / 2)} {h}}}.
A második derivált kifejezése:
ϕ″(x)=ϕ′(x+h/2)-ϕ′(x-h/2)h=ϕ(x+h)+ϕ(x-h)-2ϕ(x)h2{\ displaystyle \ phi '' (x) = {\ frac {\ phi '(x + h / 2) - \ phi' (xh / 2)} {h}} = {\ frac {\ phi (x + h) ) + \ phi (xh) -2 \ phi (x)} {h ^ {2}}}}.
Ez a mennyiség, amely a laplaciánus felé hajlik, amikor h 0 felé hajlik, arányos a szélsőértékek és a központi érték félösszege közötti különbséggel . A tulajdonság tetszőleges számú változóra általánosít.
Geometriai megközelítés
Lényeges, hogy egyértelműen azonosítani egy egyszerű fizikai értelmezése a Laplace-féle, más szóval, hogy kérdezi, hogy mi a fizikai értelmében a mennyiség ∇ 2 φ , ahol φ bármilyen fizikai mennyiség. Különösen, φ lehet a potenciális gravitációs V vagy gravitációs potenciális U , de φ is utal, hogy egy sokkal bonyolultabb, mint egy egyszerű skalár mennyiség, például egy vektor vagy tenzor. A laplaciánus skalár operátor, így megállapíthatja fizikai jelentőségét a választás koordinátarendszerében. Az egyszerűség kedvéért itt derékszögű koordinátákat használunk Ox , Oy , Oz , amelyekben ∇ 2 -et kifejez
∇2=∂2∂x2+∂2∂y2+∂2∂z2{\ displaystyle \ nabla ^ {2} = {\ frac {\ részleges ^ {2}} {\ részleges x ^ {2}}} + {\ frac {\ részleges ^ {2}} {\ részleges y ^ {2 }}} + {\ frac {\ részleges ^ {2}} {\ részleges z ^ {2}}}}.
Tegyük fel, hogy bármely ponton O , vett mint a származási ez a rendszer a tengelyek Oxyz , a mező φ értéket veszi φ 0 . Vegyünk egy elemi kocka oldalán egy , amelynek szélei párhuzamosak a koordináta tengelyek és amelynek középpontja egybeesik a származási O . Az ary átlagos értékét ebben az elemi kockában, más szóval az ϕ átlagos értékét az O pont szomszédságában a kifejezés adja meg
ϕ¯=1nál nél3∫VSϕ(x,y,z)dxdydz{\ displaystyle {\ overline {\ phi}} = {\ frac {1} {a ^ {3}}} \ int _ {\ mathcal {C}} \ phi (x, y, z) \; \ mathrm { d} x \ mathrm {d} y \ mathrm {d} z},
ahol a három integráció mindegyike a C = [- a ⁄ 2 , a ⁄ 2 ] 3 kockához kapcsolódik .
Az O (0,0,0) szomszédságában lévő tetszőleges P ( x , y , z ) pontban ϕ- t fejlesztünk Taylor-Maclaurin sorozatban . Így rendelkezünk:
ϕ(x,y,z)=ϕ0+(∂ϕ∂x)0x+(∂ϕ∂y)0y+(∂ϕ∂z)0z{\ displaystyle \ phi (x, y, z) = \ phi _ {0} + \ bal ({\ frac {\ részleges \ phi} {\ részleges x}} \ jobb) _ {0} x + \ bal ( {\ frac {\ részleges \ phi} {\ részleges y}} \ jobbra) _ {0} y + \ balra ({\ frac {\ részleges \ phi} {\ részleges z}} \ jobbra) _ {0} z }+12[(∂2ϕ∂x2)0x2+(∂2ϕ∂y2)0y2+(∂2ϕ∂z2)0z2]{\ displaystyle + {\ frac {1} {2}} \ bal [\ bal ({\ frac {\ részleges ^ {2} \ phi} {\ részleges x ^ {2}}} \ jobb) _ {0} x ^ {2} + \ bal ({\ frac {\ részleges ^ {2} \ phi} {\ részleges y ^ {2}}} \ jobb) _ {0} y ^ {2} + \ bal ({\ frac {\ részleges ^ {2} \ phi} {\ részleges z ^ {2}}} \ jobbra) _ {0} z ^ {2} \ jobbra]}+(∂2ϕ∂x∂y)0xy+(∂2ϕ∂y∂z)0yz+(∂2ϕ∂z∂x)0zx+...{\ displaystyle + \ bal ({\ frac {\ részleges ^ {2} \ phi} {\ részleges x \ részleges y}} \ jobb) _ {0} xy + \ bal ({\ frac {\ részleges ^ {2 } \ phi} {\ részleges y \ részleges z}} \ jobbra) _ {0} yz + \ balra ({\ frac {\ részleges ^ {2} \ phi} {\ részleges z \ részleges x}} jobbra) _ {0} zx + \ ldots}
Egyrészt, a páratlan funkció ebben a kifejezésben nyújt, integrálásával - a / 2 a a / 2 , nulla hozzájárulást φ . Például,
∫VSxdxdydz=[(nál nél2)22-(-nál nél2)22][nál nél2--nál nél2][nál nél2--nál nél2]=[0][nál nél][nál nél]=0{\ displaystyle \ int _ {\ mathcal {C}} x \; \ mathrm {d} x \ mathrm {d} y \ mathrm {d} z = \ left [{\ frac {\ left ({\ frac {a } {2}} \ jobbra) ^ {2}} {2}} - {\ frac {\ balra ({\ frac {-a} {2}} \ jobbra) ^ {2}} {2}} \ jobbra ] \ balra [{\ frac {a} {2}} - {\ frac {-a} {2}} \ jobbra] \ balra [{\ frac {a} {2}} - {\ frac {-a} {2}} \ right] = [0] [a] [a] = 0}.
Másrészt a páros függvények hozzájárulnak egy 5/12 értékhez. Például,
∫VSx2dxdydz=[(nál nél2)33-(-nál nél2)33][nál nél2--nál nél2][nál nél2--nál nél2]=nál nél5.12.{\ displaystyle \ int _ {\ mathcal {C}} x ^ {2} \; \ mathrm {d} x \ mathrm {d} y \ mathrm {d} z = \ left [{\ frac {\ left ({ \ frac {a} {2}} \ jobbra) ^ {3}} {3}} - {\ frac {\ balra ({\ frac {-a} {2}} \ jobbra) ^ {3}} {3 }} \ jobb] \ bal [{\ frac {a} {2}} - {\ frac {-a} {2}} \ jobb] \ bal [{\ frac {a} {2}} - {\ frac {-a} {2}} \ right] = {\ frac {a ^ {5}} {12}}}.
Erre következtetünk
ϕ¯=ϕ0+nál nél224.(∂2ϕ∂x2+∂2ϕ∂y2+∂2ϕ∂z2)0{\ displaystyle {\ overline {\ phi}} = \ phi _ {0} + {\ frac {a ^ {2}} {24}} \ bal ({\ frac {\ részleges ^ {2} \ phi} { \ részleges x ^ {2}}} + {\ frac {\ részleges ^ {2} \ phi} {\ részleges y ^ {2}}} + {\ frac {\ részleges ^ {2} \ phi} {\ részleges z ^ {2}}} \ jobbra) _ {0}},
vagy
ϕ¯=ϕ0+nál nél224.(∇2ϕ)0{\ displaystyle {\ overline {\ phi}} = \ phi _ {0} + {\ frac {a ^ {2}} {24}} {\ bigl (} \ nabla ^ {2} \ phi {\ bigr) } _ {0}}.
Mivel az O pontot önkényesen választottuk, asszimilálhatjuk azt az aktuális P ponthoz és ledobhatjuk a 0. indexet. Így kapjuk meg a következő kifejezést, amelynek az értelmezése azonnali:
∇2ϕ=24.nál nél2(ϕ¯-ϕ){\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ phi = {\ frac {24} {a ^ {2}}} \ bal ({\ overline {\ phi}} - \ phi \ right)},
vagyis a ∇ 2 ϕ mennyiség arányos a ϕ - ϕ különbséggel . Az arányossági állandó egyenlő 24 / a 2 derékszögű tengelyekben. Más szóval, az összeg ∇ 2 φ olyan intézkedés közötti különbség értéke φ bármely ponton a P és a középértéket φ közelében pont P . Különösen a harmonikus függvények ( lásd fent ) tulajdonságai átlagos függvények (vagy „ középosztálybeli függvények ”).
Megjegyzés: A függvény Laplaciánja értelmezhető a függvény lokális átlagos görbületeként is, amely könnyen láthatóvá válik egy f függvény számára , csak egy változóval. Könnyen ellenőrizhetjük, hogy az itt a Laplacianusra javasolt érvelés vonatkozik-e az f függvényre és annak második deriváltjára. A második derivált (vagy görbület) tehát az átlag helyi eltérését jelenti a figyelembe vett pont értékéhez képest.
Megjegyzések és hivatkozások
-
Laplaci kifejezés polárkoordinátákban (2. dimenzió) .
-
Számítás / Gyakorlatok / Differenciálhatóság # 7. gyakorlat a Wikiverzitásról .
-
Laplaci kifejezés gömb koordinátákban (3. dimenzió) .
-
Laplaci kifejezés hiperszférikus koordinátákban (4. dimenzió) .
-
Laplaci kifejezés gömb koordinátákban (bármilyen dimenzió) .
-
Megmutatjuk azt a tényt felhasználva, hogy az átmeneti mátrix egyik bázisról a másikra való átültetése megegyezik az inverzével.
Lásd is
Kapcsolódó cikkek
Külső linkek