Az algebra , hivatalos sorozat egy általánosítása polinomok lehetővé végtelen összeg, ugyanúgy, mint az elemzés , egész sorozat általánossá polinom függvények , kivéve, hogy az algebrai keretben konvergencia problémák elkerülhetők ad hoc meghatározásokat . Ezek az objektumok hasznosak a szekvenciák tömör leírásához és az úgynevezett generáló sorozatokon keresztül indukcióval meghatározott szekvenciák képleteinek megtalálásához .
Legyen R lehet egy kommutatív ( egységes ) gyűrűt . A gyűrű R [[ X ]] formális sorozat több R egy meghatározatlan X jelentése az Abel-csoport ( R N , +) a szekvenciák együtt értékek R , felruházva bizonyos belső szorzás jog . Pontosabban :
(ez egyfajta diszkrét konvolúciós termék ).
Ez a két művelet teszi R [[ X ]] -t kommutatív gyűrűvé.
A topológia a R [[ X ]] legfinomabb miért, függetlenül az együtthatók egy n a R , a topológia előállított szóló R N , ahol R megkapja a diszkrét topológia .
Szerkezetileg ez a tér:
Elismerjük a távolságot a topológia I -adic , ahol I = ( X ) jelentése az ideális többszörösei X . Ez teszi R [[ X ]] egy topológiai gyűrű (ha K kommutatív mező, K (( X )) is fel van ruházva a topológiai mező struktúra ).
Következésképpen, a tulajdonság, amely motivált a választott Ez a topológia generalizált: egy sorozat az általános kifejezés F n konvergál az R [[ X ]], ha, és csak akkor, ha bármely természetes szám N , szinte minden formális sorozat F n (au jelentése: véges szám kivételével mind ) X N többszöröse . Sőt, a sorozat bármilyen átrendeződése ekkor ugyanazon határ felé konvergál .
Az elemzés során egy konvergens egész sorozat egy valós vagy összetett értékű függvényt határoz meg . A hivatalos sorozatok olyan funkcióknak is tekinthetők, amelyek kezdő és befejező halmazait körültekintően kell kezelni. Ha f = ∑ a n X n az R [[ X ]] eleme , S egy kommutatív és asszociatív algebra az R-n , akkor I ideálja az S-t oly módon, hogy az I -adikus topológia S-n teljes, és x egy I , akkor lehetséges meghatározni:
Ez a sorozat konvergál S-ben az x feltételezésének köszönhetően . Továbbá:
és
Ezek a képletek azonban nem definíciók, ezeket be kell mutatni.
Mivel az R [[ X ]] feletti topológia az ( X ) -adikus topológia és az R [[ X ]] teljes, lehetséges egy formális sorozatot alkalmazni egy másik formális sorozatra is, feltéve, hogy az n 'argumentumoknak nincs állandójuk együttható: f (0), f ( X 2 - X ) és f ((1 - X ) -1 - 1) jól definiált bármilyen hivatalos sorozat f ∈ R [[ X ]].
Ezzel a formalizmussal explicit képletet adhatunk egy olyan formális f sorozat inverzére (multiplikatív értelemben), amelynek állandó a = f (0) együtthatója R-ben megfordítható :
Ha a hivatalos sorozat g a g (0) = 0 hallgatólagosan a következő egyenlet
ahol f egy ismert egész szám, amely kielégíti az f (0) = 0 értéket, akkor a g együtthatói kifejezetten kiszámolhatók Lagrange inverziós tételének felhasználásával .
Ha f = ∑ a n X n az R [[ X ]] eleme , akkor formális deriváltját definiáljuk a D operátor segítségével, amelyet
Ez a művelet R - lineáris :
az egy , b a R és F , g a R [[ X ]].
A függvények klasszikus levezetésének számos tulajdonsága érvényes a formális sorok levezetésére. Például egy termék levezetési szabálya érvényes:
valamint a vegyület levezetésének szabálya:
Bizonyos értelemben, minden formális sorozat Taylor-sor , mert ha F = Σ egy n X n , írásban D k , mint a K- th formális származékot, azt találjuk, hogy
Természetes módon definiálhatjuk a formális Laurent-sorok levezetését is, és ebben az esetben a hányados-szabály a fent felsorolt szabályok mellett érvényes is lesz.
A leggyorsabb módja annak, hogy meghatározza a gyűrű R [[ X 1 , ..., X r ]] a hivatalos sorozat R a R változók kezdődik a gyűrű S = R [ X 1 , ..., X r ] a polinomok a R . Hadd legyek az ideális S által generált X 1 , ..., X r ; akkor vegye figyelembe az I -adikus topológiát az S-n és töltse ki (en) . Ennek a befejezésnek az eredménye egy teljes topológiai gyűrű, amely S-t tartalmaz, és amelyet R [[ X 1 ,…, X r ]] jelöl .
Az n = ( N 1 , ..., n r ) ∈ N R , írunk X n = X 1 n 1 ... X r n r . Ezután az R [[ X 1 ,…, X r ]] minden elemét egyedileg összegezve írjuk fel az alábbiak szerint:
Ezek összegeket konvergálnak bármely választási az együtthatók egy n ∈ R és a sorrendet, amelyben az elemek összegezzük nem számít.
A topológia a R [[ X 1 , ..., X r ]] jelentése a J -adic topológia , ahol J az ideális az R [[ X 1 , ..., X r ]] által generált X 1 , ..., X R ( azaz J olyan sorokból áll, amelyek állandó együtthatója nulla).
Mivel R [[ X 1 ,…, X r ]] kommutatív gyűrű, meghatározhatjuk formális sorozatok gyűrűjét, R [[ X 1 ,…, X r ]] jelöléssel . Ez a gyűrű természetesen izomorf a gyűrű R [[ X 1 , ..., X r ]] korábban megadott, de ezek a gyűrűk topológiailag különböző.
Ha R jelentése elsődleges ezután R [[ X 1 , ..., X r ]] jelentése faktoriális .
Ami a hivatalos sorozat egy változó, lehet „alkalmazni” a hivatalos sorozat több változó egy másik hivatalos sorozat, feltéve, hogy az állandó együttható egy (0, ..., 0) nulla. Ezen formális sorok részleges deriváltjainak meghatározása is lehetséges. A részleges derivatívák ugyanúgy ingáznak, mint a folyamatosan differenciálható funkciók.
Formális sorokkal bizonyíthatjuk az elemzés néhány klasszikus azonosságának pusztán algebrai részét. Például hivatalos sorozatok ( racionális együtthatókkal ) igazolja (az utolsó kifejezést a Q [[ X, Y ]] gyűrű határozza meg .
Több módszer ( lásd a részletes cikket) lehetővé teszi a szekvencia formális sorozattal való ábrázolását, és a kapcsolódó sorozatok számításai alapján elmagyarázza a szekvencia feltételeit (vagy legalábbis a viselkedésére vonatkozó információkat).
Az R [[ X 1 ,…, X r ]] formális sorozat gyűrűje a következő univerzális tulajdonsággal rendelkezik :
akkor létezik egyedi map térkép: R [[ X 1 ,…, X r ]] → S igazolás
Legyen G egy teljesen rendezett abeli csoport .
Ezután elkészíthetjük az összegek R (( G )) halmazát
részhalmazain rendezett I. a G , és ahol egy i elemei R . Egy ilyen összeg nulla, ha minden a i nulla. Formálisan, ezek a térképek G az R és egy jól rendezett támogatás .
Ekkor R (( G )) egy kommutatív gyűrű, amelyet az általánosított G formális sorainak gyűrűjének nevezünk . Az a feltétel, hogy az összegek jól rendezett I részhalmazokra vonatkoznak, biztosítja a termék pontos meghatározását.
Ha R egy mező, és ha G a relatív egészek csoportja, akkor megtaláljuk Laurent formális sorozatát.
Az R különféle tulajdonságai átkerülhetnek R (( G )) -be .
Ha R mező, akkor R (( G )) is. Ha R egy rendezett test , tudjuk meg a R (( G )) végzés kapcsolatban rendelünk minden sorozat a jele annak meghatározó tényező: a tényező kapcsolódó legkisebb i oly módon, hogy a i értéke nem nulla. Ha G egy osztható csoport , és R egy zárt valóságos terepi akkor azonos R (( G )) Végül, ha G jelentése egy osztható-csoport és R egy algebrailag zárt mezőt akkor azonos R (( G ))Ezt az elméletet Hans Hahn osztrák matematikus dolgozta ki