Schauder fixpontos tétel
A fixpont tétel a Schauder általánosítása a fixpont tétel Brouwer a topológiai vektor terek végtelen dimenzióban. Ez volt az első bizonyított esetében Banach terek által Juliusz Schauder . Beavatkozik a differenciálegyenletek megoldásainak létezésének demonstrálásába .
Államok
Legyen E egy ℝ- topológiai vektor tér elválasztására és C egy konvex zárt nem üres E .
Tétel - Ha T egy folytonos térképet a C és C olyan, hogy T ( C ) van viszonylag kompakt , akkor a T egy fix pont .
Proof ha
E jelentése
lokálisan konvex
A konvex zárt burát a T ( C ) tartalmazza a C és precompact . Cseréjével C ez a része, akkor ezentúl feltételezzük, hogy a konvex C jelentése kompakt .
- Ilyen C esetén mutassuk meg, hogy minden konvex nyitott V esetén, amely 0-t tartalmaz, létezik egy véges G V dimenziós vektoraltér és egy folytonos térkép , amely: énV:VS→VS∩GV{\ displaystyle I_ {V}: C \ C-hez \ cap G_ {V}}∀x∈VS,énV(x)∈x+V.{\ displaystyle \ forall x \ in C, I_ {V} (x) \ in x + V.}Kompaktsága, létezik egy véges részét F V a C olyan, hogy VS⊂⋃f∈FV(f-V){\ displaystyle C \ subset \ bigcup _ {f \ in F_ {V}} (fV)}
és az egység ( ϕ f ) f ∈ F V partíciója ennek a véges burkolatnak alárendelve . Megjegyezve G V-t az F V által generált vektor altér , akkor meghatározzuk a kívánt I V alkalmazást az alábbiakkal:∀x∈VSénV(x)=∑f∈FVϕf(x)f.{\ displaystyle \ forall x \ in C \ quad I_ {V} (x) = \ sum _ {f \ in F_ {V}} \ phi _ {f} (x) f.}
- Mivel a G V dimenziója véges, és nem konvex, kompakt, nem stabil , Brouwer fixpont-tétele biztosítja, hogy v V vektort tartalmaz , amelyVS∩GV{\ displaystyle C \ cap G_ {V}}énV∘T{\ displaystyle I_ {V} \ circ T}énV(T(vV))=vV,{\ displaystyle I_ {V} (T (v_ {V})) = v_ {V},}olyan olyan, hogyvV∈T(vV)+V.{\ displaystyle v_ {V} \ in T (v_ {V}) + V.}
-
Mivel a C kompakt , a általános eredmény ( v V ) van egy értéke adhézió , amelyet ezután egy pont C rögzített T .
Történelem
Ezt a tételt először Schauder mutatta be 1930-ban bizonyos esetekben, például a teljes metrizálható topológiai vektorterek esetében . Sejtette az általános esetet a Skót Könyvben . 1934-ben, Tychonoff bizonyult a tétel abban az esetben, ahol a C jelentése kompakt és E lokálisan konvex. Ezt a verziót Tychonoff fixpontos tételének nevezik . A BV Singbal általánosította ezt az eredményt arra az esetre, amikor a C nem kompakt. Az általános esetet (a helyi konvexitás hipotézise nélkül) Robert Cauty végül 2001-ben bizonyította.
1951-ben James Dugundji kiterjesztési tételének következményeként észrevette, hogy a „naiv” általánosítás Brouwer fixpontos tételének végtelen dimenziójában hamis: a végtelen dimenzió bármely normalizált vektorterében folyamatos, pont nélküli leképezések vannak. a zárt egység gömbje ( nem kompakt ) önmagában.
Schäfer fixpontos tétele
Ennek egyik következménye, az úgynevezett Schaefer fixpont tétel , különösen hasznos meglétét igazoló oldatok nemlineáris parciális differenciálegyenletek egyenletek . Ez a Schaefer-tétel tulajdonképpen egy nagyobb tétel külön esete, amelyet Schauder és Leray korábban fedezett fel . A következőképpen szól:
Tétel
- Legyen
T önmagában egy külön
helyileg konvex E tér folytonos és kompakt térképe , úgy hogy a halmaz
{x∈E∣∃λ∈]0,1[, x=λT(x)}{\ displaystyle \ {x \ E-ben \ közepe \ létezik \ lambda \ balban] 0,1 \ jobb [, ~ x = \ lambda T (x) \}}van
kötve . Tehát mindenre van ilyen .
λ∈[0,1]{\ displaystyle \ lambda \ balra [0,1 \ jobb]}x∈E{\ displaystyle x \ E-ben}x=λT(x){\ displaystyle x = \ lambda T (x)}
Megjegyzések és hivatkozások
(fr) Ez a cikk részben vagy egészben az
angol Wikipedia
" Schauder fixpont-tétel " című cikkéből származik
( lásd a szerzők felsorolását ) .
-
(de) J. Schauder, „ Der Fixpunktsatz in Funktionalräumen ” , Studia Math. , vol. 2,1930, P. 171–180 ( online olvasás ).
-
Egy variáns a konkrét esetben, ahol E jelentése a Banach és C korlátos és szimmetrikus, vö Normál iskolák , Párizs-Lyon közös tantárgy , 1998, nyilatkozat és megoldás, írta: M. Tibouchi .
-
(de) A. Tychonoff, „ Ein Fixpunktsatz ” , Math. Ann. , vol. 111,1935, P. 767–776 ( online olvasás ).
-
(in) FF Bonsall, Előadások a funkcionális elemzés néhány fixpontos tételéről , Mumbai,1962, Függelék.
-
Robert Cauty, „ A Schauder fixpont problémájának megoldása ” Alap. Math. , vol. 170,2001, P. 231–246.
-
(in) J. Dugundji, " meghosszabbítása Tietze-tétel " , Pacific J. Math. , vol. 1,1951, P. 353-367 ( online olvasás ), Tétel 6.3.
-
(in) Jane Cronin , fix pontok és topológiai képzés Nemlineáris analízis , AMS ,1964, 198 p. ( ISBN 978-0-8218-1511-3 , online olvasás ) , p. 133.
-
Az alkalmazás akkor mondható kompaktnak, ha valamelyik elhatárolt rész képe viszonylag kompakt.
Kapcsolódó cikkek
Kakutani fixpontos tétel
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">