Minkowski összeg

A geometriában a Minkowski- összeg egy művelet egy vektortér részein . A két rész A és B társítja az összeget set által alkotott összegeket eleme egy és egy elemének B :

{\ displaystyle A + B: = \ {a + b \ a közepén \ a A-ban, \; b \ B-ben \}}

Két tömörítés összege kompakt. Így lehetséges a működés korlátozása erre a halmazra, amely úgynevezett Hausdorff- távolsággal biztosítható . A Minkowski-összeg ekkor folyamatos művelet. Ezenkívül tiszteletben tartja a domborúságot , vagyis hogy két domború összege még mindig domború. Két domború vonal összegének mértéke kielégíti a Brunn-Minkowski egyenlőtlenségnek nevezett felárat .

Minkowski összege a tiszta és alkalmazott matematika számos területén részt vesz. Ez az eszköz számos izoperimetrikus tétel bizonyításának alapja , amelynek célja a lehető legnagyobb térfogatú tér részének meghatározása, a korlát a határának mértékének nullapontja. Az euklideszi geometriában az n dimenziós gömböket találjuk . A Minkowski-összeget a sokszög arcainak számolására , csempézési kérdések megoldására vagy a konvexek geometriájának tanulmányozására is használják. Alkalmazzák például a kristályográfiában a tér burkolása miatt, a közgazdaságtanban, hogy optimalizálják a vállalatcsoport lehetséges gyártásait, vagy keverékeket tanulmányozzanak.

Preambulum

Példák

A készlet egy a bal oldalon van egy háromszög, amelynek csúcsa koordinátái (0, -1), (0,1) és (1,0). A jobb oldalon egy hasonló B háromszöget mutatunk be , eltérõen orientálva. A koordináták (0,0), (1, -1) és (1,1). Ha az A és B halmaz két hármas, akkor a következőket találjuk:

A + B = {(1, 0), (2, 1), (2, -1), (0, 1), (1, 2), (1, 0), (0, -1), ( 1, 0), (1, −2)}.

Ha A és B a piros színnel jelölt háromszögek, van egy hatszög , amelyet a jobb alsó sarokban látható ábra mutat.

Általánosságban elmondható, hogy két sokszög összege még mindig sokszög. Ez a tulajdonság bármilyen dimenziójú poliéderre igaz.

Észrevehetjük a Minkowski-összeg és a konvolúciós termék közötti analógiát . A képi módon tudjuk megszerezni a felülete összegének A + B két halmaz által, amely a B festékkel és azáltal, hogy a felület egy végigmenni a közepén . Emiatt a Minkowski-összeget néha A és B konvolúciónak nevezik .

Nyilvánvaló, hogy az A halmaz és a szinglet { b } összege megfelel A b vektor általi fordításának .

Aligha bonyolultabb felismerni, hogy két négyzet összege még mindig négyzet. Általánosabban, ha a C egy konvex , szimmetrikus eredetét, az összeg a C + C egyenlő a konvex 2 C , itt 2 C jelöli a homothety az arány 2. A bizonyítás egy kicsit finomabb, ez analóg az előzetes lemma bizonyításában használt a Minkowski-tétel . Ennek megvalósításához észrevehetjük, hogy a 2C bármely eleme a C + C eleme , ellenkezőleg legyen u + v a C + C eleme , azt is írjuk, hogy az 1/2 ( u + v ) dupla , vagy ez az elem C-ben van .

Hozhatunk egy utolsó példát, amelyet az izoperimetrikus cikkben találunk . Legyen C egy euklideszi sík konvex tömörítése, P pedig egy olyan konvex sokszög, amelynek csúcsai mind C határán vannak, és amelynek legnagyobb élének hossza ε-vel növekszik. Ekkor P , a korong közepe és az ε nulla vektor sugár összege konvex, kompakt C-t tartalmaz . Ez a tulajdonság egy lépés annak megállapításában, hogy nincs nagyobb felület, mint az azonos kerületű lemez.

Az első tulajdonságok

Ez a művelet kommutatív , asszociatív , a semleges elem esetében a szingulettet {0} tartalmazza. A találkozó tekintetében is terjesztő

A + (B \ csésze C) = (A + B) \ csésze (A + C)

Topológiai szempontból

két nyitott rész összege nyitott (például B fordításainak összejöveteleként )
összege két kompakt alkatrészek kompakt (a Bolzano-Weierstrass-tétel a metrizálható esetben , vagy egy összefüggő képet, a termék két tömöríti a bármely topologikus csoport )
két domború rész összege konvex
a zárt és a behatárolt, nem üres halmazokra korlátozott összeg kiváló félig folyamatos művelet (vö. Hausdorff távolság ) .

Megjegyzés : Két zárt rész összege nem feltétlenül zárt: például ha a síkba vesszük az abszcisszák és az xy = 1 hiperbola vonalát , akkor ezek összege alkotja egy egyenes magánsíkját. A zárt és a kompakt összege azonban zárva van.

Steiner-Minkowski formula

2. dimenzió

Steiner képletét fedezték fel az izoperimetrikus tétel bizonyítására . A 2. dimenzióban azt állítja, hogy ha C a p kerület felülete , akkor annak területe kisebb, mint a p kerülete korongja . Ha a p kerülete nem véges, mint egy Koch-görbe felhasználásával épített kompakt esetében , a képlet pontos marad, de már nem érdekli. A tétel a következő formát ölti:

{\ displaystyle p ^ {2} -4 \ pi a \ geq 0}

az egyenlőség csak abban az esetben érhető el, ha a kompakt C egy lemez.

Ennek igazolására, az egyik megoldás lényege, hogy tanulmányozza a területen a Minkowski összege egy kompakt konvex C és tB , ahol t jelentése egy pozitív valós és B a készülék lemez . A következő egyenlőséget találjuk meg, ha μ a C térfogatfüggvénye egyesíti a területét, és C konvex halmaz:

{\ displaystyle \ mu (C + t {\ mathcal {B}}) = a + pt + \ pi t ^ {2}}

A μ térfogatfüggvényt nagyon általános módon definiáljuk, ez megfelel a Lebesgue-mérésnek , amely az 1. oldal négyzetével társul 1-vel. A görbe kerületét Jordan módjára definiáljuk , vagyis egyenlő a határt megközelítő sokszögű vonalak hosszának felső határáig. Ebben a formában az izoperimetrikus tétel bizonyítása azt mutatja, hogy a második fokú polinom , amely μ ( C + tB ) -t társít t-hez , pozitív diszkriminánssal rendelkezik , vagy hogy a polinom valódi gyököt enged be.

Ez a képlet lehetővé teszi a p kerület kifejezésének megszerzését is - mindig, ha C konvex - a φ függvényében:

{\ displaystyle \ forall t> 0 \ quad \ varphi (t) = \ mu (C + t {\ mathcal {B}}) \ quad {\ text {majd}}} \ quad p = {\ frac {\ mathrm { d} \ varphi} {\ mathrm {d} t}} (0)}

Bármely dimenzió

Csábító a képlet általánosítása egy n dimenziós E euklideszi E térben . Megfontolhatjuk az sC 1 + tC 2 térfogat mértékét , ahol C 1 és C 2 két konvex tömörítés, s és t pedig két pozitív valós. Ilyen típusú polinom kifejezést kapunk:

{\ displaystyle \ mu (sC_ {1} + tC_ {2}) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} V_ {k} (C_ {1}, C_ {2}) s ^ {k} t ^ {nk}}

Az együtthatók V k úgynevezett vegyes térfogat a C 1 és C 2 .

Van néhány nyilvánvaló egyenlőségünk:

{\ displaystyle V_ {0} (C_ {1}, C_ {2}) = \ mu (C_ {1}), \ quad V_ {n} (C_ {1}, C_ {2}) = \ mu (C_ {2}), \ quad V_ {k} (r_ {1} C_ {1}, r_ {2} C_ {2}) = r_ {1} ^ {k} r_ {2} ^ {nk} V_ {k } (C_ {1}, C_ {2})}

A másik egy kicsit nehezebb bizonyítani abban az esetben, ha C 2 egyenlő B-vel :

V _ {{n-1}} (C_ {1}, B) = \ lim _ {{t \ to 0}} {\ frac {\ mu (C_ {1} + tB)} t} = \ mu _ {{n-1}} (\ részleges C_ {1})

Itt n –1 az ( n - 1) -dimenziós térfogatot jelöli . Az ( n - 1) dimenziós mérték meghatározása finomakká válik. Az első módszer az 1. dimenzióban alkalmazott technika általánosítását tartalmazza egy kijavítható ívre . Alkalmazni kell, és a konvexekre jellemző. A terület mértéke ekkor a C 1 -be foglalt sokszög alakú konvexek felső határa . A konvexitás elengedhetetlen, különben a jobboldali ellenpélda azt mutatja, hogy a definíciónak nincs értelme. A felszín, amelyet meg akarunk mérni , egy henger, a használt poliéder egy lámpa, amelynek csúcsa hatszögeken helyezkedik el, minden alkalommal, amikor egy fordulat tizenketted része el van tolva. Ha a hatszögek síkjai egyre közelebb kerülnek, akkor a sokszög felülete a végtelenségig növekszik. Egy másik technika abban áll, hogy különbözõ alakot és pontosabban térfogatformát használunk . A nehézség abban rejlik, hogy egy domború felületnek nincs oka C 1 osztályú sokaságnak lennie . Szükségessé válik a felület meghatározásához a Szoboljevéihez hasonló terek használata . $\ mu$

A vegyes kötetek ellenőrzik a 2-nél nagyobb dimenziók izoperimetriai egyenlőtlenségének bemutatására használt jelölést . Alekszandrov - Fenchel egyenlőtlenségének nevét viseli :

{\ displaystyle \ forall i \ in [1, n-1] \ quad V_ {k} (C_ {1}, C_ {2}) ^ {2} \ leq V_ {k-1} (C_ {1}, C_ {2}) V_ {k + 1} (C_ {1}, C_ {2})}

. Tüntetések

Itt, E jelentése egy euklideszi térben a dimenzió n .

Ha P egy kompakt és konvex poliéder az E , A funkció, ami a ( s , t ) kapcsolja össze az intézkedés μ ( sP + tB ) egy homogén polinom foka n :

Jelölje M-vel ezt az mértéket. M az összege a mérés μ ( sP ), és a kéreg által hozzáadott összege tB . A μ ( sP ) méréséhez kapcsolódó kifejezés állandó szorozva s n-vel .

Mindegyik oldalon találunk egy n dimenziójú H i 1 hiperkockát , amelynek alapja a kérdéses arc és az n - 1 dimenzió t magassága, és megmérjük egy konstans és s n-1 szorzatát . Ezen arcok mindegyike hozzájárul az μ térfogathoz ( P + tB ) lineáris kifejezés formájában s n-1-ben . t .

A hiperkockák között találunk olyan prizma alakú H j 2 interstice- eket, amelyek élének két arc kereszteződését és n- 2 dimenziót alkotnak , amelyek mértéke az s n -2 állandójának és a két oldalnak a szorzata. arcok hiperkockákra H i 1 , amelynek széle hosszúságú t , a csúcsa a vegyületet a termék egy lemez sugarú t és egy hiperkockák izomorf a szélén. Ezek a prizmák tehát egy henger részei, amelyek tengelye az n - 2 méretű hiperkocka tengelye és r sugarú . Ezen hengerrészek mindegyike hozzájárul az μ térfogathoz ( P + tB ) s n-2 kifejezés formájában . t 2 .

Az élek dimenzió n - 2 van, mint végei hiperkockákra dimenzió n - 3, amely teret térközök, üresen maradt a szilárd H i 1 és H- j 2 . Ezeket a H k 3 interstice- eket prímok töltik ki, az élek keresztezik az előző élek kereszteződését, n - 3 dimenziójúak, és egy állandó és az s n-3 szorzatát mérik . Ezek a díjak megfelelnek a 3. dimenziós gömb szorzatának és az n - 3 dimenziós élkockák szorzatának. Összegük megfelel az s n-3 kifejezésnek . t 3 .

Így folytatjuk az 1. dimenzióig, az élek metszéspontja ekkor a 0 dimenziós és egy pontnak felel meg. Az interstice egy gömb egy részének felel meg, amelynek kifejezése egy t n konstans szorzata .

Az s n kifejezés megegyezik a P mértékével , az s n-1 értékével . t a P felületének mérésére . Ha s egyenlő 0-val, akkor észrevesszük, hogy a térfogat egy t sugarú gömb térfogata, az állandó az, amely a gömb n dimenziós térfogatához kapcsolódik.

Ha C kompakt, nem üres E konvex , akkor az a függvény, amely ( s , t ) a μ ( sC + tB ) mértéket társítja, n fokú homogén polinom :

Vagy ( C p ) csökkenő konvex polihéder szekvencia, amelynek Hausdorff jelentése határértéke megegyezik C-vel . A sűrű sor bekezdése Hausdorff távolságát a cikk azt mutatja, hogy egy ilyen sorozat létezik. Legyen P p ( s , t ) az n fokú homogén polinom, amely ( s , t ) μ-hez ( sC p + tB ) társul , a cél annak bemutatása, hogy a ( P p ) szekvencia egyszerűen konvergál.

A szekvencia ( sC p + tB ) a kompaktok sorozata, csökken az inklúzió miatt, Hausdorff értelmében szükségszerűen konvergens, mutassuk meg, hogy a határ egyenlő az sC + tB-vel . A sorozat bármely halmaza tartalmaz sC + tB-t , tehát a határ tartalmazza ezt a halmazt. Fordítva, ha y nem eleme az sC + tB-nek , akkor létezik egy szigorúan pozitív ε valós szám, úgy hogy az y középpontú és az ε sugarú golyó nulla metszéspontú legyen az sC + tB-vel, mert ez a halmaz zárt. Arra következtetünk, hogy az sC n bármely eleme nagyobb, mint t + ε távolsága y-tól . Ha s nem nulla, ez azt is jelenti, hogy van egy nagyobb távolságra ( t + ε) / s A C . Bizonyos N értékből bármely p értéknél, amely N- nál nagyobb , C p y- tól távolságra szigorúan nagyobb, mint t / s , és az sC p + tB nem tartalmazhat y-t . Ha s nulla, akkor az sC p + tB szekvencia állandó, egyenlő a tB-vel és triviálisan konvergens.

Mivel a szekvencia ( sC p + tB ) szigorúan csökkenő tömörítési szekvencia, sC + tB határértékkel , és mivel az μ függvény magasabb félig folytonos , az μ ( sC p + tB ) szekvencia konvergens (lásd a Funkciók fejezetet folytatódik Hausdorff Távolság cikkéből ) . Ami pontosan azt jelenti, hogy a szekvencia ( P p ) egyszerűen konvergál.

Mindegyik polinomja a szekvencia ( P p ) egy homogén polinom foka n , ez a szekvencia része a vektor tér polinomok két változó fokú kevesebb, mint n , és a véges dimenzió . Ezen a téren az egyszerű konvergencia topológiája kompatibilis az összeadással és a külső szorzással, ami azt jelenti, hogy ez a két művelet folyamatos. A véges dimenzió valódi vektorterén azonban csak egy topológia létezik, amely kompatibilis a két műveletével (vö. A véges dimenziójú vektortér topológiája ) . Ezt a topológiát bármely norma kiváltja , például az egyenletes konvergencia az r sugarú korongon , ahol r szigorúan pozitív valós számot jelöl. A vektor tér polinomok két homogén változó fokú n jelentése komplett erre norma, ami azt mutatja, hogy a szekvencia ( P p ) konvergál egy homogén polinom P fokú N .

Ez a P határ felépítéssel az a függvény, amely ( s , t ) -hez társítja μ ( sC + tB ), ami bizonyítja az állítást.

Brunn-Minkowski egyenlőtlenség

Bizonyítja Hermann Brunn és Hermann Minkowski abban az esetben, ahol a két kompaktok domború, akkor az általános esetben a Lázár Lyusternik (en) , a Brunn-Minkowski egyenlőtlenség csökkentését a térfogata összegének két kompakt tömegrész euklideszi térben :

Hagyja E euklideszi tér dimenziója n , μ a Lebesgue mérték a E és A és B két kompakt nem üres E . A következő egyenlőtlenséget ellenőrizzük:

\ mu (A + B) ^ {{1 / n}} \ geq \ mu (A) ^ {{1 / n}} + \ mu (B) ^ {{1 / n}}

. Demonstráció

Az E tér ortonormális bázissal van felszerelve , majd egy olyan rács, amelyet olyan hipersíkok alkotnak, amelyek iránya merőleges az alap egyik vektorára. Ezeket a hipersíkokat rendszeresen elosztják egymástól, 1/2 p lépéssel , ahol p szigorúan pozitív egész szám. Ez a rács az oldalak kis hiperkockait használva kiképezte a teret 1/2 p . A választott Lebesgue-mérték az, amely az 1 hosszúságú hiperkockát az 1 értékhez társítja.

Ezek a hiperkockák lehetővé teszik a kompakt közelítését. Például a jobb oldali ábrán a szabályos ötszöget kék négyzetekkel közelítjük meg . A rács finomítása azt jelenti, hogy magasabb értéket választunk a p számára . A jobb oldali ábra egy második közelítést is szemléltet kis piros négyzetekkel, amelyeket a p érték 1-es növekményéhez kapunk . Cikk távolsága Hausdorff azt mutatja, hogy ez a technika lehet építeni egy olyan szekvenciát ( A n ) kompakt tartalmazó A és közelítő pontosabban egy , abban az értelemben, a Hausdorff távolság.

Az itt javasolt demonstráció három szakaszban zajlik. Először abban az esetben bizonyítjuk, ha A a rács hiperkocka, B pedig a rács egyikének hiperkocka, amelynek élei mind a = 1/2 p hosszúak, kivéve azokat, amelyek párhuzamosak a alap, amelyek hossza λ. a . Itt λ szigorúan pozitív 1-nél kisebb valós számot jelöl.

Abban az esetben, ha A és B a fentiekben leírt két hiperkocka, a Brunn-Minkowski növekedést ellenőrizzük:

Az eset elég egyszerű ahhoz, hogy lehetővé tegye a három mérték hatékony számítását.

\ mu (A) ^ {{{\ frac 1n}}} = a = {\ frac 1 {2 ^ {p}}}, \ quad \ mu (B) = \ lambda ^ {{{\ frac 1n}} } a \; {\ text {és}} \ quad \ mu (A + B) ^ {{{\ frac 1n}}} = (1+ \ lambda) ^ {{{\ frac 1n}}} 2 ^ { {{\ frac {n-1} n}}} a \;

Bizonyítva a felső határértéket a jelen esetben összegeket mutatja, hogy a funkció f a a R , ahol R jelentése a valós számok halmaza, szigorúan pozitív, a és nulla 1.

{\ displaystyle] 0.1]}

0,1 [

\ forall t \ in] 0,1] \ quad f (t) = (1+ \ lambda) ^ {{{\ frac 1n}}} 2 ^ {{{{{\ frac {n-1} n}}} - \ lambda ^ {{{\ frac 1n}}} - 1 \;

Nyilvánvaló, hogy az f függvény nulla az 1. pontban, elegendő megmutatni, hogy a következtetéshez szigorúan csökken. Az f függvény differenciálható , elegendő annak bemutatása, hogy deriváltja szigorúan negatív, ami könnyen ellenőrizhető.

0,1 [

\ forall t \ in] 0,1 [\ quad f '(t) = {\ frac 1n} \ balra (\ balra ({\ frac 2 {1+ \ lambda}} \ jobbra) ^ {{{\ frac { n-1} n}}} - \ balra ({\ frac 1 {\ lambda}} \ jobbra) ^ {{{\ frac {n-1} n}}} \ jobbra) = {\ frac 1 {n \ lambda ^ {{{\ frac {n-1} n}}}}} bal (\ bal ({bal {(frac {2 \ lambda} {1+ \ lambda}} \ jobb) ^ {{{\ frac {n -1} n}}} - 1 \ jobbra) <0

Most azt feltételezzük, hogy A és B a rács hipokocka belső terének két véges uniója vagy nyitott hiperkocka része, amelyek koordinátái 1/2 p (Δ + λ) és 1/2 p (δ + 1) között vannak. Vagyis a hiperkockák az előző tétel típusai. A q és r értékek az A és B komponensek hiperkockáinak számát jelölik .

Abban az esetben, ha A és B a fent leírt forma két tömörítése, a Brunn-Minkowski növekedést ellenőrizzük:

A s egész szám indukciójával okoskodunk, amely egyenlő q és r összegével . Ha s egyenlő 2-vel, az eredmény az előző javaslat közvetlen következménye. Feltesszük, az eredmény létrehozott értékig s 0 , és feltételezzük, hogy az összeg a q és r értéke s 0 + 1 szétválasztjuk az euklideszi tér E két csatlakozik az egyik hipersíkokat H Egy ortogonális l „egy a rácsot meghatározó ortonormális bázis vektorai közül. Létezik egy hipersík ilyen jellegű, amely bomlik A két diszjunkt nyílások A 1 és A 2 úgy, hogy egy 2 tartalmaz legalább egy hiperkocka és olyan, hogy A 1 nem az üres halmaz. Az A 1 és az A 2 ekkor legfeljebb q - 1 hiperkockából áll. Θ-vel jelöljük a következő szigorúan pozitív valós számot:

\ theta = {\ frac {\ mu (A_ {1})} {\ mu (A)}} = {\ frac {\ mu (A_ {1})} {\ mu (A_ {1}) + \ mu (A_ {2})}}

Mi külön B be két B 1 és B 2 egy hipersík H B párhuzamosan az előző, oly módon, hogy:

{\ frac {\ mu (B_ {1})} {\ mu (B)}} = {\ frac {\ mu (B_ {1})} {\ mu (B_ {1}) + \ mu (B_ { 2})}} = \ theta

Sem B 1 és B 2 tartalmaznak vektorokat hipers'ık H B , tehát B tartalmaz, de nem feltétlenül egyenlő a uniója B 1 és B 2 , hanem mint egy részhalmaza, amely szerepel a hipersík jelentése nulla intézkedés, az előző egyenlőség igazolt. Ezúttal semmi sem bizonyítja, hogy a B 1 és a B 2 kevesebb hiperkockát tartalmaz, mint a B , de az biztos, hogy nem tartalmaznak többet. A Minkowski összeg tulajdonságai azt mutatják, hogy:

{\ displaystyle A + B \ supset (A_ {1} \ cup A_ {2}) + (B_ {1} \ cup B_ {2}) = (A_ {1} + B_ {1}) \; \ cup \ ; (A_ {1} + B_ {2}) \; \ csésze \; (A_ {2} + B_ {1}) \; \ csésze \; (A_ {2} + B_ {2})}

Tekintsük a két H A és H B hipersíkra merőleges ortonormális bázis vektorát, az A 1 + B 1 bármely elemének ezen vektorán a koordináták szigorúan kisebbek, mint az A 2 + B 2 vektoroké , ami azt mutatja, hogy a két halmaz diszjunkt és:

\ mu (A + B) \ geq \ mu (A_ {1} + B_ {1}) + \ mu (A_ {2} + B_ {2}) \;

Mivel A 1 és A 2 szigorúan kevesebb, mint q kis hiperkockát tartalmaz, és mivel B 1 és B 2 nem tartalmaz többet, mint r , az indukciós hipotézist alkalmazhatjuk:

\ mu (A + B) \ geq \ left (\ mu (A_ {1}) ^ {{{\ frac 1n}}} + \ mu (B_ {1}) ^ {{{\ frac 1n}}}) \ jobbra) ^ {n} + \ balra (\ mu (A_ {2}) ^ {{{\ frac 1n}}} + \ mu (B_ {2}) ^ {{{\ frac 1n}}}) \ jobbra) ^ {n}

Amit még írhatunk:

\ mu (A + B) \ geq \ left ((\ theta \ mu (A)) ^ {{{\ frac 1n}}} + (\ theta \ mu (B)) ^ {{{\ frac 1n}} }) \ jobbra) ^ {n} + \ balra (((1- \ theta) \ mu (A)) ^ {{{{\ frac 1n}}} + ((1- \ theta) \ mu (B)) ^ {{{{frac 1n}}}}) \ jobbra) ^ {n} = (\ theta + 1- \ theta) \ balra (\ mu (A) ^ {{{\ frac 1n}}} + \ mu ( B) ^ {{{\ frac 1n}}} \ jobbra) ^ {n}

Ez mutatja a jelölést, amely befejezi a demonstrációt:

\ mu (A + B) \ geq \ balra (\ mu (A) ^ {{{{frac 1n}}} + \ mu (B) ^ {{{\ frac 1n}}} \ jobbra) ^ {n}

Most már lehet igazolni a Brunn-Minkowski felárat általános esetben. Ehhez a Hausdorff-távolságot használó határátkelést használnak. Ε egy pozitív, valós szám, és A és B két kompakt E . A bizonyítás célja annak bemutatása, hogy A + B és ε mértékének összege valóban megadja az egyenlőtlenség második tagját. A Hausdorff távolság cikkben bemutatott három tulajdonságot használjuk .

Ha A és B két nem üres kompakt, akkor a Brunn-Minkowski egyenlőtlenség áll fenn:

Először is, a Hausdorff-távolságra a mértékfüggvény felső félfolyamatosságát használják. Ha E H az E és d nem üres kompaktok halmazát jelöli, akkor Hausdorff-távolság:

\ létezik \ eta> 0 \ quad \ összes C \ E_ {H} \ quad d (A + B, C) <\ eta \ Rightarrow \ mu (A + B) + \ epsilon> \ mu (C)

A kihívás most a megfelelő C halmaz felépítése . Két szigorú A ε és B ε kompakt halmaz létezését használjuk, amelyek szigorúan A és B tartalmat tartalmaznak, és amelyek:

\ mu (A _ {{\ epsilon}}) \ leq \ mu (A) + {\ frac {\ eta} 2} \ quad {\ text {et}} \ quad \ mu (B _ {{\ epsilon} }) \ leq \ mu (B) + {\ frac {\ eta} 2}

A két A ε és B ε halmaz a rács zárt hiperkockainak véges uniója, kellően magas p- értékhez . Az ilyen halmazok megléte abból a tényből fakad, hogy a rácsba vett zárt hiperkockák véges uniói sűrű halmazt alkotnak, ha p írja le a pozitív egész számokat. Az igazolást a folytonosság a Minkowski összeget Hausdorff távolság (lásd a cikk Hausdorff távolsága ) azt mutatja, hogy:

d \ balra (A + B, A _ {{\ epsilon}} + B _ {{{\ epsilon}} \ jobbra) \ leq \ eta \;

C-t választjuk, amely egyenlő A ε és B ε összegével , ami azt mutatja, hogy:

\ mu (A + B) + \ epsilon> \ mu \ bal (A _ {{\ epsilon}} + B _ {{\ epsilon}} \ jobb) \;

Az A ε + B ε halmazból eltávolítjuk a rács hipersíkjaival való metszéspontját, amely nem változtatja meg annak mérését. Ekkor az előző javaslat hipotéziseiben vagyunk és:

\ mu (A + B) + \ epsilon> \ mu \ left (A _ {{\ epsilon}} + B _ {{\ epsilon}} \ right) \ geq \ mu \ left (A _ {{o \ epsilon }} + B _ {{o \ epsilon}} \ jobbra \ geq \ balra (\ mu (A _ {{o \ epsilon}}) ^ {{{{{\ frac 1n}}} + \ mu (B _ {{o \ epsilon}}) ^ {{{\ frac 1n}}} \ jobbra) ^ {n}

Itt A oε és B oε jelöli az A ε és B ε halmazokat, amelyeket eltávolítottak a rács hipersíkjaival való metszéspontjukból. Ennek a kereszteződésnek a hozzáadása semmilyen módon nem módosítja a méréseket, ami azt mutatja, hogy:

\ mu (A + B) + \ epsilon> \ bal (\ mu (A _ {{\ epsilon}}) ^ {{{\ frac 1n}}} + \ mu (B _ {{{\ epsilon}}) ^ {{{\ frac 1n}}} \ jobbra) ^ {n}

By feltételezés, halmazok A ε és B ε tartalmaz A és B . Mérésük nagyobb, és:

\ mu (A + B) + \ epsilon> \ balra (\ mu (A) ^ {{{\ frac 1n}}} + \ mu (B) ^ {{{\ frac 1n}}} \ jobbra) ^ { nem}

Ez a növekedés igaz minden szigorúan pozitív ε értékre, amely a kívánt eredményt mutatja.

Ha a két A és B tömörítés domború és homotetikus, akkor egyenlőség áll fenn.

Megjegyzések és hivatkozások

B. Teissier , Volumes a konvex testek, geometria és algebra , Matematika Intézet Jussieu. 1999. október 7-én, csütörtökön tartott lecke, írta: C. Reydy, p. 8 .
Ez a példa Marcel Berger és Bernard Gostiaux könyvéből származik , Differenciálgeometria: fajták, görbék és felületek [ a kiadások részlete ] o. 226 .
A részleteket lásd (in) Herbert Federer , geometriai intézkedés elmélete , Springer-Verlag 1969 ( ISBN 978-3-540-60656-7 ) , 3.2.37, 3.2.39, 3.2.26.
(in) AD Alexandrov, Válogatott művei , CRC 2002 ( ISBN 2881249841 ) .
(de) H. Brunn , Über Ovale und Eiflächen , München,1887 (tézis).
(től) Hermann Minkowski , Geometrie der Zahlen , Lipcse, Teubner ,1896.
(De) Lazar A. Lyusternik , „ Die Brunn - Minkowskische Ungleichnung für beliebige messbare Mengen ” , CR Acad. Sci. Szovjetunió , vol. 8,1935, P. 55-58.
Bernard Maurey , „ Brunn-Minkowski-Lusternik egyenlőtlenség, valamint egyéb geometriai és funkcionális egyenlőtlenségek ”, Séminaire Bourbaki , t. 46, 2003-2004, p. 95–114 ( online olvasás ).
(in) Jiri Matousek , előadások diszkrét geometria [ kiskereskedelmi kiadásban ], P. 297 .
Frank Barthe, „ Brunn-Minkowski egyenlőtlensége ” , a matematika képeiről ,2006.
Ez közvetlenül ihlette egy generalizációval dimenziója n , ez egy, a 2. dimenzió: (en) A. Treibergs, egyenlőtlenségek sugallnak a izoperimetrikus egyenlőtlenség , University of Utah , p. 16 .
Az n dimenzióban igazolást kapunk: (en) RJ Gardner, „ A Brunn-Minkowski egyenlőtlenség ”, Bull. (Új sorozat) Amer. Math. Soc. , repülés. 39, n ° 3, 2002, p. 363 .

(en) Bernard Dacorogna , Bevezetés a variációk számításába , Imperial College Press , 2004 ( ISBN 1860945082 )

Lásd is

Kapcsolódó cikkek

Konvolúció
Egyenlőtlenség Prékopa-Leindler (en)
Egyenlőtlen Brunn-Minkowski fordítva Milman (en)
Brunn-Minkowski random Vitale (en) egyenlőtlensége
Lemma Shapley-Folkman (en)
Borbély tétele
Minkowski tétele
Steinhaus-tétel
A matematikai morfológiában a Minkowski-összeget használjuk a dilatáció meghatározására .

Külső hivatkozás

M. Rousset, Minkowski háromszögek összege , posztgraduális értekezés, Joseph Fourier Egyetem , 1996