A lineáris algebra , a nyoma egy négyzetes mátrix Egy definiáljuk az összege a diagonális együtthatók és gyakran jegyezni, Tr ( A ). A nyomkövetési lehet tekinteni, mint egy lineáris formájú a vektortér a mátrixok. Ellenőrzi az azonosságot: Tr ( AB ) = Tr ( BA ), következésképpen változatlan a hasonlóság által .
Hasonlóképpen, ha u egy endomorphism egy véges dimenziós vektortér egy kommutatív területen K , tudjuk meg a nyoma az üzemeltető u , például a nyoma mátrix minden alapot .
Általánosabban, egy algebra Egy , a nyoma egy lineáris formában λ úgy, hogy λ ( ab ) = λ ( BA ) . Ez a meghatározás megtalálható különösen a von Neumann-algebrák tanulmányában, amelyek a Hilbert-terek operátorainak algebrai .
Adott egy négyzet mátrix
az együtthatók egy kommutatív területen K (vagy csak egy kommutatív gyűrű ), annak nyoma, jelöljük Tr ( A ) , a skalár összege együtthatók annak fő diagonális :
.Az összes A és B négyzetmátrixra (azonos sorrendben) és bármely α∊ K skalárra a következő tulajdonságokat ellenőrizzük:
ahol A T jelöli a transzponáltja az A .
Más szóval, a nyom egy lineáris formában a vektor tér ℳ n ( K ) négyzet mátrixok érdekében N , invariáns által átültetés .
A Tr térkép lineáris forma, magja pedig ℳ n ( K ) hipersíkja .
Ha most A és B ( n , m ) és ( m , n ) mátrixok (nem feltétlenül négyzet alakúak, de négyzetmátrixokat adnak meg szorzással), akkor megvan az azonosságunk:
Az előző egyenlőség eredménye a következő azonosság, érvényes bármilyen négyzetes mátrix A és bármilyen invertálható mátrix P ugyanabban a sorrendben:
Más szavakkal, a nyom egy „ hasonlósági invariáns ” egy adott sorrendű négyzetmátrixok esetében, vagyis két hasonló mátrixnak ugyanaz a nyoma, ami nem meglepő, ha ismerjük a kapcsolatot a nyom és a jellegzetes polinom között ( lásd alább ) és az utóbbi hasonlósági változatlansága .
Meglehetősen rövid bizonyítással megmutathatjuk, bevonva a mátrix egységeket (en) ( vagyis az ℳ n ( K ) kanonikus bázisának mátrixait, amelyek olyan mátrixok, amelyeknek egyetlen együtthatója egyenlő 1-vel, az összes többi pedig 0) hogy a hasonlósággal invariáns similar n ( K ) tér lineáris alakja szükségszerűen arányos a nyomokkal.
KülönösenHa a négyzetmátrix nyomát bármely kommutatív gyűrűn különösebb technikai jelleg nélkül meg lehet határozni, akkor ez nem azonos az endomorfizmus nyomával . Egy mátrix reprezentációja , ez olcsón kivitelezhető egy vektortérnek endomorphism ; egy elvontabb konstrukció, a tenzor algebra segítségével , lehetővé teszi a koncepció kiterjesztését néhány modulus endomorfizmusra - de nem mindenre.
A vektor térbenHa E jelentése egy vektortér véges dimenzióban n , a nyoma egy endomorphism , jelöljük , úgy definiáljuk, mint a nyoma a mátrix u egy bázis előzőleg rögzíthető , hogy az E . Ez a meghatározás nem függ az önkényes választás , mert ha egy másik bázis, a „ báziscsere formula ” azt mutatja, hogy a mátrixok a u illetőleg , és hasonlóak, ezért (vö supra ) azonos nyoma.
A következő tulajdonságok tartsa az összes endomorfizmusok , bármilyen skalár és bármely w ∈ GL ( E ) (azaz W egy automorfizmusa E )
Más szavakkal: a nyom egy lineáris forma a vektortérben , konjugációval invariáns .
Sőt ,, ahol az u transzponált térképét jelöli .
ModulbanA tenzorösszehúzódás alkalmazásával a nyomozás fogalmát ki lehet terjeszteni a véges típusú projektív modulok endomorfizmusaira .
Legyen ( E , g ) euklideszi tér . Definiáljuk bijekciót (részletesen a kapcsolódó részben szimmetrikus bilineáris formában (ill. Hermite formában) a cikk Self-hozzáadott üzemeltető ) közötti négyzetes formák q a E , és a szimmetrikus operátorok A on ( E , g ) a:
.A nyoma A nevezik nyoma a kvadratikus alak q képest g .
Legyen E egy n véges dimenzió K - vektortere .
Euklideszi terekben:
Mátrixok esetében:
Legyen A négyzet alakú n mátrix , együtthatóval egy kommutatív gyűrűben.
P A ( X ) -nel jelöljük a jellegzetes polinomját és c i az X i együtthatóját p A ( X ) -ben . Más szóval pózolunk
,ahol I n az n rendű azonossági mátrixot jelöli . Így,
.Bizonyítjuk a fenti egyenlőséget, és ha
(ahol a λ i tartoznak kommutatív gyűrű, amely az együtthatók az A ), a következő egyenlőség:
. DemonstrációAz együtthatók speciális esete egy integrált gyűrűben
Először feltételezzük, hogy az együtthatók gyűrűje integrál . Ezután A- t mátrixnak tekinthetjük, amelynek együtthatói vannak egy kommutatív K mezőben , nevezetesen ennek a gyűrűnek a frakcióinak a mezőjében .
Ezután helyezzük magunkat egy olyan területen, L tartalmazó K , és ahol p A jelentése osztott , (például az az algebrai lezárását vagy a bomlási területén a p A ), és megjegyezzük:
A λ i a sajátértékei a A , megszámoltuk multiplicitással. A trigonalizáció elmélete alapján tudjuk, hogyan lehet megtalálni a háromszög alakú T négyzetmátrixot , amelynek együtthatói L-ben vannak és hasonlóak A-hoz , amelynek főátlóját λ i alkotja . A nyom invarianciáját hasonlóság alapján felhasználva arra a következtetésre jutunk:
.Sőt, ha fejlesztjük p A írását első fokú tényezőkben, akkor λ i összege ebben a polinomban az X n - 1 együttható ellentéte . Ezért arra a következtetésre jutunk, hogy ha c n - 1-vel jelöljük ezt az együtthatót:
.Általános eset
Már nem tételezzük fel, hogy A- nak egy integráns gyűrűben vannak együtthatói; ennek ellenére más útvonalon is hasonló eredményeket lehet elérni.
Annak a determinánsnak a kifejlesztésében, amely a jellegzetes polinomot a képlet segítségével permutációk segítségével határozza meg , azt látjuk, hogy X n - 1 monomális csak az n egyikében jelenik meg ! az összeg, vagyis az, ami a XI n - A átlós tagjai szorzata , vagyis:
A nyoma egy ezután jelenik meg a együtthatója X n - 1 . Másképp igazoltuk a képletet:
.Most még feltételezzük az A split jellegzetes polinomját, és megjegyezzük:
ennek a polinomnak az első fokú tényezőkre bomlása.
A termék kifejlesztésével új c n - 1 kifejezést kapunk ; ezt az előző képlettel összefogva kapjuk:
.Legyen q egy polinom (az együtthatók egy kommutatív gyűrű, amely a fenti λ i és az együtthatók a A ). Így :
. DemonstrációHa a gyűrű ép, a fent alkalmazott technikák és jelölések alkalmazhatók. A q ( A ) mátrix hasonló q ( T ) -hez, míg T fő átlóját q ( λ i ) alkotja . Következtetjük a képletet.
Ez a képlet érvényes marad anélkül, hogy a feltételezés az integritás, a bizonyítás Nyugvó előzetes kezelése esetén az ép gyűrűk .
Az előző képletet a q = X k monomálisra specializálva kapjuk:
.Nulla karakterisztikában az elemi szimmetrikus polinomok Newton összegéből kiindulva, Newton azonosságain keresztül rekonstruálhatók polinomiálisan . Ezért léteznek univerzális polinomképletek, amelyek lehetővé teszik egy mátrix jellegzetes polinomjának ( n , n ) együtthatóinak kifejezését a hatványainak nyomai (sőt az n- nél kisebb vagy azzal egyenlő kitevőjű hatványok függvényében ). Példaként:
Itt egy olyan alkalmazás: ha A egy mátrix ( n , n ) az együtthatók egy olyan területen a jellemző nulla és kielégíti :, majd A jelentése nilpotens .
Ha egy véges dimenziójú valós E vektortér van , akkor a determináns meghatározza az E és R közötti operátorok téréből det detektáló térképet , amely n fokú homogén . Det az ( u ) számot polinomfüggvényként fejezzük ki az u- t képviselő mátrix együtthatóiban bármely E bázisában . A det funkció tehát differenciálható . Identitásbeli különbsége a nyom . Más szóval, minden üzemeltető u on E ,
ahol o ( u ) azt jelenti, hogy a maradék elhanyagolható az u- hoz képest, amikor u megközelíti a nullát. Ennek következtében minden üzemeltető u on E ,
.Különösen az u exponenciája akkor és csak akkor meghatározó, ha u nulla nyom operátor. Ez az eredmény a következőképpen értelmezhető a Lie csoportok elméletében . A det alkalmazás a GL ( S ) - R lineáris csoportok folyamatos morfizmusa . Magja, az 1-es determinánssal rendelkező operátorok halmaza tehát a GL ( E ) alcsoportja , amelyet SL ( E ) -nek jelölünk . Ez egy klasszikus Lie csoport , vagyis a GL ( E ) zárt alcsoportja . Geometriai szempontból egy operátor csak akkor tartozik az SL ( E ) -hez, ha megőrzi E Lebesgue-térfogatát . Lie algebra pontosan az u operátorok halmaza , nulla nyomjelzéssel, jelölve .
A nyitott U a E , egy vektor mező X egy olyan alkalmazás . Ha ez a térkép Lipschitz-féle, akkor a Cauchy-Lipschitz-tétel megerősíti a közönséges differenciálegyenlet maximális megoldásainak létezését
(1)X áramlása az f t diffeomorfizmusok családja, amelyek x -et küldenek c (t) -re , ahol c az (1) megoldása, amelynek kezdeti feltétele c (0) = x . Az áramlást helyileg határozzák meg. Bemutatjuk a divergencia a X
ahol dX (x) az eltérés az X az X , amely egy operátor E . Az f t áramlás megőrzi a Lebesgue-térfogatot, ha a divergencia nulla. Pontosabban, minden olyan nyílás esetén, amelynek tapadása benne van az U-ban ,
.(Ez az egyenlőség lehetővé teszi a divergencia meghatározásának kiterjesztését, például orientált sokaságokon térfogatformák jelenlétében.)
Ha egy Lie-algebra egy mezőt K , a adjoint képviseletét a jelölt hirdetés , adják
.A Killing alakja a van a szimmetrikus bilineáris alakja
.A Lie algebra automorfizmusai megőrzik a Killing formát. Különösen mellékképe megőrzi B-t . A Killing formát Élie Cartan vezette be a Lie algebrák félegyszerűségének jellemzésére . Ha K = R , akkor a kapcsolódó Lie csoportról is információt nyújt. Lásd Cartan kritériumát (en) .
Legyen G egy Lie csoport (például a GL ( E ) zárt alcsoportja ). Definíció szerint a Lie algebra a bal invariáns vektor mezők területe a G-n , amelyet a Lie zárójel [,] (vektor mező kommutátor) biztosít. A B-hez tartozó Killing forma egy metrikus pszeudo-Riemann-féle kétinvariánst határoz meg G-n . Ha a B gyilkos forma pozitív, akkor a társított mutató pozitív görbületű Riemann-metrika. Meyers-tétel azt sugallja, hogy G kompakt. Más linkek is léteznek.
Legyen és legyen két mátrix . Ezt észrevesszük
Így a kanonikus skaláris szorzatot kellemesen megírtuk az űrben .
Ha H egy euklideszi vagy hermitikus , a adjoint üzemeltető egy üzemeltető U a H olyan gazdálkodó, H . Ezután meghatározzuk a következő skaláris szorzót a H operátorterületen :
.Ezzel a definícióval egyértelműen látszik, hogy az ön-társított operátorok és az antitársított operátorok két ortogonális alterületet alkotnak . Az összeadás az ortogonális szimmetria az önmagához társuló operátorok teréhez képest.
Legyen U egy 0-t tartalmazó valós vektortér nyitott halmaza , és C 2 osztályú legyen . A Hessian H az F 0 egy szimmetrikus bilineáris formában E , kielégítő
.Meghatározás szerint az f értékű 0 laplaciánus a hesseni nyoma:
A null laplaciánus C 2 osztályának funkcióit harmonikusoknak nevezzük . Szükségszerűen analitikus jelleggel ezek a funkciók különösen a komplex elemzésbe és a funkcionális elemzésbe avatkoznak be . Különösen a null laplaciánusok funkciói jelentik a Dirichlet-probléma megoldását, amely a Dirichlet energia szélsőségeinek keresése.
Ezenkívül a Laplacian-féle definíciót differenciálgeometriában általánosítják a Riemannian-sokaságokon ( Laplace-Beltrami operátor ) működő függvények , de az általánosabb objektumok, például a differenciálformák esetében is . Ebbe az általánosabb keretrendszerbe beletartozva a meghatározást a bilináris formák nyomaival lehet megadni. A nulla laplaci formákat harmonikusoknak nevezik, és Hodge elmélete megmutatja azok fontosságát.
Adott egy sima irányuló felületet képez S az euklideszi térben , az átlagos görbület S az x átlaga a két fő görbületei S a x . Formálisan, ezek a görbületek sajátértékei egy kvadratikus formában az érintőleges sík T x S , úgynevezett második alapvető formáját S a x , jegyezni II x . Az átlagos görbület a S a X jelentése
.Az átlagos görbület meghatározása kiterjed a Riemann-sokaságok N sima alcsatornájára . Az értéke x-ben már nem skalár, hanem T x N-re merőleges vektor , amelyet még mindig nyomok határoznak meg. A nullértékű görbületű részcsatornákat minimálisnak nevezzük, és ezek a Riemann-kötet szélsőségei.
Hadd H lesz a Hilbert-tér , ahol a Hilbert alapján ( e i ) i ∈ I (nem feltétlenül megszámlálható ). A határolt A ∈ ℒ ( H ) operátorról azt mondják, hogy van nyoma, ha
(Ez az összeg nem függ a Hilbert-alap megválasztásától.) Ebben az esetben mi állítottuk be
A nyomkövetők kompaktak . Ezek az ℒ ( H ) noted 1 ( H ) ideálját alkotják , amely teljes az alább definiált ‖ ‖ 1 normához . A Tr nyomvonal folytonos lineáris forma, pozitív, határozott on 1 ( H ) -on .
Véges dimenzióban az operátor nyoma a mátrixábrázolás átlós együtthatóinak összege. A következő példa egy általánosítás. Legyen μ egy Borel-mérés egy kompakt K téren . Legyen f : K 2 → ℝ folytonos térkép. A Hilbert tér L 2 ( K , ℝ) függvényei K -ból ℝ-be egy összegezhető négyzettel , a rendszermag operátora
nyomon van, és a nyoma egyenlő: