Icosahedron

Rendszeres Icosahedron
típus	Platonikus szilárd anyag
Arcok	20 egyenlő oldalú háromszög
Élek	30
Csúcspontok	12.
Arcok / csúcs	5.
Funkció	2
Schläfli szimbólum	{3.5}
Wythoff szimbólum	5.
Coxeter-Dynkin diagram
Dupla	Rendszeres dodekaéder
Szimmetria csoport	Én h
Hangerő	5.(3+5.)12.nál nél3{\ displaystyle {\ tfrac {5 (3 + {\ sqrt {5}})} {12}} a ^ {3}}
Terület	5.3nál nél2{\ displaystyle 5 {\ sqrt {3}} a ^ {2}}
Dihedrális szög	Olvadáspont: 138,19 °
Tulajdonságok	Konvex , szabályos

A geometriában az ikozaéder egy háromdimenziós szilárd anyag , a poliéder családból , pontosan húsz arcot tartalmaz . A görög eredetű icosa- előtag jelentése "húsz".

Van egy szabályos konvex ikozaéder . A sokszög szabályosnak mondható, ha az összes arca azonos ugyanazzal a szabályos sokszögel, és ha minden csúcsból ugyanannyi él kezdődik. Konvexnek mondható, ha bármely szakasz, amelynek végei a poliéder belsejében vannak, teljesen a poliéderen belül van. 5 szabályos és domború poliéder létezik: Platonikus szilárd anyagok .

Mivel három csúcsa van arconként és öt arca csúcsonként , a szabályos ikozaéder Schläfli szimbóluma {3,5}.

A csontváz a ikozaéder - a beállított csúcsa kapcsolódik a széleinél - képez grafikon nevezett az ikozaéder grafikon .

A csoport a forgatások az ikozaéder, által alkotott forgatások helyet, amely hagyja ezt a polihedron globálisan invariáns míg permutálás bizonyos arcok, tartalmaz 60 elemek és izomorf , hogy az alternáló csoport A 5 .

Egy másik platoni szilárd anyagnak ugyanaz az elfordulási csoportja, mint az ikozaédernek: a szabályos dodekaédernek . Azt a szilárd anyagot vesszük figyelembe, amelynek csúcspontjai az ikozaéder arcainak középpontjai. Ezzel szemben egy ikozaédert kapunk, figyelembe véve azt a szilárdtestet, amelynek csúcsaira a szabályos dodekaéder arcainak középpontjai tartoznak. Azt mondjuk, hogy az ikozaéder és a dodekaéder platoni szilárd anyagok kettősek .

A szabályos konvex ikozaéder geometriája

Egy ikozaéder mintái

Az ikozaéder 20 azonos egyenlő oldalú háromszög felhasználásával épül fel. Kezdjük azzal, hogy a háromszögből 5-öt élüknél fogva úgy szerelünk össze, hogy egy tálat képezzenek, amelynek alja hegyes. A szilárd anyag alapja tehát egy csúcs, amelyet az 5 háromszög oszt meg, és az él 5 szegmensből áll, amelyek mindegyike azonos hosszúságú, szabályos ötszöget alkotva . A tál felületét alkotó 5 szegmens mindegyikére új háromszöget ragasztunk úgy, hogy a tál egyes háromszögeinek felső oldala egyben az 5 hozzáadott háromszög egyikének az alsó oldala is legyen. Ezután egyenesítse ki az 5 felső háromszöget úgy, hogy az arcuk függőleges legyen. Ezután egy nagyobb tálat kapunk, amely 10 háromszögből áll, és amelynek felső részét 5 fog alkotja  .

Megépítünk egy második alakot, amely megegyezik az elsővel. Ezután mind a 20 háromszöget felhasználtuk. A második alak pontosan beleillik az elsőbe, szabályos poliédert alkotva. A 2. ábrán látható, az alsó tál kék. Észrevesszük az alsó sapkáját, majd az 5 fogat, amelyek közül 3 egy szemlélővel szemben, 2 pedig mögött. Az ábrán piros színű felső tál geometriája megegyezik. Ha egymáshoz illesztik őket, egyszerűen helyezze a sapkát a tetejére és 2 fogat a megfigyelő elé.

Továbbra is felépíthetjük az ikozaédert az 1. ábrán bemutatott minta felhasználásával. Az ikozaédert úgy kapjuk meg, hogy a sárga háromszög szabad oldalát a bal felső sarokban, a narancssárga háromszög szabad oldalán, a jobb alsó sarokban ragasztjuk. Ezután a narancssárga háromszögekhez kapcsolt 5 piros háromszöget úgy közelítjük meg, hogy szabad csúcsaik egyetlen pontba olvadjanak össze. Ugyanez a művelet, amelyet az öt piros háromszögnél hajtanak végre, összekötve a sárga háromszögekkel, befejezi az ikozaéder építését. Az itt bemutatott minta egy példa, sok más is van. Van 43 380.

Tulajdonságok

Egy ikozaédernek 20 arca van. 12 csúcsa van, 1 alul, 5 az első konstrukcióban leírt fogak alsó tövénél, és annyi a felső tálnál. 30 éle van: a 12 csúcs mindegyike 5 élre vagy 60-ra vonatkozik, de mivel egy él 2 csúcsot tartalmaz, a megfelelő eredmény eléréséhez 60-at kell osztani 2-vel.

Csúcsok, élek és arcok  -  A szabályos konvex ikozaéder 12 csúcsot, 30 évet és 20 arcot tartalmaz. A kétágú szög (két szomszédos oldal által alkotott szög) 138,19 °.

A poliéderben található legnagyobb szegmensek mind a poliéder két csúcsával végződnek. 6 darab van, és e 6 szegmens metszéspontja egy pont, amelyet a poliéder középpontjának nevezünk . Ez a pont egyben a szilárd anyag súlypontja is. A poliéder felületének 10 kétpontos végszakasza van, amelyek átmennek a közepén és minimális hosszúságúak. A végek két ellentétes oldal középpontjai, párhuzamosak egymással. Ezek a geometriai megjegyzések lehetővé teszik a körülírt gömb és a szilárd feliratos minősítését . A körülírt gömb a legkisebb sugarú, amelynek belseje tartalmazza a poliéder belsejét. Ez a meghatározás általánosítja a körülírt körét . Beszélhetünk egy beírt gömbről is, hogy kijelöljük a legnagyobb sugarú területet, amelynek belső tere a szilárd anyag belsejében található, így általánosítva a beírt kör definícióját .

Körülírt és beírt gömbök  -  Az ikozaéder körülírt gömbje ugyanazzal a középponttal rendelkezik, mint a szilárd, és tartalmazza a sokszög összes csúcsát. Az ikozaéderbe beírt gömb ugyanazzal a középponttal rendelkezik, és tartalmazza ennek a poliédernek minden egyes oldalának középpontját.

Egy gyors elemzés azt sugallhatja, hogy van egy kör, amely a poliéder hat csúcsát tartalmazza. Ez nem így van: egy kör maximum 5 csúcsot tartalmaz. Ezt a hibát például Albrecht Dürer , a XVI .  Század festője követte el . Másrészt Dürer nem követ el hibát, amikor azt állítja, hogy:

Körülírt kocka  -  Az ikozaédert tartalmazó legkisebb kocka középpontja megegyezik a szilárd anyaggal, felülete tartalmazza a sokszög összes csúcsát.

Ezt a tulajdonságot a 4. ábra szemlélteti. A kocka mindkét oldala két csúcsot és a poliéder élét tartalmazza. A kocka 6 arcot tartalmaz, tehát a 12 csúcsot.

Ennek a poliédernek a szerkezete szabályos. Az élek mindegyike azonos hosszúságú, ugyanazon arc két éle és közös csúcsa mindig ugyanazt a szöget alkotja, egyenlő 60 fokkal vagy akár π / 3-mal, ha a szög mértéke a radián . Az ugyanazt a csúcsot megosztó élek száma állandó, amely nem függ a választott csúcstól. Szabályos poliéderről beszélünk . Egy szegmens, amelynek két vége a szilárd anyag belsejében van, teljesen a szilárd anyag belsejében van; azt mondjuk, hogy az ikozaéder domború . A nézés másik módja annak észrevétele, hogy a szilárdtestet körülvevő gumiszalag minden ponton megérinti azt. Ez a két látásmód egyenértékű. szabályos poliéderek nem mindig domborúak (lásd: „  Kepler-Poinsot szilárd  ”). A szabályos konvex poliédereket platonikus szilárd anyagoknak nevezzük .

Platonikus szilárd anyag  -  Van egy szabályos konvex ikozaéder.

Szimmetria

Az affin izometria egy olyan poliédert hagy maga után, amely globálisan invariáns, ha ennek a szilárd anyagnak az izometriája szerinti képe pontosan ugyanabban a helyzetben van, mint az eredeti. Lehet, hogy a csúcsok, az élek és az arcok felcserélhetők, de az általános helyzet változatlan. Az izometria meghatározója ± 1 . A poliéder összes izometriája rögzíti középpontját. Azok determináns 1 (vagy elmozdulások ), az úgynevezett „megfelelő szimmetria” a poliéder, ezért forgatás és - által multiplicativity determináns - azok meghatározó -1 , nevezzük „nem megfelelő szimmetria”, a vegyületek egyik ' közöttük (ha vannak ilyenek) ezek a forgatások.

Az Icosahedron forgásai  -  60 forgás van, amely elhagyja az ikozaédert (szabályos konvex) globálisan invariáns: a zérus szögelfordulás, 15 félfordulat, 20 egyharmadfordulat és 24 félfordulat és 24 félfordulat. - a fordulat ötödének szöge.

Az ilyen forgás tengelye szükségszerűen áthalad a sokszög közepén, és vagy egy csúcson, vagy egy él közepén, vagy egy arc közepén halad át.

Vizsgáljuk meg először azokat a (nem nulla szögű) forgatásokat, amelyek tengelye egy él középpontját tartalmazza. Egy ilyen elfordulásnak fel kell cserélnie az él két csúcsát, tehát ez egy U-kanyar. Az 5. ábrán az ikozaéder csúcsait a forgástengelyre merőleges síkokba csoportosítottuk (kék színnel), öt halmaz kiemelésére. A két szélső pont (kék színben) két pontról áll, amelyek alkotják az éleket, amelyek körülhatárolják a szilárd anyagot, és amelyek középen keresztezik a vizsgált tengelyt. Ezután két olyan pontot találunk (piros színnel), amelyek két vonalban merőlegesek mind a kék szegmensekre, mind a forgástengelyre. Végül a sokszög közepén négy pont (zöld színű) téglalapot alkot . Ez az öt ábra invariáns egy fél fordulattal történő forgatással. Mi következtetni, hogy létezik egy forgási fél fordulattal minden pár ellentétes élen. Mivel 30 él van, 15 félfordulatú forgás van.

Ideiglenesen vegye figyelembe, hogy 3-at 3-mal csoportosíthatunk e 15 félfordulatra, három tengely-forgás csoportjával, két-két merőlegesen, és amelyek ezért ingáznak .

A 6. ábra egy (nem nulla szögű) forgás esetét szemlélteti, amelynek tengelye két ellentétes oldal közepén halad át. Egy ilyen elforgatásnak át kell hatnia e két oldal mindegyikének három csúcsát, tehát ez egy fordulat harmada. A korábban használt technikával megegyező technika ezúttal a csúcsokat négy halmazba csoportosítja. Szerkezetileg a két szélső halmaz arc. Ezek azonos méretű egyenlő oldalú háromszögek, amelyek egymáshoz képest félfordulattal el vannak forgatva. A két központi halmaz, az ábrán lilával, szintén nagyobb, egyenlő oldalú háromszögek. Fél fordulattal van szükség ahhoz, hogy két egymás mellett elhelyezkedő háromszög egybeesjen.

Arcpáronként 2 fordulat harmada fordul el. A szilárd anyag 20 arcot tartalmaz; arra következtetünk, hogy 20 ilyen jellegű forgatás létezik.

A 7. ábra egy olyan forgás esetét szemlélteti, amelynek tengelye két ellentétes csúcson halad át. Egy ilyen elfordulásnak át kell hatolnia a két csúcs mindegyikén áthaladó öt élt, tehát ez egy fordulat ötödikének a többszöröse. A csúcsok továbbra is 4 halmazba vannak csoportosítva. A két szélső egyetlen pontból áll, a középponthoz legközelebb eső két halmaz szabályos ötszöget alkot . Ugyanolyan méretűek, és még mindig fél fordulat ellensúlyozza őket. 4 tengely forgása halad át két csúcson, így a szilárd globálisan invariáns marad, ha a nulla szög elfordulását elhanyagoljuk. 12 csúcs és 6 tengely tartalmaz két ellentétes csúcsot, vagy 24 ilyen jellegű forgatást.

Az ikozaéder helytelen szimmetriája  -  60 nem megfelelő szimmetria hagyja az ikozaédert (szabályos konvex) globálisan invariáns: központi szimmetria a szilárd anyag közepe felé, 15 visszaverődés (ortogonális szimmetria a síkok vonatkozásában), 20 roto-inverzió d 'a egy kanyar harmada és 24 roto-inverzió a kanyar egyötödének többszörösével.

Valójában az előző ábrák mind azt mutatják, hogy ez a központi szimmetria ezt a szilárd globális változatlanságot hagyja, és az α szög bármilyen rotációs inverziója (az α szög elfordulásának szorzata a tengely középpontjának szimmetriájával) anti - az α + π szög elfordulása ( az α + π szög elfordulásának szorzata a tengelyre merőleges síkból történő visszaverődés által), ezért visszaverődés, ha α = π.

Az ikozaéder figyelemreméltó alakjai

A 3. és 5. sorrend szimmetriái bemutatják az ezekhez a szimmetriákhoz tartozó síkgeometriai ábrákat.

A 3. nagyságrendű sík szimmetriája szimmetriaként csoportosítja az egyenlő oldalú háromszöget (vö. "  Hálózat (geometria)  "). Természetes, hogy nyomokat találunk az ikozaéderben. Ilyen háromszögeket lehet létrehozni a szilárd anyag különböző csúcsaival. Mindkét tengely két ellentétes oldal közepén halad át 4 egyenlő oldalú háromszög közepén. E háromszögek közül kettő arc. A másik kettőnek, amelyet a 6. ábra lila színnel mutat, az oldala a szélső és az átlagos ok arányában van a poliéder pereméhez viszonyítva. Ez azt jelenti, hogy a lila téglalap oldala, elosztva az él hosszával, megegyezik az aranyaránnyal.

Minden arcpárhoz 2 kis egyenlő oldalú háromszög és 2 nagy, összesen 12 kis egyenlő oldalú háromszög és annyi nagy.

Az arany szám jelenléte alig meglepő, beavatkozik az 5. nagyságrendű forgás kifejeződésébe, következésképpen egy ötszög méretarányaiba. Két ellentétes csúcson áthaladó tengellyel párhuzamosan két ötszög van, amelyek síkja merőleges a tengellyel. Az ötszög minden csúcsa egyúttal két különböző geometriájú arany háromszög csúcsa is . A háromszöget akkor mondják aranynak, ha egyenlő szárú, és a nagy és a kicsi oldal arányos a szélsőséges és a közepes okkal. Kétféle típus létezik, amelyeknek két hosszú oldala van, a 8. ábra szürke színű, és két rövid oldallal, sárga színnel. Az ötszög minden csúcsa az a csúcs, amely az egyes típusú arany háromszög két egyenlő oldalával szomszédos. Az ábra 2 ötszöget, vagy 10 csúcsot és 20 arany háromszöget tartalmaz. Két különböző tengely halad át két ellentétes csúcson, vagy 120 arany háromszögön.

Vannak arany téglalapok is , vagyis azok a téglalapok, amelyek hossza és szélessége megegyezik az arany számával. Pontosan egy van az ötszög oldalán, a második oldal pedig a másik ötszögön helyezkedik el. A 8. ábrán zölden mutatunk be egy példát. Mivel minden ötszögpárhoz 5 ilyen élpár tartozik, 30 arany téglalap van.

Kettős poliéder

Egy szabályos poliéder segítségével lehet újat építeni, amelynek csúcsaival a kezdeti szilárd anyag homlokzatának középpontjai vannak. A platoni szilárd anyag kettőssége továbbra is platoni szilárd anyag.

Ikozaéder esetében a kettősnek 20 csúcsa van, és mindegyik arca szabályos ötszög, mert minden csúcsot 5 él oszt meg. A kapott poliéder szabályos konvex dodekaéder , szilárd anyag, amely 12 ötszögletű oldalból áll. Ezzel ellentétben a dodekaéder kettőse, a platoni szilárd anyag, szabályos konvex poliéder 12 csúccsal. Mivel a dodekaéder minden csúcsát 3 él osztja, a kettős felülete egyenlő oldalú háromszög. Felismerjük az ikozaédert. Ez a tulajdonság általános a poliéderekre nézve, a poliéder kettős kettőse a kezdeti szilárd anyag homotetikája .

Az a szimmetria, amely az ikozaédert globálisan változatlanná teszi, arcainak minden középpontját változatlanul hagyja. Arra következtetünk, hogy az ikozaéder bármely szimmetriája a dodekaéder szimmetriája is. Fordítva, ugyanaz az érvelés azt mutatja, hogy a dodekaéder bármely szimmetriája egyúttal az ikozaéder szimmetriája is. A két kettős poliéderhez kapcsolódó két izometria halmaz megegyezik. Itt a szimmetria kifejezést az izometria értelmében használjuk.

Jellegzetes mennyiségek

Az alábbi táblázat bemutatja a szabályos konvex ikozaéder különböző jellegzetes méreteit:

Egy ikozaéder méretei, amelynek élhossza a
Dihedrális szög	α=π-arcsin⁡(23)rnál néld≈138∘11.′23.″{\ displaystyle \ alpha \, = \, \ pi - \ arcsin \ left ({\ frac {2} {3}} \ right) \, \ mathrm {rad} \ kb. 138 ^ {\ circ} 11'23 ' '}
A körülírt gömb sugara	rext=nál nél22+φ=nál nél2φ5.≈0,95nál nél{\ displaystyle r_ {ext} \, = \, {\ frac {a} {2}} {\ sqrt {2+ \ varphi}} = \, {\ frac {a} {2}} {\ sqrt {\ varphi {\ sqrt {5}}}} \ kb 0 {,} 95 \, a}
A beírt gömb sugara	rénnemt=nál nél6.3(1+φ)≈0,76nál nél{\ displaystyle r_ {int} \, = \, {\ frac {a} {6}} {\ sqrt {3}} (1+ \ varphi) \ kb 0 {,} 76 \, a}
A körülírt kocka széle	vs.=nál nélφ≈1,62nál nél{\ displaystyle c \, = \, a \ varphi \ kb 1 {,} 62 \, a}
Az ikozaéder magassága (két ellentétes arc közötti távolság)	h=2rénnemt=nál nél33(1+φ)≈1,51nál nél{\ displaystyle h \, = 2r_ {int} \, = \, {\ frac {a} {3}} {\ sqrt {3}} (1+ \ varphi) \ kb 1 {,} 51 ​​\, a}
Hangerő	V=5.(1+φ)6.nál nél3≈2,18.nál nél3{\ displaystyle V \, = \, {\ frac {5 (1+ \ varphi)} {6}} a ^ {3} \ kb 2 {,} 18 \, a ^ {3}}
A körülírt gömb töredéke elfoglalt	VVs=2+φπ≈0,61{\ displaystyle {\ frac {V} {V_ {s}}} \, = \, {\ frac {\ sqrt {2+ \ varphi}} {\ pi}} \ kb 0 {,} 61}
Terület	NÁL NÉL=5.3nál nél2≈8.,66nál nél2{\ displaystyle A \, = \, 5 {\ sqrt {3}} a ^ {2} \ kb. 8 {,} 66 \, a ^ {2}}
Izoperimetrikus hányados	36πV2NÁL NÉL3=φ4π153≈0,83.{\ displaystyle 36 \ pi {\ frac {V ^ {2}} {A ^ {3}}} = \, {\ frac {\ varphi ^ {4} \ pi} {15 {\ sqrt {3}}} } \ kb 0 {,} 83}

A kétoldalas szög két sík közötti szög, amelyek mindegyike tartalmazza az ikozaéder arcát, a két oldalnak közös éle van.

Az ikozaéder elbűvölése

• Az ő Timaiosz , Platón , miután le az öt szabályos konvex poliéderek, tulajdonítja mind az első négy eleme az univerzumban. Az ikozaéderrel társítja a vizet, amely szerinte a kocka után a legkevésbé mozgékony forma, vagyis az, amelynek a legtöbb arca és csúcsa kell, hogy legyen. Így észreveszi, hogy két és fél légterre (oktaéderre) van szükség egy vízelem (ikozaéder) felépítéséhez, és hogy egy vízelemet tűz (tetraéder) tönkretehet 5 tűzelem kialakításához. Platón a víz elemei közé sorolja, többek között az aranyat, a gyémántot és a sárgarézet.
• Néhány szerepjáték , a kocka 20 arcokat (rövidítve D20 ) használnak, hogy meghatározzák a sikere vagy kudarca kereset. Ez a kocka ikozaéder.
• A molekuláris biológiában sok vírus , például a herpeszvírus , ikozaéder alakú. A kapszidok megismétlődő fehérje alegységekből alakulnak ki , és az ikozaéder alakja a legalkalmasabb forma ezeknek az alegységeknek az összeállításához, mivel maximális teret enged a genom számára . Valójában az adott térfogatú platoni szilárd anyagok közül az ikozaéder az, amelynek beírt gömbje a legnagyobb.
• Lecseréli szélén a ikozaéder egy ellenállás 1 ohm , az ellenállás mérése két átellenes saroknál így 0,5 ohm, és a két szomszédos sarkai 11/30 ohm.
• A Fuller vetület (vagy Dymaxion térkép, Richard Buckminster Fuller készítette ) egy ikozaéder gnomonikus vetülete .
• Alexandre Grothendieck , ahogy életrajzában elmondja, mindig is lenyűgözte az ikozaéder. Pályafutása végén a Montpellier- i Egyetemen reflektív vizsgát ajánlott hallgatóinak, amelynek során papírból ikozaédert kellett építenie, és kitűnő jegyeket adtak nekik, ami botrányt kavart kollégái között.
• A korzikai Aléria egyik római sírjában egy ikozaédert találtak . Az Aléria múzeumban látható.

Egy ikozaéder matematikai felépítése, platoni szilárd anyag

Építés koordinátákkal

A cikk első része számos eredményt mutat be, de nincs bizonyíték. A szabályos konvex ikozaéder létezését nem bizonyítják. Egy egyszerű módszer abból áll, hogy meghatározzuk azokat a pontokat, amelyek egy szabályos konvex poliéder csúcsai lehetnek. Az itt alkalmazott megközelítés abból áll, hogy 4 tulajdonsággal rendelkező E pontkészletet találunk, amelyeket ellenőrizünk, ha ezek a pontok az ikozaéder csúcsai:

• az E halmaznak 12 csúcsa van;
• létezik egy gömb, amely tartalmazza az E összes pontját  ;
• A poliéder P , konvex borítékot a E , van arcok minden alkotó egyenlő oldalú háromszög;
• Ha okosan választottuk a tereptárgyat , szorozzunk meg egy koordinált csúcsot -1-es E ponttal, és adjunk E- pontot .

Az utolsó tulajdonság az ikozaéder stabilitásának következménye, három félfordulatú és merőleges tengely két-két fordulatával. Az egyszerű számításokhoz célszerű egy él hosszát 2-re állítani, és a legtávolabbi jobbra, az y tengellyel párhuzamosan elhelyezni. A következő koordinátákat kapjuk:

(±φ,±1,0),(±1,0,±φ)és(0,±φ,±1).{\ displaystyle (\ pm \ varphi, \ pm 1,0) \ ,, \ quad (\ pm 1,0, \ pm \ varphi) \ quad {\ text {és}} \ quad (0, \ pm \ varphi , \ pm 1).}

Itt φ az arany számot jelöli , egyenlő (1 + √ 5 ) / 2. A koordináták létrehozása után bizonyítékunk van egy 12 csúcsú, szabályos konvex ikozaéder létezésére. Valóban megmutathatjuk, hogy P egy szabályos poliéder, amelynek 12 csúcsa van. Elég annak ellenőrzése, hogy bármely csúcs esetében pontosan 5 él van, amely tartalmazza ezt a csúcsot, hogy azonos hosszúságúak-e, és hogy ez az 5 él valóban meghatároz 5 egyenlő oldalú háromszöget.

Ezek a koordináták lehetővé teszik az ikozaéder előző bekezdésben leírt jellemző állandóinak kiszámítását is.

A számítás részletei

Megpróbáljuk felépíteni az E halmazt úgy , hogy a nulla vektor középpontja legyen és élei 2 hosszúak legyenek. Ortonormális alapként választunk ( e 1 , e 2 , e 3 ), amelyet a harmadik állítást megelőző legördülő mezőben határozunk meg. Legyen S 1 olyan E pont , hogy az első koordinátája a lehető legnagyobb legyen, és ( a , b , c ) legyen S 1 koordinátája .

• Még ha ez azt jelenti, permutálás e 2 , és e 3 , a koordinátáit S 1 jelentése ( a , 1, 0), és három másik pontot S 2 , S 3 és S 4 a E , koordinátái ( a , -1, 0 ), (- a , 1, 0) és (- a , –1, 0):

Ismeretes, hogy az E pont egyes koordinátáit -1- gyel meg lehet szorozni anélkül, hogy elhagynánk a halmazt, arra következtetünk, hogy a négy pont ( a , ± b , ± c ) E-ben van . Mivel ezek a pontok az E- től jobbra találhatók, ugyanazon az oldalon helyezkednek el. Egyetlen arc sem tartalmaz 4 pontot, arra következtetünk, hogy b vagy c nulla. Még akkor is, ha ez e 2 és e 3 permutálását jelenti , választhatunk c null értéket. A szimmetriacsoport forgástengelyének végén az e 1 által irányított él rendelkezik az S 1 koordinátákkal ( a , b , 0) és az S 2 koordinátákkal ( a , - b , 0). Egy él hossza 2, ami azt mutatja, hogy b egyenlő 1-vel.

Mivel egy csúcs bármely koordinátájával –1-gyel meg lehet szorozni, hogy megkapjuk az új csúcs koordinátáit, a két pont (- a , ± 1, 0) szintén csúcs.

• A 4 további S 5 – S 8 pont megfelelő koordinátákkal (1, 0, a ), (–1, 0, a ), (1, 0, - a ) és (–1, 0, - a ) E  :

Ugyanezen érvelés, mint fent permutálásával a bázis ( e 1 , e 2 , e 3 ) be ( e 3 , e 1 , e 2 ) termel négy pontot S 5 , S 6 , S 7 és S 8 a E , a koordináták ( f , 1, 0), ( f , -1, 0), (- f , 1, 0) és (- f , –1, 0) az új alapban és koordinátákban (1, 0, f ), (- 1, 0, f ), (1, 0, - f ) és (–1, 0, f ) kezdetben.

S 5 normájának négyzete egyenlő 1 + f 2 -vel . Még mindig megegyezik az S 1 standard négyzetével , vagyis 1 + a 2-vel , mert van egy központi gömb, a nulla vektor, amely tartalmazza az E összes pontját . Mivel a és f pozitív választás, az a egyenlő f-vel . Ez kiegészíti az állítás igazolását.

• Az értéke egy egyenlő az arany arány:

Az S 1 és S 5 elválasztó távolság egyenlő 2-vel, ami a következő egyenletet adja:

(1-nál nél)2+(-1)2+(-nál nél)2=4és2nál nél2-2nál nél-2=0végülnál nél2-nál nél-1=0.{\ displaystyle (1-a) ^ {2} + (- 1) ^ {2} + (- a) ^ {2} = 4 \ quad {\ text {és}} \ quad 2a ^ {2} -2a -2 = 0 \ quad {\ text {végre}} \ quad a ^ {2} -a-1 = 0.}

Az előző egyenlet egyedülálló pozitív megoldást ismer fel. Definíció szerint ez az érték megegyezik az aranyaránnyal.

• A 4 pont S 9 , hogy S 12 , rendre koordinátái (0, φ, 1), (0, φ, -1), (0, -φ, 1), (0, -φ, -1) vagy az utolsó 4 E pontok  :

Ugyanezen érvelés, mint fent felcserélésével a bázis ( e 1 , e 2 , e 3 ) a ( e 2 , e 3 , e 1 ) kapjuk a négy pont S 9 , S 10 , S 11 és S 12 a S . ( φ , 1, 0), ( φ , -1, 0), (- φ , 1, 0) és (- φ , –1, 0) koordináták és az (0, φ , 1) koordináták ), (0, φ , -1), (0, - φ , -1) és (0, φ , -1) kezdetben.

  Az ikozaéder jellegzetes állandóinak kiszámítása.

A szigorúság érdekében meg kell mutatni, hogy az E pontok domború héja valóban szabályos poliédert alkot. A közvetlen számítás kissé unalmas, a következő bekezdés alternatív bizonyítékot kínál. A 60 elemből álló csoport ábrázolásainak elemzése azt mutatja, hogy létezik egy 12 csúcsú, egyenlő oldalú háromszöget arcként tartalmazó platon szilárd anyag, és hogy a 12 csúcs egy gömbön helyezkedik el. Ez egy félfordulat 3 elfordulásának és az ortogonális tengelyek kettő kettő létezését is mutatja. Mivel az E 12 pontja az egyedi megoldásnak felel meg, egy forgatás kivételével, igazolva ezeket a tulajdonságokat, ha egy él hossza egyenlő 2-vel, domború burkolata szükségszerűen szabályos ikozaéder.

A számítások a csúcsainak koordinátáit szerint mutatják homothety arányú a / 2, ha egy szigorúan pozitív valós, hogy a koordináták egy szabályos konvex icosahedron van, egy jól megválasztott keret:

(±nál nél2φ,±nál nél2,0),(±nál nél2,0,±nál nél2φ)és(0,±nál nél2φ,±nál nél2){\ displaystyle (\ pm {\ frac {a} {2}} \ varphi, \ pm {\ frac {a} {2}}, 0) \ ,, \ quad (\ pm {\ frac {a} {2 }}, 0, \ pm {\ frac {a} {2}} \ varphi) \ quad {\ text {et}} \ quad (0, \ pm {\ frac {a} {2}} varphi, \ pm {\ frac {a} {2}})}

• A körülírt gömb sugara megegyezik az r ext értékkel :

rext=nál nél22+φ{\ displaystyle r_ {ext} \, = \, {\ frac {a} {2}} {\ sqrt {2+ \ varphi}}}

Az ikozaéder legnagyobb normáinak pontjai a csúcsok, az r ext sugár megegyezik egy csúcs normájával és:

rext=(nál nél2φ)2+(nál nél2)2+02=nál nél21+φ2=nál nél22+φmivelφ2=φ+1{\ displaystyle r_ {ext} \, = \, {\ sqrt {\ left ({\ frac {a} {2}} \ varphi \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {a} {2 }} \ jobbra) ^ {2} + 0 ^ {2}}} = {\ frac {a} {2}} {\ sqrt {1+ \ varphi ^ {2}}} = {\ frac {a} { 2}} {\ sqrt {2+ \ varphi}} \ quad {\ text {car}} \ quad \ varphi ^ {2} = \ varphi +1}

• A beírt gömb sugara megegyezik r int-vel , a következőkkel:

rénnemt=nál nél6.3(1+φ){\ displaystyle r_ {int} \, = \, {\ frac {a} {6}} {\ sqrt {3}} (1+ \ varphi)}

Az ikozaéder felületének legkisebb normáinak pontjai az arcok középpontjai. A következő számítások által megadott koordinátákkal ellátott M pont egy arc középpontja:

M:13((nál nél2φ,nál nél2,0)+(nál nél2φ,-nál nél2,0)+(nál nél2,0,nál nél2φ))=nál nél6.(2φ+1,0,φ){\ displaystyle M \ ;: \; {\ frac {1} {3}} {\ Big (} ({\ frac {a} {2}} \ varphi, {\ frac {a} {2}}, 0 ) + ({\ frac {a} {2}} \ varphi, - {\ frac {a} {2}}, 0) + ({\ frac {a} {2}}, 0, {\ frac {a } {2}} \ varphi) {\ Big)} = {\ frac {a} {6}} (2 \ varphi +1,0, \ varphi)}

Az M normájának kiszámítása lehetővé teszi a meghatározás véglegesítését:

rénnemt=‖M‖=nál nél6.4φ2+4φ+1+φ2=nál nél6.9.φ+6.=nál nél6.3(3φ+2)=nál nél6.3(φ2+2φ+1)=nál nél6.3(1+φ){\ displaystyle r_ {int} = \ | M \ | = {\ frac {a} {6}} {\ sqrt {4 \ varphi ^ {2} +4 \ varphi +1+ \ varphi ^ {2}}} = {\ frac {a} {6}} {\ sqrt {9 \ varphi +6}} = {\ frac {a} {6}} {\ sqrt {3 (3 \ varphi +2)}} = {\ frac {a} {6}} {\ sqrt {3 (\ varphi ^ {2} +2 \ varphi +1)}} = {\ frac {a} {6}} {\ sqrt {3}} (1+ \ varphi)}

• A szélén a körülírt kocka egyenlő egy φ:

A körülírt kocka élének hossza megegyezik az ikozaéder ellentétes széleinek két középpontja közötti távolsággal. A koordináták pontja ( a φ / 2, 0, 0) az él középpontja. A szemközti él középpontja a koordinátákra vonatkozik (- a φ / 2, 0, 0), ami lehetővé teszi az eredmény levezetését.

• A terület a poliéder egyenlő 5 √ 3 a 2  :

Az arc egy egyenlő oldalú háromszög, amelynek oldala a . A magassága adja alkalmazásával Pitagorasz-tétel , van egy √ 3 /2. A terület a termék hosszának felére egyik oldalon a magasság, van egy 2 √ 3 /4 legyen. A poliéder felülete 20 oldalból áll, ami lehetővé teszi az eredmény megtalálását.

• A poliéder térfogata megegyezik V-vel , a következőkkel:

V=5.(1+φ)6.nál nél3{\ displaystyle V \, = \, {\ frac {5 (1+ \ varphi)} {6}} a ^ {3}}

Az ikozaéder 20 kúpra bomlik, amelyek csúcsa a szilárd anyag közepe és az S f terület alapfelülete van . Következtetjük a képletet, ha d a szilárd anyag középpontja és az arc közepe közötti távolságot jelöli:

V=20Sf∫0ds2d2ds=203Sfd=2012.3nál nél2⋅nál nél6.3(1+φ)=5.(1+φ)6.nál nél3.{\ displaystyle V = 20S_ {f} \ int _ {0} ^ {d} {\ frac {s ^ {2}} {d ^ {2}}} {\ text {d}} s = {\ frac { 20} {3}} S_ {f} d = {\ frac {20} {12}} {\ sqrt {3}} a ^ {2} \ cdot {\ frac {a} {6}} {\ sqrt { 3}} (1+ \ varphi) = {\ frac {5 (1+ \ varphi)} {6}} a ^ {3}.}

• Ikozaéder foglal egy frakció V / V s a térfogatát a körülírt gömb, a:

VVs=2+φπ{\ displaystyle {\ frac {V} {V_ {s}}} \, = \, {\ frac {\ sqrt {2+ \ varphi}} {\ pi}}}

A körülírt gömb sugara megegyezik az r ext értékkel, egy már kiszámított értékkel. A gömb V s térfogatára következtetünk :

Vs=43π(nál nél22+φ)3{\ displaystyle V_ {s} = {\ frac {4} {3}} \ pi \ balra ({\ frac {a} {2}} {\ sqrt {2+ \ varphi}} \ jobbra) ^ {3} }

Az ikozaéder térfogatának ismerete lehetővé teszi a számítás befejezését:

VVs=5.(1+φ)nál nél36.43π(nál nél22+φ)3=5.(1+φ)π(2+φ)3=2+φπ⋅5.+5.φ(2+φ)2=2+φπ⋅5.+5.φφ2+4φ+4=2+φπ{\ displaystyle {\ frac {V} {V_ {s}}} \, = {\ frac {\ frac {5 (1+ \ varphi) a ^ {3}} {6}} {{\ frac {4} {3}} \ pi \ left ({\ frac {a} {2}} {\ sqrt {2+ \ varphi}} \ right) ^ {3}}} = {\ frac {5 (1+ \ varphi) } {\ pi {\ sqrt {(2+ \ varphi) ^ {3}}}}} = {\ frac {\ sqrt {2+ \ varphi}} {\ pi}} \ cdot {\ frac {5 + 5 \ varphi} {(2+ \ varphi) ^ {2}}} = {\ frac {\ sqrt {2+ \ varphi}} {\ pi}} \ cdot {\ frac {5 + 5 \ varphi} {\ varphi ^ {2} +4 \ varphi +4}} = {\ frac {\ sqrt {2+ \ varphi}} {\ pi}}}

• Izoperimetrikus hányados:

Ezzel a kérdéssel az Isoperimetry cikk foglalkozik .

 

Szimmetria csoport

A készítmény törvény isometries az euklideszi térben a dimenzió 3 ad az összes ilyen alkalmazás struktúra csoport . A globálisan invariáns ikozaédert elhagyó izometriák egy 120-as rendszámú alcsoportot alkotnak : az ikozaéder szimmetriai csoportját.

Tétel  -  A szimmetria csoport icosedron izomorf a közvetlen terméke a váltakozó csoport Egy 5 által ciklusos csoport a sorrendben 2.

Valóban :

• az „ Alternatív csoport  ” című cikkből  kiderül, hogy az ikozaéder forgatásainak alcsoportja izomorf a váltakozó A 5 csoporttal ( 5 elemből álló halmaz páros permutációinak csoportja ). Ez a bizonyíték biztosítja, hogy létezik egy platóni szilárd anyag, amelynek 12 csúcsa, 30 éle és 20 felülete egyenlő oldalú háromszög (bizonyos értelemben csak egy módon lehet ábrázolni az A 5 csoportot, mint egy 3- dimenziós euklideszi tér);
• a sokszög középpontjához viszonyított központi szimmetria ezen a 60 forgáson ingázik.

Alkalmazások

• Az asztali szerepjátékokban általában használt Icosahedral D20 .

• Fuller vetülete animációban.

• A többi platoni szilárd anyaghoz hasonlóan az ikozaédereket gyakran használják az asztali szerepjátékokban 20 oldalú kockák készítésére, amelyeket általában d20-nak neveznek.
• A térképi vetületek terén az ikozaéder használható Fuller vetítéséhez .

Megjegyzések és hivatkozások

1. (in) F. Buekenhout és Mr. Parker, "  A számos nettó rendszeres konvex poliéderek dimenzióban ⩽ 4  " , Disc. Math. , vol.  186,1998, P.  69–94 ( DOI  10.1016 / S0012-365X (97) 00225-2 ).
2. Albrecht Dürer , Geometria , előadás és fordítás, Jeanne Peiffer, Seuil, Párizs, 1995 ( ISBN  2020124270 ) , p.  31 .
3. (in) Peter R. Cromwell, Polyhedra , Cambridge University Press, 1997 ( ISBN  0521664055 ) , pp.  53 .
4. Grafikus elemzést javasolt R. Ferréol, „  Icosaèdre  ” .
5. (in) Eric W. Weisstein , "  Icosahedron  " on mathworld .
6. Tímea , 55–56.
7. Tímea , 59b.
8. Jean-Pierre Lavergne, "  Alexander Grothendieck, lázadó matematikus  " ,2014. november, („Zsűri Grothendieck-szel”).
9. Ezek a számítások megtalálhatók például Buekenhout és Parker 1998-ban .
10. Ennek a csoportnak a karaktertábláját  (en) a (z) JS Lomont, Véges csoportok alkalmazásai , Academic Press ,2014( 1 st  szerk. 1959) ( olvasott sort ) , p.  82.

Lásd is

Bibliográfia

(en) MJ Wenninger, kettős modellek , Cambridge University Press, 2003 ( ISBN  0521543258 )

Kapcsolódó cikkek

• Hexaki ikozaéder
• Geode (geometria)

Külső linkek

• J. Drabbe és C. Randour-Gabriel, a víz poliéder szimbóluma
• Icosaèdre a recreomath.qc.ca oldalon
• Icosaèdre a strasbourgi Louis Pasteur Egyetem helyén
• [videó] Jolies Maths, az ikozaéder csontváza ... a YouTube-on . Az ikozaéder "belső szerkezetének" tervei (3 arany téglalapból).