Tömörség (matematika)

A topológiában egy térről azt mondjuk, hogy kompakt, ha el van választva, és hogy kielégíti a Borel-Lebesgue tulajdonságot . Az elválasztási feltételt néha elhagyják, és néhány eredmény igaz marad, például az általánosított korláttétel vagy Tychonov-tétel . A tömörség lehetővé teszi bizonyos tulajdonságok átadását a lokálból a globálisba, vagyis azt, hogy az egyes pontok közelében lévő valódi tulajdonság egységesen érvényesül az egész kompaktum felett.

Számos tulajdonságait szegmensek a számegyenesen ℝ általánosítható kompakt terek, ami az utóbbi kitüntetett szerepe a különböző területeken a matematika. Különösen hasznosak egy számfüggvény extrémájának létezésének bizonyítására .

Ennek a tulajdonságnak a neve tiszteleg Émile Borel és Henri Lebesgue francia matematikusok előtt , mert a nevüket viselő tétel megállapítja, hogy a ℝ bármely szegmense kompakt, és általánosabban véve, hogy a ℝ n tömörítései a zárt határoltak .

A tömörség intuitívabb megközelítését a metrikus terek esetében a „ Szekvenciális tömörség  ” című cikk részletezi  .

Borel-Lebesgue tulajdonosa

Előzetes Definíció: Legyen E egy sor és egy részét E . Azt mondjuk, hogy egy család ( U i ) i ∈ I E részei lefedik A-t, ha találkozója ∪ i ∈ I U i tartalmaz A-t .

Borel-Lebesgue tulajdonság a szegmensekhez: legyen a valós vonal egy szegmense [ a , b ]. A szegmens bármilyen nyílt átfedéséből kivonható egy véges fedettség. Ez azt jelenti, bármely család ( U i ) i ∈ I a nyílt halmazok , amely [ a , b ], létezik egy véges részhalmaza J Az I úgy, hogy az alcsalád ( U i ) i ∈ J már borítók [ a , b ].

Ennek a tulajdonságnak a bizonyítékaként lásd a Borel-Lebesgue-tételt , más néven Heine-Borel-tételt.

A Borel-Lebesgue tulajdonság szorosan kapcsolódik a realok korlátozott szekvenciáinak tulajdonságához : a realok bármely korlátozott szekvenciájából konvergens szekvenciát vonhatunk ki. A két tulajdonság közötti kapcsolatot az alábbiakban (a „Bolzano-Weierstrass-tétel és a szekvenciális tömörség” című részben ) magyarázzuk .

Ezen tulajdonságok egyikéből a másikba levonhat néhány fontos következményt a digitális funkciókra. Különösen: a szegmens képe egy folytonos térképen nemcsak ( a köztes értékek tétele szerint ) intervallum , hanem még egy szegmens is ( a határok tétele ), és a függvény ekkor egyenletesen folytonos ( Heine-tétel ) .

A Borel-Lebesgue tulajdonság (valamint a szekvenciális tömörség) megfogalmazható a vizsgált topológiai tér (itt: a [ a , b ] szokásos topológiájával ellátott tér) belső tulajdonságaként , függetlenül attól, hogy ez - itt vagy esetleg egy „nagyobb” topológiai térbe kerül (itt: included), és így biztosított az indukált topológiával . Ebben az értelemben a "kompakt rész" (egy topológiai tér) fogalma alapvetően különbözik például a " zárt rész  " fogalmától  .

Borel-Lebesgue axióma és a kompaktok általános meghatározása

Az E topológiai térről azt mondják, hogy kvázi kompakt, ha kielégíti a Borel-Lebesgue axiómát  : az E bármely nyitott burkolatából kivonhatunk egy véges fedést . A tér kompaktnak mondható, ha Hausdorff (T 2 ) értelmében tovább szétválasztjuk . Egy része K az E azt mondják, hogy (kvázi) kompakt, ha K ellátva indukált topológia jelentése (kvázi) kompakt.

Ahhoz, hogy E kvázi kompakt legyen, elegendő, ha az E bármilyen átfedése a rögzített alap nyílásai által véges fedéllel rendelkezik.

Demonstráció

Legyen B egy E alap, amely igazolja ezt a hipotézist, és ( U i ) egy tetszőleges E-t lefedő nyitott . Megjegyzés C összes nyitott O ∈ B közül legalább az egyik U i és azt mutatják, hogy a C a borító E . Mivel B egy alapon, minden egyes U i egy nyílt Unió O ∈ B , és még O ∈ C , mivel O ⊂ U i , így minden U i tartalmazza az unió valamennyi O ∈ C , úgy, hogy a találkozó E az U i is, ezért C elfedi az E kútot . A B hipotézis szerint C- nek van egy véges F -fedése . Minden egyes O ∈ F , ha mi jelöljük i ( O ) egyik I amelyre O ⊂ U i , a család ( U i ( O ) ) O ∈ F véges alulfedezettségének a ( U i ).

Még az is elegendő, hogy egy prebázis esetében ez a helyzet ( vö . Az prebázisok tulajdonságai , Alexander tétele ).

A kiegészítőknek való átadással a Borel-Lebesgue tulajdonság egyenértékű: ha ( F i ) i ∈ I olyan zárt család, hogy ∩ i ∈ I F i = ∅, akkor véges családot tudunk kinyerni ( F i ) i ∈ J , J ⊂ I-vel , úgy, hogy ∩ i ∈ J F i = ∅. Vagy megint, szembeállítása: if ( F i ) i ∈ I egy zárt család, amely bármely véges alcsalád van egy nem üres kereszteződés, majd ∩ i ∈ I F i nemüres. Ekvivalensen: a véges kereszteződésekkel zárt, nem üres istálló bármely nem üres családjának van egy nem üres kereszteződése.

Az X topológiai tér csak akkor kompakt-kompakt, ha (és csak akkor), ha az X zárt, nem mentes bármely nem üres láncának kereszteződése nem üres.

Demonstráció

• Csak akkor: azonnal, mert bármely lánc stabil a véges kereszteződéseknél.
• Ha: legyen X lehet egy teret, amelyben a kereszteződésekben a bármely lánc zárt nemüres nemüres, ( F i ) i ∈ I egy nem üres család zárt nemüres az X stabil véges csomópontok és F keresztezi. Kérdés annak bemutatása, hogy F nem üres. M megjegyzés : az X összes nem üres zárt G halmaza úgy , hogy minden i ∈ I esetében G ∩ F i ne legyen üres és F-t tartalmaz . Az összes F i M-hez tartozik , ami ezért nem üres. Az X hipotézis szerint az M nem üres elemek bármely karaktersorozatának van egy M elem metszéspontja . Szerint a Zorn-lemma , M tehát legalább egy minimális eleme G felvételét. Most M stabil való metszésből egyes F i , így ez tartalmazza az összes G ∩ F i . By minimalitását, G tehát tartalmazza az összes F i és ezért F , ami azt bizonyítja, hogy az F nem üres.

Megjegyzés: Az angolszász terminológiában a meghatározás kissé eltér. Eltérő rendelkezés hiányában az angol nyelvű kompakt kvázi francia nyelvű kompakt (az angolul beszélők megadják a "compact Hausdorff" szót, ha külön akarnak lenni). Ezért általában nem minden tulajdonság érvényes, kivéve azt a feltételezést, hogy a tér elkülönül.

Meghatározás szűrőelmélettel

Egy külön topológiai tér akkor és csak akkor kompakt, ha az E bármelyik F szűrőjéhez létezik egy F- nél finomabb szűrő, amely konvergál, más szóval, ha az E bármelyik ultraszűrője konvergál, vagy ha bármely általánosított szekvenciának van legalább egy d értéke adhézió , más szóval konvergens generalizált szekvencia. Ezt az egyenértékű meghatározást ritkán használják. Különösen megfelelő annak bizonyítása, hogy bármilyen kompakt termék kompakt .

Bármely kvázi kompakt térben csak egy tapadó ponttal rendelkező szűrő konvergál e ponthoz; egy kompakt és ezért külön térben nyilvánvalóan szükséges a konvergencia ezen elégséges feltétele.

Példák

• Bármely véges tér kvázi kompakt, mivel csak véges számú nyílása van.
• Egy külön térben, konvergens szekvencia alapján, a szekvencia és a határ feltételeiből összeállított készlet kompakt. Valójában bármely nyitott burkolatból kinyerhető egy határot tartalmazó nyílás; mivel ezen a nyílt részen csak véges számú kifejezés található, könnyű véges fedezetet találni.
• Az együtt elkészített topológiával ellátott szerelvények szinte kompaktak.
• A Cantor készlet kompakt, a kompaktól bezárva [0, 1].
• A Hilbert kocka kompakt, mivel a termék egy ( megszámlálható ) család példányban a kompakt [0, 1].

Tulajdonságok

Kompakt és zárt

• Egy külön teret , két különálló kompakt alkatrészeket mindig szerepel két különálló nyílásokat.
• A külön tér bármely kompakt része zárva van.
• A (kvázi) kompakt tér bármely zárt része (kvázi) kompakt.

A két korábbi tulajdonságból könnyen arra következtethetünk, hogy egy külön térben a nem üres tömörítési család bármilyen metszéspontja kompakt.

Egy kvázi kompakt térben a zárt nonempty bármely csökkenő sorozatának kereszteződése nem üres, ezért:

• „  Beágyazott kompakt tétel  ”: bármely topológiai térben a nem üres kompaktok bármely csökkenő sorozatának metszéspontja (kompakt) nem üres
  (ezeket a tömörítéseket az első zártaként tekintve).

Megjegyzés: a legtöbb ilyen tulajdonság nem terjed ki a nem szétválasztott esetre.

Ellenpéldák

• a durva topológiájú {0, 1} párban a {0} és {1} tömörek, de nincsenek lezárva;
• ennek a párnak a szorzatában ℝ ( a szokásos topológiájával ), {1} × [–1, 1] és ({0} × [–1, 0]) ∪ ({1} ×] 0, 1]) vannak kanonikusan homeomorf a [-1, 1] ezért a kompakt (de nem zárt), és azok kereszteződés, {1} ×] 0, 1], még csak nem is kvázi-kompakt;
• ugyanez a példa azt mutatja, hogy a tömörséget a véges összeállítások nem őrzik meg (csak a kvázi tömörség).

• A kompakt hely normális ,

amely lehetővé teszi a beágyazott kompakt tétel pontosítását:

• A csatlakoztatott tömörítések csökkenő sorozatának bármely metszete összekapcsolódik.

E két tulajdonság bemutatása

• A kompakt tér normális  : egy kompakt E térben legyen A , B két diszjunkt zárt. A fenti tulajdonságok közül A és B ekkor két diszjunkt tömörítést jelent, és E elválasztásra kerül, így A és B két diszjunkt nyílásba kerül, ami bizonyítja, hogy E normális.
• A csatlakoztatott tömörítések csökkenő sorozatának bármely metszete összekapcsolódik  : legyen ( F n ) csökkenő tömörítési sorozat; tegyük fel, hogy a K kereszteződése nincs összekötve. Tehát két zárt F és G van F 0 -ból, mivel F ⋂ K és G ⋂ K nem üresek és kiegészítik K-t . Normalitását F 0 , akkor két diszjunkt nyitott U és V a F 0 tartalmazó F ⋂ K és G ⋂ K . Megjegyzés W az unió a két nyitott és G n a zárt F n \ W . A G n csökkenő, egymást keresztező tömörítések sorozatát képezi, így a G n egyikének üres. A megfelelő F n- t ekkor a diszjunktum W = U ⋃ V része tartalmazza . Mivel ez az F n találkozik a két nyitott U és V egyenes mindegyikével, nincs összekapcsolva, ami a tétel ellentmondását mutatja.

Egyéb tulajdonságok

Egy valódi normált vektortér akkor és akkor is véges dimenziójú, ha tömörítései zárt határoltak.

A tömörítések kompakt kartéziai szorzata kompakt.

Pontosabban: minden kvázi kompakt termék kvázi kompakt; ez a Tykhonov-tételként ismert eredmény egyenértékű a választott axiómával .

A kvázi kompakt bármely különálló és zárt része elkészült.

Kuratowski -Mrówka tétel : Egy külön teret X kompakt, ha, és csak akkor, ha bármilyen térben Y , a vetítési p Y  : X × Y → Y egy zárt térképet .

Általánosságban elmondható, hogy az X tér akkor és csak akkor kompakt kompakt, ha kielégíti ezt a tulajdonságot.

Demonstráció

• Ha X kvázi kompakt, akkor a p Y  : X × Y → Y vetület zárt az összes Y esetében  : lásd a „  Cső lemma  ” részt.
• Tegyük fel viszont, hogy a p Y  : X × Y → Y vetület zárt minden Y esetében, és azt mutatja, hogy X kvázi kompakt. Vagy ( U i ) i ∈ I X nyitott burkolata . jegyzet
  • ∞ tetszőleges elem, amely nem X-hez tartozik ,
  • Y az X és a szinglet {∞} szétválasztott egyesülése ,
  • E azon X részek halmaza, amelyek véges számú U i egyesülései ,
  • B azon Y- részek halmaza, amelyek vagy nem tartalmaznak ∞-t, vagy komplementerek Y-ben egy E- elemnek ,
  • Δ átlójának X ( azaz d. A párok halmaza ( x , x ) ha X fut X ), amely része a X × X ezáltal X × Y .

Ez könnyen ellenőrizhető, hogy a B formák a alapján topológia a Y és alkalmazása a feltételezésen ebben a topológiai térben Y  : a kép p Y zárt Δ egy zárt Y . Ráadásul p Y ( ∆ ) (amely X-et tartalmaz ) nem tartalmaz ∞-t (mert X × {∞} szerepel a dis disszjunkt nyitásában: U i × ( Y \ U i ) uniója ). Ez azt bizonyítja, hogy a {∞} nyitva van Y-ben . Arra a következtetésre jutunk, hogy X E-hez tartozik , ami következtet.

Ebből következik, hogy a kvázi kompakt térben bármely tér zárt gráfjának minden alkalmazása folyamatos.

Demonstráció

Legyen f  : A → B és B quasicompact és Gr ( f ) zárva A × B , és vagy F zárt B . Ezután F -1 ( F ) egy zárt A , mint a kép a zárt ( A × F ) ∩Gr ( f ) az alkalmazás zárva p A  : A × B → A .

Tömörség és folytonosság

• A kompakt kép, az értékek külön térben történő folyamatos alkalmazásával , kompakt.
  Ez a tulajdonság lehetővé teszi a globális extrémák megjelenítését a valós értékekkel rendelkező folyamatos funkciók számára . Íme néhány példa:
  • korláttétel (vagy Weierstrass-tétel ): „a valós szegmens bármely folytonos térképe ℝ-ben korlátos és eléri a határait” ( a köztes értékek tételéhez csatlakozva biztosítja, hogy ez a kép valójában szegmens legyen);
  • Fermat pont problémája . Adott ABC háromszöget kérünk annak igazolására, hogy létezik olyan M pont , hogy az AM + BM + CM távolságok összege minimális legyen. Először azt figyeltük meg, hogy felesleges M-t túl messzire keresni az A, B, C pontokra . Az M ↦ AM + BM + CM folytonos térkép figyelembevétele elég nagy sugarú zárt lemezen lehetővé teszi a tétel alkalmazását: van egy globális minimum. Ez a megfigyelés kiindulópontként szolgálhat egy explicit konstrukcióhoz;
  • távolság egy pont, hogy egy zárt pontja a ℝ n . Legyen F ℝ n zárt, nem üres része, és x ℝ n pontja . Annak bizonyítása a kérdés, hogy létezik-e az F-nek az x-hez közelebb eső f pontja , mint az összes többi. Ismét nincs értelme keresni az f-et túl messze az x-től . Ezért korlátozódhatunk F és egy zárt labda metszéspontjára , amely a Borel-Lebesgue-tétel szerint tömörítést alkot , és bevezethetjük az x függvénytávolságát , amely folyamatos;

• egy szabályos sokszög izoperimetrikus jellege , az ókor óta nyitott kérdés. A cél az, hogy kiderítsük, melyik n oldalú sokszögnek van a legnagyobb területe egy adott kerületen . A meglehetősen egyszerű geometriai érvelés azt mutatja, hogy az egyetlen lehetséges jelölt a szabályos sokszög, ezt az eredményt az ókori Görögország óta bizonyítják. Ennek a kérdésnek a megoldása azonban a XIX .  Századig nyitva maradt . A bizonyítás természetének megértéséhez a legegyszerűbb a háromszög esetét figyelembe venni, amelyet a jobb oldali ábra szemléltet. A figyelembe vett háromszögek mindegyike a 3 kerülete, ezeket egy párral ( c , pair) azonosítják, ahol c az egyik oldal hosszát és φ a két oldal közötti szöget jelenti, amelyek közül az egyik a c hosszúságú . Az f függvény az, amely párral társítja a háromszög felületét. Csak azt a területet kell vizsgálni, ahol c 0 és 3 ⁄ 2 , φ pedig 0 és π között van. Ez a terület kompakt of 2 . Az f térkép folytonos, tehát eléri maximumát, ebben az esetben az (1, π ⁄ 3 ) pontban. Ennek a maximumnak a megléte volt a hiányzó láncszem a teljes demonstrációhoz. A háromszög esetében egy kis elemzés ugyanolyan egyszerűen bemutatja az eredményt. Az n oldalú sokszög általános esete esetében nem túl nehéz az itt bemutatotthoz hasonló bizonyítékot felépíteni, a kompakt koncepciónak köszönhetően. Az analitikai megoldás viszont nagyon nehéz. Részletes bizonyítást az "  Isoperimetrikus tétel  " cikk tartalmaz.
  
  

• A kompakt tétel folytonos képének következménye:
  A kompakt tér minden folyamatos alkalmazása egy külön térben lezárt . Különösen, ha bijektív, akkor homeomorfizmus . Sőt,
  a linkek között a kompakt és zárt akkor azonnal következtethetünk, hogy az ilyen kérelem még tiszta .
• Bármely folyamatos alkalmazás f a kompakt metrikus tér X egy külön térben, a kompakt F ( X ) jelentése metrizálható (például: a kép bármely utat egy külön tér metrizálható). A metrikus tér képének metrizálhatóságának zárt folytonos térképpel történő általános jellemzésének köszönhetően megvan az egyenértékűség is: az X metrikus tér akkor és csak akkor kompakt, ha minden elválasztott folytonos képe metrizálható.

Bolzano-Weierstrass tétel és egymás utáni tömörség

Kompakt térben bármely végtelen résznek van legalább egy határpontja . Még általánosabban, bármely kvázi-kompakt tér X jelentése megszámlálható kompakt , azaz bármilyen végtelen része X legalább egy felhalmozódása pontot , vagy akár, hogy X , bármilyen sorrendben legalább egy értéke tapadást . Ezzel ellentétben általában hamis, de igaz, ha a tér mérhető  : amikor K metrizálható tér (automatikusan elválasztva), akkor a Bolzano-Weierstrass-tétel kimondja, hogy K csak akkor kompakt , ha egymás után kompakt , c ', vagyis ha, a K , bármilyen sorrendben egy konvergens alszekvenciája .

Az első megszámlálhatatlan sorszám ( a sorrend topológiájával együtt ) és a hosszú vonal egymás után tömör, de nem tömör (azonban helyileg tömörek ). Fordítva, a terméket térben [0, 1] ℝ (azaz a tér a térképek ℝ a [0, 1], felruházva a topológiája egyszerű konvergencia ) és a compactified csonthéjas Čech a ℕ (azaz a a korlátozott szekvenciák algebra spektruma ℓ ∞ ) kompaktak, de nem egymás után kompaktak. Ez a négy hely ezért számszerűen kompakt és nem mérhető.

Megjegyzések és hivatkozások

1. Ha nem adja meg a „család nem üres  ”, el kell ismerni, hogy ebben az összefüggésben a kereszteződés egy üres család részei tér X egyenlő X .
2. (a) Günter Bruns , "  lemma irányul készletek és láncok  " , Archiv der Mathematik , vol.  18, n o  6,1967, P.  561–563 ( online olvasás ).
3. A lánc részeinek X egy családi részeinek X Teljesen rendezett felvétel útján.
4. Bourbaki , TG I.60, Gustave Choquet , Elemző tanfolyam, II . Kötet: Topológia , p.  35és Hervé Queffélec, topológia , Dunod,2007, 3 e  . , P.  70.
5. Bizonyítékként ( a tube lemma általánosításával ) lásd például ezt a kijavított gyakorlatot a Wikiverzióról .
6. A bemutatót lásd például Jacques Dixmier , Topologie générale , PUF , 1981, 4.2.6 és 4.2.7, p.  53 , vagy a Compactness tanfolyam : az első tulajdonságok a Wikiverzitáson .
7. Bemutatóért lásd például a Kompaktitás: első tulajdonságok című kurzust .
8. Más szóval: minden kvázi kompakt számszerűen kompakt .
9. Casimir Kuratowski, „  Pontok halmazának boréliai vagy projektív osztályának értékelése logikai szimbólumokkal  ”, Fundamenta Mathematicae , vol.  17, n o  1,1931, P.  249-272 ( online olvasás ).
10. (a) S. Mrowka, "  tömörség és a termék terek  " , Colloquium Mathematicae , vol.  7, n o  1,1959, P.  19–22 ( online olvasás ).
11. (en) MM Choban , "Zárt térképek" a KP Hart J.-I. Nagata és JE Vaughan, az Általános topológia enciklopédiája , Elsevier,2004( ISBN  978-0-44450355-8 , online olvasás ) , p.  89(lefordításával kompakt English által kvázi-kompakt ).
12. (in) James Munkres , topológia , Prentice Hall ,2000, 2 nd  ed. ( online olvasható ) , p.  171.
13. Ezt a bizonyítást kiterjesztik a " Hemi-continuity  " cikk sokfunkcióira is  .
14. Egy demonstráció, lásd például a tömörség és folyamatos alkalmazások során a Wikiversity .
15. (in) Stephen Willard , "  metrikus terek összes Kinek dekompozíciók metrikus  " , Proc. Keserű. Math. Soc. , vol.  21,1969, P.  126–128 ( online olvasás ).
16. (in) Kiiti Morita és Sitiro Hanai , "  Zárt leképezések és metrikus terek  " , Proc. Japán Acad. , vol.  32, n o  1,1956, P.  10–14 ( online olvasható ).
17. Arra a következtetésre jutunk, hogy egy ilyen térben minden olyan szekvencia, amelynek csak egyetlen tapadási értéke van, konvergál ehhez az értékhez.

Bibliográfia

• N. Bourbaki , A matematika elemei, III. Könyv: Általános topológia [ a kiadások részletei ], I. fejezet
• Jean-Paul Pier , „  A kompakt gondolatának keletkezése és evolúciója  ”, Revue d'histoire des sciences et de their applications , t .  14, n o  21961, P.  169-179 ( online olvasás )
• Jean-Paul Pier , „  A tömörség fogalmának története  ”, Historia Mathematica , vol.  7, n o  4,1980. november, P.  425-443 ( DOI  10.1016 / 0315-0860 (80) 90006-3 )
• Georges Skandaiis , topológia és elemzés 3 rd  év , Dunod, coll. "Sciences Sup", 2001
• Claude Wagschal, topológia és funkcionális elemzés , Hermann, koll. "Módszerek", 1995

Kapcsolódó cikkek

• Kompakció
• Kompakt elem  (in) , annak érdekében, hogy az elmélet
• Kompaktan létrehozott hely
• Lindelöf tér
• Helyileg kompakt hely
• Space métacompact  (en)
• Noetheri tér
• Parakompakt tér
• Előre kompakt hely
• Ál-kompakt hely  (be)
• Viszonylag kompakt rész