A kísérleti matematika egy olyan megközelítés, amelyben a számításokat (főként számítógéppel végzik) használják az objektumok matematikájának tulajdonságainak feltárására, valamint az objektumok közötti összefüggések és minták felfedezésére.
Ez a matematikai megközelítés mindig is létezett: a legrégebbi szövegek, hasonlóan a mezopotámiai matematikához , jellemzően algebrai azonosságokat illusztráló numerikus példák listájából készülnek. De a XVII . Századtól kezdve a matematikusok formális prezentációt, elvont stílust fejlesztettek ki, olyan példákat hozva, amelyek az általános tétel megfogalmazásához vezettek, már nem publikálódnak, és általában elfelejtődnek (bár ismerünk néhány kivételt, amelyek gyakran a levelezésből származnak matematikusok között, mint például az a megközelítés, amelynek eredményeként Gauss megfogalmazta a prímszámtételt ).
Külön tanulmányi területként a kísérleti matematika ismét megjelent a XX . Században, a számítógépek feltalálása jelentősen megnövelte a lehetséges számítások területét, valamint azok sebességét és pontosságát. Jelentős példa erre az előrelépésre a BBP képlet 1995-ös felfedezése, amely megadja a π (bináris) számjegyeit. Ezt a képletet nem elméleti elemzéssel, hanem numerikus feltárásokkal fedezték fel, érvényességének szigorú bizonyítását csak ezután adták meg.
A kísérleti matematika céljai:
És általánosabban: "a matematika kézzelfoghatóbbá, élénkebbé és vidámabbá tétele, akár a szakemberek, akár a kezdők számára"
A numerikus elemzés a kísérleti matematika preferált területe; sok eszközt fejlesztettek ki annak meghatározására (sokkal nagyobb pontossággal, mint a nem matematikai felhasználók igényei) az egyenletek, integrálok, sorok vagy végtelen szorzatok stb. megoldásainak értékei , különös tekintettel a többpontos aritmetikára , ezek az értékeket gyakran több száz számjeggyel határozzák meg, vagy akár bizonyos fontos állandóknál, például több milliárdnál is. A speciális algoritmusok közül (in) ezután a megtalált számok és az ismert állandók közötti kapcsolat meghatározására szolgálnak; a nagy pontosságú számítás elhanyagolhatóvá teszi annak valószínűségét, hogy a valódi összefüggést egy matematikai egybeeséshez tévesszük . Ezután megpróbálunk szigorú bizonyítékot szerezni az így talált összefüggésről, amelyet gyakran könnyebb megszerezni, ha a kapcsolat pontos formája ismert. Ezzel szemben ezek a számítások gyakran lehetővé teszik az ilyen összefüggés fennállásának kizárását nagy valószínűséggel, és így megerősítik az olyan sejtéseket, mint például az e és π algebrai függetlensége .
Az ellenpéldák keresése, valamint a demonstrációk kimerítő kereséssel történő létrehozása elosztott számítási módszerek használatához vezethet, a számítások elosztására több számítógép között.
Számítógépes algebrai rendszereket, például a Mathematica-t gyakran használnak , bár a számítógépes optimalizálást igénylő speciális problémák tanulmányozásához gyakran hoznak létre speciális szoftvert (az 1960-as évek elején, amikor a második generációs számítógépek még mindig nagyon népszerűek voltak. Nem hatékony, sőt az is előfordult, hogy speciális áramköröket építettek, például a nagy egészek faktorszámításának felgyorsítása érdekében ; ez a helyzet összehasonlítható a Shor algoritmusát megvalósítani képes kvantumszámítógépek jelenlegi keresésével ). Ez a szoftver általában tartalmaz mechanizmusok hibák feltárását és kijavítását, felhasználva például hibajavító kódok és redundáns számítások, minimalizálva a hibás eredményeket, mivel hibák a hardver vagy a hibákat a szoftver is.
Végül, a grafikus programok lehetővé teszik sok objektum (néha figyelemre méltóan elvont) megjelenítését, megkönnyítve bizonyos jelenségek megértését, például a gömb inverzióját (ez különösen érvényes volt a fraktál tárgyak , például Mandelbrot egészének tanulmányozására). ), vagy akár rejtett kapcsolatok felfedezése (mint az ulámi spirál esetében ).
Az alábbi felsorolás (nem teljes) ötletet ad a kísérleti matematika sokféle alkalmazásáról:
Bizonyos kapcsolatok nagyon nagy pontossággal igazak, de még nem tudunk szigorú demonstrációról; egy példa (amely általánosítani látszik a BBP-képletet ):
az első 20 000 tizedesjegyig ellenőrzött egyenlőség (összehasonlításképpen a következő szakaszban szereplő egybeesések kevesebb, mint 50 jelentős számjegy után állnak meg). Sok más hasonló képletet fedeztek fel a közelmúltban; a legmeglepőbb talán Boris Gourevitch sejtése (2002-ben fedezték fel, és még mindig nem mutatták be 2020-ban):
.Guillera úr rámutat, hogy az ilyen típusú képlet elvileg mechanikusan bemutatható, de az ilyen (reális időben végrehajtott) demonstrációk meghaladják a jelenlegi számítógépek és szoftverek elérhetőségét. Úgy tűnik azonban, hogy 2012-ben a húrelméleti módszerek ihlette új technikák lehetővé tették e képletek némelyikének bemutatását.
A fentiek ellenére néhány elfogadható összefüggést nagy pontossággal ellenőriznek, de mégis hamisak. Például ; A két tag egyenlő a 42 th tizedes; kissé más jellegű példát hoznak a borweini integrálok .
Egy másik, nem numerikus egybeesésű példa az, hogy az x n - 1 (egész) tényezők magassága (vagyis együtthatóik legnagyobb abszolút értéke) kisebbnek vagy egyenlőnek tűnik az n- edik magasságával. ciklotomikus polinom . Ezt az eredményt (ráadásul meglehetősen természetes) számítógéppel igazolták n <10000 esetén. További kutatások azonban azt mutatták, hogy n = 14235 esetén az n-edik ciklotomikus polinom magassága 2, de van egy magassági tényező. a téves sejtés (elégtelen számú eset vizsgálatával) nagyon régi; Pierre de Fermat már azt hitte, hogy képes megerősíteni, hogy a számok mind prímszámok , ami csak n = 4- ig igaz : Euler megmutatta, hogy ez osztható 641-gyel.
A grafikus ábrázolások, bár néha meggyőzőbbek, mint szigorú demonstrációk, félrevezetőek is lehetnek, arra a pontra, hogy a híres grafikai paradoxonok régóta a matematikai folklór részei. Így a Mandelbrot együttes első ábrázolásai sok elszigetelt szigetet mutattak; a szinte láthatatlan filamentumok, amelyeket a pontosabb (és színesebb) ábrázolások sejtettek, végül arra a sejtésre vezettek, hogy összekapcsolódott , amit Hubbard és Douady is bizonyított , de még pontosabb sejtéseket (például a sűrűség- sejtés hiperbolikus komponenseit ) nehéz megerősíteni, vagy cáfolja az egyetlen hozzávetőleges verziót, amelyet a számítógépek mutatnak, amelynek változatát ráadásul nem könnyű bebizonyítani, hogy nincs túl messze a "Real" objektumtól.
A következő matematikusok és informatikusok jelentős mértékben hozzájárultak a kísérleti matematika területéhez: