Metrikus tér

A matematikában és különösen a topológiában a metrikus tér olyan halmaz , amelyen belül meghatározzuk a halmaz elemei közötti távolság fogalmát. Az elemeket általában pontoknak nevezzük.

Minden metrikus helyet kanonikusan felruháznak egy topológiával . A mérhető terek az így kapott topológiai terek.

Az intuitív térélményünkhöz leginkább illeszkedő példa a háromdimenziós euklideszi tér . Ennek a térnek az euklideszi mutatója két pont közötti távolságot az őket összekötő szakasz hosszaként határozza meg.

A metrikus tér izometriai osztálya (vagyis azonos metrikus szerkezetű összes tér halmaza) sokkal kisebb, mint a homeomorf osztálya . Például egy négyzet, egy háromszög, egy kör és bármely Jordan-görbe homeomorf, de nem izometrikus. Így egy metrikus szerkezet sokkal több információt kódol az objektumok geometriai alakjáról, mint egy egyszerű topológiai szerkezet; ami nem meglepő, mert a két pont közötti távolság fogalma központi szerepet játszik a szokásos geometriában.

A metrikus tér fogalmát először René Maurice Fréchet francia matematikus fogalmazta meg 1906-ban védett dolgozatában.

Meghatározás

Definíció (metrikus tér) - A metrikus tér olyan pár, ahol nem üres halmaz van, és távolsága van , vagyis olyan alkalmazás, amely kielégíti a következő három tulajdonságot. $(E, d)$ $E$ $d$ $E$ ${\ displaystyle d: E \ szor E \ rightarrow \ mathbb {R} _ {+}}$

Szimmetria: . ${\ displaystyle \ összes x, y \ E-ben, \, d (x, y) = d (y, x)}$
Válás: . ${\ displaystyle \ forall x, y \ E-ben, \, d (x, y) = 0 \ Balra mutató nyíl x = y}$
Háromszög egyenlőtlenség . ${\ displaystyle \ összes x, y, z \ E-ben, \, d (x, y) \ leq d (x, z) + d (z, y)}$

Az egyszerűség kedvéért egy metrikus teret néha csak a halmaz , nem pedig a pár utal, ha nincs egyértelműség az alapul szolgáló távolság tekintetében . $E$ $(E, d)$ $d$

Metrikus tér topológiája

Labda és gömb

Definíció (labda és gömb) - Legyen metrikus tér, és . A nyitott és zárt labdát középre és sugárral a következőképpen definiáljuk . $(E, d)$ $idősebb$ ${\ displaystyle r \ in \ left] 0, + \ infty \ right [}$ $nál nél$ $r$

Nyílt labda: . ${\ displaystyle B (a, r): = \ {x \ E-ben, | \, d (a, x) <r \}}$
Ball zárva: . ${\ displaystyle B_ {f} (a, r): = \ {x \ E-ben, | \, d (a, x) \ leq r \}}$

A gömb középpontját és sugarát a következőképpen definiáljuk . $nál nél$ $r$

Gömb . ${\ displaystyle S (a, r): = B_ {f} (a, r) \ setminus B (a, x) = \ {x \ -ban E \, | \, d (a, x) = r \}}$

Észrevesszük, hogy a nyitott vagy zárt labda soha nem üres, mert mindig benne van a középpontja . Másrészt egy gömb lehet üres. $nál nél$

Néha kényelmes meghatározni a tompa labda (nyitott vagy zárt) fogalmát: Ez a labda, amelyet korábban definiáltunk, megfosztva a középpontjától. Például a tompa nyitott labdát sugarú r és a központ egy kijelöli a készlet:

${\ displaystyle B (a, r) \ setminus \ {a \}}$ .

Topológia

Legyen metrikus tér. Meghatározzuk a nyitott gömbök összes (bármilyen) lehetséges uniójából álló készletet , pontosabban: $(E, d)$ ${\ mathcal {T}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {T}}: = \ {\ cup _ {i \ in I} B (a_ {i}, r_ {i}) \, | \, I {\ text {bármilyen halmaz és}} \ mind i \ be I-ben, \, a_ {i} \ E-ben, \, r_ {i}> 0 \}}$

ahol úgy gondoljuk, hogy egy üres unió (amikor ) megéri az üres halmazt . ${\ displaystyle I = \ lakkozás}$ $\ lakkozás$

A javaslat / felbontású (metrikus tér topológia) - A készlet egy topológia a nevezett topológia által generált távolságot . Ez azt jelenti ${\ mathcal {T}}$ $E$ $d$

Az üres halmaz , valamint az egész halmaz tartozik . $\ lakkozás$ $E$ ${\ mathcal {T}}$
A készlet stabil bármely szakszervezet által. ${\ mathcal {T}}$
A halmaz véges metszéspont szerint stabil. ${\ mathcal {T}}$

Definíció (nyitott, zárt és szomszédos) - A következő szókincset használjuk.

Az elemek nevezik, a nyitottak az . ${\ mathcal {T}}$ $E$
A részhalmaza , amelyek meg vannak írva, mint a komplement egy nyitott, a másik viszont az úgynevezett zárt az . $E$ $E$
Egy sor azt mondják, hogy a szomszédságában , ha van egy nyitott , hogy . ${\ displaystyle V \ E alkészlet}$ $x \ E-ben$ ${\ displaystyle U \ itt: {\ mathcal {T}}}$ ${\ displaystyle x \ U U V részhalmazban}$

A nyitott, zárt és a szomszédság fogalmai valójában a topológiai tereknek tulajdonítottak , általánosabbak, és nem specifikusak a metrikus terekre.

Az első tulajdonságok

Bármely nyitott labda nyitott.
Bármely zárt labda zárt.
Minden gömb zárt.
Egy része A az E jelentése szomszédságában egy pont egy akkor és csak akkor, ha egy tartalmaz egy nyitott labdát központ egy .
A nyitott golyó középpontja egy ponton egy képezik alapját negyedekben az egy . Vagyis bármely szomszédságában egy tartalmaz egy nyitott labdát központ egy .
Minden nyitott golyó az E nyitott alapját képezi . Ez azt jelenti, hogy bármely nyílt nyílt labda egyesülésének (bármelyikének) írható.

Lakosztályok konvergenciája

Definíció (konvergencia, tapadás értéke, Cauchy-szekvencia) - Legyen metrikus tér és . ${\ displaystyle (x_ {n}) _ {n \ geq 0}}$ $(E, d)$ $x \ E-ben$

Azt mondjuk, hogy konvergál , vagy ez a határa , ha ${\ displaystyle (x_ {n}) _ {n \ geq 0}}$ $x$ $x$ ${\ displaystyle (x_ {n}) _ {n \ geq 0}}$

{\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0, \, \ pastāv n_ {0} \ geq 0, \, \ forall n \ geq n_ {0}, \, d (x_ {n}, x) \ leq \ varepsilon}

Azt mondjuk, hogy ez a tapadás értéke si $x$ ${\ displaystyle (x_ {n}) _ {n \ geq 0}}$

{\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0, \, \ forall n_ {0} \ geq 0, \, \ pastāv n \ geq n_ {0}, \, d (x_ {n}, x) \ leq \ varepsilon}

Azt mondjuk, hogy ez Cauchy-sorrend, ha ${\ displaystyle (x_ {n}) _ {n \ geq 0}}$

{\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0, \, \ pastāv n_ {0} \ geq 0, \, \ forall p, q \ geq n_ {0}, \, d (x_ {p}, x_ {q}) \ leq \ varepsilon}

A következő tulajdonságokat ellenőrzik:

A konvergens szekvenciának egyedi tapadási értéke van, ami a határa.
A Cauchy-szekvencia csak akkor konvergál, ha tapadási értéke van.

A nyitott labda tapadása

A tapadás a nyitott labdát sugarú r és a központ egy , megjegyezte , van, definíció szerint, a legkisebb zárt tartalmazó nyitott labdát . Mindig van ilyen, mivel a zárt labda tartalmazza a nyitott labdát, és zárt. Másrészt lehetséges, hogy ez a felvétel szigorú. Például, ha figyelembe vesszük a számegyenesen felruházva a távolságot , majd , és . ${\ displaystyle {\ overline {B}} (a, r)}$ ${\ displaystyle B (a, r)}$ ${\ displaystyle {\ overline {B}} (a, r) \ B_ részhalmaz {f} (a, r)}$ ${\ displaystyle d (x, y): = \ min \ {| xy |, 1 \}}$ ${\ displaystyle B (0,1) = \ bal] -1,1 \ jobb [}$ ${\ displaystyle {\ overline {B}} (0,1) = \ bal [-1,1 \ jobb]}$ ${\ displaystyle B_ {f} (0,1) = \ mathbb {R}}$

Megjegyzések

Bármely nem üres része A az E , a térkép, amely bármely ponton x az E társítja a távolság x , hogy egy (azaz a inf a távolság x minden pontok A ) van a folyamatos , mert 1- Lipschitzian . A X , amelyben az eltűnik a tagok mutatnak az A .
- Bármilyen metrizálható topológiai tér következésképpen nem csak elválasztva , hanem teljesen normális - tehát normális - azaz, hogy az összes singletons vannak zárva , és hogy minden zárt F a hely törlése folytonos függvény: az alkalmazás x ↦ d ( x , F ).
Különösen, bármely elem egy az E , a térkép x ↦ d ( x , a ) az 1-Lipschitzian. Arra következtetünk, hogy:
- bármely zárt B f ( a , r ) gömb zárt a topológiához, amely a távolsághoz kapcsolódik ( reciprok képként a zárt [0, r ] ezen a térképen ). A tapadás B ( a , r ) a B ( a , r ), ezért szerepel a B f ( a , r ), de néha szigorúan: lásd a cikkek " Ball (matematika) " és a " Ultrametric távolságot ".
- A térkép d jelentése 2-Lipschitzian , a terméket térben E × E felruházva távolság d $\infty$ által meghatározott d $\infty$ (( x 1 , x 2 ), ( y 1 , y 2 )) = max ( d ( x 1 , y 1 ), d ( x 2 , y 2 )).
Bármely részén egy a E , a kiváltott topológia egybeesik által meghatározott restrikciós a távolság. Sőt, mindketten a alapján környéken egy pont x az A kereszteződés egy nyitott golyó központ x .
Azt mondják, hogy egy metrikus tér tiszta, ha minden zárt gömbje kompakt . Minden megfelelő metrikus tér helyileg kompakt, de fordítva hamis (gondoljunk csak a végtelen halmaz diszkrét távolságára ).

Példák

Egy norma N egy valós vagy komplex vektortér természetben indukál távolságban d ( x , y ) = N ( x - y ).
Az ℝ n különböző szokásos távolságait egy normából vezetjük le, így például:
- ( n = 1 esetén) a valós számok halmaza közötti szokásos távolság az abszolút értékhez társított távolság ;
- ( n = 2 esetén) Manhattan távolsága a plane 2 síkon : d ( a , b ) = | x b - x a | + | y b - y a |. Ez az 1. norma által kiváltott távolság ;
- ( n = 2 esetén) a sakkban mért távolság lehetővé teszi a
sakkjáték minimális mozdulatok számának megismerését az a = ( x a , y a ) négyzetből a b = ( x b , y ) négyzetbe. b ) és meghatározása: d ( a , b ) = max (| x b - x a |, | y b - y a |) ;

A modulus a különbség a két komplex számok egy távolságot.

A triviális távolságot (vagy diszkrét távolságot vagy diszkrét metrikát) bármely halmazon a következő határozza meg: d ( x , y ) = 1, ha x ≠ y és d ( x , x ) = 0. A kapcsolódó topológia a diszkrét topológia .

A korrekciós kódelméletben a Hamming-távolságot használják .

A ological és] 0, 1 topológiai terek homeomorfak, de a szokásos távolsággal megadva nem metrikus terekként izomorfak ; például ℝ teljes, de] 0, 1 [nem.

Ha a ℝ + -t d ( x , y ) = | e x - e y | távolsággal ruházzuk fel , akkor a ℝ + -on megtaláljuk a szokásos topológiát, de most az összes polinomfüggvény egységesen folytonos .

Metrikus terek szorzata

A metrikus terek bármely véges vagy megszámlálható szorzata biztosítható olyan távolsággal, amely az egységes termékszerkezetet indukálja, és még inkább a termék topológiáját : ehhez, ha az ( E k , d k ) ( k ∈ℕ) metrikus terek, akkor például biztosítja E 1 × ... × E n a távolságot d N által meghatározott

d_ {N} {\ Nagy (} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}), (y_ {1}, \ ldots, y_ {n}) {\ Nagy)} = N {\ Nagy (} d_ {1} (x_ {1}, y_ {1}), \ ldots, d_ {n} (x_ {n}, y_ {n}) {\ Big)},

ahol N egy szabványos ℓ p tetszőleges on ℝ n (vagy bármely más szabványos növekszik a (ℝ + ) n a terméket sorrendben ), és amely az E = Π k ∈ℕ E k a távolság d által meghatározott

d (x, y) = \ sup _ {k \ in \ mathbb {N}} {\ frac {d_ {k} (x_ {k}, y_ {k})} {2 ^ {k}}},

ahol az E k-n minden távolságot szükség esetén először helyettesítünk d k topológiailag ekvivalens távolsággal, amelyet k-tól független állandó növel . Könnyen ellenőrizhető, hogy d N és d valóban távolságok a megfelelő halmazokon, és hogy az ezeken a halmazokon definiált topológiák egybeesnek-e a termék topológiáival (a számítások azt is mutatják, hogy nemcsak a két topológia esik egybe, hanem a két struktúra is egyenletes ahonnan származnak, azzal a feltétellel, hogy a d k előzetes cseréjével egyenértékű távolságokat választottak egyenletesen és nemcsak topológiailag).

Ha mindegyik d k a diszkrét távolság , akkor ez a d választás megadja: ha x ≠ y , d ( x , y ) = 2 - k ahol k a legkisebb n, így x n ≠ y n . Ilyenek például a Baire űr és a hivatalos sorozatok topológiai gyűrűi .

Másrészt a nem durva topológiai terek nem megszámolható szorzata soha nem mérhető , sőt szekvenciális sem .

A metrikus terek ekvivalenciája

Két metrikus tér összehasonlításával meg lehet különböztetni az egyenértékűség különböző fokait . Legalább a metrika által kiváltott topológiai szerkezet megőrzéséhez folyamatos működésre van szükség a kettő között.

Két metrikus teret ( M 1 , d 1 ) és ( M 2 , d 2 ) mondunk:

topológiailag izomorf (vagy homeomorf ), ha homeomorfizmus van közöttük;
egyenletesen izomorf, ha van közöttük egyenletesen folyamatos bijekció, amelynek reciproka egyenletesen folytonos.
Lipschitz-ekvivalensek, ha van egy-egy bijips az egyikről a másikra, ami lipsizi, valamint annak kölcsönös térképe.
izometrikusan izomorf, ha van egy-egy izometria közöttük. Ebben az esetben a két szóköz lényegében azonos. Egy isometry függvénye F : M 1 → M 2 , amely megőrzi a távolságok: d 2 ( f ( x ), F ( y )) = d 1 ( x , y ) az összes x , y az M 1 . Az izometriák szükségszerűen injekciós jellegűek .
hasonló, ha van k > 0 pozitív konstans és f : M 1 → M 2 , hasonlóságnak nevezzük , úgy, hogy d 2 ( f ( x ), f ( y )) = k d 1 ( x , y ) mindenki számára x , y az M 1 -ben .
hasonló, ha van f bijection : M 1 → M 2 , hasonlóságnak nevezzük, így d 2 ( f ( x ), f ( y )) = d 2 ( f ( u ), f ( v )) és csak akkor d 1 ( x , y ) = d 1 ( u , v ) minden x , y , u , v az M 1 .

Két hasonló euklideszi tér szükségszerűen homeomorf, ezért azonos dimenziójú és ezért izometrikus.

Metrizálható tér

Azt mondjuk, hogy egy topologikus tér van metrizálható ha van egy távolság, amely létrehozza a topológia. Íme néhány példa mérhető terekre:

Példák mérhető terekre

Együtt	Topológia	A topológiát generáló távolság
igazi egyenes $\ mathbb {R}$	a nyitott intervallumok által generált szokásos topológia ${\ displaystyle \ bal] a, b \ jobb [}$	az abszolút értékhez társított távolság
komplex terv $\ mathbb {C}$	a nyitott téglalapok által generált topológia ${\ displaystyle \ {a <{\ mathfrak {Re}} (z) <b \} \ cap \ {c <{\ mathfrak {Im}} (z) <d \}}$	a komplex modullal társított távolság
$\ mathbb {R} ^ {d}$	a nyitott macskakövek által generált topológia ${\ displaystyle \ prod _ {i = 1} ^ {d} \ balra] a_ {i}, b_ {i} \ jobbra [}$	Euklideszi távolság
valós vonal elkészült ${\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {R}}}}$	topológia, amelyet az űrlap vagy hol készletei generálnak ${\ displaystyle \ left] a, + \ infty \ right]}$ ${\ displaystyle \ left [- \ infty, a \ right [}$ $a \ be \ R$	${\ displaystyle d (x, y) = \| \ arctan (x) - \ arctan (y) \|}$ azzal az egyezménnyel, hogy ${\ displaystyle \ arctan (\ pm \ infty) = \ pm \, \ pi / 2}$
Valószínűség méréseket egy mérhető tér , ahol az metrizálható és leválasztható , és ahol a Borelian törzs padlózatra ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} ^ {1} (X)}$ ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {B}} (X))}$ $x$ ${\ mathcal {B}} (X)$	egyedi topológia például a alapján övezetekben az intézkedés által adott halmazok , ahol korlátosak folyamatos, és $\ mu$ ${\ displaystyle \ {\ nu \ itt: {\ mathcal {M}} ^ {1} (X) \, \| \, \ forall 1 \ leq i \ leq n, \| \ mu (f_ {i}) - \ nu (f_ {i}) \| <\ varepsilon \}}$ ${\ displaystyle f_ {1}, \ dots, f_ {n}}$ $\ varepsilon> 0$ $n \ geq 1$	Lévy-Prokhorov távolság
Vektor tér felruházva megszámlálható család elválasztó félig-szabványok (azaz magában foglalja, hogy ) $E$ ${\ displaystyle (p_ {n}) _ {n \ geq 0}}$ ${\ displaystyle p_ {n} (x) = 0 ~ \ összes n}$ $x = 0$	egyedi topológia oly módon, hogy egy vektor szomszédságainak alapját a halmazok adják meg, ahol véges és $x$ ${\ displaystyle \ {y \ E-ben \, \| \, \ forall i \ in J, \, p_ {i} (xy) <\ varepsilon \}}$ ${\ displaystyle J \ részhalmaz \ mathbb {N}}$ $\ varepsilon> 0$	${\ displaystyle d (x, y) = \ sum _ {n \ geq 0} {\ frac {1} {2 ^ {n}}} \ min (p_ {n} (xy), 1)}$

Elegendő és egyenértékű feltételek vannak ahhoz, hogy a topológiai tér mérhető legyen:

Az első igazán hasznos Urysohnnak köszönhető ; azt mondja, hogy minden megszámlálható bázis szabályos tér van metrizálható (ebben a formában a feltétel ténylegesen bizonyítják Tychonov 1926 Mi Urysohn talált egy cikket publikált 1925-ben az volt, hogy minden megszámlálható bázis normál térben van metrizálható). Például, minden megszámlálható bázis különböző van metrizálható. Szintén egy kompakt mérhető akkor és csak akkor, ha megszámlálható alapja van.
Az Urysohn ezen elégséges állapotát (szabályosság + megszámlálható bázis ) Bing, Nagata és Szmirnov alakította át szükséges és elégséges feltétté (szabályosság + lokálisan véges megszámlálható alap ) .
Szmirnov azt is bebizonyította, hogy egy tér akkor és csak akkor mérhető, ha parakompakt és helyileg metrizálható (egy térről azt mondják, hogy helyileg mérhető, ha mindegyik pontnak van mérhető környezete). Különösen akkor, ha egy faj parakompakt, csak akkor mérhető.

Megjegyzések és hivatkozások

Jean Dieudonné , Az elemzés elemei , t. I: A modern elemzés alapjai [ a kiadások részlete ], 3 e . , P. 34 .
(in) CC Heyde és E Seneta, az évszázadok statisztikusai , Springer,2001( ISBN 978-0-387-95329-8 , online olvasás ) , p. 331
Maurice Fréchet, „ A funkcionális számítás néhány pontjáról ”, Thesis, Párizs. Rendiconti Circolo Mat. Palermo , vol. 22,1906, P. 1–74 ( online olvasás )
Jacques Dixmier , Általános topológia , PUF , p. 107..
Georges Skandaiis , topológia és elemzés 3 rd év: tanulságok és a gyakorlatok megoldásokkal , vol. 3, Párizs, Dunod ,2004, P. 4.
További részletekért kövesse például a linkre az oldal alján a Wikiversity .
Henri Bourlès , A mélyreható és alapvető matematika precízise , vol. 2: Mezők kiterjesztése, topológia és topológiai vektorterek, funkcionális terek, tárcsák , London, ISTE,2018, 316 p. ( ISBN 978-1-78405-416-8 , online olvasás ) , p. 101-102.
Pierre-Loïc Méliot, " A mérések konvergenciája, Poisson-folyamat és Lévy-folyamat " ,2016, P. 12-14
Stéphane MISCHLER, „ Út a funkcionális elemzés és PDE az École Normale Supérieure. 1. fejezet - Félig szabványos és bevezetés az evtlcs-be ” ,2007

Lásd is