A történelem trigonometrikus függvények láthatóan kezdte mintegy 4000 évvel ezelőtt. Pontosan tudjuk, hogy a babilóniaiak meghatározták a derékszögű háromszögek szögeinek vagy oldalhosszainak közelítéseit. Több aszalt agyagba vésett számtábla tanúskodik erről. A Plimpton 322 (Kr. E. 1900 körül) elnevezésű ékírásban írt babiloni tábla tizenöt pitagorasi hármas és egy számoszlop látható, amely szekundáns táblaként értelmezhető. Ugyanakkor sok vita folyik ebben a témában arról, hogy valóban trigonometrikus táblázatról van-e szó.
A szinusz legkorábbi használata az ókori Indiában írt Shulba Sutras-ban jelenik meg a Kr. E. VIII . Század között. AD , és a VI -én században , amelyben a értéke a szinusz a π / 4 (45 ° ) helyesen kiszámítani egyenlő 1 / √2 egy eljárást pántok egy négyzet (inverze quarrer egy kör ), bár a Az indiánok még nem fejlesztették ki a sinus fogalmát általános értelemben.
A trigonometrikus arányokat a Nicaeai Hipparchus ( -180 / -125 ) függetlenül tanulmányozta egy könyvben "Az egyenes vonalak tanulmányozásáról a körben". Hipparchust az első matematikusként ismerik el, aki „trigonometrikus táblázatokat” (egy kör ívének és az alapul szolgáló húrok hosszának táblázatait használja, amelyek valójában a félszög szinuszai); a hold- és a nappálya excentricitásának kiszámítására, valamint a Nap és a Hold relatív nagyságának és távolságának becslésére használták őket. Azt azonban nem lehet biztosan kijelenteni, hogy ő volt a kezdeményező, bár Ptolemaiosz (két évszázaddal később) ezen a véleményen van: ha a matematikatörténészek általában egyetértenek abban, hogy Hipparchust jelöljék meg a húrtáblák első fordítójaként, néhányan odáig mennek hogy a trigonometria feltalálójává tegye , míg mások úgy vélik, hogy ebben a kérdésben csupán a már régen megszerzett ismeretek gyakorlati bemutatására szorítkozott.
Később, a II th században , Ptolemaiosz az Alexandria folytatta ezt a munkát az ő „ Almagest ” létrehozásával azonos arányban kötődik a összeadás és kivonás képleteket sin ( A + B ) és cos ( A + B ). Ptolemaiosz létrehozott egy képletet, amely ekvivalens a fél sin 2 ( A / 2) = (1 - cos A ) / 2 szög szögének képletével, és elkészítette az eredményeket tartalmazó táblázatot. Hipparchus vagy Ptolemaiosz egyik táblázata sem maradt fenn, de más ókori szerzők leírásai nem sok kétséget hagynak létezésükkel kapcsolatban.
A trigonometria következő jelentős fejleményeit hajtották végre Indiában . Aryabhata ( 476 - 550 ) indiai csillagász és matematikus Arya- Siddhanta című munkájában először határozza meg a (modern) szinust a szög fele és az akkord fele közötti viszonyból, miközben meghatározza a koszinuszt, szinusz (vagy vers szinusz ), és a szinusz fordítottja. Munkája tartalmazza a legrégebbi táblázatokat is, amelyek jelenleg léteznek szinusz- és ellenszinusz-értékekkel (1 - koszinusz), minden 0 ° és 90 ° közötti szög között, 3,75 ° időközönként, négy tizedes pontossággal. A szinuszra a jya , a koszinuszra a kojya , a vers szinuszra utkramajya szavakat használta . A jya és a kojya szavak fordítási hiba után szinuszokká és koszinussá válhattak .
A modern sinus származik a latin szó sinus ami azt jelenti, „egység” vagy „szeres”, jön a hibás fordítás (via arab), a szanszkrit szó jiva is írt Jya . Árjabhata szót használta ardha-jiva (fél-akkord), amelyet rövidítve jiva , akkor íródik a különböző karakterek az arabok a jiba (جب). Fordítót, mint Robert Chester és Gerard Cremona a Toledo a XII th század zavarba jiba a Jaib ( جب ) arra utal, hogy a „tér”, valószínűleg azért, mert jiba ( جب ) és Jaib ( جب ) vannak írva ugyanaz az arab kéziratban (ez az írásrendszer , annak egyik formájában, nem nyújtja az olvasónak a magánhangzókkal kapcsolatos összes információt).
Más indiai matematikusok folytatták Aryabhata munkáját a trigonometria területén. Varahamihira megállapítja a képleteket I. Bhaskara elkészített egy képletet az éles szög szinuszának kiszámításához táblázat használata nélkül. Brahmagupta megtalálta a képletet és az úgynevezett Brahmagupta interpolációs képlet (en) , amely lehetővé teszi a szinusz értékeinek közelítését, amely a Newton - Stirling interpolációs képlet speciális eseteként jelenik meg a második sorrendben.
Az indiai műveket később iszlám matematikusok fordították és fejlesztették. Muhammad ibn Mūsā al-Khuwārizmī perzsa matematikus szinuszokat és érintőket tartalmazó táblázatokat készített, és hozzájárult a gömb trigonometria kialakításához is . Az X th században , miután a munka Abu l-Wafa úgy tűnik, hogy a muszlim matematikusok voltak használva mind a hat trigonometrikus függvények, és asztalokat, 0,25 ° -os lépésekben, 8 tizedes és a táblázatok értékei a tangens függvény . Abu l-Wafa előállította a sin 2 x = 2 sin x cos x trigonometrikus képletet is . Omar Khayyam perzsa matematikus a köbös egyenleteket úgy oldotta meg, hogy trigonometrikus táblázatokban interpolációval kapott hozzávetőleges numerikus megoldásokat használt.
Mindezek a korai munkák főként a csillagászat kiegészítéseként a trigonometriával foglalkoztak ; elképzelhető, hogy Bhaskara II indiai matematikus és Nasir ad-Din at-Tusi perzsa matematikus elsőként vizsgálta a trigonometria tanulmányozásának tárgyát. Azt is kijelentette, hogy az szinusztétel felsorolt hatféle jobb háromszögek gömbháromszögtan. Regiomontanus volt talán az első matematikus Európában, aki a trigonometriát egy másik matematikai tudományágnak tekintette, 1464-ben írt De triangulis omnimodus című munkájában , és a következő Tabulæ directionumban is, ahol az érintő függvényt használta, anélkül, hogy megnevezte volna.
A XIII . Században Nasir al-Din al-Tusi kimondta a sinus képletet és bizonyítékot hozott. Ghiyath al-Kashi ( XIV . Század ) perzsa matematikus munkájában trigonometrikus táblázatok találhatók, amelyek a szinuszfüggvény-értékeket négy tizedesjegy pontossággal adják meg a rendszerben sexagesimalban ( a rendszer tizedesértékében 8 tizedesjegynek felel meg) 1 foktól 1/60 ° intervallumok. Timurid Ulugh Beg ( XIV . Század ) matematikus nyolc tizedesjegyre korrigált szinuszokat és érintőket tartalmaz.
Az indiai déli részén fekvő Madhava ( 1400 körül ) áttörést mutatott az elemzés során a trigonometrikus funkciók és azok végtelen sorozatokban történő kiterjesztésének tanulmányozása során . Kidolgozta az egész és Taylor sorok fogalmát , és a szinusz, a koszinusz, az érintő és az ív érintő trigonometrikus soraiban hozta létre a bővítéseket . Taylor szinusz- és koszinusz-közelítéseinek felhasználásával tizenkét pontos tizedesjegyű szinuszos táblázatot és kilenc pontos tizedesjegyű koszinusz-táblázatot alkotott. Ő adta soros kiterjedései π, π / 4, sugár , átmérő , kerülete és a szög θ szempontjából trigonometrikus függvények. Munkáját tanítványai a keralai iskolában folytatták a XV . Századig.
Georg Joachim Rheticus , a Copernicus tanulójának Canon doctrinæ triangulorum (1551) című traktátusa volt valószínűleg az első olyan munka, amelyben a trigonometrikus függvényeket közvetlenül a derékszögű háromszögek, a körök helyett határozták meg, és amely a hat trigonometrikus függvény táblázatait tartalmazta. Ennek az értekezésnek egy kiterjesztett változatát 1596-ban készítette el Valentin Otho , a Rethicus tanítványa.
1579-ben, az ő Canon Mathematicus , François Viète kiterjeszti a munka Georg Joachim Rheticus a táblák, amelynek precíziós túllépik csak Pitiscus , 1613-ban Ő adja az első „képletek” (retorikai forma), amely lehetővé teszi, hogy összekapcsolja őket - a hat trigonometrikus vonal. Ezeknek a képleteknek a felhasználása e képletek segítségével gyorsan és nagy pontossággal kiszámítja az egyperces szög szinuszát, és referenciaként szolgál az európai számológépekhez. Viète ebből az alkalomból és a trigonometrikus vonalak értékét tizedes számban adja meg 11-12 számjegyes pontossággal. Ezenkívül ez a munka kiterjeszti ezen trigonometrikus vonalak használatát a gömb alakú trigonometria felé, és megadja azokat a "képleteket", amelyek lehetővé teszik a gömbre rajzolt derékszögű háromszög szögeinek és hosszának összekapcsolását. Ugyanezen típusú aggályok foglalkoztatták akkor egész Európát. A csillagászati kutatáshoz és a tengeri kereskedelem fejlődéséhez egyaránt kapcsolódik. Ez különösen igaz az angol trigonometria könyvet, mint hogy a Robert árnyalatokat , amelyet nyomtatott és utánnyomást több mint tizenhat alkalommal húsz év, vagy az aggodalmak Jacques Aleaume a Leideni Egyetem .
Bombelli munkáját követően a negatív számok gyökerei érvényesülnek az európai számításokban . Ezek a képzeletbeli vagy elképzelhetetlen számok komplex számainkká válnak . Először is, az európai matematikusok figyelemre méltó képleteket fedeztek fel az i képzeletbeli egység bevonásával (abban az időben √ –1 ). Többek között a Ptolemaiosz által kapott bűn ( A + B ) és cos ( A + B ) képletek előnyösen összefoglalhatók Ez az egyenlőség magában foglalja Moivre formuláját . Megközelíteni Abraham de Moivre 1730-ban ezt a munkát írta Euler a könyvben Introductio a analysin infinitorum (1748). Nagyrészt a trigonometrikus függvények analitikai megfontolásainak kezdete volt Európában azáltal, hogy azokat sorozatbővítésekből határozta meg, és bemutatta képletét : e i x = cos x + i sin x . A sin , cos , tan , cot , sec és csc modern rövidítéseket használta .
Brook Taylor meghatározta az általános Taylor-sorokat, és megadta a hat trigonometrikus függvény sorozatának kibővítését és közelítését. James Gregory és Colin Maclaurin munkája szintén nagy hatással volt a trigonometrikus sorok kifejlesztésére.
Az elemzés pálya (in) a Cauchy tanított a Polytechnic lehetővé tette, hogy alapos elemzés és különösen hogy értelmet adjunk az összeg a sorozat. Cauchy-val az idézett művek szigorúan igazolhatók. Ma a felsőoktatásban a koszinusz és a szinusz függvényeket az egész sorozat összegeként definiált komplex exponenciális valós és képzeletbeli részeként kapják meg . Ezután Ptolemaiosz formulái az exponenciális tulajdonságokból származnak (a történelmi jelentéssel szembeni bemutatás).
en) Eli Maor , Trigonometric Delights , Princeton, USA, Princeton University Press ,2002, 256 p. , 6 x 9 in ( ISBN 978-0-691-09541-7 , online előadás ) - Több dokumentumot mutat be a trigonometria történetéről.
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">