Kepleri mozgalom
A csillagászatban , pontosabban az égi mechanikában a Kepler-mozgás megfelel egy csillag mozgásának leírásának a Kepler három törvényének tiszteletben tartásával . Ehhez szükséges, hogy a két csillag közötti kölcsönhatás tisztán newtoni jellegűnek tekinthető, vagyis hogy fordítottan változzon a távolságuk négyzetével, és hogy az összes többi csillag hatását elhanyagoljuk. Ez gyakori az egyik a két szerv (akkor minősül „központi”), hogy egy tömeg (sok) nagyobb, mint a másik, ezért, hogy gravitációsan domináns, mint például, hogy egy csillag kapcsolatban egy. Saját bolygók , egy bolygó természetes vagy mesterséges műholdjának stb . viszonyában Ezután a Kepler-mozgalom leírja a viszonylag kevésbé masszív test mozgását.
A Kepler-mozgás valójában a két test problémájának speciális esete, olyan erő esetén, amely a távolság négyzetének inverzjeként változik, ami megfelel a két test közötti gravitációs kölcsönhatás erejének, feltételezik, hogy pontosak vagy gömbszimmetrikusak, és elszigetelt rendszert alkotnak. A két test problémája azonban mindig a részecskék mozgásának problémájára redukálható (azt mondják, hogy fiktívek ) a két test tömegközéppontjának referenciakeretében, a „valódi” testek pályái homotetikusak ennek a fiktív részecskének azok.
A "newtoni" gravitációs tér esetében ennek a fiktív testnek az eredetileg rögzített központ által "létrehozott" gravitációs mezőben történő mozgásának tanulmányozását Kepler problémájának nevezzük , és az ebből eredő mozgás pontosan mozgás . Érdekes megjegyezni, hogy e nevek ellenére Kepler nem így fogalmazta meg a helyzetet, hanem Tycho Brahe megfigyelései alapján vezette le a bolygók mozgásának törvényeit , különös tekintettel a Mars bolygó mozgására , miközben egyik sem sem az egyetemes gravitáció törvényét, sem a dinamika alapelvét még nem fedezték fel. Valójában ezt a Kepler néven ismert problémát csak Newton- nal helyesen fogalmazták meg, geometriai formában.
Ekkor megmutatható, hogy az égitestek pályái kúpok , különösen ellipszisek , ezt az utolsó nagyon fontos esetet gyakran Kepler pályájának nevezik . Abban a gyakori esetben, amikor a két test egyike sokkal nagyobb tömegű, mint a másik, a kúp egyik gócánál állónak tekinthető, amely ezután a „periférikus” test pályáját reprezentálja.
Mint minden modell, Kepler problémája természetesen egy idealizált helyzetnek felel meg, mivel az összes többi égitest befolyását elhanyagolják, csakúgy, mint a gravitációs erő nem newtoni jellegétől való eltéréseket. Ezt a közelítést azonban sok esetben nagyon jó közelítéssel ellenőrzik. Így a Naprendszerben a Nap , amely a rendszer teljes tömegének 99,86% -át koncentrálja, gravitációs módon uralja az összes többi testet. Ezért lehetséges jó közelítéssel tekinteni az egyes bolygók vagy a rendszer bármely más testének mozgását Keplerianusnak. A hatása más szervek azután figyelembe kell venni, mint zavarok a Kepler-pályán, utóbbi így alkotó „az alap pályán”, ahonnan lehet építeni követő közel az „igazi pályája. Az égitest venni. Következésképpen a kepleri mozgás vizsgálata alapvető jelentőségű az égi mechanikában.
-
A tellúr bolygók balról jobbra:
Merkúr, Vénusz, Föld, Mars
Történelmi szempontok
Az ókorban számos modellt javasoltak a bolygók mozgásának ábrázolására . Ezek a modellek egyszerre " kozmológiák ", vagyis " a világ (vagy az Univerzum, vagy a görögök κόσμος, kósmos , a görögök rendezett világának" ábrázolásai ) és a csillagászat megértésének és előrejelzésének kísérletei. jelenségek, különös tekintettel a napfogyatkozások vagy a naptárak készítésének időpontjaira . Mindezek a rendszerek geocentrikusak , vagyis a Földet az Univerzum középpontjába helyezik. Az egyetlen kivétel, amelynek nem lesz közvetlen utóda, a szamosi Aristarchus heliocentrikus modellje, amelyet -280 körül javasoltak.
Szerint Simplicius (késői V th század - kora VI th . Században) a Plato (427-327 BC). Ki ajánlotta tanítványa Knidoszi Eudoxosz (408-355 BC). Ahhoz, hogy tanulmányozza a mozgást bolygók segítségével csak körkörös és egységes tökéletesnek tartott mozgások .
A bolygók mozgásának, különösen a retrogradáció jelenségeinek pontos leírása nehézségekbe ütközik , összetett ábrázolásokhoz vezet. A csillagászati ismeretek görög-római világát Kr . U. II . Században foglalja össze Ptolemaiosz (kb. Kr. U. 90–168). Az arabok által Almagest néven továbbított görög munkában , Ptolemaiosz mintájára ismert , a a naprendszer és a bolygók (valamint a Hold és a Nap ) mozgása elődeihez hasonlóan geocentrikus modellt , valamint egy kör alakú és egyenletes rotációjú gömbök bonyolult rendszerét, az epiciklusokat és a deferenteket alkalmazza Hipparcus ( II e. század) BC ), javítja az egyenlet fogalmának bevezetésével , amely a kör külön pontja, amelynek a középpontja a deferens, amely ellen egy bolygó vagy egy epiciklus közepe egyenletes sebességgel mozog.
A Ptolemaiosz rendszere tizennégy évszázadon át uralja majd a csillagászatot. A komplexitás ellenére kielégítő eredményeket ad, ha szükséges, az epiciklusok, a deferensek és az egyenlő pontok modelljének módosításával és finomításával. Arisztotelész filozófiájával összeegyeztethetőnek tekintik, hogy a középkorban a geocentrizmus az egyház hivatalos doktrínájává vált Európában .
Tartozunk Nicolas Copernicusnak (1473-1543) a geocentrikus dogma megkérdőjelezésével. 1543-ban, halálának évében jelentette meg De revolutionibus Orbium Coelestium című nagy művét , amelyben egy heliocentrikus rendszert javasolt, amelyben a bolygók és a Föld körpályán mozognak, állandó sebességgel haladtak, a Hold volt az egyetlen. csillag a Föld körül forog. Bár tökéletlen, ez a látomás nagyon gyümölcsözőnek bizonyul: a bolygók mozgása könnyebben leírható heliocentrikus vonatkoztatási rendszerben. A mozgásszabálytalanságok, például a retrogradációk halmaza csak a Föld pályáján való mozgásával, pontosabban modern értelemben azzal magyarázható, hogy a heliocentrikus referenciakeretről a geocentrikus referenciakeretre való áthaladás hatással van. A Copernicus rendszer lehetővé teszi azt is, hogy feltételezzük, hogy a "rögzített gömb" csillagai sokkal nagyobb távolságra vannak a Földtől (és a Naptól), mint azt korábban feltételeztük, hogy megmagyarázzuk a mozgás megfigyelt hatásának ( parallaxisának ) hiányát . a Föld a csillagok helyzetén. Meg kell jegyezni, hogy kezdetben a Kopernikusz rendszere, amely a csillagászati gyakorlatban a Föld és a Nap helyzetének kicseréléséből állt, nem váltotta ki az Egyház elvi ellenzékét, míg utóbbi nem vette észre, hogy ez a modell Arisztotelész filozófiáját hívta be kérdés.
Johannes Kepler (1571-1630) tökéletesíti ezt a modellt, mesterének, Tycho Brahe (1541-1601) pontos megfigyeléseinek gondos elemzésének köszönhetően , különös tekintettel a Mars bolygó mozgására, és három híres törvényét publikálja (vö. Kepler Törvények ) 1609, 1611, 1618:
-
Első törvény : „A bolygók olyan ellipsziseket írnak le, amelyekben a Nap az egyik fókuszpontot foglalja el. "
-
Második törvény : „A bolygó középpontját a fókusszal összekötő vektorsugár egyenlő területeket ír le azonos időben. "
-
Harmadik törvény : „A pályák fél-fő tengelyeinek kockái arányosak a forradalmi időszakok négyzetével. "
Kepler modellje kiemelt fontosságú az asztronómiában: szakít a geocentrikus dogmával, de azzal is, hogy a kör alakú és egyenletes mozgás leírja a bolygók mozgását, mert nemcsak a pályák már nem körök, hanem a második törvény azt jelenti, hogy a forradalom sebessége rajtuk már nem állandó, a bolygóknak gyorsabban kell haladniuk a fókuszhoz (a periastronhoz ) közelebb eső átjutásuk közelében, mint a legtávolabbi pont (az apoasztró ) felé.
Isaac Newton (1642-1727) bemutatja ezeket az empirikus törvényeket 1687-ben (vö. Philosophiae Naturalis Principia Mathematica ; Kepler törvényeinek bemutatása ), az úgynevezett univerzális gravitációs törvény előterjesztésével , mert ugyanolyan jól alkalmazható a bolygók mozgására is. hogy egy testnek a Földre zuhanásának magyarázatára. Ez egy új korszak kezdetét jelenti: az égi mechanika és a végtelenül kis számításon alapuló klasszikus mechanika .
Elméletében Newton a távoli azonnali cselekvés ellentmondásos fogalmát használta : a gravitáció 1 / r ²-rel azonnal cselekszik . Ez a híres „ non fingo hipotézis ” . A "derékszögű ellenállás", valamint a Principia nagyon nagy matematikai nehézsége meglehetősen hosszú fogadóidőt okoz munkájának, és a helyzet tisztázása érdekében várnunk kell Euler , McLaurin és Clairaut műveire . Ennek ellenére a kor legnagyobb elméi ( Huygens , Leibniz stb.) Azonnal felismerték a Principia jelentőségét .
A gravitációs állandót Cavendish értékelni fogja 1785-ben: G = 6,674 × 10 −11 N m 2 kg −2 . Meg kell jegyezni, hogy az értéke állandó, mint hogy az M tömegét sok tárgyat a naprendszerben, csak ismert viszonylag kis pontosságú, míg az értékek μ = GM, az úgynevezett standard gravitációs paraméter gyakran nagy pontossággal határozta meg. Így a Föld esetében GM = 398 600 441 8 ± 0,000 8 km3 s - 2, azaz 1-es pontosság 500 000 000-ből, míg M = 5 973 6 × 10 24 kg , azaz 1-es 7000-es pontosság.
Orbits és Kepler törvényei
A két test problémájának általános eredményei
Fiktív részecske fogalma
A kepleri mozgás fontos speciális esete egy általános helyzetnek, amelyben két, pontnak tekintett és elszigetelt rendszert alkotó test kölcsönös gravitációs kölcsönhatásban áll egymással. Ezután lehetséges (vö. Részletes cikk ) megmutatni, hogy ez az általános probléma mindig csökkenthető egyetlen test, az úgynevezett fiktív részecske mozgásának problémájára , amelyet tömeg befolyásol , csökkent tömegnek nevezünk , és a gravitációs mezőben mozog. egy álló helyhez test által érintett teljes tömeg a rendszer, azzal a feltétellel, kerülnek be a keretet a referencia a tömegközéppontja a két test (baricentrikus referenciakeretet). A referencia-keretben szereplő egyes égitestek valós pályája ekkor homotetikus e fiktív részecskével.
m=m1m2m1+m2{\ displaystyle m = {\ frac {m_ {1} m_ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}}}
Kepler problémája egyszerűen megfelel annak az esetnek, amikor ez a gravitációs mező „newtoni” típusú, vagyis változó, mint a távolság négyzetének fordítottja. A két test problémájának vizsgálatának általános eredményei lehetővé teszik a lehetséges pályák jellemzőinek meghatározását, a newtoni mezőnek van egy sajátos mozgásállandója, amely lehetővé teszi a megfelelő pályák poláris egyenletének egyszerű megszerzését.
A mozgás általános tulajdonságai
A Kepler-probléma megoldása tehát a fiktív P részecske mozgásegyenletének megoldására utal az erőközpont által „okozott” gravitációs mezőben (amelyet a rendszer teljes M tömege befolyásol ), amelyet az alapelv alkalmazása ad a dinamika dinamikája , akár a feltételek átrendezése után:
d2r→dt2=-μr→r3{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} {\ vec {r}}} {dt ^ {2}}} = - \ mu {\ frac {\ vec {r}} {r ^ {3}}} }és és , úgynevezett standard gravitációs paraméter ( M a rendszer teljes tömege).
r→=OP→{\ displaystyle {\ vec {r}} = {\ overrightarrow {OP}}}μ=GM{\ displaystyle \ mu = GM}
A központi erő azt jelenti, a természeti környezet megőrzése perdület fiktív részecske (lásd még Különleges szögletes lendület ), amely két következménye van:
-
a pályák síkossága annak a ténynek köszönhető, hogy a részecske sugárvektora és sebességvektora mindig merőleges egy állandó irányú vektorra;r→{\ displaystyle {\ vec {r}}}v→{\ displaystyle {\ vec {vb}}}
- hogy a mozgás ellenőrzi a Kepler második törvényének (1611) néven is ismert területek törvényét : „A bolygó középpontját a gyújtóponttal összekötő vektorsugár egyenlő területeket ír le azonos időben. " .
Pontosabban, ha a dt során a vektor sugarával beolvasott elemi területet jelöli , akkor ez a törvény azt sugallja, hogy a test területsebessége állandó, a hová .
dNÁL NÉL{\ displaystyle d {\ mathcal {A}}}NÁL NÉL˙=dNÁL NÉLdt{\ displaystyle {\ dot {\ mathcal {A}}} = {\ frac {d {\ mathcal {A}}} {dt}}}NÁL NÉL˙=VS/2{\ displaystyle {\ dot {\ mathcal {A}}} = C / 2}VS=‖r→∧v→‖{\ displaystyle C = \ | {\ vec {r}} \ ék {\ vec {v}} \ |}
Ezek a tulajdonságok általánosak a két test problémájára, függetlenül a két test közötti interakciós potenciál formájától. Érvényesek, függetlenül attól, hogy a testnek van-e zárt pályája, vagy a végtelenbe mehet-e vagy sem.
Kepler Orbits
Kepler-probléma esetén van egy sajátos mozgásállandó, amelyet Runge-Lenz vektornak nevezünk , vagy akár (dimenzió nélküli formában) excentrikus vektor :
e→=r→˙∧L→GMμ-e→r{\ displaystyle {\ vec {e}} = {\ frac {{\ dot {\ vec {r}}} \ ék {\ vec {L}}} {GM \ mu}} - {\ vec {e}} _ {r}}hol .
e→r=r→/r{\ displaystyle {\ vec {e}} _ {r} = {\ vec {r}} / r}Ennek a pálya síkjában lévő vektormennyiségnek a vetületének vetülete a vektor sugarára lehetővé teszi a pálya egyenletének azonnali megszerzését polárkoordinátákban:
r→{\ displaystyle {\ vec {r}}}
r(θ)=o1+ekötözősalátaθ{\ displaystyle r (\ theta) = {\ frac {p} {1 + e \ cos {\ theta}}}},
amely egy kúp , a következőkkel:
-
θ=θ(t){\ displaystyle \ theta = \ theta (t)}közötti poláris szög és , úgynevezett valódi anomália ;r→{\ displaystyle {\ vec {r}}}e→{\ displaystyle {\ vec {e}}}
-
e=‖e→‖{\ displaystyle e = \ | {\ vec {e}} \ |}, a pálya excentricitása ;
-
o=VS2μ{\ displaystyle p = {\ frac {C ^ {2}} {\ mu}}}, pálya paraméter .
A megfelelő pálya alakja az e különcség értékétől függ , amely maga a rendszer H mechanikus energiájától függ (természeténél fogva konzervatív), mivel megállapítható a kapcsolat:
e=1+2HVS2μ2m{\ displaystyle e = {\ sqrt {1 + {\ frac {2HC ^ {2}} {\ mu ^ {2} m}}}}}}( C a
területállandó , m a rendszer csökkentett tömege, mindkettő fent definiálva).
A következő eseteket lehet megkülönböztetni (lásd a szemközti ábrát):
-
e> 1 : hiperbolikus pálya (vagy inkább pálya) . Fizikailag ez az eset megfelel H> 0-nak , és azt jelenti, hogy a test nem végtelen sebességgel (tehát kinetikus energiával) mehet a nulla felé, a gravitáció potenciális energiája ezen a határon belül nulla felé halad;
-
e = 1 : parabolikus pálya . Ez az a határeset, ahol H = 0 , a test tehát a végtelenbe mehet, de nulla sebességgel;
-
0 <e <1 : elliptikus pálya (Kepler-féle). Ebben az esetben H <0 , oly módon, hogy e és H közötti előző kapcsolatnak fizikai jelentése van;H>-μ2m2VS2{\ displaystyle H> - {\ frac {\ mu ^ {2} m} {2C ^ {2}}}}
-
e = 0 : körpálya , az előző határesete ahol .H=-μ2m2VS2{\ displaystyle H = - {\ frac {\ mu ^ {2} m} {2C ^ {2}}}}
Az elliptikus (és végül kör alakú) pálya esete megfelel Kepler első törvényének (1609), amely eredetileg kimondta: „A bolygók olyan ellipsziseket írnak le, amelyekben a Nap az egyik gócot elfoglalja. " . Szigorúbban a pálya egyik gócát a rendszer tömegközéppontja foglalja el, amely a Naprendszer bolygói számára gyakorlatilag összekeverhető a Nap középpontjával.
Az excentricitás-vektor minden esetben a minimális megközelítési pont felé irányul, amely az egyik góc (a gyakorlatban a domináns tömegű „központi” csillag) és a fiktív részecske (a gyakorlatban a test „pályán”) között helyezkedik el. „Központi” test), periapsis (vagy periapsis). A megfelelő távolság az .
rménnem=o1+e{\ displaystyle r_ {min} = {\ frac {p} {1 + e}}}
A területek törvénye miatt az égitest pályája pályája nem állandó (hacsak a mozgás nem kör alakú). Könnyen belátható például egy elliptikus pálya esetén, hogy a test sebességének gyorsabbnak kell lennie a periapisnál, mint az apoasztronnál, hogy a vektorsugár azonos idő alatt egyenlő területeket söpörhessen be.
Megjegyzések:
- Létezik a különcség vektor, amely az első integrál, amellett, hogy a perdület vagy az összes energia, az egyedi Kepler probléma, pontosabban a függés a lehetséges gravitációs kölcsönhatás. Amint azt a kéttest -problémával vagy az excentrica-vektorral kapcsolatos cikk hangsúlyozza, Noether tétele azt sugallja, hogy a Kepler-probléma további szimmetriával rendelkezik. Valójában a szögmomentum megőrzése az invarianciához kapcsolódik a két test problémájának forgatásával, míg a teljes energiaé az invarianciához időbeli fordítással. Az excentricitás vektorhoz kapcsolódó szimmetria összetettebb, mert csak a 4. dimenzióban értelmezhető megfelelően.1/r{\ displaystyle 1 / r}
- Az a tény, hogy Kepler keringése a kötött esetben lezárult, szintén a Kepler-mozgásra jellemző, abszolút nem érvényes olyan két testes problémára, ahol az U (r) interakciós potenciál tetszőleges, de csak a potenciális Newton-féle esetén 1 / r vagy az izotrop harmonikus potenciál az r 2-ben ( Bertrand-tétel ).
- Az excentricitás vektor fontosságát Hermann (1710 és 1713) hangsúlyozta, Laplace fedezte fel újra , majd Runge és Lenz újrafelhasználta (Vö. Runge-Lenz vektor ).
Az elliptikus pálya esete
Abban az esetben, az elliptikus Kepler pályán, irányítjuk a nagytengely mentén a pályára, és van egy pont a maximális távolságot a „központ” fókusz és az égi test (szigorúan véve a fiktív részecske), az úgynevezett apoastro , amely megfelel hogy θ = π , azaz . Az ellipszis p paramétere megfelel a fókuszpont és a keringő test közötti távolságnak, ha ez kvadrátban van ( θ = ± π / 2 ). Az ellipszisnek két szimmetrikus fókusza van a C középpontjához képest, melléktengelye ezen a ponton merőleges a főtengelyre.
e→{\ displaystyle {\ vec {e}}}rmnál nélx=o1-e{\ displaystyle r_ {max} = {\ frac {p} {1-e}}}
A következő jellemző mennyiségeket lehet meghatározni (vö. Az Ellipszis cikkel ):
-
féltengely a : a pálya "sugárának" felel meg, és megegyezik a főtengely hosszának felével. Könnyű ellenőrizni a kapcsolatokat:
o=nál nél(1-e2){\ displaystyle p = a (1-e ^ {2})}, , ;
rménnem=nál nél(1-e){\ displaystyle r_ {min} = a (1-e)}rmnál nélx=nál nél(1+e){\ displaystyle r_ {max} = a (1 + e)}-
Fél-kistengely b : kevésbé fontos, mint az előző, akkor köteles azt a kapcsolatot , sőt , amely szintén ad a kapcsolatát egy , p és b : ;b=nál nél1-e2{\ displaystyle b = a {\ sqrt {1-e ^ {2}}}}b=o/(1-e2){\ displaystyle b = p / ({\ sqrt {1-e ^ {2}}})}o=b2/nál nél{\ displaystyle p = b ^ {2} / a}
- a fókusz és a középpont közötti távolság , amelyet a reláció ad meg c -nek , azt is könnyű ellenőrizni .vs.=enál nél=nál nél2-b2{\ displaystyle c = ea = {\ sqrt {a ^ {2} -b ^ {2}}}}rmnál nélx-rménnem=2vs.{\ displaystyle r_ {max} -r_ {min} = 2c}
Határesetben egy kör alakú sugarú körpályán R és a központ O , e = 0 , és így a = b = p = R , c = 0 , az a pont a C és a gócok F és F ' egybeesnek O .
A Naprendszer nyolc bolygója esetében jó közelítéssel figyelembe lehet venni, hogy a Nap tömegének köszönhetően álló helyzetben van az egyes pályák fókuszában, amelyek a gyengékre tekintettel többnyire kvázi kör alakúak excentricitások, a Merkúr kivételével ( e = 0,206 ).
Kepler harmadik törvénye
Az elliptikus pálya zárt, következésképpen a csillag mozgása rajta periodikus , a T periódust úgynevezett forradalmi periódusnak . Egy periódus alatt a sugár-vektor végigsöpri az ellipszis teljes területét, azaz . Azonban, mivel a állandóságának a terület sebesség (Kepler második törvénye), az ezen a területen is egyenlő , amely segítségével a kapcsolat a :
πnál nélb{\ displaystyle \ pi ab}NÁL NÉL˙=VS/2{\ displaystyle {\ dot {\ mathcal {A}}} = C / 2}VST/2{\ displaystyle CT / 2}b2=nál nélo{\ displaystyle b ^ {2} = ap}o=VS2/μ{\ displaystyle p = C ^ {2} / \ mu}
π2nál nél3o=VS2T2/4{\ displaystyle \ pi ^ {2} a ^ {3} p = C ^ {2} T ^ {2} / 4}, vagy újra .
π2nál nél3VS2/μ=VS2T2/4{\ displaystyle \ pi ^ {2} a ^ {3} C ^ {2} / \ mu = C ^ {2} T ^ {2} / 4}Végül jön egy kapcsolat a forradalmi periódus négyzete és a Kepler-pálya féltengelyének kockája között:
T2nál nél3=4π2μ{\ displaystyle {\ frac {T ^ {2}} {a ^ {3}}} = {\ frac {4 \ pi ^ {2}} {\ mu}}},
amely megfelel Kepler harmadik törvényének (1618): „A pályák fél-fő tengelyeinek kockái arányosak a forradalmi időszakok négyzetével. " .
Ez a törvény, amely a kepleri mozgásra jellemző, jelentős jelentőséggel bír: megfigyelésekkel valóban könnyű meghatározni egy csillag, például egy bolygó vagy egy műhold forradalmi időszakát. Ekkor következtetni lehet a pálya féltengelyének értékére, valamint a pálya értékére .
μ=GM{\ displaystyle \ mu = GM}
A Kepler-pályák leírása - Kepler-egyenlet
Ha a Kepler-probléma vizsgálatának eredményei lehetővé teszik a lehetséges pályák alakjának megismerését, akkor azok közvetlenül nem alkalmazhatók a csillagászatban. Először is meg kell tudni találni a térben az égitest pályáját, amelyet egy referenciasíkhoz viszonyítva általában az ekliptikának tekintenek , amely a földi pálya síkja. A paraméterek, amelyek lehetővé teszik, hogy ezt nevezik pályára elemek vagy pályaelemek , amelynek meghatározása eredményeit észrevételeket. Másodszor, amint ezek a pályaelemek megismerhetők, szükség van egy olyan összefüggésre, amely a csillag helyzetét idővel megadja ezen a pályán, ami különösen lehetővé teszi a figyelembe vett égitest efemeriszének meghatározását . Ez Kepler-egyenlet , amely lehetővé teszi, hogy szerezni egy ilyen összefüggés a pozícióját a csillag a pályáján és az idő.
A következőkben csak az elliptikus Kepler pálya esetét vesszük figyelembe.
Pálya elemek
Jelezték, hogy a Keplerian-mozgás esetében a két test problémának három elsődleges integrálja van, amelyek közül kettő vektoros ( , a szögimpulzushoz kapcsolódik, és ), és egy skalár ( H , teljes energia), amely a teljes 6 skaláris állandó.
VS→{\ displaystyle {\ vec {C}}}e→{\ displaystyle {\ vec {e}}}
Ezen elsődleges integrálok értéke közötti összefüggés miatt azonban egy adott Kepler-pályára (az alakjától függetlenül) csak 5 független skalármennyiség jellemző, amelyek választhatóak:
e=1+2HVS2μm{\ displaystyle e = {\ sqrt {1 + {\ frac {2HC ^ {2}} {\ mu m}}}}}
- a három komponens (amelyek meghatározzák a pálya síkjának térbeli orientációját) és a kettő (amelyek meghatározzák a pálya orientációját ebben a síkban);VS→{\ displaystyle {\ vec {C}}}e→{\ displaystyle {\ vec {e}}}
- A három komponenst az , az értéke H (kapcsolódik a e és egy , tehát alakját meghatározó a pályára), és egy szög, amely az irányt a periapse pályasíkon;VS→{\ displaystyle {\ vec {C}}}
- vagy két szög irányát jelzik , az érték a félig-nagytengely egy , hogy a excentricitás e , szöget irányát meghatározó a periapse pályasíkon ...VS→{\ displaystyle {\ vec {C}}}
Ezek a különböző lehetőségek jelentik a pályaelemek meghatározásának alapját , egy 5 geometriai adatsor lehetővé teszi egy adott pálya jellemzését. Valójában egy adott égitest pályájának meghatározása az elvégzett megfigyelésekből és mérésekből származik.
A gyakorlatban, a pályára elemek által adott két érték a félig-nagytengely egy és excentricitásának e , valamint a három szög meghatározott alábbi ábra:
- az i szög (0 és 180 fok között) az orbitális sík és egy referenciasík közötti szög , amely a Naprendszer bolygó pályáinak esetében általában az ekliptika síkja , vagyis - mondja meg a Föld pályájának síkját ;
- az Ω felemelkedő csomópont hosszúsága : ez a tavaszi pont iránya (a nap helyzete a tavaszi napéjegyenlőség alatt ) és a csomópontok vonala, azaz a figyelembe vett pálya síkja és a referenciasík metszéspontja közötti szög. az emelkedő csomópont az a pont, ahol az égitest áthalad a referenciasíktól északra.
- az ω periapszis argumentuma : ez a csomópontok egyenesének és a periapszis irányának az orbitális síkban kialakított szöge.
E szögek közül az első kettő lehetővé teszi a pálya síkjának térbeli helyzetének rögzítését a referenciasíkhoz viszonyítva, az utolsó szög lehetővé teszi annak orientációjának megadását, valamint az a és e la alak adatait . Természetesen ezeket a különböző paramétereket megfigyelésekkel lehet megszerezni.
Az ábrán látható másik szög, az átlagos anomália , definícióját és hasznosságát az alábbiakban adjuk meg.
Egy test mozgása a Kepler-pályán - Kepler-egyenlet
A csillagászatban gyakran arra törekszünk, hogy a különböző égitestek, például a Naprendszer bolygói mozgásának efemeriseit megszerezzük . Ezek megszerzéséhez nemcsak a test pályájának jellemzése szükséges, elsősorban a csillagászati megfigyelések által meghatározott elemekből, hanem a pályán történő mozgásának ismerete is, amely lehetővé teszi helyzetének megismerését egy adott pillanatban.
Most a poláris egyenlet , amely a test r távolságát a pálya fókuszától az igazi omal anomáliához kapcsolja , nem tartalmaz dinamikus információt. Kepler második törvénye tartalmazza ezeket az információkat: a terület sebességének állandósága a bolygó pályán való mozgása során azt jelenti, hogy ha a periastronhoz való áthaladás pillanatát vesszük figyelembe az idő kiindulópontjaként, akkor a vektorsugár által söpört terület a test fókuszában bármely pillanatban t , vagy megegyezik az „ellipszis szektor ”ével, amely megfelel az azonos anomáliának ugyanabban a pillanatban . Elméletileg ez lehetővé tenné a θ és t közötti összefüggés megszerzését , ezért a csillag pályáján betöltött pozíciója geometriai szempontból jól meghatározottnak tekinthető bármikor.
r(θ)=nál nél(1-e2)1+ekötözősalátaθ{\ displaystyle r (\ theta) = {\ frac {a (1-e ^ {2})} {1 + e \ cos {\ theta}}}}NÁL NÉL(t)=NÁL NÉL˙t=VSt2{\ displaystyle {\ mathcal {A}} (t) = {\ dot {\ mathcal {A}}} t = {\ frac {Ct} {2}}}θ(t){\ displaystyle \ theta (t)}
Ez azonban nem könnyű a gyakorlatban, hogy kifejezze a területet a szektor ellipszis szög θ adott, ellentétben az esetben egy kört, és a problémát meg kell megközelíteni bevezetésével egyéb paraméterek:
- az első az excentrikus anomália , E jelöléssel . Ez a szög határozza bevezetésével az úgynevezett kiegészítő (vagy exinscribed) sugarú kör egy , a félig-nagytengely, és a központ az ellipszis. Ha P jelentése a pozícióját a csillag a valódi anomália θ egy adott pillanatban t , ortogonális vetülete P a kiegészítő kör merőleges irányban a félig nagytengely található annak a szög, a központban E (vö ábra szemben).
Ennek a szögnek a bevezetése egyszerű: mivel egy pontot keres egy körön, sokkal könnyebb kiszámítani egy kör egy részének a területét, amelyet meghatároz, mint az ellipszisnek a megfelelő értékhez tartozó részét. valódi anomália, amely önmagában rendelkezik fizikai valósággal. Az excentrikus anomália egy geometriai paraméter, amely egy csillag helyzetét Kepler pályáján könnyebben használható, mint a valódi anomália θ , amelyhez a kapcsolat kapcsolódik:
CserE2=1-e1+eCserθ2{\ displaystyle \ tan {\ frac {E} {2}} = {\ sqrt {\ frac {1-e} {1 + e}}} \ tan {\ frac {\ theta} {2}}}.
Az r , θ és E közötti alábbi összefüggések könnyen megszerezhetők :
{rkötözősalátaθ=nál nél(kötözősalátaE-e)rbűnθ=nál nél1-e2bűnEr=nál nél(1-ekötözősalátaE){\ displaystyle {\ begin {cases} r \ cos {\ theta} = a bal (\ cos {E} -e \ right) \\ r \ sin {\ theta} = a {\ sqrt {1-e ^ {2}}} \ sin {E} \\ r = a \ bal (1-e \ cos {E} \ jobb) \ end {esetek}}},
ezek a kapcsolatok azt mutatják, hogy az E ismerete egy adott pályára (tehát ismert a és e értékekkel) lehetővé teszi r és θ , és ennélfogva a csillag pályáján lévő helyzetének megismerését.
- a második paraméter az átlagos anomália , amelyet M-nek jelölünk . Ez egy dinamikus paraméter, amely közvetlenül kapcsolódik a csillagot a pálya fókuszához kötő vektorsugár által beolvasott területhez. A test átlagos szögsebességét a pályán átlagos mozgásnak nevezzük , és az határozza meg , hogy T a forradalom időszaka, de Kepler második törvénye szerint azonnal jön . Ha az idõk kezdõpontját a periapsis utolsó útján vesszük fel, akkor a pályán állandó szögsebességgel haladó hipotetikus test áthaladt volna a t szögben , amely definíció szerint az átlagos anomália . Most, a területek törvénye szerint, a "valódi" testet a fókusszal összekötő vektorsugár által sújtott területet, a periastronon történő utolsó áthaladás pillanata és a t pillanat között is megadja . Következésképpen az átlagos anomália tehát - szorzótényező kivételével - közvetlenül kapcsolódik a fókuszt és a csillagot összekötő vektorsugár által pásztázott területhez, ennélfogva ez a nagyságrendű érdeklődés.nem=2πT{\ displaystyle n = {\ frac {2 \ pi} {T}}}nem=μnál nél3=GMnál nél3{\ displaystyle n = {\ sqrt {\ frac {\ mu} {a ^ {3}}}} = {\ sqrt {\ frac {GM} {a ^ {3}}}}}M=nemt{\ displaystyle M = nt}NÁL NÉL(t)=πnál nélbTt=nál nélb2M{\ displaystyle {\ mathcal {A}} (t) = {\ frac {\ pi ab} {T}} t = {\ frac {ab} {2}} M}
Ezután a Kepler-egyenletet úgy kapjuk meg, hogy geometriai úton fejezzük ki az ellipszisszektor területét, amely megfelel az E függvényében megadott θ- nek : jön (vö. Részletes cikk ) . Az ab abbahagyásával az expresszió és az átlagos anomáliával kapott érték között azonnal jön az egyenlet, amely összeköti az E geometriai paramétert az M dinamikus paraméterrel , az úgynevezett Kepler-egyenletet :
NÁL NÉL{\ displaystyle {\ mathcal {A}}}NÁL NÉL=nál nélb2(E-ebűnE){\ displaystyle {\ mathcal {A}} = {\ frac {ab} {2}} \ bal (Ee \ sin {E} \ jobb)}NÁL NÉL{\ displaystyle {\ mathcal {A}}}
M=E-ebűnE{\ displaystyle M = Ee \ sin {E}}.
Meg kell jegyezni, hogy a csak szögeket mutató alakja ellenére a Kepler-egyenlet valóban összefüggés van E között , amely rögzíti a csillag pályáját, és a dátum t , l 'eredete az utolsó a periapis. Arra is lehetőség van, hogy helyettesítse ebben az egyenletben kifejező átlagos anomália M alapuló t és a forradalom időszakban T , amely szerint: .
2πTt=E-ebűnE{\ displaystyle {\ frac {2 \ pi} {T}} t = Ee \ sin {E}}
Ismerve az adott test pályájának különböző elemeit, valamint ennek a fordulatának periódusát (és ezáltal az átlagos mozgását), a megfigyelésekkel a periastronra való áthaladás pillanatának meghatározása lehetővé teszi, hogy akkor a 'Kepler egyenletét adja a csillag pályájának pályáján bármely későbbi vagy korábbi pillanatban. Természetesen ez azt feltételezi, hogy a test valódi pályája valóban Kepler-féle, ami nem lesz szigorúan pontos, a többi test által kiváltott zavarok miatt, amelyek befolyását elhanyagolták: ezeket azonban megfelelő technikákkal figyelembe lehet venni.
Kepler-egyenlet megoldása
Három évszázadon át a csillagászok és a matematikusok foglalkoztak a θ (t) megtalálásával , mivel a legkönnyebben észrevehető a Nap helyzete az égen. Megy a θ az E és fordítva könnyű. A látszólagos egyszerűség ellenére a Kepler-egyenletnek nincs ismert analitikai megoldása, ezért feloldása vagy sorozatbővítéseket, vagy numerikus módszereket igényel. Számos módszert javasoltak az évszázadok során, és a főbbeket az alábbiakban idézzük fel.
A Keplerian mozgalom szokásos fejleményei
A megfontolások az előző bekezdések azt mutatják, hogy adott időpontban t , és így az átlagos anomália M , az inverzió a Kepler egyenlet lehetővé teszi, hogy megkapjuk az excentrikus anomália E , amely azután lehetővé teszi, hogy megkapjuk r és θ használatával az alapvető kapcsolatok:
M=E-ebűnE{\ displaystyle M = Ee \ sin {E}}
{rkötözősalátaθ=nál nél(kötözősalátaE-e)rbűnθ=nál nél1-e2bűnEr=nál nél(1-ekötözősalátaE){\ displaystyle {\ begin {cases} r \ cos {\ theta} = a bal (\ cos {E} -e \ right) \\ r \ sin {\ theta} = a {\ sqrt {1-e ^ {2}}} \ sin {E} \\ r = a \ bal (1-e \ cos {E} \ jobb) \ end {esetek}}},
x=rkötözősalátaθ{\ displaystyle X = r \ cos {\ theta}}és ezen felül a csillag koordinátái a pályáján, ennek fókuszához képest.
Y=rbűnθ{\ displaystyle Y = r \ sin {\ theta}}
A különböző mennyiségek átlagos M anomáliájának (és ezért az időnek) függvényében trigonometrikus sorok alakulásai kaphatók , amelyek közül a főbbeket az alábbiakban adjuk meg.
Excentrikus anomália kialakulása E
A Kepler egyenletet használják, hogy kifejezzék a különbség E és M : . Most a második tag az M függvénye , amely tehát a periodikus szinusz ( 2π periódus ) tulajdonságai és páratlan . Ezért Fourier-sorozat formájában lehet kifejezni , nevezetesen:
E-M=ebűnE{\ displaystyle EM = e \ sin {E}}f(M)=E-M=ebűnE{\ displaystyle f (M) = EM = e \ sin {E}}
f(M)=∑k=1+∞bkbűnkM{\ displaystyle f (M) = \ sum _ {k = 1} ^ {+ \ infty} {b_ {k} \ sin {kM}}}Figyelembe véve a páratlan jellegét ,
f(M){\ displaystyle f (M)}az együtthatókat az alábbiak adják meg:
bk{\ displaystyle b_ {k}}
bk=2π∫02πf(M)bűnkMdM=2π∫02πebűnEbűnkMdM{\ displaystyle b_ {k} = {\ frac {2} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} f (M) \ sin {kM} \, dM = {\ frac {2} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} e \ sin {E} \ sin {kM} \, dM}.
Innen különböző manipulációk teszik lehetővé az E sorozatbővítését , amelyben a Bessel-funkciók beavatkoznak :
Jk(ke){\ displaystyle J_ {k} (ke)}
E=M+2∑k=1+∞Jk(ke)kbűnkM{\ displaystyle E = M + 2 \ sum _ {k = 1} ^ {+ \ infty} {\ frac {J_ {k} (ke)} {k}} \ sin {kM}}
Demonstráció
Az integrálás a kifejezése , a kinyerését teszi lehetővé:
bk{\ displaystyle b_ {k}}bűnkMdM=-d(kötözősalátakM)k{\ displaystyle \ sin {kM} \, dM = - {\ frac {d \ bal (\ cos {kM} \ jobb)} {k}}}
bk=ekπ∫02πkötözősalátaEkötözősalátakMdE{\ displaystyle b_ {k} = {\ frac {e} {k \ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ cos {E} \ cos {kM} \, dE},
most , amely az előző kifejezésben helyettesítéssel ad, és figyelembe véve az első fajta Bessel-függvény integrális kifejezését, valamint az e függvények közötti megismétlődési viszonyt :
kötözősalátaEkötözősalátakM=12(kötözősaláta(E+kM)+kötözősaláta(E-kM))=12(kötözősaláta((k+1)E-(ke)bűnE)+kötözősaláta((1-k)E+(ke)bűnE)){\ displaystyle \ cos {E} \ cos {kM} = {\ frac {1} {2}} \ bal (\ cos {(E + kM)} + \ cos {(E-kM)} \ jobb) = {\ frac {1} {2}} balra (\ cos {((k + 1) E- (ke) \ sin {E})} + \ cos {((1-k) E + (ke) \ bűn {E})} \ jobbra)}Jk(x)=12π∫02πkötözősaláta(kt-xbűnt)dt{\ displaystyle J_ {k} (x) = {\ tfrac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ cos {\ balra (kt-x \ sin {t} \ jobbra)} \, dt}2kxJk(x)=Jk-1(x)+Jk+1(x){\ displaystyle {\ frac {2k} {x}} J_ {k} (x) = J_ {k-1} (x) + J_ {k + 1} (x)}
bk=ek(Jk-1(ke)+Jk+1(ke))=2kJk(ke){\ displaystyle b_ {k} = {\ frac {e} {k}} \ bal (J_ {k-1} (ke) + J_ {k + 1} (ke) \ jobb) = {\ frac {2} {k}} J_ {k} (ke)}, ezért az eredmény.
Amint arra következtethetünk , az előző fejlesztés levezetésével meg lehet szerezni a következőket :
r=nál néldMdE{\ displaystyle r = a {\ frac {dM} {dE}}}dEdM=nál nélr{\ displaystyle {\ frac {dE} {dM}} = {\ frac {a} {r}}}nál nélr{\ displaystyle {\ frac {a} {r}}}
nál nélr=nál nélr=1+2∑k=1+∞Jk(ke)kötözősalátakM{\ displaystyle {\ frac {a} {r}} = {\ frac {a} {r}} = 1 + 2 \ összeg _ {k = 1} ^ {+ \ infty} J_ {k} (ke) \ cos {kM}}.
A cos (E) és a bűn (E) fejlődése
Az E fejlődése könnyen megszerezhető az E fejlődésétől :
bűnE=E-Me{\ displaystyle \ sin {E} = {\ frac {EM} {e}}}
bűnE=2∑k=1+∞Jk(ke)kebűnkM{\ displaystyle \ sin {E} = 2 \ sum _ {k = 1} ^ {+ \ infty} {\ frac {J_ {k} (ke)} {ke}} \ sin {kM}}.
A sorozat bõvítését úgy kapjuk meg, hogy figyelembe vesszük azt a tényt, hogy M 2π periódus egyenletes függvénye . Mint korábban, Fourier-sorokra bontható, a kifejezéseket a paritás miatt bevonva , ugyanúgy járunk el, mint az E bővítésével :
kötözősalátaE{\ displaystyle \ cos {E}}kötözősalátakM{\ displaystyle \ cos {kM}}
kötözősalátaE=-e2+∑k=1+∞1k(Jk-1(ke)+Jk+1(ke))kötözősalátakM{\ displaystyle \ cos {E} = - {\ frac {e} {2}} + \ sum _ {k = 1} ^ {+ \ infty} {{\ frac {1} {k}} \ bal (J_ {k-1} (ke) + J_ {k + 1} (ke) \ jobbra \ cos {kM}}}.
Ebből a fejleményből könnyű levezetni az r sugárvektorét, mivel :
r=nál nél(1-ekötözősalátaE){\ displaystyle r = a \ bal (1-e \ cos {E} \ jobb)}
r=nál nél(1+e22-∑k=1+∞ek(Jk-1(ke)+Jk+1(ke))kötözősalátakM){\ displaystyle r = a \ left (1 + {\ frac {e ^ {2}} {2}} - \ sum _ {k = 1} ^ {+ \ infty} {{\ frac {e} {k} } \ bal (J_ {k-1} (ke) + J_ {k + 1} (ke) \ jobb) \ cos {kM}} \ jobb)},
azt lehet látni, hogy az átlagos értéke r van . Ugyanígy lehetővé válik a koordináták kifejezése a pálya tengelyének fókuszpontjában, és .
nál nél(1+e2/2){\ displaystyle a (1 + e ^ {2} / 2)}x=nál nél(kötözősalátaE-1){\ displaystyle X = a \ bal (\ cos {E} -1 \ jobb)}Y=nál nél1-e2bűnE{\ displaystyle Y = a {\ sqrt {1-e ^ {2}}} \ sin {E}}
A sorozatbővítések és megszerezhetők is, ugyanúgy haladva. Ez különösen érdekes az igazi anomália kifejezésére M függvényében :
bűnkE{\ displaystyle \ sin {kE}}kötözősalátakE{\ displaystyle \ cos {kE}}bűnkE{\ displaystyle \ sin {kE}}
bűnkE=k∑nem=1+∞(Jk+nem(neme)+Jnem-k(neme))nembűnnemM{\ displaystyle \ sin {kE} = k \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} {{\ frac {\ balra (J_ {k + n} (ne) + J_ {nk} (ne) \ jobbra)} {n}} \ sin {nM}}}.
Demonstráció
Mivel ez egy páratlan funkciója E , ezért a M , amely eltűnik egyidejűleg, és ugyanabban az időszakban 2π , mint az utóbbi, a n egész szám bontható Fourier, amelyek csak az együtthatók szinusz többszöröse M :
bűnnemE{\ displaystyle \ sin {nE}}
bűnkE=∑nem=1+∞bnembűnnemM{\ displaystyle \ sin {kE} = \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} {b_ {n} \ sin {nM}}}, a .
bnem=1π∫02πbűnkEbűnnemMdM{\ displaystyle b_ {n} = {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {\ sin {kE} \ sin {nM} \, dM}}Mivel részben integrálható, mivel az összes integrált kifejezés null, így jön:
bűnnemM=-d(kötözősalátanemMnem{\ displaystyle \ sin {nM} = {\ frac {-d (\ cos {nM}} {n}}}
bnem=knemπ∫02πkötözősalátakEkötözősalátanemMdE{\ displaystyle b_ {n} = {\ frac {k} {n \ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {\ cos {kE} \ cos {nM} \, dE}}.
Ahogy azonban - figyelembe véve Kepler egyenletét - az integrálban történő helyettesítéssel és a kifejezés figyelembevételével, végül a keresett eredmény jön.
kötözősalátakEkötözősalátanemM=(kötözősaláta(kE+nemM)+kötözősaláta(kE-nemM))/2{\ displaystyle \ cos {kE} \ cos {nM} = \ balra (\ cos {(kE + nM)} + \ cos {(kE-nM)} \ jobbra / 2}kötözősalátakEkötözősalátanemM=(kötözősaláta((k+nem)E-nemebűnE)+kötözősaláta((nem-k)E-nemebűnE))/2{\ displaystyle \ cos {kE} \ cos {nM} = \ bal (\ cos {\ bal ((k + n) E-ne \ sin {E} \ jobb)} + \ cos {\ bal ((nk) E-ne \ sin {E} \ right)} \ right) / 2}Jnem(x)=12π∫02πkötözősaláta(nemt-xbűnt)dt{\ displaystyle J_ {n} (x) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {\ cos {\ left (nt-x \ sin {t} \ jobbra)} \, dt}}
A valódi anomália alakulása - a központ egyenlete
A valódi anomália θ és az E excentrikus anomália közötti kapcsolat a szöget érintők közötti kapcsolat:
Cserθ2=1+e1-eCserE2{\ displaystyle \ tan {\ frac {\ theta} {2}} = {\ sqrt {\ frac {1 + e} {1-e}}} \ tan {\ frac {E} {2}}}.
Megmutatható, hogy ez a kapcsolat a forma sorozatbővítésének formájában írható:
θ=E+∑k=1+∞qkkbűn(2kE){\ displaystyle \ theta = E + \ sum _ {k = 1} ^ {+ \ infty} {{\ frac {q ^ {k}} {k}} \ sin {(2kE)}}}Ebből a relációból ki lehet egész sorban kifejezni a θ kifejezést :
Cserθ=E+2∑k=1+∞qkkbűnkE{\ displaystyle \ tan {\ theta} = E + 2 \ sum _ {k = 1} ^ {+ \ infty} {{\ frac {q ^ {k}} {k}} \ sin {kE}}}, a .
q=1-1-e2e{\ displaystyle q = {\ frac {1 - {\ sqrt {1-e ^ {2}}}} {e}}}
Demonstráció
A kapcsolat a formával van . Mint az átrendeződés után jön:
Cserθ2=1+e1-eCserE2{\ displaystyle \ tan {\ frac {\ theta} {2}} = {\ sqrt {\ frac {1 + e} {1-e}}} \ tan {\ frac {E} {2}}}Cserx/2=oCsery/2{\ displaystyle \ tan {x / 2} = p \ tan {y / 2}}o=1+e1-e{\ displaystyle p = {\ sqrt {\ frac {1 + e} {1-e}}}}Cserx/2=eénx/2-e-énx/2én(eénx/2+e-énx/2){\ displaystyle \ tan {x / 2} = {\ frac {e ^ {ix / 2} -e ^ {- ix / 2}} {i (e ^ {ix / 2} + e ^ {- ix / 2 })}}}
eénx-1eénx+1=oeény-1eény+1{\ displaystyle {\ frac {e ^ {ix} -1} {e ^ {ix} +1}} = p {\ frac {e ^ {iy} -1} {e ^ {iy} +1}}}, vagy újra .
eénx=(o+1)eény-(o-1)(o+1)-(o-1)eény=eény(o+1)-(o-1)e-ény(o+1)-(o-1)eény=eény1-qe-ény1-qeény{\ displaystyle e ^ {ix} = {\ frac {(p + 1) e ^ {iy} - (p-1)} {(p + 1) - (p-1) e ^ {iy}}} = e ^ {iy} {\ frac {(p + 1) - (p-1) e ^ {- iy}} {(p + 1) - (p-1) e ^ {iy}}} = e ^ { iy} {\ frac {1-qe ^ {- iy}} {1-qe ^ {iy}}}}Ennek a kifejezésnek a logaritmusát figyelembe véve jön , vagy ennek eredményeként és figyelembe véve végül jön a keresett eredmény.
énx=ény+ln(1-qe-ény)-ln(1-qeény){\ displaystyle ix = iy + \ ln {(1-qe ^ {- iy})} - \ ln {(1-qe ^ {iy})}}ln(1-x)=∑k=1+∞xnemnem{\ displaystyle \ ln {(1-X)} = \ sum _ {k = 1} ^ {+ \ infty} {\ frac {X ^ {n}} {n}}}bűnnemy=eénnemy-e-énnemy2én{\ displaystyle \ sin {ny} = {\ frac {e ^ {iny} -e ^ {- iny}} {2i}}}
Az E és a sin kE kiterjedésének ebben a kifejezésében való helyettesítése lehetővé teszi a középpont egyenletének nevezett kifejezés kifejlesztését :
θ-M{\ displaystyle \ theta -M}
θ-M=2∑nem=1+∞1nem(Jnem(neme)+∑k=1+∞[qk(Jnem-k(neme)+Jnem+k(neme))])bűnnemM{\ displaystyle \ theta -M = 2 \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} {{\ frac {1} {n}} \ bal (J_ {n} (ne) + \ sum _ {k = 1} ^ {+ \ infty} {\ left [q ^ {k} \ left (J_ {nk} (ne) + J_ {n + k} (ne) \ right) \ right]} \ right) \ sin {nM}}}
Az excentricia soros fejlődése e
A korábbi, a Fourier-sorozatból nyert sorozatbővítések egységesen konvergensek. Ezeknek a soroknak az együtthatói, amelyek Bessel típusú függvényeket foglalnak magukban, kifejezhetők az e excentritás egész sorainak formájában is , és a kifejezéseket átrendezhetjük úgy, hogy az egyes mennyiségek sorozatbővülését kapjuk e függvényében. . A kifejezések átrendeződése azonban sorozatokhoz vezethet, amelyek már nem lesznek konvergensek az excentricitás összes értéke szempontjából.
Jnem(neme){\ displaystyle J_ {n} (ne)}
Például az E excentrikus anomália esetén a megfelelő kiterjesztés a következő formában
van:
E=M+∑k=1+∞NÁL NÉLk(e)bűnkM{\ displaystyle E = M + \ sum _ {k = 1} ^ {+ \ infty} A_ {k} (e) \ sin {kM}}
NÁL NÉL1(e)=e-e38.+e5.192+...{\ displaystyle A_ {1} (e) = e - {\ frac {e ^ {3}} {8}} + {\ frac {e ^ {5}} {192}} + ...}, Stb
NÁL NÉL2(e)=e22-e46.+e6.48+...{\ displaystyle A_ {2} (e) = {\ frac {e ^ {2}} {2}} - {\ frac {e ^ {4}} {6}} + {\ frac {e ^ {6} } {48}} + ...}Ezek a sorok akkor konvergálnak, ha e <0.662 . Az ilyen sorok érdeke, hogy abban az esetben, ha e kicsi, meg lehet csonkítani a tágulást, miközben jó pontosságot érünk el.
Források
- Danjon: kozmográfiai tanfolyam az elemi matematikában, 1950
- Maillard és Millet: kozmográfiai tanfolyam az elemi matematikában, 1956
- Wintner: az égi mechanika elemzési alapjai, 1941, Princeton
- en) Isaac Newton és Dana Densmore ( ford. William H. Donahue), Newton Principia: a központi érv: fordítás, jegyzetek és kiterjesztett bizonyítékok , Santa Fe, NM, Green Lion Press,1995, 425 p. ( ISBN 978-1-888009-01-9 és 978-1-888-00900-2 , OCLC 33415300 )
- Brackenridge, Newton dinamikájának kulcsa, 1995, u Kalifornia, ( ISBN 0-520-20065-9 )
- en) Niccolò Guicciardini , a Principia olvasása: vita Newton természettudományi matematikai módszereiről 1687 és 1736 között , Cambridge New York, Cambridge University Press ,1999, 285 p. ( ISBN 978-0-521-64066-4 , OCLC 954623586 )
- Cordani, a Kepler-probléma, 2003, szerk. Birkhauser ( ISBN 3-7643-6902-7 )
- J. Keill, Filozófiai tranzakciók, 26/1 (1708), 174. o.
- Hermann, Histoires de l'Académie Royale des Sciences, Párizs (1710), 519-544.
- Leibniz, Tentamen de Motuum, Acta Eruditorum (1689), 82-96
- Varignon, Ac Roy de Paris emlékiratai, (1700), 280.
Megjegyzések és hivatkozások
Megjegyzések
-
Az a közelítés, amely abból áll, hogy a testeket pontosnak tekintjük, akkor érvényes, ha a megfelelő dimenziók kicsinek tekinthetők az őket elválasztó távolsághoz képest. Ha figyelembe vesszük, hogy gömbszimmetriájuk van, amelyet sok égitest, különösen a bolygók első közelítéseként igazolnak, az egyes csillagokon kívül létrehozott gravitációs mező megegyezik azzal, amelyet a csillag közepén elhelyezett anyagi pont hoz létre a testet, és teljes tömege befolyásolja (vö. például Perez, op. cit. , 6. fejezet, 77–78. oldal).
-
Legalábbis természetesen arra a helyzetre, amikor a két test kapcsolatban marad egymással, ami az energia szintjének megfelel a rendszer negatív mechanikai energiájának ( H megjegyzés ), más szóval, hogy a kettő közötti gravitációs kölcsönhatás potenciális energiája a V- vel jelölt (egyezmény szerint negatív) testek „felülmúlják” a rendszer összes kinetikus energiáját, amelyet T- vel jelölünk , mindig pozitívak és értékeljük a baricentrikus vonatkoztatási rendszerben. Ebben az esetben meg kell állapítani, hogy sem a két test lesz képes menni a végtelenségig egymástól, mivel az állapot már nem kell ellenőrizni az esetben, ha H <0 túl egy bizonyos távolságot r , hogy , V hajló 0 ahogy r növekszik. Másrészt ha H> 0 vagy H = 0 , akkor ez a feltétel a végtelenségig is igaz marad.T=H-V≥0{\ displaystyle T = HV \ geq 0}V(r)=H{\ displaystyle V (r) = H}
-
Ezek az eltérések mind a játékban levő égitestek pontatlan és nem gömbös jellemzőinek (a forgáshoz, szabálytalansághoz stb. Kapcsolódó lapítás), hanem a nem gravitációs erők, például a légköri ellenállás , vagy egy mesterséges műhold napsugárzási nyomása , ahol a két erő nagy jelentőséggel bírhat , vagy az üstökös számára a sugárzási nyomás szempontjából.
-
Ha szükséges, figyelembe véve az általános relativitáselmélethez kapcsolódó korrekciókat , mint a Merkúr esetében , vö. Az általános relativitáselméleti kísérleti tesztek # A higany perihéliumának előretörése
-
Abban az időben ez a fogalom magában foglalta a Napot és a Holdat is . A mai értelemben öt bolygó ismert akkor: Merkúr , Vénusz , Mars , Jupiter és Szaturnusz . A bolygó szó a πλανήτης αστήρης planêtês astêrês "vándor test (vagy csillag)" kifejezésből származik , valójában ezeket az égi gömbön az idő múlva látszólagos mozgásuk különbözteti meg a "rögzített" csillagoktól.
-
Az eredeti cím Μαθηματική σύνταξις (Mathématikế sýntaxis), Matematikai kompozíció . Ennek a munkának a közös neve az arab al-majisṭī (المجسطي) latinizációján keresztül. Ez a könyv három kötetben érhető el az interneten: az első , a második és a harmadik részben .
-
Ez a közelítés általában abban áll, hogy elhanyagoljuk más testek hatását, amelyek a két vizsgált test rendszere közelében lehetnek. Ez akkor érvényes, ha a két test egyike túlsúlyos az összes többihez képest, mint például a Nap a Naprendszerben, vagy ha a többi test olyan távolságban van, hogy a hatásuk elhanyagolható: például a Föld csak gyenge hatással van a Neptunusz és műholdai által alkotott rendszerre. Ilyen esetben még egy erős gravitációs hatással rendelkező külső test jelenléte esetén is lehetősége van egy két testből álló probléma helyzetébe kerülni. Így a Föld-Hold rendszer esetében könnyen ellenőrizhető, hogy a Nap utóbbira a Földénél közel 3,7-szer nagyobb gravitációs hatást gyakorol. Ekkor illuzórikusnak tűnhet a Föld-Hold rendszert két test problémaként kezelni. Ez azonban úgy lehetséges, hogy a rendszer baricentrumának referenciakeretébe helyezi magát (vagy akár a Föld közepéhez kapcsolódik), fordításban a Copernicus referenciakeretéhez (heliocentrikus). Ha ez az utolsó vonatkoztatási keret galilei, akkor ez nem az első eset, amelyet a Nap vonzása felgyorsít, amelyet nem lehet elhanyagolni. Azonban ebben a referenciakeretben meg lehet mutatni (vö. A cikk árapályerejét ), hogy a Nap Holdra gyakorolt hatása egy differenciális kifejezésre csökken, amelyet árapálynak neveznek, és sokkal gyengébb, mint a gravitációs vonzerőhöz kapcsolódó. Hold, amely első közelítésként a távolság négyzetének fordítottjaként változik. Így lehetséges lesz a Hold Föld körüli mozgását Keplerian-ként kezelni, majd egy második lépésben figyelembe venni a különböző kifejezésekhez (árapály, a potenciál nem gömbössége ...) kapcsolódó korrekciókat.
-
A legáltalánosabb esetben kölcsönös interakcióban egy V (r) potenciálból származó erő révén .
-
Az m jelölést itt használjuk a csökkentett tömegre, az általánosan használt μ jelölés helyett, amelyet a rendszer standard gravitációs paraméterének fenntartunk, amelyet a rendszer teljes tömege és G határoz meg . a gravitációs állandó .μ=GM{\ displaystyle \ mu = GM}M=m1+m2{\ displaystyle M = m_ {1} + m_ {2}}
-
Másrészt a különbség akkor lehet fontos, ha az egyik két test tömege nem elhanyagolható a másikéhoz képest, például egy bináris csillag esetében .
-
Ez az általános kifejezés, amely akár különleges nevek függően égitest venni: így a mozgását forradalom a Föld a Nap körül, a periapsis fogják hívni perihelion , egy műhold a Föld, a földközelben .
-
Nem 7, mert a pálya síkjában tartózkodni kényszerítve csak két független összetevője van.e→{\ displaystyle {\ vec {e}}}
-
Természetesen azt feltételezzük, hogy itt a C # 0 , az esetben C = 0 , azt mondta degenerált, azaz a egyenes vonalú mozgás.
-
A napéjegyenlőségek precessziója miatt ennek a pontnak a helye, amely a megfelelő felemelkedés kiindulópontjaként is szolgál, idővel kissé változik, ezért meg kell határozni, hogy melyik dátumra adják meg az Ω értékét .
-
Emlékeztetünk arra, hogy ez a dátum a periapszison keresztüli utolsó átjárásból származik.
-
Tudománytörténeti megjegyzés : ezt az eredményt Cauchy találta meg, aki feltalálta a z komplex változó egész sorainak módszerét ennek az eredménynek a megtalálásához, E megszerzésére oly módon, hogy E = és x olyan legyen, hogy (1-x) / x = exp ( 2 / (1-2x)), vagy E = 0,662 743 419 349 182
2x(1-x)11-2x{\ displaystyle 2 {\ sqrt {x (1-x) {\ frac {1} {1-2x}}}}}
-
Numerikus : Jelenleg sok csillagász nagyon pontos efemeristákat szeretne , ha csak a Földet. Egy példa többek között: a klimatológiában érdekes megnézni a jegesedési ciklust, amely Milanković paramétereinek jó ismeretét vonja maga után . Ezt a párizsi IMCCE számította ki a neogénre (az elmúlt 25 millió évben), amely a 2004. évi világtani kalibrálást szolgálta. A múltba azonban (például akár 100 Myr-ig) is vissza kell térni, gyors módszereket igényel Kepler egyenlet.
-
Például az e <0,1 bővülése érdekében, 6 lehetővé teszi, hogy kapjunk egy precíziós 10 -6 a E , vö Duriez, op. cit. , 171-172.
Hivatkozások
-
Lásd például: Herbert Goldstein, Charles P. Poole Jr. és John L. Safko, Klasszikus mechanika [ a kiadások részlete ], 2 nd edition, 3. fejezet.
-
Vö. Luc Duriez, Klasszikus égi mechanika tanfolyam , University Lille-I / IMCCE, 2002, (elérhető a következő címen : http://www.imcce.fr/fr/formations / cours / CoursMC_Duriez /mc/CoursMCecr_Duriez.pdf ), 3. fejezet.
-
See Perez, fizika kurzusok: mechanikus - 4 -én kiadás, Masson, Párizs, 2001, 12. fejezet.
-
Vö. Isaac Newton, | A természetfilozófia matematikai alapelvei , 1. könyv, 1756. kiadás, trad. Émilie du Châtelet , 1. könyv, különös tekintettel a II – III . Szakaszra ( e-rara digitalizálás ).
-
Szókratész szerint tehát :
„Amint azt a tanult pitagoreusok , a Calliklusok , az ég és a föld biztosítják, Isteneket és embereket egy közösség köt össze, amely barátságból és jó megértésből, bölcsességből és az igazságosság szelleméből áll, és ez az oka ennek az univerzumnak , elvtársammal adják a kozmosz, az elrendezés nevét, nem pedig a zavart és a zavart. "
- Platón , Gorgias , 507. - 508a
.
-
Így Arisztotelész fizikájához fűzött kommentárjában így ír:
„Platón […] ezután ezt a problémát állítja a matematikusok elé: melyek azok a kör alakú, egységes és tökéletesen szabályos mozgások, amelyeket hipotézisként kell figyelembe venni, hogy megmentsük a kóborló csillagok megjelenését? "
- Simplicius , kommentárok Arisztotelész fizikájához
.
-
Lásd például: Encyclopedia Universalis , 2002. kiadás, 3. kötet, "Csillagászat és asztrofizika" ( ISBN 2-85229-550-4 ) cikket , vagy a Notionnaires Universalis - Ötletek , ( ISBN 2-85229-562-8 ) , Encyclopedia Universalis France SA, Párizs, 2005.
-
Lásd különösen ebben a témában Lev Landau és Evgueni Lifchits , Physique theorique , t. 1: Mechanika [ a kiadások részlete ]fejezet, II.
-
Vö. Erről a témáról Herbert Goldstein, Charles P. Poole Jr. és John L. Safko, Klasszikus mechanika [ a kiadások részlete ], 2 nd edition, 9. fejezet, 8. bekezdés, a részletes magyarázatot, amely bemutatja a személyazonosságát közötti kommutátorok a forgás mátrixok generáló csoport SO (4) a megfelelő forgatások egy négy-dimenziós térben, és a Poisson-zárójelek között a komponensek a Runge-Lenz vektor és a szögimpulzus.
-
Vö. Dumoulin és Parisot, Gyakorlati csillagászat és informatika , Masson, Párizs, 1987, ( ISBN 2-225-81142-3 ) .
-
Vö. Peter Colwell, Kepler egyenletének megoldása három évszázad alatt , Ed. Willmann-Bell, Richmond, 1993, ( ISBN 978-0943396408 ) .
Lásd is
Kapcsolódó cikkek
Külső linkek
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">