Tórusz

A tórusz egy geometriai szilárd anyag, amely egy ívelt csövet képvisel, amely magában záródik. A "tórusz" kifejezésnek a kontextustól függően különböző, konkrétabb jelentése van:

• a mérnöki vagy elemi geometria , tórusz egy forgástest helyet kapott egy kör, vagy a felületét. A belső cső , a bója , bizonyos tömítések vagy akár bizonyos fánkok ( észak-amerikai fánkok ) így többé-kevésbé torikus alakúak  ;
• az építészetben a tórusz egy kerek, félhengeres öntvénynek felel meg.
• a matematika , különösen a topológia , a tórusz egy hányadosa egy igazi vektor tere véges dimenzióban egy hálózatban, vagy bármely topologikus tér , amely homeomorf meg . A forradalom fent leírt felülete általában homeomorf a ( R / Z ) × ( R / Z ) iránt, kivéve a degenerált eseteket .
• az elektronikában a mágneses tórusz volt a második generációs számítógépes memóriák alapeleme.
• a csillagászatban a tórusz lehet bolygó vagy műhold gyűrű .

A forradalom szilárdja az euklideszi geometriában

A tórusz az R 3 euklideszi tér térfogata , amelyet egy r sugarú C kör forgása generál a síkjában a középpontjától R távolságra elhelyezkedő affin D vonal körül . Ebben az értelemben egyes szerzők a kapott szilárd anyagot szilárd tórusként jelölik meg , fenntartva a tóra kifejezést a megfelelő felületnek. Közeli közvetlen affin izometria hatására a tórust (teljes) csak a két valós R és r paraméter határozza meg .

A tórusz alakja (szilárd) a következők jeleitől függ  : r-R{\ displaystyle rR}

• si , a tórust egy pontra csökkentik;r=0=R{\ displaystyle r = 0 = R}
• si , a tórust R sugarú körre redukáljuk  ;r=0<R{\ displaystyle r = 0 <R}
• igen , a tórust állítólag „nyitottnak” tartják, és belső csőnek vagy akár fánknak ( észak-amerikai fánk ) hasonlít . Néhány szerző fenntartja a tórusz nevét erre az esetre (vagy a következő esetet tartalmazza).0<r<R{\ displaystyle 0 <r <R}
• ha , a tórust állítólag „nulla gallérral”;0<r=R{\ displaystyle 0 <r = R}
• igen , a tórust állítólag "keresztbe" tették, és vizuálisan egy tökre hasonlít  ; a szilárd anyag topológiailag egy zárt háromdimenziós tér golyója, felülete pedig gömb.0<R<r{\ displaystyle 0 <R <r}
• si , a (szilárd) tórusz egy r sugarú golyó (szilárd anyag, amelyet egy korong forgatásával kapunk az egyik átmérője körül) .R=0<r{\ displaystyle R = 0 <r}

A tórus egyenletei

A tórust paraméteresen a következőképpen lehet meghatározni :

x(u,v)=(R+rkötözősaláta⁡v)kötözősaláta⁡u{\ displaystyle x (u, v) = (R + r \ cos {v}) \ cos {u} \,} y(u,v)=(R+rkötözősaláta⁡v)bűn⁡u{\ displaystyle y (u, v) = (R + r \ cos {v}) \ sin {u} \,} z(u,v)=rbűn⁡v{\ displaystyle z (u, v) = r \ sin {v} \,}

vagy

u , v a [0, 2π [ , R a cső közepe és a tórus közepe közötti távolság, r a C kör sugara

A négyzetek összegzésével

x2+y2+z2=R2+2Rrkötözősaláta⁡v+r2{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = R ^ {2} + 2Rr \ cos {v} + r ^ {2} \,} Elszigeteljük és újra négyszögölünkkötözősaláta⁡v{\ displaystyle \ cos {vb} \,}

(x2+y2+z2-R2-r2)2=(2Rrkötözősaláta⁡v)2,{\ displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} -R ^ {2} -r ^ {2}) ^ {2} = (2Rr \ cos {v}) ^ {2 },}

Csak az injekció marad:

z2=r2bűn2⁡v{\ displaystyle z ^ {2} = r ^ {2} \ sin ^ {2} {v} \,} Végül:

(x2+y2+z2-R2-r2)2=4R2r2(1-bűn2⁡v) ,{\ displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} -R ^ {2} -r ^ {2}) ^ {2} = 4R ^ {2} r ^ {2} ( 1- \ sin ^ {2} {v}) \,} (x2+y2+z2-R2-r2)2=4R2(r2-z2) ,{\ displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} -R ^ {2} -r ^ {2}) ^ {2} = 4R ^ {2} (r ^ {2} -z ^ {2}) \,}

Egy másik derékszögű egyenlet egy tórusz szimmetrikus a Z tengely van

(x2+y2-R)2+z2=r2,{\ displaystyle \ left ({\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} - R \ jobb) ^ {2} + z ^ {2} = r ^ {2}, \, \!}

Algebrailag megszüntetésével a négyzetgyök kapunk egy egyenletet a 4 th  mértékben.

(x2+y2+z2+R2-r2)2=4R2(x2+y2).{\ displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + R ^ {2} -r ^ {2}) ^ {2} = 4R ^ {2} (x ^ {2} + y ^ {2}). \, \!}

Terület és térfogat

Mert R - r pozitív vagy nulla, van:

• Terület a tórusz:NÁL NÉL=∫02πRdθ(∫02πrdθ)=4π2rR{\ displaystyle A = \ int \ limits _ {0} ^ {2 \ pi} R \, {\ text {d}} \ theta \; \ left (\ int \ limits _ {0} ^ {2 \ pi} r \, {\ text {d}} \ theta \ right) = 4 \ pi ^ {2} rR}

• A tórusz belső térfogata :V=∫02πRdθ(∫02π∫0rrdrdθ)=2π2r2R{\ displaystyle V = \ int \ limits _ {0} ^ {2 \ pi} R \, {\ text {d}} \ theta \; \ left (\ int \ limits _ {0} ^ {2 \ pi} \ int \ limits _ {0} ^ {r} r \, \ mathrm {d} r {\ text {d}} \ theta \ right) = 2 \ pi ^ {2} r ^ {2} R}

A tételek Guldin lehet elérni ezeket az eredményeket, valamint meghatározzák az képletek terület és térfogat kereszt-tórusz (az R < R ).

Izometriák csoportja

Mert R > 0, többek között a jelentős isometries a tórusz teszünk különbséget:

• a tengely (feltételezetten orientált) D és az u szög r u forgása  ;
• a fordított egy tekintetében a affin síkon P merőleges D középpontján áthaladó a C  ;
• a b Q megfordulása bármely D-t tartalmazó Q affin sík vonatkozásában  ;
• a központi szimmetria s képest merőleges vetülete O a C on D  ;
• a tengelyirányú szimmetriák az O-n áthaladó és P-ben lévő bármely vonallal szemben  ;
• az r u forgás vegyületei a megfordítással a .

Nyilvánvaló, hogy a központi szimmetriát és az axiális szimmetriákat úgy kapjuk meg, mint amelyek a leírt irányváltásokból állnak. A csoport G a isometries a tórusz izomorf közvetlen terméke Z / 2 Z a félig közvetlen terméke S 1 által Z / 2 Z  :

G=Z/2Z×(R/2πZ⋊Z/2Z){\ displaystyle G = Z / 2Z \ szor (R / 2 \ pi Z \ rtimes Z / 2Z)}.

A természetes izomorfot a következőképpen írják le:

• r u megfelel (0, u, 0);
• a megfelel az (1,0,0) értéknek;
• Egy tetszőleges fix Q sík esetében b Q megfelel (0,0,1) -nek.

Különösen, b r u ( Q ) = r u b Q r - u megfelel (0, u, 1); s megfelel (1, π, 0).

Villarceau körzetei

A Villarceau-körök két kör, amelyeket egy tórusz metszésével kapunk egy átlós bitangens sík mentén, amely áthalad a tórus közepén. Nevüket Yvon Villarceau (1813–1883) francia csillagásztól és matematikustól kapják . Ha megadjuk a tórus egy pontját, a tórusra négy kört építhetünk, amelyek áthaladnak ezen a ponton: az egyik a tórus síkjában, a másik merőleges erre a síkra; a másik kettő Villarceau köre.

A tórusz színezése

A négy színű tétel nem vonatkozik a tórusra: a tórusz felülete 7 különböző színű (maximum) zónára osztható úgy, hogy mindegyik megérintse a másikat 6. A Ringel - Youngs tétel azt mutatja, hogy 7 szín mindig elegendő.

A tóruszra jellemző Euler

A tórusz Euler-karakterisztikája megegyezik 0-val: lehetséges a tórust összekötni anélkül, hogy szingularitást vezetne be.

Alkalmazások

• A fúzióval történő energiatermelés nukleáris kutatásában tokamak típusú reaktorokban a plazmát erős mágneses mezők tartalmazzák egy torikus alakú kamrában. Az egyik ilyen reaktor a Tore Supra nevet viseli . Ez a szinkrotron típusú részecskegyorsítók vákuumkamráinak alakja is (figyelmen kívül hagyva a bemeneti és kimeneti csatornákat).
• A villamos energiában a transzformátor mágneses áramkörének ideális alakja a tórusé.

Az n dimenzió tórusa

A topológiában a tórusz kifejezés a topológiai terek (vagy fajták ) megjelölésére van fenntartva . Számos prezentáció létezik, amelyek mind egyenértékűek a homeomorfizmussal (vagy diffeomorfizmussal ). N vagy n -tore dimenziós tórust hívunk, és T n-vel jelöljük a topológiai teret, amely a következőképpen definiálható:

• az S 1 egységkör n példányának szorzata  ;
• hányadosa a R n által Z N  ;
• általánosságban az n véges dimenziójú valós E vektortér hányadosa egy G hálózat által  ;

A tórusz dimenzió n egy kompakt és csatlakoztatott topológiai különböző dimenzió n . Kaptunk hányados E / G , T n egy differenciál sokrétű és még egy Abel-Lie-csoport  ; a megfelelő maximális atlasz nem függ a rácstól vagy a vektortértől. Ha E egy euklideszi vektortér , akkor a T n = E / G hányados természetesen sík sokaságként jelenik meg .

Kör felépítéséhez a szegmens végeit egy síkban hajlítva egyesítheti. Hasonlóképpen, egy 2-torus felépítéséhez kettőre-kettőre csatlakozhatunk a négyzet ellentétes oldalához úgy, hogy meghajlítjuk egy harmadik dimenzióban, és általánosabban, egy n- torus felépítéséhez kettőt-kettőt egyesíthetünk az arcokkal ( n - 1) - az n dimenziójú hiperkocka ellentétes méretei azáltal, hogy ezt a hiperkockát új n + 1 dimenzióban meghajlítják . Így egy 3 torus a kocka 3 pár ellentétes oldalának párnázása egy negyedik dimenzióban.

A alapvető csoportja a T n a szabad Abel-csoport a n generátorok, azaz Z n .

A tori az egyetlen összekapcsolt kompakt abeli Lie csoport. A maximális tori ( maximálisan összekapcsolt abeli kompakt alcsoportok ) bevezetése kiemelt fontosságú a kompakt Lie csoportok vizsgálatában .

Egy plazma vagy egy folyadék dinamikája a tóruszban

Toroid vagy toroidális (toroid alakú) tartályok vannak jelen az atomerőművek számos modelljében, beleértve a legutóbbi AP 1000 -t vagy a Mark sorozatú reaktorokat .

A talaj oldalirányú elmozdulásával járó súlyos földrengés, a következményekkel azonos következményekkel járó robbanás vagy sokk esetén az öblítés (indukált hullámok és hullámok, valamint azok lecsúszó hatása ) szokatlan és differenciált feszültségek forrása lehet a tóruszban. Az öblítés megértése ezért kérdés egyes toroid tartályokat alkalmazó technológiák, valamint egy kör alakú vagy toroid tartályok esetében egy mozgó járműben, beleértve a repülőgépet, rakétát vagy űrjárművet is .

A tori formában kialakult plazmák fizikája szintén számos tanulmány tárgyát képezi a tokamak és a magfúzió fejlesztése keretében .

Lásd is

Kapcsolódó cikkek

• Klein palack
• Villarceau körzetei
• Egyszerű komplexum
• Vetítősík
• Nem kommutatív tórus
• Stanford Torus
• Willmore sejtés
• Cső (matematika)
• Univerzum kétdimenziós tórusban .

Külső linkek

• Torus játékok Néhány ingyenesen letölthető, Windows és Mac OS X rendszeren futó játék, amelyek részletesen bemutatják a torus topológiáját
• [videó] Henri Paul de Saint-Gervais, A tórusz univerzális bevonata a YouTube-on

Bibliográfia

• (en) Meserole, JS, A. Fortini (1987), „Slosh Dynamics in a Toroidal Tank”, Journal Spacecraft, 24. kötet, 6. szám, 1987. november – december ( összefoglaló )
• (en) Hiroki Takahara, Kensuke Hara, Takeshi Ishida. (2012) Nemlineáris folyadék oszcillációja hengeres tartályban, excentrikus maghordóval . Journal of Fluids and Structures, 35. évfolyam, 2012. november, 120–132. Oldal ( absztrakt
• en) Hiroki Takahara, Koji Kimura. (2012) Gyűrűs hengeres tartályban bekövetkező lecsapódás frekvencia-válasza, amelyet magassági gerjesztésnek vetnek alá . Journal of Sound and Vibration 331: 13, 3199-3212; Online: 2012-06-01. ( összefoglaló )

Megjegyzések és hivatkozások

1. http://www.geom.uiuc.edu/zoo/toptype/torus/standard/eqns.html
2. NASA (1969), Slosh törlés , 1969. május, PDF, 36p