Sugárzási transzfer

A sugárzási átvitel (vagy sugárzás általi átvitel ) a matematikai fizika területe, amely leírja az elektromágneses sugárzás és az anyag kölcsönhatását . Ez a fegyelem különösen lehetővé teszi a fotonok vagy más részecskék terjedésének elemzését gáznemű, szilárd vagy folyékony közegben. Történelmileg az első fejleményeket a plazmafizika területén hajtották végre és asztrofizika . Ma különféle területeken van jelen, mint például a légkör tanulmányozása, a magas hőmérsékleten történő hőátadás problémái vagy a renderelés a kép előállítása . A fotonoktól eltérő részecskékre is vonatkozik a neutroniában és a besugárzási problémákban , különösen az orvosi területen .

Felvetett problémák

Kétféle probléma létezik:

megjósolni egy fizikai rendszer sugárzását vagy a sugárzás rá gyakorolt hatását. A két probléma szétválasztható vagy összekapcsolható;
diagnosztizálja a forrás tulajdonságait külső mérések alapján. Ez a szempont különösen fontos az asztrofizikában , ahol a vizsgált objektumok különösen távol vannak, és ahol az összes információt a mért spektrumok tartalmazzák . Más problémáknál fordul elő, ahol nehéz a helyzetet in situ jellemezni : plazmák , felső légkör , porózus anyagok stb. Ez a szempont az inverz problémák körébe tartozik, és itt nem foglalkozunk vele.

A következőkben a gáz halmazállapotú közegekre fogunk összpontosítani, amelyek a területen felmerülő problémákat koncentrálják.

Tábornok

A sugárzás a középső ponton:

abszorpción esik át , elősegítve a gáz felmelegedését;
kibocsátott forrás vagy gázrészecskék bocsátják ki, ez a jelenség mikroszkópos szinten nagyon szorosan kapcsolódik az előzőhöz ;
diffúzión megy keresztül , megváltoztatva annak irányát és esetleg a frekvenciáját .

A sugárzás tehát terjedése során kvantitatív és kvalitatív változáson megy keresztül, amelynek eredményeként részleges differenciálegyenletet kapunk, amely az idő szempontjából származtatottakat tartalmaz a helyzet és a terjedés irányának változóihoz: a sugártranszfer egyenlethez.

A sugárzás a következőktől függ:

három változó, amely megadja a tér helyzetét ; ${\ mathbf r}$
két változó, amely megadja a terjedési irányt . A következőkben a colatitude (vagy zenit) és azimut (vagy longitude ) szöget használjuk ; ${\ displaystyle \ mathbf {\ Omega}}$ $\ theta$ $\ phi$
t időváltozó ;
hullámhossz változó . Használhatja a pulzációt ( a spektroszkópiában megkeresztelt hullámszámot ), a frekvenciát vagy az energiát is ; $\ lambda$ ${\ displaystyle \ lambda ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle \ nu = c / \ lambda}$ $h \ nu$

vagy összesen hét változó. Ez a dimenziósság elméleti és numerikus szempontból is megnehezíti a sugártranszfer általános felbontását. Ezenkívül a sugárzás általában befolyásolja az áthaladt anyagot, ami viszont befolyásolja azt. Ebből következik, hogy a problémát a legtöbb esetben kapcsoltan, iteratív módon kell megoldani.

Számos helyzetben a sugárzási időtartomány nagyon rövid a folyadékkal kapcsolatos időskálákhoz képest, így feltételezhető, hogy a sugártranszfer kvázi statikus, így kiküszöbölve az időváltozót. Ez a feltétel számos jelenségben valósul meg, de nem mindig a plazmafizikában, ahol erőszakos jelenségekkel találkozhatunk.

Más esetekben a pozícióváltozók száma kettőre vagy egyre csökkenthető, ha a rendszer geometriája ezt alkalmazza. Végül, ritka esetekben csak az integrált értékeket vehetjük figyelembe a teljes spektrumban. Megjegyezzük, hogy a későbbiekben leírt bizonyos közelítések lehetővé teszik az explicit szögfüggőség kiküszöbölését.

A jelenség megközelítése kinetikus típusú (analóg a gázok kinetikai elméletével ): a fotonoknak egyenes vonalú pályája van a közeggel való két kölcsönhatás között, és a kölcsönhatás időtartama rövid ahhoz az időtartamhoz képest, amely két eseményt elválaszt. Végül tegyük hozzá, hogy az itt készült bemutatás figyelmen kívül hagyja a fény polarizációját vagy a közeg törésmutatójának folyamatos variációját, amely az eikonalis egyenletben jelenlévőkhöz hasonló kifejezéseket tár fel . Ezeket a problémákat többek között légköri transzferekben vagy orvosi tomográfiákban találják meg. A terjedési sebesség megegyezik a fénysebességgel . Közeg esetén homogén index eltérő egység, mi váltja meg . $vs.$ $nem$ $vs.$ ${\ displaystyle v = {\ frac {c} {n}}}$

Sugárzási intenzitás

A sugárzást a spektrális fényereje jellemzi , a szögeloszlás a következőképpen definiálva. A tér egy adott pontjában tekintjük a sugárzást, amely szilárd szögben , frekvencia intervallumban található, és a terjedési irányára merőleges elemi területet keresztez . A fotonok energiamennyisége arányos azzal , amit írhatunk: ${\ displaystyle L _ {\ nu}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} {\ mathit {\ Omega}} = \ sin \ theta ~ \ mathrm {d} \ theta ~ \ mathrm {d} \ phi}$ ${\ displaystyle [\ nu, \ nu + \ mathrm {d} \ nu]}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} \ sigma = \ mathrm {d} S \, \ cos \ theta}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} {\ mathcal {E}} _ {\ nu}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} \ sigma \ mathrm {d} \ nu \ mathrm {d} {\ mathit {\ Omega}} \ mathrm {d} t}$

{\ displaystyle \ mathrm {d} {\ mathcal {E}} _ {\ nu} \, = \, L _ {\ nu} \, \ mathrm {d} \ sigma \, \ mathrm {d} \ nu \ , \ mathrm {d} {\ mathit {\ Omega}} \, \ mathrm {d} t}

A spektrális fénysűrűség tehát a terület, idő, frekvencia és szilárd szög egységenkénti energiája, amely keresztezi a sugárnyalábra merőleges felületet. Ezért pozitív vagy nulla mennyiségről van szó. A mennyiség , ami a szögletes energia áramlását, fejezzük W m -2 sr -1 a nemzetközi rendszer egységek vagy joule s -1 cm -2 sr -1 a CGS rendszer (elavult, de még mindig használják egyes területeken ). ${\ displaystyle L _ {\ nu}}$ ${\ displaystyle L _ {\ nu} \ mathrm {d} \ nu}$

Ha a hullámhosszra, és nem a frekvenciára hivatkozunk, akkor a szögáramot is reprezentáló mennyiség nem egyenlő és nem azonos fizikai dimenziókkal rendelkezik. A két szkript egyenértékűsége lehetővé teszi az írást ${\ displaystyle L _ {\ lambda} \ mathrm {d} \ lambda}$ ${\ displaystyle L _ {\ lambda}}$ ${\ displaystyle L _ {\ nu}}$

{\ displaystyle L _ {\ lambda} \ delta \ lambda \, = \, L _ {\ nu} \ delta \ nu}

és mivel , $\ lambda = c / \ nu$

{\ displaystyle L _ {\ lambda} = L _ {\ nu} \, \ delta \ nu / \ delta \ lambda = L _ {\ nu} \, | \ mathrm {d} \ nu / \ mathrm {d} \ lambda | = (\ nu ^ {2} / c) L _ {\ nu} = (c / \ lambda ^ {2}) L _ {\ nu}}

Az abszolút érték jelenléte ebben a kifejezésben összefügg azzal a ténnyel, hogy és pozitívan számítanak. Következik ezek a kifejezések, hogy mérjük Jm -2 sr -1 és a W m -3 sr -1 . ${\ displaystyle \ delta \ lambda}$ ${\ displaystyle \ delta \ nu}$ ${\ displaystyle L _ {\ nu}}$ ${\ displaystyle L _ {\ lambda}}$

Amint azt fentebb jeleztük, a sugárzás intenzitása a figyelembe vett ponttól, irányától, frekvenciájától és idejétől függ: ${\ displaystyle L _ {\ nu} = L _ {\ nu} (\ mathbf {r}, t, \ mathbf {\ Omega}, \ nu)}$

Fényerő pillanatai

A fényerősség mozzanatait a szorzás utáni szögintegráció határozza meg , ahol a tenzor szorzata van . Ezek a mennyiségek fontos szerepet játszanak. Ezeket a következők határozzák meg. ${\ displaystyle L _ {\ nu}}$ ${\ displaystyle 1, \ mathbf {\ Omega}, \ mathbf {\ Omega} \ otimes \ mathbf {\ Omega}, ...}$ $\ otimes$

Sugárzási energia

A spektrális térfogat energia a teljes szögtérben az intenzitás integrálja, osztva (egység Jsm -3 ) $vs.$

{\ displaystyle E _ {\ nu} (\ mathbf {r}, t, \ nu) = {\ frac {1} {c}} \ int _ {4 \ pi} \, L _ {\ nu} (\ theta, \ phi) \, \ mathrm {d} {\ mathit {\ Omega}} \ equiv {\ frac {1} {c}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ mathrm {d} \ phi \ int _ {0} ^ {\ pi} L _ {\ nu} (\ theta, \ phi) \, \ sin \ theta \, d \ theta}

Ha a fénysugár forradalmi (független az azimuttól ), akkor megvan $\ phi$

{\ displaystyle E _ {\ nu} = {\ frac {2 \ pi} {c}} \ int _ {0} ^ {\ pi} L _ {\ nu} (\ theta) \, \ sin \ theta \ , \ mathrm {d} \ theta = {\ frac {2 \ pi} {c}} \ int _ {- 1} ^ {1} L _ {\ nu} (\ mu) \ mathrm {d} \ mu}

hol . Ez a változóváltozás egyszerűen lehetővé teszi az írás sűrítését. Az azimutális függetlenség lehetővé teszi a változó tér egy egységgel történő csökkentését. ${\ displaystyle \ mu = \ cos ~ \ theta}$

Ha a közeg termodinamikai egyensúlyban van, akkor a sugárzás egy fekete testé : izotróp és a fényintenzitás Planck törvényét követi .

{\ displaystyle L _ {\ nu} \, = L _ {\ nu} ^ {\ circ} = {\ frac {2h \ nu ^ {3}} {c ^ {2}}} {\ frac {1} {e ^ {h \ nu / kT} -1}}}

Az energia megéri ebben az esetben . ${\ displaystyle E _ {\ nu} = {\ frac {4 \ pi L _ {\ nu} ^ {\ circ}} {c}}}$

Az egész spektrum integrálása megadja a teljes térfogati energiát (SI egység: J / m 3 ):

{\ displaystyle E (\ mathbf {r}, t) = \ int _ {0} ^ {\ infty} E _ {\ nu} \ mathrm {d} \ nu = aT ^ {4}}

val vel ${\ displaystyle a = {\ frac {8 \ pi ^ {5} k ^ {4}} {15h ^ {3} c ^ {3}}} = 7.565865 \ szor 10 ^ {- 16} ~ \ mathrm {J \ cdot m ^ {- 3} \ cdot K ^ {- 4}}}$

Ennek az integrációnak a végrehajtásához a változó és a reláció változását használtuk ${\ displaystyle x = {\ frac {h \ nu} {kT}}}$ ${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {3}} {\ mathrm {e} ^ {x} -1}} \ mathrm {d} x = {\ frac {\ pi ^ {4}} {15}}}$

Általános esetben néha látszólagos vagy effektív hőmérsékletet használunk, amelyet T eff-nek jelölünk és a -val definiálunk . A mennyiség a fekete test hőmérséklete, amely megfelel az energiának, és nincs különösebb fizikai jelentése. ${\ displaystyle E = aT _ {\ mathrm {eff}} ^ {4}}$ ${\ displaystyle T _ {\ mathrm {eff}}}$ $E$

Sugárzási fluxus és kilépés

A felületen átmenő spektrális fluxus sűrűségének megfelelő vektor az intenzitás 1. nagyságrendje ( J m −2 egység ). $dS$

{\ displaystyle \ mathbf {M} _ {\ nu} (\ mathbf {r}, t, \ nu) = \ int _ {4 \ pi} L _ {\ nu} \ mathbf {\ Omega} \ mathrm {d } {\ mathit {\ Omega}}}

A vetület modulusát a felület normális felületén kilépésnek nevezzük .

Használjuk a dimenzió nélküli áramlást is

{\ displaystyle \ mathbf {f} _ {\ nu} (\ mathbf {r}, t, \ nu) = {\ frac {\ mathbf {M} _ {\ nu}} {cE _ {\ nu}}} }

A norma intézkedések anizotrópia. Az izotróp sugárzásnak tehát nulla fluxusa van . A maximális fluxust akkor kapjuk meg, ha az összes energiát a c sebességgel szállítjuk : értéke ebben az esetben ez . Ez utóbbi helyzet egy párhuzamos sugarat ír le lézersugárként. ${\ displaystyle f _ {\ nu} = || \ mathbf {f} _ {\ nu} || = 0}$ ${\ displaystyle cE _ {\ nu}}$ ${\ displaystyle f _ {\ nu} = \ pm 1}$

Bármely tengely által meghatározott síkdimenziós esetben felírják a tengelyen mért fluxus modulusát

{\ displaystyle M _ {\ nu} = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ mathrm {d} \ phi \ int _ {0} ^ {\ pi} L _ {\ nu} (\ theta, \ phi) \ cos \ theta \ sin \ theta \ mathrm {d} \ theta}

Ha ráadásul a fényerő forradalmi, akkor ez a kifejezés válik

{\ displaystyle M _ {\ nu} \, = \, 2 \ pi \ int _ {0} ^ {\ pi} L _ {\ nu} (\ theta) \, \ cos \ theta \, \ sin \ theta \, \ mathrm {d} \ theta \, = \, 2 \ pi \ int _ {- 1} ^ {1} L _ {\ nu} (\ mu) \ mu \ mathrm {d} \ mu}

Ezt a kifejezést úgy oszthatjuk fel, hogy a teret két részre osztjuk, az egyik az irányba haladó sugarakra - a + felé, a másik az ellenkező irányra. Megjegyezzük és az intenzitásokat minden féltérben. Megjegyezzük a megfelelő áramlásokat, és így . Ezeket az értékeket a ${\ displaystyle L _ {\ nu} ^ {+}}$ ${\ displaystyle L _ {\ nu} ^ {-}}$ ${\ displaystyle M _ {\ nu} ^ {+}}$ ${\ displaystyle M _ {\ nu} ^ {-}}$ ${\ displaystyle M _ {\ nu} \, = M _ {\ nu} ^ {+} - M _ {\ nu} ^ {-}}$

{\ displaystyle M _ {\ nu} ^ {+} = 2 \ pi \ int _ {0} ^ {1} L _ {\ nu} ^ {+} \ mu \ mathrm {d} \ mu}

{\ displaystyle M _ {\ nu} ^ {-} = 2 \ pi \ int _ {- 1} ^ {0} L _ {\ nu} ^ {-} \ mu \ mathrm {d} \ mu}

Egy izotróp fényerőhöz megvan : Lambert törvénye . ${\ displaystyle M _ {\ nu} ^ {+} = \ pi L _ {\ nu} ^ {+}}$

Ha ráadásul termodinamikai egyensúlyban vagyunk, akkor a frekvenciákra való integrációval megkapjuk Stefan törvényét : hol van a Stefan-Boltzmann-állandó . ${\ displaystyle M ^ {+} (\ mathbf {r}, t) = M ^ {-} = {\ frac {cE} {4}} = \ sigma T ^ {4}}$ ${\ displaystyle \ sigma = {\ frac {ac} {4}}}$

Ezeket a kifejezéseket itt kevéssé érdekli, de teljes jelentőségüket akkor kapják meg, amikor a teret egy átlátszatlan fizikai akadály két részre osztja. Ezután leírják az ilyen korlátok felületének sugárzási tulajdonságait.

Egyszerűsítő feltételezés abból áll, hogy eleve feltételezzük , hogy a fényerő izotróp minden féltérben. Ez a módszer annak köszönhető, hogy Arthur Schuster (1905) és Karl Schwarzschild (1906). Ennek során a probléma szögfüggését kiküszöbölik az egyenletek számának kétszeres növekedése árán. Ezt a módszert általánosítják a kétdimenziós problémára a tér 4 kvadránsra történő felosztásával , a háromdimenziós feladatot pedig 8 oktánsra osztással, amely 4, illetve 8-zal megszorozza az egyenletek számát. Ennek ellenére a számítási idő nyeresége továbbra is jelentős. Megjegyezzük, hogy ebben az esetben a szögeloszlás szakadatlan, ami önmagában nem jelent problémát. A megszakítás azonban méri a módszer pontosságát, amely általában gyenge.

Sugárzási nyomás

A nyomás a 2. nagyságrendű szimmetrikus tenzor (Jsm -3 egység )

{\ displaystyle {\ mathsf {P}} _ {\ nu} (\ mathbf {r}, t, \ nu) = {\ frac {1} {c}} \ int _ {4 \ pi} L _ {\ nu} \, \ mathbf {\ Omega} \ otimes \ mathbf {\ Omega} \ mathrm {d} \ Omega}

Ha az intenzitás izotróp, akkor a nyomás tenzorát a tenzor egység szerint fejezzük ki , ez Kronecker szimbóluma ${\ displaystyle {\ mathsf {I}} = [\ delta _ {ij}]}$ $\ delta_ {ij}$

{\ displaystyle {\ mathsf {P}} _ {\ nu} = {\ frac {L _ {\ nu} (\ mathbf {r}, t, \ nu)} {c}} \ int _ {4 \ pi } \ mathbf {\ Omega} \ otimes \ mathbf {\ Omega} \ mathrm {d} \ Omega = {\ frac {1} {3c}} L _ {\ nu} {\ mathsf {I}}}

A nyomás tehát szintén izotróp. Látni fogjuk, hogy az ellenkező állítás nem igaz.

A fekete test esetében be lehet integrálni a frekvenciába, ahogy ezt fentebb tettük az energiára, és a nyomás akkor ér (Jm -3 egység )

{\ displaystyle {\ mathsf {P}} = {\ frac {1} {3}} aT ^ {4} {\ mathsf {I}}}

Nem szükséges, hogy rendkívül magas hőmérséklet legyen, hogy a sugárzási nyomás versenyezhessen a folyadék nyomásával. Ilyen például a Nichols radiométer . Ezt a nyomásfogalmat használják a felületre kifejtett erő kiszámításához, mint egy napvitorla esetében .

A nyomás helyett a dimenzió nélküli Eddington tenzort használjuk . A megfelelő mátrix nem nulla sajátértéke az Eddington- együttható . A megfelelő sajátvektor az egységes áramlási terjedési vektor . ${\ displaystyle {\ mathsf {D}} _ {\ nu} = {\ frac {{\ mathsf {P}} _ {\ nu}} {E _ {\ nu}}}}$ ${\ displaystyle \ chi _ {\ nu}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {k} _ {\ nu} = {\ frac {\ mathbf {f} _ {\ nu}} {f _ {\ nu}}}}$

Ha a probléma azimutálisan szimmetrikus, megmutathatjuk, hogy az Eddington- tenzor a következő formában írható:

{\ displaystyle {\ mathsf {D}} _ {\ nu} = {\ frac {1- \ chi _ {\ nu}} {2}} \ mathrm {I} + {\ frac {3 \ chi _ {\ nu} -1} {2}} \ mathbf {k} _ {\ nu} \ otimes \ mathbf {k} _ {\ nu}}

Ez egy izotrop kifejezés és egy párhuzamos sugár összege. megfelel az izotrop esetnek és a gerendának. ${\ displaystyle \ chi _ {\ nu} = {\ frac {1} {3}}}$ ${\ displaystyle \ chi _ {\ nu} = 1}$

Transzferegyenlet

Amikor a sugárzás részecskéket ( szén- semleges vagy ionizált, elektronok , semleges vagy ionizált molekulák , anyagszemcsék stb.) Tartalmazó közegen halad át , ez az anyag képes elnyelni, továbbítani vagy elosztani a fényenergiát.

Abszorpció

Az egységnyi térfogatban n aktív részecskét tartalmazó közeg abszorpciós kapacitását a tényleges szakasz vagy az abszorpciós együttható jellemzi , amelynek hossza fordított dimenzióval rendelkezik, és úgy van meghatározva, hogy a dimenzió nélküli mennyiség a mentén elnyelt sugárzás frakcióját képviselje. az utat . Ez a mennyiség határozza meg a végtelenül kicsi réteg optikai vastagságát . ${\ displaystyle \ Sigma _ {\ nu}}$ ${\ displaystyle \ kappa _ {\ nu} = n \ Sigma _ {\ nu}}$ ${\ displaystyle \ kappa _ {\ nu} ds}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} s}$

{\ displaystyle \ mathrm {d} \ tau _ {\ nu} \, = \, \ kappa _ {\ nu} \, \ mathrm {d} s}

van

{\ displaystyle \ tau _ {\ nu} \, = \, \ int _ {0} ^ {s} \ kappa _ {\ nu} \, \ mathrm {d} s}

A tér egy dimenziójával rendelkező közeg esetében az abszorpció önmagában a fényerő exponenciális csökkenéséhez vezet ( Beer-Lambert-törvény ). annak a valószínűsége, hogy a foton nem szívódik fel. Az átlagos szabad utat az határozza meg . Most tehát . ${\ displaystyle L _ {\ nu} (\ tau _ {\ nu}) = L _ {\ nu} (0) e ^ {- \ tau _ {\ nu}}}$ ${\ displaystyle e ^ {- \ tau _ {\ nu}}}$ $l$ ${\ displaystyle {\ overline {\ tau _ {\ nu}}} = \ kappa _ {\ nu} l}$ ${\ displaystyle {\ overline {\ tau _ {\ nu}}} = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ tau _ {\ nu} e ^ {- \ tau _ {\ nu}} \ mathrm { d} \ tau _ {\ nu} = 1}$ ${\ displaystyle l = \ kappa _ {\ nu} ^ {- 1}}$

Ha a frekvencia helyett változónak vesszük a hullámhosszat, akkor az abszorpciós együttható olyan ${\ displaystyle \ kappa _ {\ lambda}}$ ${\ displaystyle \ kappa _ {\ lambda} = \ kappa _ {\ nu}}$

Kibocsátás, forrás funkció

A táptalaj tartalmazhat megemlített forrást . Ez lehet pont, vonal, felület vagy térfogat. A térfogat-kibocsátás fontos esete a gázé. Meghatározzuk a mikroszkópos mechanizmusokkal történő abszorpcióval kapcsolatos spontán emissziós együtthatót ( Einstein-együtthatók ). Helyi termodinamikai egyensúlynál hol van a fent meghatározott Planck-eloszlás. ${\ displaystyle S _ {\ nu}}$ ${\ displaystyle \ epsilon _ {\ nu}}$ ${\ displaystyle \ epsilon _ {\ nu} = \ kappa _ {\ nu} L _ {\ nu} ^ {\ circ}}$ ${\ displaystyle L _ {\ nu} ^ {\ circ}}$

Diffúzió

A foton kölcsönhatása egy töltött részecskével vagy a hullámhosszhoz közeli méretű szilárd tárggyal deviációs jelenséget és esetleg frekvenciaváltozást idéz elő. A diffúziót (angolul "scattering") az jellemzi, hogy valószínû a megvalósulás a frekvenciaintervallumon , az úton , és érdemes két részbõl áll, az egyik a közvetlen átmenet (létrehozás) , a másik pedig a fordított jelenség ( eltűnés) ${\ displaystyle [\ nu, \ nu + \ mathrm {d} \ nu]}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} s}$ ${\ displaystyle \ Theta _ {\ nu} \ mathrm {d} s}$ ${\ displaystyle \ Theta _ {\ nu} ^ {+}}$ ${\ displaystyle \ Theta _ {\ nu} ^ {-}}$

{\ displaystyle {\ begin {tömb} {lcl} \ Theta _ {\ nu} ^ {+} & = & \ int _ {0} ^ {\ infty} n \ sigma _ {\ nu} (\ nu '\ rightarrow \ nu) {\ mathcal {P}} _ {\ nu} (\ mathbf {\ Omega} '\ rightarrow \ mathbf {\ Omega}) \ mathrm {d} \ nu' \\ [0.5em] \ Theta _ {\ nu} ^ {-} & = & \ int _ {0} ^ {\ infty} n \ sigma _ {\ nu} (\ nu \ rightarrow \ nu ') {\ mathcal {P}} _ {\ nu } (\ mathbf {\ Omega} \ rightarrow \ mathbf {\ Omega} ') \ mathrm {d} \ nu' \ end {tömb}}}

A jelenség arányos az egységnyi térfogatú diffúzorok számával és az egyes intervallumokkal a spektrális keresztmetszetükkel (egység m 2 s). $nem$ ${\ displaystyle [\ nu ', \ nu' + \ mathrm {d} \ nu ']}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {\ nu} (\ nu \ rightarrow \ nu ')}$

Az eltérést a standardizált eloszlásfüggvény (angolul "phase function") jellemzi . Ez az eloszlás általában tengelyszimmetrikus a beeső sugárhoz viszonyítva, és csak attól a szögtől függ, amelyet koszinussal jellemezhetünk, amelynek értékét a skaláris szorzat adja meg . ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} _ {\ nu} (\ mathbf {\ Omega} \ rightarrow \ mathbf {\ Omega} ')}$ ${\ displaystyle \ int _ {4 \ pi} {\ mathcal {P}} _ {\ nu} \ mathrm {d} \ Omega = 1}$ ${\ displaystyle (\ mathbf {\ Omega}, \ mathbf {\ Omega} ')}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ Omega} \ cdot \ mathbf {\ Omega} '}$

A diffúzió kifejezését tehát az egészbe integrálva kell megírni ${\ displaystyle \ mathbf {\ Omega} '}$

{\ displaystyle \ epsilon _ {\ nu} ^ {d} = \ int _ {4 \ pi} \ balra [\ Theta _ {\ nu} ^ {+} L _ {\ nu} (\ nu ', \ mathbf {\ Omega} ') - \ Theta _ {\ nu} ^ {-} L _ {\ nu} (\ nu, \ mathbf {\ Omega}) \ right] \ mathrm {d} \ Omega'}

Egyszerűsíthetjük ezt a kifejezést az integrál elhagyásával és a normalizálásának figyelembevételével ${\ displaystyle L _ {\ nu} (\ nu, \ mathbf {\ Omega})}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} _ {\ nu}}$

{\ displaystyle \ epsilon _ {\ nu} ^ {d} = \ int _ {0} ^ {\ infty} n \ sigma _ {\ nu} '\ int _ {4 \ pi} {\ mathcal {P}} _ {\ nu} (\ mathbf {\ Omega} \ cdot \ mathbf {\ Omega} ') L _ {\ nu} (\ nu', \ mathbf {\ Omega} ') d \ Omega' \ mathrm {d} \ nu '-L _ {\ nu} (\ nu, \ mathbf {\ Omega}) \ int _ {0} ^ {\ infty} n \ sigma _ {\ nu}' \ mathrm {d} \ nu '}

Ez a kifejezés azt az együtthatót mutatja, amely az intenzitás kihalását jellemzi . Megjegyezzük, hogy az intenzitásra gyakorolt hatás megegyezik az abszorpció jellemzőjével. Ezért meghatározhatjuk a teljes kihalási együtthatót . Ebben a kifejezésben a diffúzió része az albedo ${\ displaystyle \ kappa _ {\ nu} ^ {d} = \ int _ {0} ^ {\ infty} n \ sigma _ {\ nu} '\ mathrm {d} \ nu'}$ ${\ displaystyle L _ {\ nu}}$ ${\ displaystyle \ kappa _ {\ nu} ^ {t} = \ kappa _ {\ nu} + \ kappa _ {\ nu} ^ {d}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {\ nu} = {\ frac {\ kappa _ {\ nu} ^ {d}} {\ kappa _ {\ nu} ^ {t}}}}$

Ez a Compton-szórásra érvényes egyenlet egyszerűsített az olyan rugalmas szóráshoz (frekvenciaváltozás nélkül), mint a Thomson , Mie vagy Rayleigh-szórás . Ebben az esetben meghatározunk egy hatékony szakaszt úgy, hogy ${\ displaystyle \ Sigma _ {\ nu}}$

{\ displaystyle {\ begin {tömb} {lcl} \ Theta _ {\ nu} ^ {+} & = & n \ Sigma _ {\ nu} {\ mathcal {P}} _ {\ nu} (\ mathbf { \ Omega} '\ rightarrow \ mathbf {\ Omega}) \\ [0.5em] \ Theta _ {\ nu} ^ {-} & = & n \ Sigma _ {\ nu} {\ mathcal {P}} _ { \ nu} (\ mathbf {\ Omega} \ rightarrow \ mathbf {\ Omega} ') \ end {tömb}}}

A diffúzió időtartama válik

{\ displaystyle \ epsilon _ {\ nu} ^ {d} = \ kappa _ {\ nu} ^ {d} \ int _ {4 \ pi} {\ mathcal {P}} _ {\ nu} (\ mathbf { \ Omega} \ cdot \ mathbf {\ Omega} ') L _ {\ nu} (\ nu', \ mathbf {\ Omega} ') \ mathrm {d} \ Omega' - \ kappa _ {\ nu} ^ { d} L _ {\ nu} (\ nu, \ mathbf {\ Omega})}

val vel ${\ displaystyle \ kappa _ {\ nu} ^ {d} = n \ Sigma _ {\ nu}}$

A sugártranszfer egyenlet

Megfogalmazás integrodifferenciális formában

A sugárzási egyenlet meghatározza a frekvenciaintervallum energiamérlegét térfogatban , szilárd szögben ${\ displaystyle \ mathrm {d} \ nu}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} s \ mathrm {d} \ sigma = c \ mathrm {d} t \ mathrm {d} \ sigma}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} \ Omega}$

{\ displaystyle \ left [L _ {\ nu} (\ mathbf {r} + \ mathbf {\ Omega} \ mathrm {d} s, t + \ mathrm {d} t, \ mathbf {\ Omega}) -L _ {\ nu} (\ mathbf {r}, t, \ mathbf {\ Omega}) \ right] \ mathrm {d} \ sigma \ mathrm {d} \ Omega \ mathrm {d} t \ mathrm {d} \ nu = \ left [\ epsilon _ {\ nu} - \ kappa _ {\ nu} ^ {t} L _ {\ nu} (\ mathbf {r}, t, \ mathbf {\ Omega}) + \ int _ {0} ^ {\ infty} n \ sigma _ {\ nu} '\ int _ {4 \ pi} {\ mathcal {P}} _ {\ nu} (\ mathbf {\ Omega} \ cdot \ mathbf {\ Omega} ') L _ {\ nu} (\ nu', \ mathbf {\ Omega} ') \ mathrm {d} \ Omega' \ mathrm {d} \ nu '\ right] \ mathrm {d} s \ mathrm {d} \ sigma \ mathrm {d} \ Omega \ mathrm {d} t \ mathrm {d} \ nu}

A bal oldali kifejezés a referencia térfogat időbeli változását jelenti;
a jobboldali kifejezések az energiaforrásokat és -elnyelőket képviselik.

most egy Taylor-bővítés lehetővé teszi számunkra az írást

{\ displaystyle L _ {\ nu} (\ mathbf {r} + \ mathbf {\ Omega} \ mathrm {d} s, t + \ mathrm {d} t, \ mathbf {\ Omega}) -L _ {\ nu} (\ mathbf {r}, t, \ mathbf {\ Omega}) = \ balra ({\ frac {1} {c}} {\ frac {\ részleges L _ {\ nu}} {\ részleges t} } + {\ frac {\ részleges L _ {\ nu}} {\ részleges s}} \ jobbra) \ mathrm {d} s = \ balra ({\ frac {1} {c}} {\ frac {\ részleges L _ {\ nu}} {\ részleges t}} + \ mathbf {\ Omega} \ cdot \ nabla L _ {\ nu} \ right) \ mathrm {d} s}

hogy a sugártranszfer egyenletet formában kapjuk meg (rugalmas szóródás esetén)

{\ displaystyle {\ frac {1} {c}} {\ frac {\ részleges L _ {\ nu}} {\ részleges t}} + \ mathbf {\ Omega} \ cdot \ nabla L _ {\ nu} + \ kappa _ {\ nu} ^ {t} L _ {\ nu} = \ epsilon _ {\ nu} +2 \ pi \ kappa _ {\ nu} ^ {d} \ int _ {- 1} ^ {1 } {\ mathcal {P}} _ {\ nu} L _ {\ nu} \ mathrm {d} \ mu}

Ez az egyenlet Boltzmann-egyenletként is ismert, mivel hasonlít a gáznemű közegeket leíró egyenlettel. A jobb oldali kifejezés a teljes termelést jelenti.

Megfogalmazás integrált formában

Az egyik lehet leírni a fényerősség a ponton , abban az irányban , mint az összessége a sugarak érkeznek ezen a ponton, és jön a termelt abban a pillanatban . Ebben az eredetünkben van egy forráskifejezésünk, amely megfelel egy emissziónak, vagy egy adás eredménye . Ez utóbbi esetben meg van írva ${\ mathbf r}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ Omega}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} -s \ mathbf {\ Omega}}$ ${\ displaystyle s = | \ mathbf {r} - \ mathbf {r '} |}$ ${\ displaystyle t - {\ frac {s} {c}}}$ ${\ displaystyle S _ {\ nu}}$ ${\ displaystyle (\ nu '\ rightarrow \ nu, \ mathbf {\ Omega}' \ rightarrow \ mathbf {\ Omega})}$

{\ displaystyle S _ {\ nu} = \ int _ {4 \ pi} \ Theta _ {\ nu} ^ {+} L _ {\ nu} \ left (\ nu ', \ mathbf {\ Omega}', \ mathbf {r} -s \ mathbf {\ Omega}, t - {\ frac {s} {c}} \ right) \ mathrm {d} \ Omega '}

A pontban a fényerőt a látóvonalra történő integrációval kapjuk ${\ mathbf r}$ ${\ displaystyle (- \ mathbf {\ Omega})}$

{\ displaystyle L _ {\ nu} (\ mathbf {r}, t, \ nu) = \ int _ {0} ^ {\ infty} S _ {\ nu} \ balra (\ mathbf {r} -s \ mathbf {\ Omega}, t - {\ frac {s} {c}} \ right) e ^ {- \ int _ {0} ^ {s} \ kappa _ {\ nu} (\ mathbf {r} -s '\ mathbf {\ Omega}, t - {\ frac {s'} {c}}) \ mathrm {d} s '} \ mathrm {d} s}

Ez a kifejezett kifejezés csak korlátozott számú helyzetben használható.

Analitikai megoldások

Közvetlen megoldások

Az analitikai megoldások kevések. Idézhetünk egy végtelen, homogén, izotrop diffúziójú közeget, amelyre a következő formában írhatjuk fel a sugárzási transzfer egyenletet : ${\ displaystyle L _ {\ nu} (\ tau _ {\ nu}, \ mu)}$

{\ displaystyle \ mu {\ frac {\ részleges L _ {\ nu}} {\ részleges \ tau _ {\ nu}}} + L _ {\ nu} = S _ {\ nu} (\ mu) + { \ frac {\ omega _ {\ nu}} {2}} \ int _ {- 1} ^ {1} L _ {\ nu} \ mathrm {d} \ mu}

Első eset: csak felszívódás . ${\ displaystyle \ omega _ {\ nu} = 0, \; S _ {\ nu} = 0, \; \ tau _ {\ nu} = \ kappa _ {\ nu} x}$

Ha a határozott feltétel a sík által meghatározott sík sugara abban az irányban (merőleges a felületre) a megoldás

x = 0

{\ displaystyle \ mu = 1}

{\ displaystyle L _ {\ nu} (\ tau _ {\ nu}, \ mu = 1) = L _ {\ nu} (0) e ^ {- \ tau _ {\ nu}}}

Ez a Beer-Lambert törvény . Izotróp forrás esetén a megoldás meg van írva

L_0

{\ displaystyle L _ {\ nu} (\ tau _ {\ nu}, \ mu) = L_ {0} e ^ {- {\ frac {\ tau _ {\ nu}} {\ mu}}}}

Az origóhoz közeli kvázi-izotróp szögeloszlás (lásd ellentétben) egyre inkább orientálódik: a felületre merőlegeshez közeli sugarak gyengébb optikai utat járnak be és dominánssá válnak.

Abszorpció és kibocsátás.

A megoldás egyszerűen az előző megoldás, amelyhez hozzáadjuk azt a forrásfüggvényt, amely akkor válik dominánssá, amikor eltávolodunk az origótól.

Felszívódás és diffúzió . ${\ displaystyle \ tau _ {\ nu} = (\ kappa _ {\ nu} + \ kappa _ {\ nu} ^ {d}) \, x}$

Az oldatot ezen integrodifferential egyenlet állítható elő a Wiener-Hopf módszerrel vagy a tanulmány a szinguláris sajátértékei a közlekedési üzemeltető társított Boltzmann-egyenlet. Hosszú számítások után megkapjuk a balról jobbra terjedést

{\ displaystyle L _ {\ nu} (\ tau _ {\ nu}> 0, \ mu) = L_ {0} \ balra [{\ frac {\ omega _ {\ nu} \ beta _ {\ nu}} {\ beta _ {\ nu} - \ mu}} e ^ {- {\ frac {\ tau _ {\ nu}} {\ beta _ {\ nu}}}} + \ int _ {0} ^ {1 } B (\ gamma, \ mu) e ^ {- {\ frac {\ tau _ {\ nu}} {\ gamma}}} \ mathrm {d} \ gamma \ right]}

hol van a transzcendens egyenlet megoldása

{\ displaystyle \ beta _ {\ nu}}

{\ displaystyle {\ rm {artanh}} \, \ beta _ {\ nu} \, = \ omega _ {\ nu} ^ {- 1} \ beta _ {\ nu} ^ {- 1} \; \ rightarrow \; 0 <\ beta _ {\ nu} ^ {- 1} <1}

Az első kifejezés a leglassabb bomlásnak felel meg, ezért megoldás a nagy x-ekre. : a bomlás lassabb, mint . A szögeloszlás (lásd a szemközti ábrát) az előzőhöz képest tartalmaz egy izotrop kifejezést, amely akkor válik dominánssá, ha eltávolodik az origótól. Összességében az origótól távol eső megoldás lassan csökkenő izotróp eloszlás.

{\ displaystyle \ beta _ {\ nu} \, \,> \, 1}

{\ displaystyle e ^ {- \ tau _ {\ nu}}}

Érdekes módon a jobbról balra terjedés izotróp. Különösen képesek vagyunk megadni a középen balra érkező sugárzást. Ez a típusú számítás felhasználható a félig átlátszó közeg felületének emissziós vagy kétirányú visszaverő képességének megismerésére .

Csak diffúzió.

Izotróp forrás esetén a probléma triviális megoldása az . A forrást módosítás nélkül terjesztik az egész táptalajon.

{\ displaystyle L _ {\ nu} = L_ {0}}

Integrált módszerek

Bizonyos esetekben az általános megoldást a probléma Green K eloszlásának kiszámításával lehet elérni . Az oldatot ezután a konvolúció szorzataként fejezzük ki

{\ displaystyle E _ {\ nu} (\ tau _ {\ nu}) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} K (\ tau _ {\ nu} - \ tau _ {\ nu} ' ) S _ {\ nu} (\ tau _ {\ nu} ') \ mathrm {d} \ tau _ {\ nu}'}

Ezt az egyenletet Schwarzschild - Milne egyenletnek (1921) nevezzük . A módszer elméletileg a forráskifejezéstől függetlenül alkalmazható . A gyakorlatban a diffúziós probléma analitikai megoldásai ritkák, és egyszerű esetekre korlátozódnak, például homogén közegre (állandó tulajdonságok), izotróp diffúzióra, geometriában sík, hengeres vagy gömb alakú dimenzióval. A felbontás matematikai módszereket használ, például Laplace vagy Fourier transzformációkat . Ezeket a megoldásokat referenciaként alkalmazzák a teszt-közelítések ( teljesítményvizsgálatok ) során. ${\ displaystyle S _ {\ nu}}$

Vegyünk egy közeget, amelynek térdimenziója álló helyzetben van, diffúzió nélkül. A fényerőt úgy írjuk, hogy a fenti kifejezést bármelyik x tengelyre vetítjük és a fent meghatározott optikai mélységet használjuk

{\ displaystyle \ tau _ {\ nu}}

részéről - + felé

{\ displaystyle L _ {\ nu} ^ {+} (\ tau _ {\ nu}, \ mu> 0) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ tau _ {\ nu}} S _ {\ nu} (\ tau ') e ^ {- {\ frac {\ tau _ {\ nu} - \ tau _ {\ nu}'} {\ mu}}} {\ frac {d \ tau _ {\ nu} '} {\ mu}}}

a + részhez

{\ displaystyle L _ {\ nu} ^ {-} (\ tau _ {\ nu}, \ mu <0) = \ int _ {\ tau _ {\ nu}} ^ {\ infty} S _ {\ nu } (\ tau _ {\ nu} ') e ^ {- {\ frac {\ tau _ {\ nu}' - \ tau _ {\ nu}} {\ mu}}} {\ frac {d \ tau _ {\ nu} '} {\ mu}}}

Az energia tehát

{\ displaystyle E _ {\ nu} = {\ frac {2 \ pi} {c}} \ int _ {0} ^ {1} L _ {\ nu} ^ {+} d \ mu + {\ frac { 2 \ pi} {c}} \ int _ {- 1} ^ {0} L _ {\ nu} ^ {-} d \ mu}

Azáltal, hogy a változót megváltoztatjuk az első tagban, a másodikban és megfordítjuk az integrálokat, akkor jön ${\ displaystyle y = {\ frac {1} {\ mu}}}$ ${\ displaystyle y = - {\ frac {1} {\ mu}}}$

{\ displaystyle E _ {\ nu} = {\ frac {2 \ pi} {c}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} S _ {\ nu} (\ tau _ {\ nu} ' ) \ int _ {1} ^ {\ infty} e ^ {- y (\ tau _ {\ nu} - \ tau _ {\ nu} ')} {\ frac {dy} {y}} d \ tau _ {\ nu} '= {\ frac {2 \ pi} {c}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} S _ {\ nu} (\ tau _ {\ nu}') E_ {1 } (\ tau _ {\ nu} - \ tau _ {\ nu} ') d \ tau _ {\ nu}'}

hol van az integrál exponenciális, amely a probléma zöld funkcióját (vagy kernelét) alkotja.

E_1

Közelítések

A megoldás vagy a közelítés leggyakoribb módszereit az alábbiakban röviden ismertetjük.

Közvetlen módszerek

Átlátszó közeg esetén lehetséges a fényerő kiszámítása egy pontból a forrásokból. Ily módon kiszámíthatjuk az alaki tényezőket és a BRDF-et, amely megadja a két felületi elem közötti cseréket, és ezáltal kiszámíthatjuk az üregben lévő sugárzási cseréket. Ebben a típusú megközelítésben a nem konvex geometria esetén vetett árnyékok jelentõs nehézséget jelentenek.

Ebbe a kategóriába sorolhatunk egy háromdimenziós számítógépes grafikában alkalmazott módszert, amely abból áll, hogy a megfigyelési ponttól a terjedés problémáját úgy oldja meg, hogy bizonyos számú, ezen a ponton konvergáló sugár útján halad. Ez „s sugárkövetéssel .

Zónás módszer

Hoyt Hottel 1958-ban kiterjesztette az előző típusú módszert egy abszorbens közegre az összes térfogat-térfogat vagy felület-térfogatcsere geometria kiszámításával a tér egydimenziós problémájához. Ennek a zónás módszernek nevezett módszernek vannak hátrányai, amelyek elterelik az általánosítását többdimenziós problémáktól:

a rendszer felépítése a rejtett alkatrészek problémáját okozza,
ez a módszer ketté-kettőbe kapcsolja az összes geometriai elemet, amelyet a tér diszkretizálása tartalmaz. Ez tehát olyan teljes mátrixokhoz vezet, amelyek felbontása nehéz és költséges.

Ezt a fajta módszert Herman Kahn és Ted Harris (1948) dolgozta ki .

Monte-Carlo típusú módszerekben a jelenségeket valószínűségi kifejezésekkel értelmezik. Az elmozdulás annak a valószínűsége, hogy a részecske nem szívódik fel az úton, és annak a valószínűsége, hogy ütközés legyen az úton . tehát az s út utáni interakció valószínűségi sűrűsége . ${\ displaystyle e ^ {- \ int _ {0} ^ {s} \ kappa _ {\ nu} (\ mathbf {r} -s '\ mathbf {\ Omega}, t - {\ frac {s'} { c}})} ds '}$ ${\ displaystyle (0, s)}$ ${\ displaystyle \ kappa _ {\ nu} ds}$ ${\ displaystyle (s, s + ds)}$ ${\ displaystyle \ kappa _ {\ nu} e ^ {- \ int _ {0} ^ {s} \ kappa _ {\ nu} (\ mathbf {r} -s '\ mathbf {\ Omega}, t- { \ frac {s '} {c}})} ds'}$

Hálós térből a módszer tehát nagyszámú pszeudo-esemény végrehajtásából áll, különféle véletlenszerű változókkal, a valószínűségi sűrűségek tiszteletben tartásával:

a háló kiválasztása, a kibocsátás gyakorisága és iránya;
a terjedési hossz megválasztása;
az interakció típusának megválasztása.

Nagyszámú ilyen típusú kísérlet után minden cellában statisztikai mérleget hajtunk végre. Ez az N szám általában több millió.

Ez a módszer minden helyzetben alkalmazható, de drága és korlátozza a maradék statisztikai zaj, amely változik . Ez a probléma minimalizálható úgynevezett "elfogult" vagy "nem analóg" technikák alkalmazásával. ${\ displaystyle N ^ {- {\ frac {1} {2}}}}$

PN módszer

Ezt a módszert James Jeans (1917) vezette be .

Megtalálható a megoldás gömb harmonikusok sorozataként az általános esetben vagy a Legendre polinomokban azokban az esetekben, amikor az azimutális szimmetriát tiszteletben tartják. Helyezzük magunkat ebben az utolsó esetben, megírhatjuk a közelítést az N sorrendhez $P_i$

{\ displaystyle L _ {\ nu} (\ mathbf {r}, t, \ mu, \ nu) = \ sum _ {i = 0} ^ {N} {\ frac {2i + 1} {2}} g_ {i} (\ mathbf {r}, t, \ nu) P_ {i} (\ mu)}

Ha megszorozzuk ezt a kifejezést a Legendre polinomok ortogonalitásával, és figyelembe vesszük őket, mint pillanatokat $P_ {j}$ $GI}$

{\ displaystyle g_ {i} = \ int _ {- 1} ^ {1} L _ {\ nu} P_ {i} d \ mu}

Ha az átviteli egyenletet megszorozzuk mindegyikkel, és figyelembe vesszük a polinomok ortogonalitásának tulajdonságát, N + 1 ismeretlenekre N + 1 egyenletrendszert kapunk . Ezért felteszünk egy hipotézist a rendszer bezárására. A legegyszerűbb a kivetés . $P_ {j}$ ${\ displaystyle g_ {0}, g_ {1}, ... g_ {N + 1}}$ ${\ displaystyle g_ {N + 1} = 0}$

Megmutathatjuk, hogy a végtelen sor az átviteli egyenlet pontos megoldása. Ez a tulajdonság azonban nem garantálja, hogy a csonka sorozat jó: különösen nem garantálja a megoldás pozitivitását, amely érzékeny lehet a Gibbs-jelenségre . Hacsak nincs különösebb probléma, jó pontosságot kapunk az N értéke 10 és 100 között.

Különleges eset az N = 1. Ez valójában egy nagyon korai módszer Eddington miatt . Az első két Legendre-polinom kifejezése és a fent definiált mennyiségek felhasználásával megírjuk a bővítést

{\ displaystyle L _ {\ nu} = {\ frac {1} {4 \ pi}} \ balra (cE _ {\ nu} +3 \ mu M _ {\ nu} \ jobbra)}

Az első kifejezés a termodinamikai egyensúlynak, a második pedig az 1. sorrend korrekciójának felel meg. Ez a módszer azokra a közegekre korlátozódik, ahol a termodinamikai egyensúlytól való eltérés kicsi. Mert negatív fényerő-értékekhez vezet. Ezenkívül a jakob mátrixból kiindulva számított terjedési sebesség az , ami bizonytalan probléma esetén problematikus. ${\ displaystyle | f _ {\ nu} |> {\ frac {1} {3}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {c} {\ sqrt {3}}}}$

Kiszámítható a megfelelő nyomás: ebben a számításban a második tag törlődik, mert páratlan, és egy izotrop tenzort kap . $\ mu$ ${\ displaystyle \ mathbf {P} _ {\ nu} = {\ frac {E _ {\ nu}} {3}} {\ mathsf {I}}}$

SN módszer

Ez a Gian-Carlo Wick (1943) és Subrahmanyan Chandrasekhar (1944) által bevezetett, furcsa módon "diszkrét ordinátákkal rendelkező módszer" vagy SN módszer (S "szegmentált"), amelyet Gian-Carlo Wick és Subrahmanyan Chandrasekhar (1944) vezet be, a szögtér diszkretizálásában áll . Az N választott irány mindegyikéhez tartozó N átviteli egyenletet összekapcsolják a forrás kifejezésekkel. A rendszer megoldása után kvadratúra segítségével integrálódunk ${\ displaystyle \ theta, \ phi}$ $\ Omega _ {i}$

{\ displaystyle \ int _ {4 \ pi} L _ {\ nu} d \ Omega = \ sum _ {i = 1} ^ {N} w_ {i} L _ {\ nu} (\ Omega _ {i} )}

Abban az esetben, azimutális szimmetriát, általában közvetlenül a irányokat nullák a Legendre polinomok . A súlyokat a Gauss-módszerrel vagy a Gauss-Lobatto-módszerrel adjuk meg. $w_ {i}$

Általánosságban elmondható, hogy nagyon közel áll a módszerhez, amennyiben a szabályos szögeloszlás esetén a kvadratúrapontokban a megoldás azonos numerikus értékeihez vezet. Ezeknek a pontoknak a száma megegyezik a szimmetrikus eset 10–100 közötti módszerével, és általában több százat is elérhet. $P_ {N}$ $P_ {N}$

Ez a módszer nyilvánvalóan nem veheti figyelembe a sugárzást, amely nincs összhangban a diszkretizációs irányok egyikével. Általánosabban fogalmazva, pontatlan lesz minden egyes alkalommal, amikor a probléma erős anizotrópiákat tartalmaz. A kiszámított szögeloszláson érzékeny lehet a Gibbs-jelenségre is .

Pillanat módszerek

A módszer abból áll, hogy az átviteli egyenletet megszorozzuk és szögekbe integráljuk. Van tehát egy olyan rendszer, amely bemutatja a fent meghatározott fénysugárzási momentumokat, amelyekben a szögfüggés megszűnt, ami jelentős nyereséget jelent a számításhoz. A nyereség általában több nagyságrendű. Az 1-es sorrendre korlátozódva egy rugalmas diffúziós rendszerhez jutunk ${\ displaystyle \ textstyle 1, \ mathbf {\ Omega}, \ mathbf {\ Omega} \ otimes \ mathbf {\ Omega}, ...}$

{\ displaystyle {\ begin {tömb} {lcl} {\ frac {\ részleges E _ {\ nu}} {\ részleges t}} + \ nabla \ cdot \ mathbf {M} _ {\ nu} & = & \ kappa _ {\ nu} \ balra (4 \ pi S _ {\ nu} -cE _ {\ nu} \ jobbra) \\ [0.6em] {\ frac {\ partis \ mathbf {M} _ {\ nu} } {\ részleges t}} + c ^ {2} \ nabla \ cdot (E _ {\ nu} {\ mathsf {D}} _ {\ nu}) & = & - c \ kappa _ {\ nu} ^ {tg} \ mathbf {M} _ {\ nu} \ end {tömb}}}

Egy új kioltási együttható Kimutatták , amely az első pillanattól kezdve a szögletes diffúziós forgalmazás ${\ displaystyle \ textstyle \ kappa _ {\ nu} ^ {tg} = \ kappa _ {\ nu} ^ {t} -g _ {\ nu} \ kappa _ {\ nu} ^ {d}}$

{\ displaystyle g _ {\ nu} = \ int _ {4 \ pi} P_ {1} {\ mathcal {P}} _ {\ nu} d \ Omega = 2 \ pi \ int _ {- 1} ^ { 1} \ mu {\ mathcal {P}} _ {\ nu} d \ Omega}

Mint bármelyik módszerben, ez a rendszer is hiányos, mivel egy pillanat minden egyes egyenlete magasabb rendű momentumot tár fel. Megoldásához tehát meg kell találni az Eddington tenzor kifejezését, amely a legösszetettebb a fluxushoz és az energiához, a rendszerben elérhető egyetlen mennyiséghez.

Nagyon egyszerű módszer a tenzor izotróp feltételezése : ez Eddington módszere (lásd fent a P 1 módszert ). Ezután megkapjuk ${\ displaystyle \ textstyle {\ mathsf {D}} _ {\ nu} = {\ frac {1} {3}} {\ mathsf {I}}}$

{\ displaystyle c ^ {2} \ nabla \ cdot (E _ {\ nu} {\ mathsf {D}} _ {\ nu}) = {\ frac {c ^ {2}} {3}} \ nabla E_ {\ nu}}

Ez a módszer nem túl pontos, és olyan megoldást kell keresni, amely összeköti az Eddington- tényezőt az adaptált áramlással (a fentiekben meghatározott mennyiségekkel). Ez a "változó Eddington-faktornak" nevezett módszer általában jó eredményeket ad. Nagyon általános és hatékony módszert vezetett be a GN Minerbo, és ezért nevezték M N módszernek . Ez a rendszer entrópiájának maximalizálásából áll , amelyet a Bose-Einstein statisztika ír le . Ezt össze kell hasonlítani az információelmélettel : a bezárás minimális információt tartalmaz a rendszerről.

A pillanatok egyenletrendszere hiperbolikus jellegű, ami előnyt jelent, mivel meglehetősen könnyen összekapcsolható a fluidum azonos természetű egyenleteivel. Ez egyben hátrányt is jelent, amennyiben megjelenhet a nem fizikai természetű megszakítások feloldásában, amelyek az M 2 sorrend emelkedésével eltűnnek .

Diffúzió

Ha pillanatnyilag a rendszer második egyenletét írjuk le egy álló fluxus és egy izotrop tenzor feltételezésével (ami nem feltétlenül jelent izotróp fényerőt, lásd fentebb az Eddington-közelítést), akkor kapunk egy áramlást, amelyet analóg diffúziós kifejezésként írunk. a Fick törvény

{\ displaystyle \ mathbf {M} _ {\ nu} = - {\ frac {c} {3 \ kappa _ {\ nu} ^ {tg}}} \ nabla E _ {\ nu}}

Ez a kifejezés, amely a rendszer első egyenletére átvitt, a hőegyenlettel analóg egyenlethez vezet . Az általános kifejezésben a szögfüggőség már nem jelenik meg, ezért a számítás nyereséget mutat. Ennek az egyenletnek a parabolikus jellege végtelen terjedési sebességhez vezet. A megoldás ezért nem érvényes rövid időn belül egy bizonytalan rendszer esetén. Ezenkívül az izotrop nyomás tenzor feltételezése csak alacsony anizotrop fényerősségekre érvényes. Érvényességi területén a módszer rendkívül hatékony, és hasznos a hőegyenlet számára kifejlesztett összes elméleti és numerikus fejlesztésből.

A fenti egyenlet jobb oldalán található kifejezés megszorozható egy „áramláskorlátozónak” nevezett ad hoc függvénnyel , hogy megtaláljuk a véges terjedési sebességet. Ez nem egyedi, és általában csak szerény javulást tesz lehetővé az eredményben.

A termodinamikai egyensúlyban lévő közeg esetében azt láttuk . Tehát ha integráljuk a fenti egyenletet a frekvenciába ${\ displaystyle E _ {\ nu} = {\ frac {4 \ pi} {c}} L _ {\ nu} ^ {\ circ}}$

{\ displaystyle \ mathbf {M} = - {\ frac {4 \ pi} {3}} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {\ kappa _ {\ nu} ^ {tg }}} {\ frac {\ részleges L _ {\ nu} ^ {\ circ}} {\ részleges T}} d \ nu \ nabla T \ equiv - {\ frac {4} {3}} {\ frac { acT ^ {3}} {\ kappa _ {R}}} \ nabla T \ equiv - \ lambda _ {eq} \ nabla T}

Bevezettük a Rosseland átlagot ( Svein Rosseland , 1924)

{\ displaystyle \ kappa _ {R} = {\ frac {\ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ részleges L _ {\ nu} ^ {\ circ}} {\ részleges T}} d \ nu} {\ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {\ kappa _ {\ nu} ^ {tg}}} {\ frac {\ részleges L _ {\ nu} ^ {\ circ}} {\ részleges T}} d \ nu}} = {\ frac {acT ^ {3}} {\ pi \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {\ kappa _ { \ nu} ^ {tg}}} {\ frac {\ részleges L _ {\ nu} ^ {\ kör}} {\ részleges T}} d \ nu}}}

A hőegyenlettel való analógia teljes, mivel ekvivalens vezetőképességet tudtunk meghatározni . ${\ displaystyle \ lambda _ {eq}}$

Teljes spektrum feldolgozás

A gázspektrumok folyamatos hátteret (egy elektron átmenete kötött állapotból a folytonossá , folyamatos fékező sugárzást ) és vonalakat (kötött állapotok közötti átmenet) tartalmaznak, amelyek százezrekben, vagy akár milliókban számolhatók. A soronkénti számítás kizárt, kivéve, ha referenciaszámítást akar végezni ( teljesítménytesztek ).

Ezért felosztjuk a spektrumot frekvenciasávokra , amelyek alapján átlagokat határozunk meg . Termodinamikai egyensúlyi és diffúzió nélküli emisszió esetén az átviteli egyenlet átlagolásával kapjuk meg ${\ displaystyle (\ nu, \ nu + \ Delta \ nu)}$ ${\ displaystyle {\ overline {f}} = {\ frac {1} {\ Delta \ nu}} \ int _ {\ nu} ^ {\ nu + \ Delta \ nu} fd \ nu}$

{\ displaystyle {\ frac {1} {c}} {\ frac {\ partitális {\ overline {L _ {\ nu}}}} {\ részleges t}} + \ mathbf {\ Omega} \ cdot \ nabla { \ overline {L _ {\ nu}}} + {\ overline {\ kappa _ {\ nu} L _ {\ nu}}} = {\ overline {\ kappa _ {\ nu} L _ {\ nu} ^ {\ circ}}}}

A forrás kifejezés nem jelent problémát. Mi lehet írd le , továbbá hogy a Planck átlag a frekvencia intervallum venni. ${\ displaystyle {\ overline {\ kappa _ {\ nu} L _ {\ nu} ^ {\ circ}}} = \ kappa _ {P} aT ^ {4}}$ ${\ displaystyle \ kappa _ {P} (T)}$

Nyilvánvalóan arra törekszünk, hogy az abszorpció kifejezését ebben a formában képviseljük, hogy az ismert felbontási módszerekre tudjunk redukálni. De , és vannak a priori erősen korrelált, de ez attól függ, hogy a forrás szempontjából. Következésképpen, és nem feltétlenül ugyanazok a szög- és térbeli függőségek. Ez azt jelenti, hogy attól függ, az adott. ${\ displaystyle {\ overline {\ kappa _ {\ nu} L _ {\ nu}}} = \ kappa _ {m} {\ overline {L _ {\ nu}}}}$ ${\ displaystyle \ kappa _ {\ nu}}$ ${\ displaystyle L _ {\ nu}}$ ${\ displaystyle {\ overline {\ kappa _ {\ nu} L _ {\ nu}}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {L _ {\ nu}}}}$ ${\ displaystyle \ kappa _ {m}}$ $s$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ Omega}}$

Vegyünk egy egyszerű sávot, ahol az első gáz abszorbeálja az együtthatóval választott spektrális intervallum felét , egy második a másik felét az együtthatóval . Egy útvonalra belépő egységintenzitás esetén a kimeneti intenzitás az lesz . Olyan átlagot keresünk, amelyik a kimenő intenzitás . A probléma megoldása az

{\ displaystyle \ kappa _ {1}}

\ kappa_2

{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ bal (e ^ {- \ kappa _ {1} s} + e ^ {- \ kappa _ {2} s} \ jobb)}

{\ displaystyle e ^ {- \ kappa _ {m} s}}

{\ displaystyle \ kappa _ {m} = - {\ frac {1} {s}} napló \ balra [{\ frac {1} {2}} \ balra (e ^ {- \ kappa _ {1} s} + e ^ {- \ kappa _ {2} s} \ right) \ right]}

${\ displaystyle \ kappa _ {m}}$ s-től függ, és mikor és mikor . Az egyszerű számtani átlag jó közelítés a rövid utakhoz. ${\ displaystyle {\ frac {\ kappa _ {1} + \ kappa _ {2}} {2}}}$ ${\ displaystyle s ~ \ rightarrow ~ 0}$ ${\ displaystyle min (\ kappa _ {1}, \ kappa _ {2})}$ ${\ displaystyle s ~ \ rightarrow ~ \ infty}$

Ha most azt feltételezzük, hogy a két gáz ugyanabban az intervallumban szívódik fel, akkor azt látjuk, hogy a problémának ugyanaz a megoldása s kicsi esetén, de nincs nagyja esetén: egyetlen abszorpciós együttható sem teszi lehetővé az átlátszó résznek megfelelő átvitelt. Ebben az esetben a probléma rosszul áll fenn.

Ezért a legegyszerűbb közelítés közepes eredményekhez vezet a kiszámított spektrumon, de elegendő lehet, ha az energia szempont csak akkor érdekli, ha elegendő számú sávot vesz fel: néhány tíz-néhány ezer a felbontás módjától függően és a szükséges pontosságot. ${\ displaystyle \ kappa _ {m} = {\ overline {\ kappa _ {\ nu}}}}$

Tekintettel a probléma összetettségére, a pontosabb módszerek a priori tudást alkalmaznak

vagy az abszorpciós együttható alakján, amely esetben egy közelítés meghatározható egy adott irányú együttható segítségével. Az egyik így ezt a fajta módszert a többdimenziós problémák csak akkor, ha az eljárás felbontású eredmények a szuperpozíció egydimenziós problémák (sugárkövetés, módszer , stb ). ${\ displaystyle \ kappa _ {m} (s)}$ $S_N$
vagy azért, mert tudjuk a fényerő alakját, mint a pillanatok módszereiben.

Megjegyzések

A szókincset az ISO 80000-7 határozza meg: " ISO 80000-7: 2008 (fr) Mennyiségek és mértékegységek - 7. rész: Fény " , az ISO-n (hozzáférés : 2020. november 18. ) . Az asztrofizikai munkákban széles körben használt "intenzitás" kifejezést kerülni kell: a szabványban más jelentése van.
Az újraszög eloszlásának diffúziós terminusa összetévesztheti a diffúziós egyenlet fogalmát. A "diffúziós egyenletnek nincs diffúziós kifejezése" kifejezés fizikailag helyes, de nem túl boldog.

Hivatkozások

(in) Dimitri Mihalas és Barbara Weibel Mihalas , alapjai sugárzás Hidrodinamika , New York / Oxford, Oxford University Press ,1984, 718 p. ( ISBN 0-19-503437-6 , online olvasás [PDF] ).
(en) Gerald C. Pomraning , A sugárzás hidrodinamikájának egyenletei , Pergamon Press ,2010, 288 p. ( ISBN 978-0-08-016893-7 és 0-08-016893-0 ).
(in) Subrahmanyan Chandrasekhar , sugárzási transzfer , Dover Publications ,1960, 393 p. ( ISBN 0-486-60590-6 , online olvasás ).
(in) Richard M. Goody és Yuk Ling Yung , Légköri sugárzás. Elméleti alapok , Oxford University Press ,1989( ISBN 0-19-510291-6 , online olvasás ).
(en) Michael M. Modest , sugárzó hőátadás , Academic Press ,2003, 822 p. ( ISBN 0-12-503163-7 , online olvasás ).
(en) John R. Howell , R. Siegel és M. Pinar Mengüç , termikus sugárzás hőátadása , CRC Press ,2010, 987 p. ( ISBN 978-1-4398-9455-2 , online olvasás ).
Jean Taine , Franck Enguehard és Estelle Iacona , Termikus transzferek. Bevezetés az energiaátadásba. , Párizs, Dunod ,2014, 464 p. ( ISBN 978-2-10-071014-0 ).
(a) Jeffrey J. McConnell , Anthony Ralston , Edwin D. Reilly és David Hemmendinger , Computer Graphics Companion , Wiley ,2002( ISBN 978-0-470-86516-3 ).
(a) Weston M. Stacey , Nuclear Reactor Physics , John Wiley & Sons ,2007, 735 p. ( ISBN 978-3-527-40679-1 , online olvasás ).
Anne-Marie Baudron et al. , " A neutronika módszerei " [PDF] .
(a) Ervin B. Podgorsak , Sugárfizikai Orvosi fizikusok , Springer ,2006, 437 p. ( ISBN 3-540-25041-7 ).
(in) „ A NIST utalás konstansok, egységek és bizonytalanság: CODATA (CODATA) ” ,2014
(in) A. Schuster , " A sugárzásnak ködös atmoszférája van " , The Astrophysical Journal , vol. 21, n o 1,1905( online olvasás )
(De) K. Schwarzschild , " Ueber das Gleichgewicht der Sonnenatmosphäre " , Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse ,1906, P. 41–53 ( online olvasás )
(en) Yoshio Sone , Molecular Gas Dynamics , Birkháuser Verlag ,2007( ISBN 0-8176-4345-1 )
(in) KM eset , " A közlekedési egyenlet elemi megoldásai és alkalmazásai " , Annals of Physics , vol. 9,1960, P. 1-23 ( online olvasás )
(in) HC Hottel ES Cohen, " Sugárzó hőcsere gázzal töltött házban: a gáz hőmérsékletének nemformális alakváltozása " , AIChE Journal , 1. évf. 4,1958, P. 3-14
(en) JM Hammersley és DC Handscomb , Monte Carlo módszerek , Fletcher & Sons Ltd,1964( ISBN 0-416-52340-4 )
(in) Huey Tynes , A Monte Carlo megközelítés sugárzásátviteli: megoldások szórási rendszerek , VDM Verlag ,2009( ISBN 978-3-639-20169-7 és 3-639-20169-8 )
(in) JH Jeans , " Az energia sugárzási transzferjének egyenlete " , a Royal Astronomical Society havi közleményei , 1. évf. 78,1917, P. 28–36 ( online olvasás )
(tól) GC Wick , „ Über ebene Diffusionsprobleme ” , Zeitschrift für Physik , vol. 121 n os 11-121943, P. 702-718 ( online olvasás )
(in) S. Chandrasekhar , " A csillagkép II. Sugárzási egyensúlyáról " , The Astrophysical Journal , vol. 100,1944, P. 76–86 ( online olvasás )
(in) GN Minerbo , " Maximum Entropia Eddington Factors " , Journal of Quantitative Spectroscopy & Radiative Transfer , vol. 20, n o 6,1978, P. 541-545
(in) Arthur Stanley Eddington , a belső alkotmány a csillagok , Cambridge University Press ,1926
(in) S. Rosseland , " A sugárzás abszorpciója egy csillagon belül " , a Royal Astronomical Society havi közleményei , 1. évf. 84,1924, P. 525–528 ( online olvasás )

Kapcsolódó cikkek

Szabadon hozzáférhető számítási kódok

Blender kép létrehozása és feldolgozása vagy [1] Mitsuba renderelő
Online Mie-szórásszámítás egy gömbön [2] Mie-szórásszámológép
Transzferek a légkörben: sok kódot ír le a Wikipedia Légköri sugárzó átviteli kódok című cikke
Monte-Carlo kódolja a részecskék lerakódását az anyagban [3] Geant4, [4] , Penelope
Általános asztrofizikai hidrodinamikai-sugárzási kód [5] 3D párhuzamos kód a hidrodinamikához, az MHD-hoz, a sugárzási transzferhez és a gravitációhoz
MATLAB kód a P N vagy SP N módszerekhez , (en) Benjamin Seibold, „ StaRMAP ” , a Temple Egyetemen

Szabadon hozzáférhető adatbázisok

Kibocsátás és abszorpció gáznemű közegben [6] Soronként sugárzó kód SPARTAN
Adatbázis légköri számításokhoz vagy égéshez [7] A HITRAN adatbázis
Adatbázis légköri számításokhoz [8] GEISA: spektroszkópiai adatbázis
Az asztrofizika adatbázisa [9] TIPbázis
A plazmafizika és az asztrofizika adatbázisai [10] Atomi és molekuláris spektroszkópiai adatok
Különböző adatbázisok jegyzéke [11] Plazma laboratórium - Weizmann Tudományos Intézet