Riemann-geometria

A Riemann-geometria kutatásának egyik fontos iránya a metrikus mennyiségek közötti globális egyenlőtlenségek megállapítása, a görbület helyi ellenőrzésének bevonása nélkül. Így bármely, d dimenziós kompakt sokaság esetén közvetlenül összehasonlíthatjuk a d- edikre emelt injektivitás térfogatát és sugarát, így ennek az összehasonlításnak jelentése van. Így Berger 1980-ban bebizonyította, hogy bármilyen kompakt sokaság esetén csökkenthetjük ennek a két mennyiségnek az arányát, és hogy csak a d dimenzió bevonásával . Azt javasolja, hogy a sokaság embolikus állandóját hívják az összes mutató alsó határának

Emb(M)=énnemfg⁡Vol(M,g)énnemj(M,g)dénm(M){\ displaystyle \ mathrm {Emb} (M) = \ mathop {\ mathrm {inf}} \ korlátozza _ {g} {\ frac {\ mathrm {Vol} (M, g)} {\ mathrm {Inj} (M , g) ^ {\ mathrm {dim} (M)}}}}

és azt mutatja, hogy ez az állandó mindig nagyobb, mint a gömbé, míg a gömb esetében a standard metrika valósítja meg az alsó határt. Az embolikus konstansok értéke a 3. és annál nagyobb dimenzióban, még nagyon egyszerű sokaságok esetében sem ismert.

Egy másik metrikus mennyiség, amelyen az egyenlőtlenségeket keresik, és összehasonlítják a térfogattal, a szisztolé , vagyis a nem kontraktilis görbe minimális hossza (mindig d erejéig emelve ). A felületek esetét alaposan tanulmányozták, ezért Loewner torikus egyenlőtlensége a torus esetében megválaszolja a kérdést, és az izoperimetrikus egyenlőtlenség egyik formájának tekinthető . Nem lehet olyan univerzális redukciót találni, amely hasonló lenne az embolikus állandókhoz és a gömbhöz, amint ez a termékek esetében látható . Azonban Gromov bizonyult 1983-ban egy egyenlőtlenség nagy osztálya kompakt elosztóvezetékéhez dimenzió d , az alapvető házakat. S1×Sd-1{\ displaystyle S ^ {1} \ szorzat S ^ {d-1}}

Kompakt felületek esetén a görbület és a topológia közötti kapcsolatot a híres Gauss-Bonnet képlet adja . A görbület integrálja (skalár vagy metszet, amely ugyanarra a dologra vonatkozik) akkor elegendő a fajta leírására. De nagyobb dimenzióban a helyzet összetettebb.

Általános eredmények a görbület jele alapján

A görbület pozitivitásának hipotézisei alapján következtetéseket vonhatunk le a topológiáról is. Ha a görbületet szigorúan pozitív konstans csökkenti, a Bonnet-Schoenberg-Myers tétel következménye , hogy a sokaság tömör, véges alapcsoporttal . A Synge tétel pontosabban írja le a helyzetet páros dimenzió esetén.

Vannak nem kompakt, pozitív görbületű Riemann-féle elosztók (például: paraboloidok vagy az euklideszi tér hengerei ). Egy ilyen M elosztó esetén, ha a görbület szigorúan pozitív marad, akkor az elosztó diffeomorf . Ha a görbület tág értelemben pozitív, akkor M-nek van egy "lelke", vagyis egy teljesen geodéziai részváltozata, így M diffeomorf a köteggel szemben, amely normális az ezen változatosságra. Ez egy Cheeger-Gromoll-tétel 1972-ből. Rnem{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}

Ha az elosztónak negatív görbülete van, a Cartan-Hadamard-tételCartan-Hadamard tétel bebizonyítja, hogy az m bármely ponton az exponenciális térkép lefedi az elosztót. Ha egyszerűen csatlakoztatva van , akkor a sokaság diffeomorf . És általánosabban, a negatív görbületváltozat egy diszkrét csoport hányadosaként tekinthető . Rnem{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}Rnem{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}

Egy kompakt osztó szigorúan negatív görbületű, az alapvető csoport van végesen generált, de exponenciálisan növekszik.

Kellően erős görbületfeltevésekkel jellemezhető az alapul szolgáló sokaság topológiája, vagy akár annak differenciális szerkezete. Talán a leghíresebb eredmény az a gömbtétel, amelyet 1960-ban Rauch , Berger és Klingenberg hozott létre , miszerint egy teljes és egyszerűen összekapcsolt sokaság, amelynek görbülete az A> 0 formájú intervallumban marad] A> 0, homeomorf egy gömb. Azt a korlátozó esetet is jellemezzük, ahol a görbület [A, 4A]. Ezt a görbületfeltevést az irodalomban gyakran "csipetnek" nevezik.

Ezt az eredményt 2007-ben Brendle és Schoen jelentősen kiterjesztette, a "pont" csípésének kevésbé erős hipotézisével (a maximális és a minimális keresztmetszet görbülete közötti arány ugyanabban a pontban) és erősebb következtetéssel: a fajta diffeomorf a közönség számára. .

1978-ban, majd 1982-ben Gromov és Ruh majdnem sima, kompakt fajták jellemzését kapták, vagyis azoknak a görbülete, amelyek "0 közelében szorulnak" (a következő értelemben: a görbület és az átmérő négyzetének szorzata kisebb, mint csak a dimenziótól függő állandó). Azonban nem csak a tori és azok hányadosa, általában infranilvariációt kapunk .

Durvább vezérlőeszközök

A csipet tételek nagyon igényes hipotézisekkel és erőteljes következtetésekkel eredménycsaládot alkotnak. Van egy "durvább" nézőpont, amelyben az ember megpróbálja megmutatni, hogy a görbületre vonatkozó meglehetősen laza feltételezések már lehetővé teszik a lehetséges topológiai típusok erős korlátozását. Így amikor a priori határokat rögzítünk a görbület átmérőjén és abszolút értékén, valamint a térfogat minimális értékén, be tudjuk bizonyítani, hogy azok a sokaságok, amelyek képesek ezeket a korlátokat figyelembe vevő metrikákat hordozni, véges számban vannak, egészen a diffeomorfizmusig.

Gromov bevezette Hausdorff-távolság általánosítását, hogy tanulmányozza a Riemann-metrika modulo izometriáinak konvergenciáját. Megállapította, hogy azáltal, hogy a korábbival megegyező típusú határokat ellenőrző struktúrákra helyezi magát, meg lehet erősíteni, hogy a metrikák bármely szekvenciája konvergens szekvenciát enged meg, legalábbis a szabályosság értelmében . VS1,α{\ displaystyle C ^ {1, \ alpha}}

Kvantum szempontok: egy fajta spektruma

Laplaci spektrum

A kompakt Riemann-féle elosztókon lehetséges a Fourier-sorok elméletéhez nagyon közel álló harmonikus elemzés . Valójában a Laplace-Beltrami operátor sajátértékeit és sajátvektorait vizsgáljuk a függvényeken. Ezek az f függvények és a skalárok igazolják a kapcsolatot , és bebizonyítjuk, hogy a sajátértékek egy végtelen sorozatot alkotnak, amelyet a fajta spektrumának neveznek. A különféle kapcsolódó sajátterek ortogonálisak és véges dimenziójúak, amelyek állandó funkciókból állnak. λ{\ displaystyle \ lambda}Δf=λf{\ displaystyle \ Delta f = \ lambda f}λ0=0<λ1≤λ2≤...{\ displaystyle \ lambda _ {0} = 0 <\ lambda _ {1} \ leq \ lambda _ {2} \ leq \ dots}λ0=0{\ displaystyle \ lambda _ {0} = 0}

A laplaciánus sajátfüggvényei ortonormális alapot képeznek a sokaságban meghatározott jellemzők lebontásához, valamint a részleges differenciálegyenletek ( hőegyenlet , hullámegyenlet , Schrödinger-egyenlet ) megoldásához az euklideszi esetben használtakkal való szoros megközelítéssel: tér és idő elválasztása változók és alapvető megoldások keresése bomlás útján a laplaci sajátvektorok alapján. Vannak azonban új technikai nehézségek.

Maga a spektrum fontos tanulmányi tárgy. Kétféle klasszikus tanulmány ad okot: a közvetlen problémák, amelyek abból állnak, hogy becsléseket adnak a spektrumról a többi geometriai adatból kiindulva, és az inverz problémák, amelyek éppen ellenkezőleg, a spektrumból kiinduló geometriai elemeket keresik. A két adattípust összekapcsoló egyik fő eredmény a Weyl-féle aszimptotikus képlet általánosítása, amely a sajátértékek számát (a multiplicitással számolva) kisebb vagy egyenlőre becsüli  : λ{\ displaystyle \ lambda}

NEM(λ)∼λ→+∞BnemRepülési(M,g)(2π)nemλnem2{\ displaystyle {\ cal {N}} (\ lambda) {\ underset {\ lambda \ rightarrow + \ infty} {\ sim}} {\ frac {B_ {n} {\ textrm {Vol}} (M, g )} {(2 \ pi) ^ {n}}} \ lambda ^ {\ frac {n} {2}}} hol van a standard egységgömb térfogata. Ez különösen lehetővé teszi a (z) egyenértékének megadását . Növelni és csökkenteni is lehet, különösen a Ricci görbület alsó határát, illetve a fajta térfogatát vagy átmérőjét. Pontosabb becsléseket kaptunk az első, nulla érték nélküli sajátértékről, amely specifikus vizsgálatok tárgya. Bnem{\ displaystyle B_ {n}}λk{\ displaystyle \ lambda _ {k}}λk{\ displaystyle \ lambda _ {k}}

Az ellenkező probléma az 1960-as évek eleje óta aktív kutatás tárgyát képezi, az izospektrális kérdés megjelenésével: "ugyanazon spektrumú két Riemann-féle izometrikus?", Erre Milnor 1964-ben nemleges választ adott. a hatékonyan előállítható spektrumok jellemzése sem; másrészt tudjuk, hogyan lehet bármilyen kompakt dimenziós sokaságon felépíteni legalább egy olyan metrikát, amelynek az adott rangig terjedő frekvenciája van.

Zárt geodézia és hosszspektrum

A geodéziáról azt mondják, hogy zárva van, ha periodikusak, vagyis ugyanazon a ponton haladnak át ugyanazzal a sebességvektorral. A kompakt elosztó hosszspektruma a zárt geodézia hosszának halmaza.

Az ilyen zárt geodézia megléte és számlálása fontos kutatási téma. 1951-ben Lyusternik és Fet azt mutatják, hogy bármilyen kompakt sokaságon létezik legalább egy ilyen zárt geodézia: ez a Lyusternik-Fet tétel . Még a látszólag egyszerű esetben is, ha a kétdimenziós gömb az egyik mutatójával van ellátva, nehéz meghatározni a zárt geodézia számát. 1929-ben Lyusternik és Schnirelman bebizonyítja, hogy mindig lehet találni legalább három geometrikusan zárt geometriai különbséget, és amelyek egyszerű görbék . Többet nem találunk, amint azt néhány ellipszoid mutatja . De ha már nem kérjük, hogy ezek a görbék egyszerűek legyenek, akkor a végtelenséget találhatjuk ezek szerint John Franks és Victor Bangert 1993-as tétele szerint, amelyet "a gumiszalag burgonyára helyezésének millió módja" népszerűsít. .

1959 óta ismert, hogy a Riemann-felületeknél a laplaciák hosszának és spektrumának spektruma határozza meg egymást. A bizonyítás a Selberg nyomkövetési képleten alapul . Nagyobb dimenzióban mindig elmondhatjuk, hogy a laplaci spektrum határozza meg a hosszúságok spektrumát Colin de Verdière 1973-as eredménye alapján .

Dinamikus szempontok

Geodéziai áramlás

A Riemann-sokaság geodéziája az energia szélsőértékeinek tekinthető. Ezért a legkevésbé ható probléma megoldását jelentik, és fizikai értelemben úgy értelmezhetők, mint a részecskék pályája, amelyekre semmiféle erő nem hat. A geodéziai áramlás vizsgálata lehetővé teszi az általános dinamika meghatározását. Az ebbe a keretbe tartozó kérdések egyike a periodikus pályák, vagyis a korábban említett zárt geodézia megléte és számlálása.

A szigorúan negatív görbületű kompakt elosztók geodetikus áramlása rendkívül kaotikusan viselkedik . A dinamikus rendszerek terminológiáját használva ez az áramlás ergodikus és vegyes  ; képi szempontból, ha ezt az áramlást hosszú időn keresztül követjük, akkor egy adott halmaz méltányosan "szétszórt" az egész sokaságban (a mérés értelmében ). Nyitott kérdés, hogy lehetséges-e olyan példát találni a pozitív görbületű változatra, amely szintén eléri az ergodicitást.

Geometriai hullámok

Az 1980-as évek óta a geometriai áramlások alkalmazási területe jelentősen kibővült. Ami a legeredményesebb eredményt adta a Riemann-geometria területén, az a Ricci-áramlás, de más típusú áramlások is bevezetésre kerültek, és ezeknek olyan következményeik is vannak, mint például az elméleti fizika , a képelemzés vagy az optimalizálás . A geometriai áramlások közös jellemzője nem egy rögzített metrika tanulmányozása, hanem a geometriai objektumok deformálása olyan evolúciós egyenlet szerint, amely magában foglal geometriai mennyiségeket, például görbületet. Így tipikusan a parabolikus parciális differenciálegyenlet típusú evolúciós egyenletekhez jutunk el . Élvezzük tehát ezen egyenletek szabályozó erejét, amely hajlamos "kerekíteni" a vizsgált metrikát, hogy közelebb hozza az egyszerű modellhelyzetekhez.

A Ricci-folyamat abból áll, hogy egy adott mutatóból indul ki, és követi az evolúciós egyenletet . Időben helyileg meg lehet állapítani a megoldások létezését. Richard Hamilton egy támadási tervet dolgozott ki a kisdimenziós sokrétű topológiai eredmények felé történő előrelépés érdekében a Ricci-áramlat felhasználásával, beleértve a híres Poincaré- sejtést és az erősebb geometrizációs sejtést . Az elmélet első nagy sikere az volt, hogy megmutatta, hogy a szigorúan pozitív Ricci görbületű 3-as dimenzió sokasága az állandó görbület metrikája felé fejlődik, 1982-ben. Két évvel később hasonló eredményt kapunk a szigorúan pozitív görbületű 4-es dimenzió sokaságaira operátor. Az egyik nehézség, amelyet fokozatosan megoldottak, az egyes zónák, a "szűkületek zónáinak" megjelenése, amelyekben a metrika véges idő alatt számszerűen összeomlik. Ezeket a szingularitásokat az evolúciós egyenlettel összeegyeztethetővé tett sebészeti technikákkal elemeztük és legyőztük . A Ricci-áramlás által elért két legnagyobb eredmény kétségtelenül a Perelman által 2003-ban végzett geometrizációs sejtés bizonyítéka, valamint a gömbtétel általánosítása, amelyet Schoen és Brendle bizonyított 2007-ben. ∂tgt=-2Rénvs.(gt){\ displaystyle \ részleges _ {t} g_ {t} = - 2 \ mathrm {Ric} (g_ {t})}

Hamilton a kompakt elosztókon egy másik típusú geometriai áramlást is bevezetett, az úgynevezett Yamabe áramlást. Ebben az esetben az evolúciós egyenlet magában foglalja a skaláris görbület átlagértékét, és előnye, hogy megtartja a konform struktúrát . Hamilton ezúttal a megoldás mindenkori létezési tételét bizonyította, és megfogalmazta azt a sejtést, miszerint a metrika konvergál egy állandó skaláris görbületű metrikához, vagyis a Yamabe-probléma megoldásához . Ezt az eredményt csak a kezdeti dimenzióra vagy mutatóra vonatkozó korlátozó feltételezések alapján hozták létre.

A geometriai áramlás egy másik típusa abban áll, hogy a süllyesztett sokaság fejlődik. Így az átlagos görbületi áramlás  (be) lehetővé teszi egy felület közelebb kerülését a 3-as dimenzióba süllyesztett minimális felülethez . Ezek a minimális felületek geometriai értelemben megfelelnek a terület helyi minimalizálásának (úgy, ahogy a geodézia lokálisan minimalizálja a távolságot) ), és fizikai értelemben a felületi feszültség minimalizálásaként értelmezhető . Általánosságban elmondható, hogy ez az áramlás bármilyen felületű hiperfelületekhez használható.

További szerkezetek

Bizonyos Riemann-féle elosztókon lehetséges további struktúrákat bevezetni, amelyek kompatibilisek a Riemann-féle szerkezettel és gazdagítják azokat. Így az új geometriák különböző formáit konstruáljuk (Kähler, spinorial stb.), Mindegyiknek megvan a maga tulajdonsága és tárgya, amelyek kiegészítik a Riemann-féle keretet. Szerint a fogalmakat jól megalapozott, mivel a Erlangen programot a Félix Klein , mindegyik geometriák kapcsolódó intézkedés egy adott csoport .

Az egyik legegyszerűbb példa az orientáció megválasztása , amikor a Riemann-féle elosztó orientálható. Az orientált orthonormális referenciakeretek kötegének és a kötet alakjának meghatározására szolgál . Az érdekelt csoport ekkor a speciális ortogonális csoport .

Figyelembe vehetjük a Spin és a Spin c struktúrákat is, amelyeket bizonyos orientálható Riemann-sokaságokon definiáltunk. Amikor léteznek, a Riemann-féle geometria egyfajta „megduplázását” adják meg, lehetővé téve a spinor és a Dirac operátor  (in) fogalmának bevezetését , egyfajta négyzetgyökét a Laplacian-nak.

A Kähler fajták három kompatibilis szerkezetet hordoznak, ami Riemann-geometriát, szimplektikus geometriát és összetett geometriát kölcsönöz nekik . Ez a nagyon gazdag tanulmányi terület egyszerre használja a három szakterület eszközeit, és sajátos jellemzőkkel rendelkezik, például a holomorf görbület és a bisekcionális görbület fogalmával, vagy az operátorokkal, és olyan differenciális formákon, mint a külső differenciál és az ugyanazon módon a kohomológiai csoportok szétválnak. Nagyon erős szerkezeti eredményeket értek el, például azt, hogy a szigorúan pozitív kétoldali görbületű Kähler-sokaság biholomorf a bonyolult projektív térhez képest . ∂{\ displaystyle \ részleges}∂¯{\ displaystyle {\ overline {\ partial}}}d=∂+∂¯{\ displaystyle \ mathrm {d} = \ részleges + {\ overline {\ részleges}}}

Vannak még mindig több igényes szerkezetek: mi határozza meg a fogalmát hyperkähler fajta  (en) , és hogy a négy részből álló-Kähler fajta  (en) , mindkettő olyan szerkezetű emlékeztető négyes . Marcel Berger és James Simons által végzett holonómiai csoportok osztályozásában jelennek meg .

Alkalmazások

A matematika más területeire

Bármely differenciálcsatorna Riemann-szerkezettel felruházható. Ez közvetítőként felhasználható olyan eredmények megállapításához, amelyek megfogalmazása nem foglalja magában a megfelelő Riemann-koncepciót. Ez a már említett Poincaré-sejtés esete, amely tiszta topológia eredménye, amelynek bizonyítása nagyrészt a Riemann-mérőszámok deformációját használja. Ez is a helyzet a Morse elméletét , amely kapcsolódik a topológia egy differenciál sokrétű, hogy a szintvonalak a meghatározott feladatokat ezen sokrétű, kihasználva a dinamika a gradiens sor, amelyhez egy bizonyos metrikus.

A Riemann-geometriában bevezetett néhány fogalmat kiterjesztették a szélesebb alkalmazási területekre, a metrikus terek keretein belül . Például általánosíthatjuk a geodézia fogalmát egy gráfban , különösen egy súlyozott gráfot. Különösen a geodéziai metrikus terekre fogunk összpontosítani, amelyek esetében a két pont közötti legrövidebb út egyedisége van. Míg a Riemann-geometriában a metszet görbületére vonatkozó becslést alkalmaztunk két izometrikus háromszög pontjai közötti távolság összehasonlításának eredményéhez, ezeken a metrikus tereken megfordítható a megközelítés. A háromszögek összehasonlításából meghatározzuk a „k-val növelt görbület” vagy a „k-val csökkentett görbület” fogalmát. Ez az ötlet képezi Cartan-Alekszandrov-Toponogov CAT (k) -tereinek bevezetését . Ezeknek a tereknek is megvan az az előnyük, ellentétben a Riemann-féle elosztókkal, hogy kompatibilisek a Gromov-Hausdorff távolság konvergenciájával .

Hasonló megfontolások alkalmazhatók a végesen létrehozott csoportokra, ha a szavak metrikájával rendelkeznek . Ezeknél a csoportoknál az algebrai, geometriai és számtani tulajdonságok áthatolnak. Így egy Gromov-tétel jellemzi azokat a véges típusú csoportokat, amelyeknél a gömbök növekedése polinom. Fontos vizsgálati objektum a hiperbolikus csoport , amelyre bármilyen valós δ> 0 esetén vékony háromszögek vannak.

Az előző definíciók bemutatják, hogyan lehet a metszetgörbület gondolatát kiterjeszteni egy nagyobb keretre, anélkül, hogy a Riemann-féle keret által megkövetelt erős szabályszerűségi tulajdonságokat felhasználnánk. Ezt a megközelítést szintetikusnak minősítették, szemben a metszet görbületének hagyományos bevezetésével, amelyet analitikusnak neveznek . A megközelítések kettőssége különböző meglátásokat és eredményes oda-vissza útokat kínál. A 2000-es évektől fokozatosan kidolgozták a Ricci görbület szintetikus elméleteit. Ezek a Ricci görbület, a transzportelmélet és az entrópia közötti összefüggés felfedezésén alapultak , amelyet ismét a megközelítés megfordítása követett: Cédric Villani , John Lott és Karl-Theodor Sturm a Ricci görbületének fogalmának kiterjesztett változatát vezették be a egy méréssel ellátott metrikus tér optimális szállítási összetétele.

A mechanikához és a relativitáselmélethez

A relativitáselmélet olyan keretek között zajlik, amely nagyon közel áll a riemann-i geometriához, egy lorentzi fajtához . A 4. dimenzió sokaságáról van szó, amely olyan metrikus tenzorral van ellátva, amely már nem határozottan pozitív, hanem aláírás  (in) (3,1). Az Einstein-egyenlet megmutatja, hogyan kapcsolódik a görbe az energia-impulzus tenzor által képviselt tömeghez és energiához . Ezért találunk nagyon nagy rokonságot a fogalmakkal és az ötletekkel, valamint erős kölcsönhatásokat találunk a Riemann-geometria és az elméleti fizika között, még akkor is, ha mindegyik a saját céljait követi. Így Arthur Besse , kollektív álnév, igazolva az " Einstein-fajták " tanulmányának érdeklődését a Riemann-féle geometrák iránt, felveti a fizikával való kapcsolatok kérdését

„Tisztázzuk a célunkat. Az "Einstein-sokaságok" kifejezést az állandó Ricci görbületű Riemann-sokaságokra használjuk, mert a matematikusok körében már régóta érvényes az a konvenció. Nem állítjuk, hogy elméleti fizikusoknál dolgozunk. Ezenkívül tanulmányi területünkkel szemben ezek két csoportba sorolhatók. Az első úgy véli, hogy amit csinálunk, nem érdekel. A második úgy véli, hogy a Riemann-féle elosztók (és például Einstein Riemann-féle elosztói) némi segítséget nyújthatnak számukra, ha csak inspirációként is. Vagy akár valóban hasznos lehet számukra azáltal, hogy a tanulmány egészét egy komplexitás folyamán nagyobb képbe helyezi, hogy kiküszöbölje a jelkülönbségek kérdését. Ugyanezeket a megjegyzéseket tehetjük a Yang-Mills elmélettel kapcsolatban is  ”

Megjegyzések és hivatkozások

1. Eredeti változat és angol fordítás
2. Tullio Levi-Civita életrajza, JJ O'Connor és EF Robertson a St Andrews Egyetem McTutor weboldalán
3. Arthur Besse , Einstein-gyűjtők , gyűjt. „Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete” (3), vol. 10., Springer-Verlag, Berlin, 1987, 17. o
4. Ian Stewart , Tudomány: Millió módon lehet gumiszalagot tekerni burgonyára , New Scientist , 1993. január 2.
5. Richard S. Hamilton , „  Three-sokaságok pozitív Ricci görbület  ”, J. diff. Geom , vol.  17,1982, P.  255–306.
6. A bizonyítás leírása és diagramja (en) John W. Morgan , "A  legújabb fejlemény a Poincaré-sejtés és a 3-sokaságok osztályozása terén  " , Bull. Keserű. Math. Soc. , vol.  42, n o  1,2005, P.  57-78
7. validálása és részletes bizonyítási Bruce Kleiner  (in) és John Lott  (in) a megjegyzések Perelman papírjai (in) , megjelent a geometriában és topológia, 12. kötet, pp. 2587-2855, 2008
8. Simon Brendle és Richard Schoen , „  Görbület, gömbtételek és a Ricci-áramlás  ”, az American Mathematical Society közlönye , vol.  48, n o  1,2011, P.  1-32 ( DOI  10.1090 / s0273-0979-2010-01312-4 , Math Reviews  2738904 , arXiv  1001.2278 )
9. Simon Brendle és Fernando Marques , „  Legutóbbi haladás a Yamabe-probléma kapcsán  ”, Felmérések a geometriai elemzés és a relativitás terén ,2011( ISBN  978-7-04-032732-8 )
10. Nicolas Ginoux, Spin c szerkezetek sokaságokon , 2012. november
11. (in) H. Blaine Lawson  (in) és Marie-Louise Michaelson , Spin Geometry , PUP ,1989( ISBN  978-0-691-08542-5 )o. 123.
12. Cédric Villani , Julie Rehmeyer munkája a Matematika Képek weboldalon , CNRS
13. Cédric Villani , Optimális közlekedés, régi és új , p. 502-503,755
14. Arthur Besse, Einstein-sokaságok , p. 4

• (en) Sylvestre Gallot, Dominique Hulin és Jacques Lafontaine, Riemannian Geometry [ a kiadás részlete ]

1. Tétel 2.2 o. 49
2. meghatározás 2.86 p. 81.
3. meghatározás 2.77. O. 77
4. A szerzők által a p. 147

• (en) Marcel Berger , A Riemannian-geometria panorámája ,2003[ a kiadás részlete ]

1. Marcel Berger ennek a viszonnak a szerzőségét Richard Palais -nek tulajdonítja 1957-ben, lásd 174. o.
2. o. 697
3. o. 698 és 705.
4. Tétel 69. o. 252. o. 253
5. p.219
6. tétel 89. o. 272. és az azt követő megjegyzés
7. o. 355-357
8. o. 345
9. Tétel 331. o. 584
10. tétel 104 o. 306
11. Tételek 164. 386. és 172. o. 401
12. Tétel 186. o. 415
13. Tétel 233. o. 468
14. 405. és 421. oldal.
15. 254. kérdés p. 488
16. Tétel 402. o. 656
17. Tétel 397. o. 643 és 13.4 ábra p. 646

• en) Jürgen Jost , Riemannian Geometry and Geometric Analysis ,2002[ a kiadások részlete ]

1. o. 31
2. definíció 1.4.2 o. 17.
3. Definíció 2.1.2. o. 83.
4. o. 227
5. p.228
6. Végesség tétel 229
7. Konvergencia tétel p. 229
8. Tétel 6.11.4 o. 368
9. o. 236–240

Lásd is

Bibliográfia

• (en) Marcel Berger , A Riemannian-geometria panorámája ,2003[ a kiadás részlete ]Amint a címe is mutatja, a nagy francia geometrikus egy hosszú (824 oldalas) panorámasétára invitál minket a riemann-i geometria világában; a különféle eredményeket többnyire részletes bemutatások nélkül adják meg, de megfelelő utalásokkal az olvasó számára, aki „be akarja piszkolni a kezét”; az utolsó fejezet megadja a terület technikai alapjait.
• en) Jürgen Jost , Riemannian Geometry and Geometric Analysis ,2002[ a kiadások részlete ]
• en) Lizhen Ji, Athanase Papadopoulos és Sumio Yamada (szerk.), Riemanntól a differenciálgeometriáig és a relativitáselméletig , Springer,2017, xxxiv + 647  o. ( ISBN  978-3-319-60039-0 , online olvasás )

Kapcsolódó cikk

• Riemann-geometria lexikona