Az egyenletek története

Ez a cikk ismerteti fontos tényeket a történelem egyenletek származó ókortól napjainkig.

Az ókortól a reneszánszig

Antikvitás

Az ókori Egyiptom és Babilon

Amennyire a matematika ismert szövegei visszamennek, vannak olyan kérdések, amelyeket ma algebrai egyenletekkel modelleznénk . Az ókori Egyiptomból származó papiruszban ezt olvashatjuk  : "Ha az írástudó azt mondja neked, 10 2/3-nak és 1/10-nek mi? ” , Ami így is lefordítható . Ezután nem fejlesztenek algebrai eszközt. Az egyiptomiak próbával és hibával oldják meg az első fokú egyenletet, és a babilóniaiaknak vannak algoritmusaik, de a tapasztalaton kívüli egyéb indoklás nélkül. 23x+110.x=10.{\ displaystyle {\ frac {2} {3}} x + {\ frac {1} {10}} x = 10}

római Birodalom

Az I st  században. Kr. Az alexandriai Heron írásai olyan módszert írnak le, amely lehetővé teszi egy olyan egyenlet pozitív gyökének közelítését, mint pl . x2=2{\ displaystyle x ^ {2} = 2}

Kína

A 263 Liu Hui , a kínai matematikus közzé becslését π meg 3,1416 iteratív módszerrel.

Első elmélet

Az első lépést, amely közelebb visz egy igazi elmélet körvonalához, három matematikai kultúra egymástól függetlenül teszi meg: Görögország , az arab civilizáció és India .

A III .  Századi matematikus, Diophantus formalizálja az általa meghatározott betűvel ellátott aritmust : "A számot, amelynek korlátlan mennyiségű egysége van, aritmmnak nevezzük, és fémjelzi: σ. " .

A középkor

India és a Közel-Kelet

Mielőtt Diophante hogy lefordították arab, Al-Khwarizmi , 783 - 850 , matematikus perzsa eredetű, fejleszti VIII th  században egy hasonló ötlet. Ő idegen az úgynevezett mondjuk " . Ugyanez az elképzelés ma is jelen van Bhāskara II indiai matematikusban, a Bījagaṇita című szövegében .

Al-Khwarizmi munkáját gyakran tekintik a matematika algebra nevű ágának a megszületésének . Ami a etimológia a cím tanulmányában egyenletek: Kitab al-Jabr wa al-muqâbala kifejezést használja al-Jabr , vált algebra .

Arabul az al-jabr "megfelel az egyik tag kivonásának a másik tagban való összeadássá történő átalakításának" azzal a céllal, hogy csak pozitív együtthatókat kapjon. Például: 2 x 2 + 100 - 20 x = 58 lesz al-jabr által  : 2 x 2 + 100 = 58 + 20 x .

Al-Khawarizmi munkája a másodfokú egyenletek elméletének születési anyakönyvi kivonata, pozitív (szinte mindig racionális) számok halmazában. Al-Khawarizmit minden másodfokú egyenlet érdekli, míg Diophantus csak azokat próbálta megoldani, amelyeknek egész vagy racionális megoldásai vannak. Al-Khawarizmi szisztematikus, értekezésének célja egy olyan módszer felajánlása, amely lehetővé teszi az egyenlet megoldásának biztos megtalálását, ha van ilyen.

A geometria, és különösen az Euklidész -300 körül írt elemei alapvető szerepet játszik ebben a kialakulóban lévő algebrában. Ha az arabok elemzési szöge eltér, mivel egyenlet megoldására törekszenek , ebben a konkrét esetben a második fokozatban, a demonstráció szíve megegyezik: egy geometriai konfiguráció elemzése, amelyet egy gnomon .

Omar Khayyam megjegyzi, hogy a köbös egyenlet gyökerét úgy lehet értelmezni, mint egy kör és egy parabola metszéspontjának abszcisszáját . Ez már megmutatja annak használatát, amelyet később derékszögű koordináta-rendszernek hívunk, és lehetővé teszi több megoldás lehetséges létezésének észrevételét. Két évszázaddal később az algebrai és a geometriai fejlődés előnyeit kihasználva Nasir ad-Din at-Tusi a köbös egyenlet keretein belül számos eszközt fejlesztett ki az egyenletek elméletéhez. Utódja Sharaf al-Din al-Tusi ( XII .  Század) szigorúbban tanulmányozza a megoldások létfeltételeit; ez arra készteti, hogy a lokalizáció és a gyökerek szétválasztásának problémáira összpontosítson, és arra kényszeríti, hogy határozza meg az algebrai kifejezés maximumának fogalmát (egy polinom formális származékának bevezetésével). Az al-Tûsî másik újítása abban áll, hogy a geometriai felbontással egyidejűleg a harmadik fokú egyenletek numerikus felbontását is kezeli.

Európa

1000 év körül II . Szileszter pápa átvette az arab számokat az indiai számozásból .

Távol-Kelet

Európával és a Közel-Kelettel párhuzamosan Kínában algoritmusokat fejlesztenek az egyenletek megoldására.

A lineáris egyenletek megoldására szolgáló rendszert már a Han-dinasztia idején közzétették volna , de a számok meghatározását nem terjeszti ki negatív értékekre. Ezeket az információkat évszázadok óta nem említették, és részben el is felejtették.

1303, Zhu Shijie , matematikus kínai közzéteszi értékes tükör a négy elem , amely magában foglalja egy magyarázatot az ő módszere a négy elem, amelyek segítségével jelzi négy ismeretlen mennyiségeket egyetlen algebrai egyenlet. Negatív számokat tartalmaz. Úgy tűnik, hogy ez a tudás ismét elhomályosult a jezsuiták Kínába érkezéséig, a XVI .  Század végén.

A reneszánsz

Európa

1450 körül Johannes Gutenberg feltalálta a nyomdát, lehetővé téve a XVI .  Század elején, hogy nagyon nagyszabású dokumentumokat terjesszen. Fibonacci vagy akár Luca Pacioli által kinyomtatott szövegek révén Olaszország hozzáférhet az arab tudás lényegéhez. Az akkori matematikusok rajongtak az algebra iránt, és mindenekelőtt azért, mert a probléma továbbra is nyitva maradt: megtalálni a köbös egyenlet megoldásának általános és pontos módszerét.

Scipione del Ferro képletként megtalálja az egyenlet megoldását  : x3+nál nélx=b{\ displaystyle X ^ {3} + aX = b}

x=b2+(b2)2+(nál nél3)33+b2-(b2)2+(nál nél3)33{\ displaystyle x = {\ sqrt [{3}] {{\ frac {b} {2}} + {\ sqrt {\ balra ({\ frac {b} {2}} \ jobbra) ^ {2} + \ balra ({\ frac {a} {3}} \ jobbra) ^ {3}}}}} + {\ sqrt [{3}] {{\ frac {b} {2}} - {\ sqrt {\ balra ({\ frac {b} {2}} \ jobbra) ^ {2} + \ balra ({\ frac {a} {3}} \ jobbra) ^ {3}}}}}}

Kérdés marad nyitva, hogyan lehet megoldani az egyenletet, ha  ? Tartaglia , a terület mestere redukálhatatlannak nevezi az egyenletet . Girolamo Cardano általánosítja Tartaglia képletét, és képzeletbeli számokkal egészíti ki azokat az eseteket, amelyek akkor visszavezethetetlennek minősülnek. x3+b=nál nélx{\ displaystyle X ^ {3} + b = aX}4nál nél3>27.b2{\ displaystyle 4a ^ {3}> 27b ^ {2}}

Új lépést tesznek az egyenletek elméletében. Míg a kifejezés pontos jelentése rejtély marad, felfedezik azt az ötletet, hogy nagyobb számkészletet használjon egy kérdés megoldására az egyenletelméletben. A Cardano tanítványa, Ludovico Ferrari végül 1540- ben megoldotta a kvartikus egyenletet . Bombelli olyan formalizmust javasolt, amely lehetővé teszi negatív és képzelt számok létezését. -1{\ displaystyle {\ sqrt {-1}}}

A Cardan's Method cikk a korabeli kifejezések megoldását mutatja be, és a Ferrari's Method című negyedik fokozat megoldását.

Távol-Kelet

1590 körül egy jezsuita misszió , amelybe Matteo Ricci is beletartozott , megérkezett Kínába, és tudományos információkat cserélt a Ming-dinasztia tudósaival . Tudni kell, hogy az égi tények pontos meghatározásának képessége elengedhetetlen a kínai császár erejéhez, és a jezsuiták az óraműben és a geometriában szerzett tudásukat felhasználják a Tiltott Város eléréséhez és a császár tetszésének elnyeréséhez. Mei Wending összehasonlítja a nyugatiaktól megszerzett tudást a kínaiak ősi tudásával, és arra a következtetésre jut:

„Elkezdtem meggyőzni magam arról, hogy a geometria különböző konstrukciói érthetőek, miközben ők [nyugatiak] titkos tanítássá tették azt az istenek előtt, mi [kínaiak] pedig eretnekségként elutasítottuk őket. Sem a másiknak, sem a másiknak nincs kiegyensúlyozott megítélése a geometriáról. "

Differenciál egyenletek

Mechanikus felbontás

Ahogy maga Newton mondja,

„Hasznos a differenciálegyenletek megoldása. "

Amint az elemzés elindult Newton , Leibniz és Bernoulli ösztönzése alatt, a geometriai problémák megoldásával foglalkoztunk ezzel az eszközzel. És még sok más, mechanikus eszközökkel. 1692 és 1752 között hatvan éven át egy egész gépipart fejlesztettek ki, amelynek célja a differenciálegyenletek grafikus megoldása. Vincenzo Riccati-féle féle értekezést , De usu motus tractorii a constructione æquationum differentialium megjelent 1752-ben ebben a tekintetben igen figyelemre méltó az a technika, hogy már elérte csúcspontját, és amely teljesen el fog tűnni a kanyarulatok idő a lényeg, hogy amikor ismét felmerül az igény mechanikai eszközökkel, az integrográfokkal 1880 és 1920 között megtaláljuk a régi megoldásokat anélkül, hogy tudnánk, hogy ilyen megoldások több mint egy évszázaddal korábban is léteztek. A differenciál-analizátor a módszer csúcspontja.

Analóg felbontás

Ugyanígy megpróbáltuk analóg módon megoldani a parciális differenciálegyenleteket az egyenletek eredeténél lévő fizikai jelenségek felhasználásával. Így a Laplace-egyenletet elektromos analógia oldja meg, és ezt a módszert legalább az 1970-es évek közepén oktatták egyetemi szinten.Az analóg elektronikus számológépek jelentek meg. Az első Helmut Hoelzer az 1930-as évek végéről és az 1940-es évek elejéről származik a Harmadik Birodalom V1 , V2 és V3 tanulmányozásához . Ezeknek a csőberendezéseknek vagy a tranzisztoroknak az alapvető eleme a működési erősítő .

A differenciálegyenlet meg a XVII th  században, és a XVIII th

A differenciálegyenletek felvetett vagy oda vezetõ problémák ugyanolyan régiek, mint maga az elemzés. Még mielőtt teljesen tisztáznánk a végtelenül kicsi és megtalált (ideiglenes) alapok kérdését, már foglalkoztunk az érintő problémák megoldásával, amelyek változatlanul differenciálegyenlethez vezetnek. Ugyanígy, a Newtonian néven ismert klasszikus mechanika kezdetektől fogva n anyagi pont problémáinak megoldására törekszik, amelyek mind a másodrendű 3n differenciálegyenletek rendszerének integrációjához vezetnek, ahol az ismeretlenek az időfüggvények, amelyek képviselik pontok koordinátái.

Fokozatosan megszokja, hogy az egyenlet ismeretlenje függvény lehet. A funkció ekkor még mindig rendelkezik, és sokáig homályos állapotú. Még az alapvető funkciók sem problémamentesek. Hosszú vita foglalkoztatja az egész matematikai Európát a negatív számok logaritmusának kérdésében. Leibniz tehát Eulerrel szemben áll, aki egyedül látja a helyes választ.

Ahhoz, hogy egy matematikus a késő XVII th  évszázad elején a XVIII -én , megoldani egy differenciálegyenlet, hogy írjon az általános egyenlet megoldása, és lehetőleg véges szempontjából az alapvető funkciókat. Itt nem kérdés a kezdeti feltételek problémája.

Abban az időben a teljes sorozat módszert alkalmazták formalitás nélkül a differenciálegyenletek megoldására. Egyáltalán nem érdekel ezeknek a sorozatoknak a konvergenciája, amelyek állítólag folyamatosan konvergálnak. Még Euler, a XVIII .  Század legnagyobb matematikusa sem látta a problémát. Oda megy, hogy integrálja és levezesse azokat a sorozatokat, amelyek konvergencia sugara 0, anélkül, hogy észrevenné, hogy így talált ellenpéldákat az akkori hitre, hogy a Taylor-sorozat konvergál. Amikor ilyen nem konvergens sorozatokkal szembesül a numerikus számítással, matematikus érzéke azt mondja neki, hogy ajánlatos abszolút értékben a legalacsonyabb távon megállni. Az aszimptotikus sorozatok nincsenek messze, de időbe telik a kérdés megfogalmazása, amire igazából csak egy évszázaddal később kerül sor. Az oldalán Stirling , de Moivre együtt interpolálja a faktoriális függvényt, amelynek Euler integrált ábrázolást ad. Ez ismét aszimptotikus fejlemény.

Egy másik, sokat foglalkoztató kérdés az, hogy a differenciálegyenletek megoldásait csak az elemi függvények véges kifejezéseinek bevonásával írjuk meg. Leibniz tehát az egyszerű elemekre bontás módszerét ígéri. Annak az egyenletnek a száma, amelyet akkor tudunk megoldani ezzel a módszerrel, bár folyamatosan növekszik, ugyanolyan alacsony. Például a Bernoulli tudja, hogyan integrálja a lineáris egyenletet és néhány más rendet. Ehhez a rövid listához a Riccati 1722-et hoz, egy új esetet.

Az elsőrendű differenciálegyenletek formájában , Alexis Clairaut használja először a szorzó, a funkció , hogy a termék a következő egyenlet segítségével pontos teljes eltérés , amely lehetővé teszi, hogy az integrált formában . Euler kidolgozza ezt a módszert. P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0{\ displaystyle P (x, y) dx + Q (x, y) dy = 0}M(x,y){\ displaystyle M (x, y)}dV(x,y)=0{\ displaystyle dV (x, y) = 0}V(x,y)=Állandó{\ displaystyle V (x, y) = {\ text {Állandó}}}

1734-ben Clairaut volt az első, aki észrevette az egyenleten az egyes megoldások létezését. A vonalak családjához, amely az integrálgörbék általános kifejezése, hozzá kell adni ennek a családnak a burkolatát, hogy az egyenlet összes analitikai megoldása rendelkezésre álljon. D'Alembert 1748-ban egy egyedüli integrál második esetét találta meg. De Euler és Lagrange derítik ki, hogy mi történik általában, megmutatva, hogy a két egyenlet közötti y 'kiküszöbölésével kapott görbe, és általában az egyenlet integrálgörbéinek egyes pontjainak a helye . Ha kielégíti az egyenletet , akkor a görbe az egyenlet egyes megoldása. y-xy′+f(y′)=0{\ displaystyle y-xy '+ f (y') = 0}y=VSx+f(VS){\ displaystyle y = Cx + f (C)}VS(x,y)=0{\ displaystyle C (x, y) = 0}F(x,y,y′)=0{\ displaystyle F (x, y, y ') = 0}∂F∂y′=0{\ displaystyle {\ frac {\ részleges F} {\ részleges y '}} = 0}F(x,y,y′)=0{\ displaystyle F (x, y, y ') = 0}y′∂F∂y+∂F∂x=0{\ displaystyle y '{\ frac {\ részleges F} {\ részleges y}} + {\ frac {\ részleges F} {\ részleges x}} = 0}VS(x,y)=0{\ displaystyle C (x, y) = 0}

Ha ismert, a XVII .  Század végétől kezdve integrálja az első és a második rendű lineáris differenciálegyenleteket állandó együtthatókkal exponenciális összegekkel, várjon 1760-ig, amíg az elmélet a lineáris differenciálegyenletek konstans együtthatóinak végére érkezik, bármilyen sorrendben. 1739-ben, Euler találkozás egy lineáris differenciálegyenlet állandó együtthatós a 4 -én  sorrendben a vibrációs problémát, amely abból nem egyértelmű integrálni. 1743-ban alakította ki a ma jellemző karakterisztikus egyenletet  : a megoldások olyan alakúak, ahol az rs egy polinomiális egyenlet megoldása. Kicsit később megtudja, hogyan lehet megszerezni az összes integrált, amikor a karakterisztikus egyenlet r többszörös: meg kell keresnünk őket a formában . erx{\ displaystyle e ^ {rx}}xkerx{\ displaystyle x ^ {k} e ^ {rx}}

D'Alembert megjegyzi, hogy nem homogén lineáris differenciálegyenletek esetén egy adott megoldás hozzáadása a homogén egyenlet általános megoldásához megadja a homogén egyenlet általános megoldását. Lagrange bebizonyítja, hogy az n sorrendű lineáris differenciálegyenlet általános megoldása olyan formájú, ahol az egyenlet megfelelő megoldásait választják meg. Lagrange bemutatja az állandók variációjának módszerét is, amely kvadratúrákkal oldja meg a nem homogén lineáris egyenletet, ha ismeri a homogén egyenlet általános megoldását. D'Alembert a maga részéről megjegyzi, hogy ha egy adott megoldást ismerünk , akkor pózolással csökkentjük az n nagyságrendű lineáris egyenlet integrációját homogén egy azonos típusú n-1 rendű egyenletre z-ben: a sorrend leengedve. ∑k=1nemVSkyk{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} C_ {k} y_ {k}}yk{\ displaystyle y_ {k}}y1{\ displaystyle y_ {1}}y=zy1{\ displaystyle y = zy_ {1}}

Lineáris egyenleteknél Euler egész sorokat is használ. Ezután észreveszi, hogy időnként szükségünk van a forma kibővítésére, ahol S (x) egész sor és nem egész kitevő. Ez majdnem egy évszázaddal Fuchs és Frobenius művei előtt. A második rendű egyenlethez tudja, hogyan kell kialakítani a meghatározó egyenletet, és abban az esetben is, ha egész szám van, megfigyeli, hogy létezik egy második megoldás, logaritmikus taggal. xλ×S(x){\ displaystyle x ^ {\ lambda} \ szorzat S (x)}λ{\ displaystyle \ lambda}λ{\ displaystyle \ lambda}λ{\ displaystyle \ lambda}

A mechanikában a kérdés lényegében az égi mechanika n testének problémája köré irányul. A 3n differenciálegyenleteket a Kepler-féle megoldás alapján kezeljük: először kettő kivételével elhanyagoljuk az összes többi testet, a testet, amelynek mozgását vizsgáljuk, és a Napot. A többi test ekkor úgy tűnik, hogy kis paraméterek befolyásolják őket. A megoldásokat egész sorozatban fejlesztjük, és megpróbáljuk, amennyire csak lehetséges, elkerülni a nem periodikus kifejezések megjelenését. Clairaut, D'Alembert, Euler, Lagrange és Laplace sok emléket szentel a Naprendszer stabilitásának bemutatására. A stabilitás hihető, de nem mutatható ki nagy léptékben.

A Sturm-Liouville-probléma első példáját D'Alembert hozza egy nem homogén húr rezgéséről. D'Alembert egy differenciálegyenletet vesz figyelembe , amelynek megoldása kielégíti az y (0) = y (a) = 0 peremfeltételt, és ahol m olyan paraméter, amelynek értékét arra keresi, hogy a megoldás ne tűnjön el l 'intervallumban] 0, a [. Kialakítja a kapcsolódó Riccati-egyenletet, és néhány érveléssel az érvelésében megmutatja, hogy m-nek csak egy értéke válaszol a kérdésre. y″=mnál nél(x)y{\ displaystyle y '' = én (x) y}

A Riccati-egyenlet, I. fázis: Riccatitól Eulerig

A Riccati-differenciálegyenlet formájú. Differenciálegyenletnek tekinthetjük, amelynek függvényét y-ben fejlesztettük ki kettő rendezésére. y′=nál nél(x)y2+b(x)y+vs.(x).{\ displaystyle y '= a (x) y ^ {2} + b (x) y + c (x).}y′=f(x,y){\ displaystyle y '= f (x, y)}f(x,y){\ displaystyle f (x, y)}

Kezdetben egyszerűbb formájú. Bár Jacques Bernoulli tanulmányozta , ez a differenciálegyenlet Jacopo Riccati hidraulikus és matematikus nevet viseli , akit jóval azelőtt érdekelt ez az egyenlet, hogy 1724-ben javaslatot tett volna kollégáinak. , ekkor integrálni bizonyos differenciálegyenleteket a sorrend csökkentésével és a változók elválasztásával. Problémája azonnal reagálásra késztette Bernoulli-t: az egyenletet többen tanulmányozták, és tudnak egy kvadrátum szerinti integráció esetét. De tudjuk, hogy Jacopo Riccati már régóta ismeri a kvadrátum szerinti integráció esetét is. Ez az egyenlet tehát csak akkor integrálódik, ha n egyenlő 2-vel, vagy -4m / (2m + 1) vagy -4m / (2m-1) alakú, m pozitív vagy nulla egész szám. y′=nál nély2+bxnem.{\ displaystyle y '= ay ^ {2} + bx ^ {n}.}

Mindazonáltal a többi esetben kvadrátussal keresik a megoldást. Amikor 1751-ben megjelent a Diderot és d'Alembert enciklopédia , olvastunk róla

„RICATI (egyenlete) Algebra. Integrált számítás. Az első rendű differenciálegyenletet tehát két változóval hívjuk, amelyeket Ricati gróf 1720 körül javasolt a földmérőknek, és amelyekre még senki nem adott általános megoldást. Talán valószínűleg nem lesz ilyen véges értelemben.

Ez az egyenlet formájú . Megállapítottuk, hogy minden alkalommal, amikor m = (- 4 h) / (2 h ± 1), h pozitív egész szám, az állítás annak igazolására redukálódik , amelyből levezetjük , elegendő, ha y egyenlővé válik & , & megtaláljuk a q, r és c értékeket. oly módon, hogy a redukció megtörténik, y értéke y '& x' -ben csak véges számú kifejezés. " dy+y2dx+nál nélxmdx=0{\ displaystyle dy + y ^ {2} dx + ax ^ {m} dx = 0}dy′+y′2dx′+nál nél′dx′=0{\ displaystyle dy '+ y' ^ {2} dx '+ a'dx' = 0}nál nél′dx′=-(sdy′)/(1+y′2){\ displaystyle a'dx '= - (sdy') / (1 + y '^ {2})}y′x′o+vs.x′q+ex′r...{\ displaystyle y'x '^ {p} + cx' ^ {q} + ex '^ {r} \ ldots}x=nál nél′x′nem{\ displaystyle x = a'x '^ {n}}

Valójában ez az egyenlet általában nem megoldható meghatározatlan kvadratúrákkal.

Euler 1760-ban megmutatta, hogy a forma változójának változása a Riccati-egyenletet lineáris másodrendű differenciálegyenletgé alakítja w-ban: y(x)=-w′(x)/nál nél(x)w(x){\ displaystyle y (x) = - w '(x) / a (x) w (x)}

nál nél(x)w″-(nál nél′(x)+b(x)nál nél(x))w+nál nél2(x)vs.(x)w=0.{\ displaystyle a (x) w '' - (a '(x) + b (x) a (x)) w + a ^ {2} (x) c (x) w = 0.}

És fordítva, tudja, hogyan lehet egy másodrendű lineáris differenciálegyenletet átalakítani Riccati-egyenletgé, amely időnként lehetővé teszi, hogy kvadrátorrá integrálja.

Euler és Lagrange azt a tulajdonságot használja, amelyet egy Riccati-egyenlet egy másik Riccati-egyenletgé alakít át azzal, hogy egy másik ismeretlen homográfiai függvény megoldást (x függvényegyütthatóval x) tesz fel, hogy az oldatot folyamatos frakcióvá tegye.

A Riccati-egyenlet, II. Fázis: a Galois-elmélet

Émile Picard bebizonyította, hogy létezik egy folytonos homogén lineáris transzformáció, n változóval, az n nagyságrendű lineáris egyenletek mindegyikéhez, ez a csoport hasonló tulajdonságokkal rendelkezik, mint az algebrai egyenlet szubsztitúcióinak csoportja. 1892-ben megvédett dolgozatában Vessiot lefekteti a lineáris differenciálegyenletek Galois-elméletének alapjait. Így bebizonyítja a következő tételeket

"Ahhoz, hogy a lineáris egyenlet kvadrát szerint integrálható legyen, szükséges és elegendő, hogy ezen egyenlet transzformációinak csoportja integrálható legyen"

"Az n (n> 1) sorrend általános differenciálegyenlete nem integrálható kvadratúrákkal"

"Ha egy lineáris egyenlet kvadratúrákkal integrálható, akkor az egyik integráljának logaritmikus származékát racionálisan fejezzük ki."

az eredmény, amelyet Liouville korábban bemutatott a típus másodrendű differenciálegyenlete esetén , ahol P polinom x-ben. y″=Py{\ displaystyle y '' = Py}

Ez lehetővé teszi annak megállapítását, hogy a Riccati-egyenlet általában nem megoldható kvadratúrával. Kimutatták azt is, hogy a Riccati-egyenlet általános megoldása az integrációs állandó homográfiai függvénye.

Négyzetfelbontás: a modern ébredés

Régi probléma a differenciálegyenlet véges megoldása. Painlevé 1904-ben kijelentette

"A hullám akkor állt meg, amikor mindent integráltak, ami integrálható volt a természeti problémákba."

és úgy vélte, hogy ez a kérdés végleg megoldódott. Úgy gondoltuk, hogy soha nem fogunk tudni olyan algoritmust találni, amely lehetővé tenné, hogy egy differenciálegyenlet megoldható-e egy képlettel. Ma azonban ez a kérdés határozottan újra felkeltette az érdeklődését. Körülbelül ötven éve tudjuk, hogy egy differenciálegyenlet képlettel kifejezhető megoldást enged-e meg, vagy meg kell elégedni egy numerikus számítással. Ez a zárt formájú felbontás, Oystein Ore 1930-as években végzett, nem kommutatív polinomokkal kapcsolatos munkáját követően . A Gröbner-bázisok bevezetése lehetővé tette a formális számításokhoz jól illeszkedő algoritmusok megvalósítását, mind magukon a differenciálegyenleteken, mind a parciális differenciálegyenleteken. 1980 óta nagy teljesítményű szoftvereket gyártanak, amelyek jelentősen kibővítik a mérnökök számítási erőforrásait. Ezek azonban továbbra is a legegyszerűbb egyenletekre korlátozódnak. A folyadékmechanikában például ez nem teszi lehetővé a turbulencia modellek tanulmányozását.

A létezés és az egyediség tételei

A XVIII. E  század matematikusai megbeszélés nélkül elismerik a differenciálegyenletek vagy a parciális deriváltak megoldásának létezését anélkül, hogy e megoldások létterületét keresnék. Főleg egész sorokat használnak határozatlan együtthatók módszerével, ha nem tudják integrálni az egyenletet kvadrát szerint. Bizalmuk Taylor tételében van, és nem teszik fel maguknak e sorozat konvergenciájának kérdését. Másrészt tudják, hogy egy adott pont és a függvény adott pontja, valamint annak n-1 származékai meghatározzák a differenciálegyenlet megoldását . y(nem)=f(x,y,y′,...,y(nem-1)){\ displaystyle y ^ {(n)} = f (x, y, y ', ..., y ^ {(n-1)})}

Csak Cauchy, 1820 körül közelítette meg a differenciálegyenlet megoldásának létezését , ahol feltételezzük, hogy f minden változóban folyamatosan differenciálható. Annak bizonyítása, hogy adott (x0, y0) ponthoz létezik-e megoldás, és csak olyan, amely kielégíti a differenciálegyenletet és áthalad ezen a ponton, ezt a függvényt egy kis intervallumban definiálva x0 körül. Nyilvánvaló, hogy még nem tesszük fel a komplex megoldások kérdését. Ezért Cauchy számára - az elődöktől eltérően - a létezés és a helyi egyediség problémája van, mivel nem tudjuk, hogy a megoldás meddig terjed. Ehhez Cauchy ismét h lépéssel átveszi Euler módszerét. Így kiszámítja az egyenlet megközelítő megoldását, affinonként darabonként, és az átlag tételét felhasználva megnövelheti két közelítő megoldás különbségét két különböző h és h 'hangmagasságra, f és x0 és y0 függvényében, de nem a különbség. Így bebizonyítja, hogy a hozzávetőleges uh (x) megoldás hajlamos egy u (x) függvényre, amely az egyenlet egyedi megoldása, amikor h 0-ra hajlik. Bizonyítja, hogy bizonyítja a differenciálegyenlet-rendszereket, hogy egy bármilyen rendű differenciálegyenletek létezésének és egyediségének tétele. y′=f(x,y){\ displaystyle y '= f (x, y)}

Anélkül, hogy tudta volna Cauchy munkáját, Lipschitz 1868-ban megtalálta Cauchy eredményét, de ahol Cauchy feltételezte az f differenciálhatóságát, Lipschitz megjegyzi, hogy semmiképpen sem szükséges, és elegendő ahhoz, hogy szigorúan pozitív k szám legyen, amely . Ez a Lipschitz-feltétel. |f(x,y1)-f(x,y2)|<k|y1-y2|{\ displaystyle | f (x, y1) -f (x, y2) | <k | y1-y2 |}

1837-ben Liouville egy másodrendű lineáris egyenlet konkrét esetére egy egymás utáni közelítési módszert alkalmazott: az u (x0) = y0 beállításával és a megismétlődés segítségével meghatározzuk a függvények sorrendjét . Ha a Lipschitz feltétel teljesül, akkor az x0 szomszédságában definiálva vannak, és egységesen konvergálnak az egyenlet u megoldásához, u (x0) = y0 értékkel. Moigno atya szerint Cauchy is nagyjából ugyanabban az időben használta volna ezt a folyamatot. De ez a folyamat 1870-ig feledésbe merült, amikor Carl Neumann és Hermann Amandus Schwarz tollával újra megjelent a Dirichlet-problémával kapcsolatban . Ez Émile Picard , aki megmutatja a termékenysége a módszer az egymást követő közelítés, 1890, azt alkalmazni nagyszámú megléte problémát függvényegyenletek. Ezt követően Banach megfogalmazza a módszert egy általános keretben. unem′(x)=f(x,unem-1(x)){\ displaystyle u_ {n} '(x) = f (x, u_ {n-1} (x))}unem(x){\ displaystyle u_ {n} (x)}

Émile Picard ezenkívül megmutatja, hogy az egymást követő közelítések módszere holomorf megoldást nyújt az (x0, y0) szomszédságában, amikor a második tag maga is analitikus. Ez az eredmény, amelyet Cauchy kapott 1831-ben, teljes mértékben igazolta a XVIII .  Századi formális elemzősorozat folyamatát . De Cauchy az eredményt a felső korlát módszerrel kapta meg (amelyet a határértékek számításának nevezett): Ha az (x0, y0) függvényben az f (x, y) függvényt kettős egész sorként fejlesztjük, akkor Az f (x, y) függvényt F (x, y) -vel "növeljük" az (x0, y0) szomszédságában, ha az f (x, y) tágulási együtthatóit megnöveljük az F (x, y). Így van . f(x,y)=∑nem∑mvs.nem,m(x-x0)nem(y-y0)m.{\ displaystyle f (x, y) = \ sum _ {n} \ sum _ {m} c_ {n, m} (x-x0) ^ {n} (y-y0) ^ {m}.}|vs.nem,m|≤VSnem,m{\ displaystyle | c_ {n, m} | \ leq C_ {n, m}}

(építés alatt)

Rendes lineáris differenciálegyenletek változó együtthatókkal. Fuchs elmélete

1866-ban Fuchs egy közönséges differenciálegyenlet megoldásainak egyes pontjait vizsgálta, változó együtthatókkal, amelyektől a legmagasabb rendű derivált lehet elválasztani. Olyan megoldások érdekelték, amelyek sorozatban fejleszthetők az együtthatók egyes pontja közelében.

Vegyünk egy másodrendű differenciálegyenletet változó együtthatókkal. Ha rendszeres pontja és a pont azt mondják, hogy a rendszeres. A megoldás egész konvergens sorokban fejleszthető a . Egyébként egyetlen pont. P(x)y″+Q(x)y′+R(x)=0{\ displaystyle P (x) y "" + Q (x) y '+ R (x) = 0}nál nél{\ displaystyle a}Q(x)/P(x){\ displaystyle Q (x) / P (x)}R(x)/P(x){\ displaystyle R (x) / P (x)}nál nél{\ displaystyle a}nál nél{\ displaystyle a}

Ha egy szinguláris pont, hogy, valamint a fejleszthető konvergens egész sorozat, akkor az úgynevezett rendszeres szinguláris pont. Ellenkező esetben azt mondják, hogy a pont egyes szabálytalan. nál nél{\ displaystyle a}(x-nál nél)Q(x)/P(x){\ displaystyle (xa) Q (x) / P (x)}(x-nál nél)2R(x)/P(x){\ displaystyle (xa) ^ {2} R (x) / P (x)}nál nél{\ displaystyle a}nál nél{\ displaystyle a}

Ebben az összefüggésben a következő tételt kapjuk Fuchs miatt:

„Ha van egy szabályos pont, akkor létezik egy egyedülálló, egész sorozatban kifejleszthető megoldás a lemezen, ahol a legkisebb a konvergencia sugár és a . nál nél{\ displaystyle a}|x-nál nél|<r{\ displaystyle | xa | <r}r{\ displaystyle r}Q(x)/P(x){\ displaystyle Q (x) / P (x)}R(x)/P(x){\ displaystyle R (x) / P (x)}

Ha egy szabályos szinguláris pont, létezik egy egyedülálló megoldás fejleszthető az egész sorozatot a lemezen , ahol a legkisebb sugarak konvergencia értéke sorozat és . " nál nél{\ displaystyle a}|x-nál nél|<r{\ displaystyle | xa | <r}r{\ displaystyle r}(x-nál nél) Q(x)/P(x){\ displaystyle (xa) \ Q (x) / P (x)}(x-nál nél)2 R(x)/P(x){\ displaystyle (xa) ^ {2} \ R (x) / P (x)}

Így a forma megoldásait keressük , mivel valóságosak vagyunk . Például így oldják meg a Bessel-egyenletet. A Bessel-függvények, amelyek a Bessel-egyenletek megoldását jelentik, csillapított rezgések, különösen diffrakciós rendszerekben (optika, részecskefizika, elektromágnesesség), de körkörös membrán (dob) sajátfüggvényeként is megtalálhatók ... (x-nál nél)vs.∑nem≥0nál nélnem(x-nál nél)nem{\ displaystyle (xa) ^ {c} \ sum _ {n \ geq 0} a_ {n} (xa) ^ {n}}vs.{\ displaystyle c}

Differenciálegyenletek fix kritikus pont nélkül

A differenciálegyenletek felbontása megmutatta, hogy a megoldások az integráció állandóitól és a probléma körülményeitől függenek (például Cauchy-feltételek). Megoldást határoztak meg egy bizonyos intervallumban, és ez a létezési intervallum általában a problémától függ. Az egyik arra gondolt, hogy vannak-e olyan esetek, amikor a megoldások rögzített egyes pontokat fogadnak el, vagyis függetlenek a probléma körülményeitől. Briot és Bouquet 1855-ben támadják a kérdést a komplex mező elsőrendű (nemlineáris) differenciálegyenletein. Így azt javasolják, hogy meghatározzuk azokat az egyenleteket, amelyek csak mobil pólusokkal rendelkeznek. Ezeket a tanulmányokat Émile Picard és Henri Poincaré folytatja. Az y '= g (y, s) / h (y, s) differenciálegyenleteknél, ahol g és h polinomok y-ban, egy olyan tényező nélkül, ahol s holomorf együtthatók vannak, Painlevé szigorúan bizonyítja (mi Briot és Bouquet), hogy az y megoldásnak nincs korlátja, sem véges, sem végtelen, amikor az s változó mozgó egyes pontra hajlik. Más szavakkal, az a lényeges szingularitás csak a g (y, a) h (y, a) és h (y, a) arányának meghatározhatatlansága (y-ben) lehet, és az ilyen pontok rögzülnek és elkülönülnek. Az y (s) megoldás tehát egy olyan határ felé hajlik, amely véges vagy végtelen lehet, amikor az s a mobil egyes a pont felé halad. Ha a határ véges, akkor a a g / h pólus és az oldat olyan elágazási pontja, amelynek k formája a g / h pólusának rendje, és u (s) holomorf a nál nél. Arra következtetünk, hogy ennek a formának egyetlen elágazási pont nélküli egyenlete a Riccati-egyenlet, holomorf együtthatóval. y(s)=(s-nál nél)1/(k+1)u(s){\ displaystyle y (s) = (sa) ^ {1 / (k + 1)} u (s)}

A kérdés egészen más nehézséget jelent a 2. sorrend differenciálegyenleteivel kapcsolatban. Painlevé 1899-ben ért véget az y "= f (s, y, y ') alakú differenciálegyenleteknél, ahol f racionális függvény y és y „holomorf együtthatók s. Ez határozza meg a differenciálegyenletek, amelyre nincs sem a mobil elengedhetetlen szinguláris pont, sem mobil elágazási pont változása változó és a funkció függvényében analitikusan egy paraméter t oly módon, hogy , , csökkentve az egyenlet a formában Y" = G (S, Y, Y ', t), így a paraméter t0 értékéhez, például t = 0, az egyenlet kifejezetten integrálható. Ha az egyenletnek nincs sem mobil alapvető szinguláris pontja, sem a t0-től eltérő mobil elágazási pontja, akkor ez azt mutatja, hogy t = t0 esetén megegyezik. Mivel ismerjük a t0 egyenlet megoldását, ez biztosítja a szükséges feltételeket ahhoz, hogy a kezdeti egyenlet bármely integráljának csak mozgó pólusai legyenek. Ennek a folyamatnak az ismételt alkalmazásával Painlevé és Gambier 50 egyenlettípushoz jut, amelyek közül 44 kifejezetten integrálható, vagy amelyeknek első integrálját ismerjük. Még mindig van 6 eset, amelyet nem lehet ilyen módon kezelni. A legegyszerűbb az y "= 6y² + s, amelyet Painlevének sikerült megmutatnia, hogy megoldásai egységesek, csak mozgó pólusokkal rendelkeznek, és hogy ezeket nem elemi vagy elliptikus függvények fejezik ki. Ezeket a transzcendenseket azóta a Painlevé transzcendensének nevezik . s=s0+tnemS{\ displaystyle s = s0 + t ^ {n} S}y=y0+tmY{\ displaystyle y = y0 + t ^ {m} Y}

Azzal, hogy dolgozatát 1902-ben az Acta mathematica- ban publikálta , Painlevé egy táblázatban feltüntette eredményeit, de elfelejtett egy esetet, amelyet Gambier az 1909-ben védett dolgozatában befejezett.

Operatív számítás

1893-ban egy "Operátorok a matematikai fizikában" című cikkében egy angol mérnök, Oliver Heaviside az elektromos vezetékek átmeneti jelenségeinek tanulmányozására olyan módszert alkalmazott, amely eredeti és megalapozatlan differenciálegyenleteket is megoldott, még a szerzője is. tekintse meg, hogy nem tagadjuk meg az étkezést, mert nem értettük teljesen az emésztés működését! Módszere a p betű használata a d / dt differenciálási operátor helyett. és ugyanúgy figyelembe venni, hogy 1 / p az integráció operátora ... Valójában algebrai számítást végez a p-n, miután lefordította a keresett függvényt, és a végén visszatér az eredetihez. Mindez elkábítja a "komoly" matematikusokat, de ennek ellenére magyarázat nélkül egyetértenek abban, hogy Heaviside módszere a várt eredményeket adja.

Alapvetően egy ismert módszer, a Fourier-transzformáció általánosítása. Carson 1917-ben megmutatja, hogy Heaviside módszere megmagyarázható, ha figyelembe vesszük az integrál transzformációt, amely abból áll, hogy egy f (t) függvénnyel társítjuk annak átalakítását, a g (p) = Lf (t) függvényt, amelyet

g(o)=Lf(t)=o∫0∞e-otf(t) dt.{\ displaystyle g (p) = Lf (t) = p \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ rm {e}} ^ {- pt} f (t) ~ {\ rm {d}} t .}

Hamarosan rájöttünk, hogy Heaviside módszerének előfutárai, Laplace, Lagrange voltak az „Analitikai mechanikában” 1788-ban, Poisson 1815-ben, Abel 1830-ban. Ennek eredményeként a módszer ma a „transformation de Carson-Laplace” nevet viseli, vagy csak „Laplace-transzformáció”. Ezt követően egy sor funkcionális transzformációt fogunk használni, például Mellin, Fourier, kétoldalú Laplace transzformációkat (az integrál R-n van, ahelyett, hogy R + -on lennénk). Az említett transzformációkat jól tanulmányozták Lerch, Carson , Bromwich … Paul Lévy volt az, aki 1926-ban megmutatta a Carson-Laplace-integrál és a Mellin-Fourier-integrál közötti egyedülálló viszonosságot: Ha ismerjük az f (t) függvény g (p) (egyoldalú) Carson-Laplace-transzformációját, képlet adja meg (Mellin-Fourier integrál)

f(t)=12énπ∫vs.-én∞vs.+én∞eotg(o)o do.{\ displaystyle f (t) = {\ frac {1} {2 {\ rm {i}} \ pi}} \ int _ {c - {\ rm {i}} \ infty} ^ {c + {\ rm {i}} \ infty} {\ rm {e}} ^ {pt} {\ frac {g (p)} {p}} ~ {\ rm {d}} o.}

Megjelennek a levelezési táblázatok. Van Der Waerden az 1920-as években az analitikus számelméletben felhasználta a prímszám-tétel igazolására ...

A Laplace-transzformáció néhány parciális differenciálegyenletre történő alkalmazása átalakítja őket közönséges differenciálegyenletekké. Például egy végtelen hosszúságú és 1 sugarú hengerben a diffúzió egyenlete, amelynek kezdeti hőmérséklete 0, és amelynek falát t = 0-tól 1-vel egyenlő állandó hőmérsékleten tartják. u (ρ, t) megadja a hőmérsékletet a t pillanatban abban a pontban, amely a henger tengelyétől ρ távolságra van. Megfelelő mértékegység-rendszerben van

∂u∂t=∂2u∂ρ2+1ρ∂u∂ρ{\ displaystyle {\ frac {\ részben u} {\ részleges t}} = {\ frac {\ részleges ^ {2} u} {\ részleges \ rho ^ {2}}} + {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ részben u} {\ részleges \ rho}}}

amelyeknél feltételezzük a kezdeti feltételeket

u(ρ,0)=00≤ρ<1{\ displaystyle u (\ rho, 0) = 0 \; 0 \ leq \ rho <1} u(1,t)=1t>0{\ displaystyle u (1, t) = 1 \; t> 0}

Pózolással megtaláljuk a differenciálegyenletet U(ρ,o)=Lu(ρ,t){\ displaystyle U (\ rho, p) = Lu (\ rho, t)}

oU=d2Udρ2+1ρdUdρ,{\ displaystyle pU = {\ frac {d ^ {2} U} {d \ rho ^ {2}}} + {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {dU} {d \ rho}} ,}

amely egy Bessel-egyenlet.

A parciális differenciálegyenletek elmélete céljából egy operatív többváltozós számítást találnak ki.

Részleges differenciálegyenletek

Először, azokat a problémákat, amelyek általában részleges differenciálegyenlethez vezetnek, ad-hoc, leggyakrabban geometriai módszerekkel oldanak meg. A parciális differenciálegyenletet nem írjuk. Ezért nem lesz meglepő, hogy az első parciális differenciálegyenlet csak egészen későn jelenik meg.

Az első megrendelés

Az elsőrendű parciális differenciálegyenletek integrációjának elmélete csak 1734-ből származik. Euler elképzelése az, hogy az integrációt a hétköznapi differenciálegyenletekre redukálja. Euler azt mutatja, hogy egy család funkciók függően két paraméter a és b a formában z = f (x, y, a, b) eleget tesz egy elsőrendű parciális differenciálegyenlet kiküszöbölésével a és b közötti parciális származékok , és z. Ezzel szemben egy ilyen egyenlet egy tetszőleges függvénytől függően megengedi a megoldást. Így több ilyen egyenletet sikerül integrálnia. ∂z∂x{\ displaystyle {\ frac {\ részleges z} {\ részleges x}}}∂z∂y{\ displaystyle {\ frac {\ részleges z} {\ részleges y}}}

D'Alembert a maga részéről két alapelvre építi integrációs folyamatait:

1. Két változó függvényének második deriváltja értéke független az e változók szerinti differenciálások sorrendjétől (az Euler miatti tétel, de mely feltételekhez hozzá kell adni)
2. Pontos teljes differenciál képződése a két összefüggés segítségével, és így az utóbbi integrálása adja az integrált.dz=odx+qdy{\ displaystyle dz = pdx + qdy}F(x,y,z,o,q)=0{\ displaystyle F (x, y, z, p, q) = 0}

Húsz évvel később, 1768-1770-ben, Euler az Institutiones calculi integralis című kiadványában ezeknek az egyenleteknek a 3. kötetét publikálta, ahol a jelzett elveket meglehetősen nagy számú, de meghatározott formájú egyenletre alkalmazta. Clairaut már 1740-ben a szokásos differenciálegyenletek analógiájával találkozott egy felületcsalád pontos teljes differenciálegyenletével.

Lagrange egy 1785-ös emlékiratban összefoglalja az akkori ismereteket ezekről a kérdésekről. Csak 11 típusú elsőrendű parciális differenciálegyenletet képes integrálni.

Ezen egyenletek integrációjának megoldását egy kevéssé ismert matematikus, aki 1784-ben halt meg, Paul Charpit adta meg . Dolgozatát, amelyet 1784-ben mutattak be a Tudományos Akadémiának, soha nem tették közzé, és sokáig rejtély maradt. Csak azt tudtuk, hogy Lacroix mit írt róla, ami sok valótlanságot idézett elő, egészen addig, amíg 1928-ban megtalálták az emlékirat egy példányát. Charpit Lagrange 1772-ből származó emlékiratából indult ki, és ezt írta, amit ma a jellemzők differenciálegyenleteinek nevezünk. Folytatja, jelezve, hogy ha ezek megoldhatók, elegendő integrálni ezeket az egyenleteket az F (x, y, z, p, q) = 0 egyenlettel a p és q származékok vonatkozásában. Így megkapja a teljes integrált azáltal, hogy integrálja az egyenletet a teljes különbséggel . Ez a klasszikus módszer az elsőrendű parciális differenciálegyenletek integrálására, amelyet elemzési órákon találunk. dz=odx+qdy{\ displaystyle dz = pdx + qdy}

Lagrange csak 1793-ban értesült Charpit téziséről, ami megmagyarázza, hogy az 1785-ös tézis miért tudta csak 11 típusú egyenlet integrálását. Ezt a 11 típust Charpit tökéletesen megmagyarázza, aki példáját veszi módszerére. Charpit azonban nem bizonyította a módszer szigorúságához szükséges fordított tételeket:

1. A jellemzők bármely integrálja meghatározza a megfelelő lineáris parciális differenciálegyenlet megoldását.
2. A jellemzők bármely integrálja kielégíti az Euler-feltételt

∂o∂y+∂o∂zq=∂q∂x+∂q∂zo.{\ displaystyle {\ frac {\ részleges p} {\ részleges y}} + {\ frac {\ részleges p} {\ részleges z}} q = {\ frac {\ részleges q} {\ részleges x}} + { \ frac {\ részleges q} {\ részleges z}} o.}

Ezeket a tételeket Jacobi be fogja bizonyítani .

Lagrange négy évvel azután, hogy elolvasta Charpit emlékiratát 1797-ben, bonyolultabban foglalkozik ezekkel a kérdésekkel, mint Charpit az Analitikai funkciók elméletében .

Monge 1809-ben a Geometry Analysis Applications -ben megmutatja, hogy a megoldások érintkezési görbék, amelyeknek az integrált felületű burkolata van, és hogy p és q meghatározzák a görbe mentén ezt a felületet érintő síkokat.

Charpit, Lagrange és Monge neve mindenképpen kapcsolódik ahhoz, ami a jellemzők módszerévé válik.

1815-ben Pfaff kiterjesztette Charpit módszerét, és megadta az első módszert egyetlen ismeretlen függvény részleges differenciálegyenletének tetszőleges számú független változóba történő integrálására. Ezt a folyamatot Cauchy 1819-ben, majd Jacobi 1836-ban egymás után egyszerűsíti.

Jacobi tehát az integráció módszereinek az eredete, amelyek modernnek minősülnek, lehetővé téve az integráció befejezését ott, ahol a hagyományos folyamatok nehézségekbe ütköznek. Bertrand 1852-ben fedezte fel újra Jacobi megfontolásainak alapjait, még mielőtt Jacobi posztumusz emlékezete megjelent volna. Bour fontos hozzájárulást tett hozzá.

Sophus Lie felvette Jacobi problémáját, és eredeti, de nagyon bonyolult választ adott, bemutatva az integrálok funkcionális csoportjának fogalmát. Ugyanezen témában további kutatásokat végzett Saltykow 1903-ban, Stekloff 1909-ben, Russyan és De Donder 1910-ben.

A borítékok elmélete

A borítékok síkbeli görbék elméletét a XVII .  Század végén kezdték meg Leibniz és Jean Bernoulli. Főként Monge egészíti ki, de lényeges elemként jelenik meg az Euler és Lagrange differenciálegyenletek egyes megoldásának elméletében, amely ezt az elméletet a felszíncsalád burkolóira általánosította az első rendű részleges differenciálegyenletek tekintetében. Monge feladata lesz szisztematikusabban tanulni. Monge az a, V (x, y, z, a) = 0 paraméterrel definiálja a felületcsalád jellegzetes görbéjét az V (x, y, z, a) = 0 egyenletekkel, és az a a család jellemzőinek vagy borítékfelületének helye. Ez azt mutatja, hogy a jellegzetes görbék érintik ugyan azt a görbét, amely kielégítő∂V∂nál nél(x,y,z,nál nél)=0.{\ displaystyle {\ frac {\ részleges V} {\ részleges a}} (x, y, z, a) = 0.}∂2V∂nál nél2(x,y,z,nál nél)=0.{\ displaystyle {\ frac {\ részleges ^ {2} V} {\ részleges a ^ {2}}} (x, y, z, a) = 0.}

Az elemzés geometriához való alkalmazásáról szóló tanulmányában (1809) Monge kimutatta, hogy egy fejleszthető felület alkalmazható egy síkon, így válaszolva egy Euler-problémára, és azt mutatja, hogy a z = f (x, y) fejleszthető felületek igazolják az egyenletet rt-s2=0.{\ displaystyle rt-s ^ {2} = 0.}

Ezek az ötletek lehetővé tették számára a jellegzetes sáv fogalmának megfogalmazását, és a Monge-Ampère egyenlet integrálásához vezették.

rt-s2+NÁL NÉLr+Bs+vs.t+D=0,{\ displaystyle rt-s ^ {2} + Ar + Bs + ct + D = 0,}

ahol A, B, C, D x, y, z, p, q függvényei.

Monge munkáját a XIX .  Század folyamán folytatják a geometriai feltételeket kielégítő felületeken (csatornafelületek, díszlécek, Weingarten felületei ...).

A minimális felületek elmélete

Euler meghatározta a geodéziai vonal fogalmát, vagyis a „kisebb hosszúságú vonalakat”. Egy minimális felület két dimenzióra általánosítja a geodézia fogalmát azáltal, hogy megvalósítja annak a területnek a minimumát, amelynek határa adott zárt görbével rendelkezik. Lagrange írta a minimális z = f (x, y) felületek parciális differenciálegyenletét 1760-ban:

(1+q2)r-2oqs+(1+o2)t=0.{\ displaystyle (1 + q ^ {2}) r-2pqs + (1 + p ^ {2}) t = 0.}

Monge megpróbálja integrálni az egyenletet 1784-ben, de hibákat követ el, amelyeket Legendre javított ki 1787-ben. A Legendre bevezeti a Legendre átalakítását.

Az elméletet Meusnier, Sophie Germain, Bonnet, Weierstrass, Riemann, Schwarz, Lie fejezi be, és ma is hatalmas tanulmányi terület marad (Nitsche, Ossermann, Chern, Calabi, Bombieri és mások).

2. és magasabb rendű részleges differenciálegyenletek

A geometrián kívül a sorrend részleges differenciálegyenletei alig kapcsolódnak az elemzés alkalmazásához. Egészen más a magasabb rendű egyenletek, amelyekkel a XVIII .  Századtól találkozunk a deformálható test mechanikájában, a hidrodinamikában és a rugalmasság elméletében. A nehézség a newtoni mechanika törvényeinek lefordítása a nem merev testekre. Bernoulli, Taylor, Euler 1740 előtt nem parciális differenciálegyenleteket ír, hanem az egyes esetekre jellemző geometriai érvelést alkalmaz. Csak 1743-ban írta D'Alembert a mechanika első részleges differenciálegyenletét, egy nehéz lánc oszcillációiról az egyensúlyi helyzet közelében:

∂2u∂t2=∂u∂x-(l-s)∂2u∂s2{\ displaystyle {\ frac {\ részleges ^ {2} u} {\ részleges t ^ {2}}} = {\ frac {\ részleges u} {\ részleges x}} - (ls) {\ frac {\ részleges ^ {2} u} {\ részleges s ^ {2}}}}

Gyorsan teljesítjük az egyenletet

∂2u∂x2+∂2u∂y2+∂2u∂z2=0{\ displaystyle {\ frac {\ részleges ^ {2} u} {\ részleges x ^ {2}}} + {\ frac {\ részleges ^ {2} u} {\ részleges y ^ {2}}} + { \ frac {\ részleges ^ {2} u} {\ részleges z ^ {2}}} = 0}

a hidrodinamikában a hullámegyenlet a hang terjedésében

1vs.2∂2u∂t2=∂2u∂x2+∂2u∂y2+∂2u∂z2{\ displaystyle {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ részleges ^ {2} u} {\ részleges t ^ {2}}} = {\ frac {\ részleges ^ {2} u} {\ részleges x ^ {2}}} + {\ frac {\ részleges ^ {2} u} {\ részleges y ^ {2}}} + {\ frac {\ részleges ^ {2} u} {\ részleges z ^ {2}}}}

és az analóg egy membrán rezgésében. Árapály-elméletében Laplace találkozik az egyenlettel

(m2bűn2⁡θ-nál nél)1vs.2∂2u∂x2=nál nélbűn2⁡θ∂2u∂θ2+nál nélbűn⁡θkötözősaláta⁡θ∂u∂θ{\ displaystyle (m ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta -a) {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ részleges ^ {2} u} {\ részleges x ^ {2}}} = a \ sin ^ {2} \ theta {\ frac {\ részleges ^ {2} u} {\ részleges \ theta ^ {2}}} + a \ sin \ theta \ cos \ theta { \ frac {\ részleges u} {\ részleges \ theta}}}

és Euler a rudak rezgéseinek egyenlete, amely a 4. rendű:

1vs.4∂2u∂t2+∂4u∂x4=0{\ displaystyle {\ frac {1} {c ^ {4}}} {\ frac {\ részleges ^ {2} u} {\ részleges t ^ {2}}} + {\ frac {\ részleges ^ {4} u} {\ részleges x ^ {4}}} = 0}

Az alkalmazások esetében a határfeltételekkel kapcsolatos problémák megoldása a kérdés, és nem találjuk meg ezen egyenletek általános megoldásait. De a XVIII .  Századi technikák nem elég hatékonyak ezen egyenletek tanulmányozásához. Csak egyet tanulmányozunk részletesen, a legegyszerűbb rezgő húregyenletet, az egyenletet

∂2u∂x2=vs.2∂2u∂t2{\ displaystyle {\ frac {\ részleges ^ {2} u} {\ részleges x ^ {2}}} = c ^ {2} {\ frac {\ részleges ^ {2} u} {\ részleges t ^ {2 }}}}

amelyet D'Alembert old meg , az y = x-ct és a z = x + ct változó megváltoztatásával. Így megszerzi a triviális egyenletet

∂2u∂y∂z=0.{\ displaystyle {\ frac {\ részleges ^ {2} u} {\ részleges y \ részleges z}} = 0.}

Visszatérve az eredeti változókra, megállapítja, hogy az általános megoldás formájú

u=f(x-vs.t)+g(x+vs.t),{\ displaystyle u = f (x-ct) + g (x + ct),}

f és g két tetszőleges függvény.

De a XVIII .  Században nem teszünk különbséget az elliptikus differenciálműveletek, a parabolikus vagy a hiperbolikus között. Másrészt helyhez kötött megoldásokat keres és ehhez alkalmazza a változók elkülönítésének módszerét.

jegyzet

1. Nyilvánvalóan tévedett. Még a maga idejében is működött a kérdés: Fields, egy fiatal amerikai matematikus 1887-ben írta értekezését a szimbolikus véges megoldásokról és az egyenlet határozott integráljaival kapcsolatos megoldásokróldnemydxnem=xnemy{\ displaystyle {\ frac {d ^ {n} y} {dx ^ {n}}} = x ^ {n} y} .

Hivatkozások

1. A. Dahan-Dalmedico és J. Peiffer , A matematika története: utak és útvesztők ,1986[ a kiadások részlete ], P.  75 .
2. Karine Chemla és Guo Shuchun , A kilenc fejezet: Az ókori Kína matematikai klasszikusa és megjegyzései [ a kiadás részlete ] , P.  144-147 .
3. Az első ismeretlen az IREM által Poitiers-től, p.  27 .
4. DahanPeiffer , p.  76.
5. Lásd például: R. Rashed Between arithmetic and algebra: research on the history of arab matematika Paris, Les Belles lettres (1984).
6. L. Rodet, Az Al-Khârizmi algebra, valamint az indiai és görög módszerek , olvasható a Gallica-on , p.  24 .
7. C. Drouin, Mohamed Al-Khâwârîzmî Akadémiai csapat Matematika (2001).
8. A példa ugyanabból a forrásból származik.
9. DahanPeiffer , p.  85.
10. Lásd erről a cikkről: Geometriai algebra (elemi matematika) .
11. DahanPeiffer , p.  95.
12. Catherine Goldstein , Jeremy Gray és Jim Ritter , Matematikai Európa , Párizs, Humán Tudományok Háza,1996, 575  p. ( ISBN  978-2-7351-0685-1 , online olvasás ) , p.  228.
13. Goldstein, Gray és Ritter , p.  235.
14. Lodovico Ferrari Encyclopædia Britannica.
15. Daniel Boorstin, Les Découvreurs , Éditions Stegers, 1983, p.  57-79 .
16. Goldstein, Gray és Ritter , p.  241.
17. Picard, „A lineáris differenciálegyenletek transzformációs csoportjairól”, CRAS , t. 96, 1883, p.  1131 .
18. Picard, „Lineáris differenciálegyenletekről és algebrai transzformációs csoportokról”, Annales de la Faculté des sciences de Toulouse , t. 1887. 1.
19. Vessiot , A lineáris differenciálegyenletek integrációjáról , Paris, Gauthier-Villars ,1892.
20. Vessiot 1892 , p.  45.
21. Vessiot 1892 , p.  46.
22. Vessiot 1892 , p.  49.
23. Liouville, „A másodrendű differenciálegyenletek osztályának integrálása explicit véges mennyiségben”, Journal of pure and Applied Mathematics , t. 1839. 4., p.  423 .
24. Painlevé, „A differenciálegyenletek integrációjának modern problémája”, Bulletin des sciences mathatoires , t. 1904. 28., p.  193-208 .
25. Érc, „A nem kommutatív polinomok elmélete”, Annals of Mathematics , t. 34, 1933, p.  480-508 .
26. Fuchs, "Zur theorie der linearen differenciálgémungen mit veränderlichen coefficienten", Journal für die Reine und angewandte mathematik , t. 66, 1866, p.  121-160 .
27. Decuyper, A fizika matematikai modelljei , Dunod, 1968, fejezet. 3.
28. Euler, „De infinitis curvis eiusdem generis seu methodus inveniendi aequationes pro infinitis curvis eiusdem generis”, Commentarii academiae scientiarvm imperialis petropolitanae , t. 7, 1740, p.  174-193 .
29. "A rezgésbe kötött feszes zsinór által alkotott görbén", A Berlini Akadémia története , 1747, 3. kötet, p.  14-49 .
30. Lagrange, "Általános módszer az egyenletek integrálására első rendű részleges eltérésekkel, amikor ezek a különbségek csak lineárisak", Új emlékek a Tudományos Akadémiáról és a belles-lettres de Berlin , 1785.
31. "Allgemeine-módszer részleges differenciálgenerációs és gewöhnliche-differenciál-gömbök, beide von ester ordnung, in beliebig vielen verenderlichen, vollständig zu integriren", Abhandlungen der Königlichens akademie den wissenchaften Berlinben , 1814-1815.
32. A Párizsi Filozófiai Társaság Értesítője , 1819, p.  10 .
33. Jacobi, „Ueber die reduction der integration der partiellen differenciálgleichungen erster ordnung zwischen irgend einer zahl variabeln auf die integration eines einzigen systems gewöhnlicherifferenciálichichen”, in Gesammelte Werke , vol. IV. O.  59 .

Lásd is

Kapcsolódó cikkek

Az algebra időrendje

Bibliográfia

• (de) Galle, Mathematische instrumente , Teubner, Lipcse és Berlin, 1912.
• (en) Horsburgh és társai, Modern eszközök és számítási módszerek , Bells & Sons, London, 1914.
• De Morin, Integrációs eszközök, Gauthier-Villars , Párizs, 1913.

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">