A matematikai analízis , a fogalom limit leírja a közelítése értékeit szekvenciát , ha az index hajlamos a végtelen felé, vagy egy funkció , amikor a változó megközelíti azt a pontot (esetleg végtelen ) szélén a domain meghatározás. Ha ilyen határ létezik az érkezési halmazban, akkor azt mondjuk, hogy a szekvencia vagy a funkció konvergens (a vizsgált ponton). Ha nem ez a helyzet, akkor az eltérő, mint abban az esetben a nem állandó periodikus szekvenciákat és funkciók (mint például a szinusz függvény a + ∞ ).
Feltétele mellett létezését , a számítás a határértékek egyszerűsíti az a kompatibilitás a elemi aritmetikai műveletek , hanem több meghatározatlan formák akadályozzák E számítás technika. A növekedés összehasonlítása gyakran lehetővé teszi ezen bizonytalanságok megszüntetését.
A határérték meghatározása finomítható egyenértékű (különösen nulla vagy végtelen határ esetén), ferde aszimptoták vagy parabolikus elágazások kifejezésével , még korlátozott vagy aszimptotikus fejlődéssel is .
A függvény határa a meghatározási tartományába tartozó ponton összefüggésben van annak folytonosságának jellemzésével . Ez a megfigyelés lehetővé teszi a határ általánosabb kifejezését topológiai keretek között a szomszédság fogalmának felhasználásával . A szűrő fogalmával ezen a keretrendszeren kívül is kitágulhat .
Egy változó függvényében vektor értékei, és különösen egy integrál görbéből egy vektor mező (például társított fázisban helyet egy közönséges differenciálegyenlet a másodrendű), hiányában a limit néha kompenzálják. A határciklus megléte .
Ha n nagyon nagy (egész) szám, akkor az inverze nagyon közel áll a 0-hoz. Ezt a jelenséget egyenlőség fejezi ki .
Hasonlóképpen írhatunk is , mert a négyzetgyök tetszőlegesen nagyra tehető, ha az n egész számot kellően nagynak vesszük (például a megszerzéséhez elegendő, ha n > 1 000 000 ).
Ezzel ellentétben nincs korlátja annak a periodikus szekvenciának , amely felváltva veszi az 1 és −1 értékeket , de amely nem hajlik 1 , nem −1 , vagy bármi más felé az intervallumban ] −1, 1 [ vagy kívül. Korlátozott szekvenciaként sem hajlamos a + ∞ vagy a −∞ felé .
A valódi szekvencia véges határ felé történő konvergenciájának Weierstrass általi meghatározását a képlet fejezi ki
vagy ismételten egyenértékű megfogalmazással valós szekvenciák esetén, de amely a komplex értékű szekvenciák esetéhez igazodik ,
.Ez a definíció kiterjed tovább szekvenciák egy normált tér helyett az abszolút értéke a norma , és általánosabban a szekvenciák egy metrikus tér a készítmény
.Ezen esetek mindegyikében nem lehet két különböző határ ugyanazon sorrendben, ami lehetővé teszi a határ egyenlőséggel történő kifejezését . Néha megtaláljuk a jelölést is .
Végtelen határAzt mondjuk, hogy egy valós szekvencia a + ∞ felé tér el a következő esetben:
.Ezzel analóg módon felé széttartó -∞ esetén
.A három határeset (véges, pozitív végtelen vagy negatív végtelen) kizárják egymást, és nem fedik le a valós szekvenciák halmazát, mivel egyeseknek egyáltalán nincs korlátjuk. Akkor azt mondjuk, hogy korlátozás nélkül eltérnek egymástól.
Az E topológiai térben található értékek szekvenciájához azt mondjuk, hogy a szekvencia konvergál egy L ∈ E elemhez, ha bármely L-et tartalmazó nyitott U esetében létezik egy n 0 rang , amely az összes n > n 0 esetén x n ∈ U . De a határ egyedisége akkor azon a feltételezésen alapul, hogy a tér külön van .
Ez a meghatározás kiterjed a valós, komplex értékekkel vagy metrikus terekben lévő szekvenciák határértékeire, de vonatkozik más nem metrizálható terekre is, például a nem szabványosított funkcionális terekre. Ugyanezen sorozata funkciók , a különböző szabványok vagy topológia lehet tekinteni, ami a létezését, vagy sem korlátai ( egyszerű konvergencia , egyenletes konvergencia , a konvergencia norma p vagy abban az értelemben, disztribúció ...)
Minden valódi növekvő szekvenciának van határa, amely akkor és csak akkor véges, ha a szekvenciát megnöveljük. Ebben az esetben a szekvencia határa megegyezik az értéke felső határával .
Hasonlóképpen, bármely csökkenő valós szekvenciának van egy korlátja, amely akkor és csak akkor véges, ha a szekvenciát alábecsülik, és ebben az esetben a szekvencia határa megegyezik az értéke alsó határával .
Ezek a tulajdonságok a felső határ tulajdonságából adódnak a valós számok halmazában , és lehetővé teszik az alacsonyabb szekvencia alsó határának és a felemelt szekvencia felső határának meghatározását is:
, .Különösen egy korlátozott szekvencia akkor és csak akkor konvergál, ha az alsó határa megegyezik a felső határával, és ebben az esetben a szekvencia határa ez a közös érték. Ezt a tulajdonságot az értékek sorozatának tapadásértékeinek kompakt térben történő tanulmányozásával általánosítják .
Más feltételekBármely konvergens szekvencia korlátozott, de a kötött szekvencia nem feltétlenül konvergens.
Két szomszédos szekvencia ugyanazon valós határ felé konvergál.
Valódi vagy összetett értékű szekvenciák esetén, vagy bármilyen teljes térben a konvergencia egyenértékű a Cauchy-kritériummal :
.Egy visszatérő szekvenciát ( x n ) egy indukciós funkcióval f , ha a szekvenciát konvergál egy elem L , amelyben a függvény F jelentése folyamatos , akkor L jelentése fix pont az f .
Egy szekvencia (komplex vagy vektor valós értékeket), a hozzá tartozó sorozat is egy szekvencia, meghatározott bármely egész szám n ≥ 0 által , és ha konvergál a határértéket az összege a sorozat, megjegyezte .
A sorozat konvergenciája ekkor csak akkor lehetséges, ha a kezdeti szekvencia 0 felé hajlik. Ellenkező esetben azt mondjuk, hogy a sorozat nagyjából eltér .
Pozitív valós szekvencia esetén a sorozat szükségszerűen növekszik, és mindig véges vagy végtelen határt vesz fel.
Abban az esetben, ha a váltakozó szériájának írásban bármely egész szám n ≥ 0 , ha a szekvenciát a (pozitív) csökken nulla határértéket, a szekvenciáját tekintve még rang és a szekvenciáját tekintve LEV Rang formában a szomszédos szekvenciák tehát a sorozat konvergál, és a maradék abszolút értékben mindig alacsonyabb, mint az első elhanyagolt kifejezés .
A függvényhatár fogalma hasonlít egy szekvencia határértékéhez, azzal a különbséggel, hogy a függvény változója a definíciós tartományának bármelyik értéke felé, vagy ennek a határán mozoghat. Tehát egy ] a , b [⊂ R intervallumon definiált függvény esetében megvizsgálhatjuk az intervallum teljesen valós c függvényének lehetséges határait , de az a és b határokon is, függetlenül attól, hogy ezek a határok végesek-e vagy végtelenek.
Valódi vagy összetett változó valós vagy komplex függvényében a véges határérték véges értékre történő megfogalmazása hasonló a szekvencia határértékéhez:
de ez a modern definíció, összhangban az általános topológiai definícióval ( lásd alább ), és most érvényben van Franciaországban, kiszorítja a Weierstrass történelmi definícióját, amelyet más néven „tompa határnak” vagy „különböző értékek szerinti határnak” is neveznek, és amelyet néha a francia egyetemeken tanítanak és más országokban:
.Amikor a funkció f definiált valós szám egy , ha elismeri, korlát egy , akkor ez a határ, szükségképpen egyenlő F ( a ) . Pontosabban, a funkció elismeri véges határ egy ponton a saját domain a meghatározás akkor és csak akkor, ha folyamatos a egy . Ezt a feltételt kifejezhetjük a tompa határral való egyenlőséggel is:
.AlkalmazásEnnek a határnak a beállítása különösen hasznos a származtatott szám meghatározásához, mint a növekedés mértékének korlátja .
Egy függvény f egy valós változó X , ha x közelít egy igazi egy , az értékeket az f (x) lehet nagyon szembeállítható attól függően, hogy a változó x kisebb vagy nagyobb, mint egy , mint abban az esetben különösen az inverz függvény 0-nál, ahol nem lehet meghatározni egy koherens határt. Ebben az esetben meg lehet határozni a bal és a jobb oldali határértékeket, amelyek eltérhetnek.
Az f függvény határa a bal oldalon egy valós a-ban meg van írva, vagy akár f ( a - ) vagy f g ( a ) . Jobb határértéke az a-ban meg van írva, vagy akár f ( a + ) vagy f d ( a ) .
Egy függvény a környéken, hogy a bal és a jobb egy igazi egy , a létezés és az egyenlőség a határok a bal és a jobb oldalon egyenértékű létezik egy tompa limit (azonos érték).
A határok különböző megfogalmazásainak egységesítése érdekében a szomszédság fogalmához folyamodunk , amely minden valósra (esetleg jobbra vagy balra) és a végtelenre ( + ∞ vagy −∞ ) vonatkozik. Használjuk az elkészült valós vonal R = R ∪ {−∞, + ∞} jelölését is .
Legyen f olyan függvény, amelyet egy ∈ R és bármelyik L ∈ R közelében (adott esetben balra vagy jobbra) határozhat meg . Azt mondják, hogy a függvény f elismeri a határérték L a jelentése , ha minden egyes szomszédos V az L , létezik egy környéken U (bal vagy jobb) az olyan, hogy f ( U ) ⊂ V .
Bebizonyítjuk, hogy a definíció valódi L- je, ha létezik, egyedi, és f p-nek nevezzük a p pontban . Megjegyezzük:
A függvényhatár szekvenciális kritériuma A függvény f elismeri a határ L a egy , ha, és csak akkor, ha az összes eredményt a határ van az alábbi f ( x n ) korlátozza L .(Az utolsó tulajdonság feltételezi, hogy L 2 nem nulla.)
Ezek a tulajdonságok érvényesek a jobb és a bal oldali korlátokra is, a p = ± ∞ esetre , valamint a végtelen határokra is, a következő szabályok szerint:
(Lásd a " Valódi jog elkészült " című cikket .)
Ne feledje, hogy a q / 0 esetre nincs általános szabály : ez attól függ, hogy miként közelítünk a 0-hoz. Egyes esetekre, például 0/0, 0 × ∞ , ∞ - ∞ vagy ∞ / ∞ , ezek a szabályok sem vonatkoznak.
A korlátoknak vannak bizonyos formái, ahol nem lehet közvetlen következtetéseket levonni a határok műveleteivel , ezek az úgynevezett "határozatlan" formák:
A valós számok metrikus teret képeznek az abszolút érték által meghatározott távolságfüggvény számára: d ( x ; y ) = | x - y | Ugyanez a komplex számok esetében a modullal . Sőt, az euklideszi tér ℝ n metrikus teret képez az euklideszi távolsággal. Íme néhány példa, amely igazolja a korábban megadott határdefiníciók általánosítását.
Ha ( x n ) egy szekvencia egy metrikus térben ( M ; d ), akkor azt mondjuk, hogy a szekvenciának van L határa, ha valódi ε> 0 értékre létezik egy természetes n 0 szám , amely bármely n > egész számra érvényes n 0 mi d ( x n ; L ) <ε.
Ha a metrikus tér ( M , d ) teljes (ami a valós vagy komplex számok halmaza, az euklideszi tér és bármely más Banach-tér esetében van ), akkor az M bármely Cauchy-szekvenciája konvergál. Ez lehetővé teszi annak megmutatását, hogy a szekvencia konvergens, anélkül, hogy szükségszerűen ismerné a határt.
Ha M egy valós vagy komplex normált tér , akkor a művelet halad a határ lineáris, mint a sorozatgyártás esetén a valós számok.
Most feltételezzük, hogy M és N két metrikus terek, egy része M , p elem M tapadó , hogy A , L tagja N és F egy alkalmazás egy az N . Azt mondják, hogy f ( x ) határértéke, amikor x megközelíti p- t, egyenlő L-vel, és ezt írják:
ha:
bármely valós ε> 0-ra létezik egy valódi δ> 0, hogy bármely x az A , hogy D ( x ; p ) <δ, mi d ( f ( x ); L ) <ε,amely egyenértékű egy metrikus térben lévő függvény határának szekvenciális jellemzésével ( lásd alább ).
Ha az érkezési hely teljes, tudjuk, mivel az adott esetben egy szekvencia, bizonyítják, hogy létezik egy határérték f at p nem feltétlenül tudta ezt a határt:
Cauchy kritérium függvényében - Legyen M egy metrikus tér, N egy metrikus tér teljes , egy része M és p egy pont M tapadt A .
Az f : A → N térkép akkor enged be p-ben egy korlátot, ha (és csak akkor) bármilyen valós ε> 0-ra létezik valós δ> 0, így az A ∩ B ( p ; δ) összes x , y esetén d ( f ( x ); f ( y )) <ε.
(Ez a tétel általánosítható az esetben, ha M jelentése csak egy topologikus tér , helyettesítve a golyók B ( p ; δ) által fajta környéken p .)
Egy alkalmazás f a M a N jelentése folytonos p akkor és csak akkor, ha a határértéket a F ( x ), amikor x közelít p létezik (ez egyenlő a F ( p )). Ekvivalens módon f átalakítja az p bármelyikévé konvergáló M bármely szekvenciáját f ( p ) konvergáló N szekvenciává .
Ismételten, ha N normált térvektor, akkor az átmeneti művelet a határértékig lineáris a következő értelemben: ha f ( x ) határértéke, amikor x megközelíti p- t, egyenlő L-lel, és g ( x ) határértéke, ha x p megközelítések egyenlőek P-vel , akkor f ( x ) + g ( x ) határértékei, ha x megközelíti p- t, egyenlő L + P-vel . Ha a az alaptest skalárja, akkor az af ( x ) határértéke, amikor x megközelíti a p-t, megegyezik az al értékével .
Ha N egyenlő ℝ -val, akkor végtelen határokat határozhatunk meg; ha M egyenlő ℝ-vel, akkor az előző definíciókhoz hasonló módon definiálhatunk határokat jobbra és balra.
A konvergens szekvencia bármely alszekvenciája ugyanahhoz a határhoz konvergál.
A határértékre való áthaladás művelete lineáris a következő irányban: ha ( x n ) és ( y n ) valós konvergens szekvenciák, és hogy lim x n = L és lim y n = P , akkor az ( x n + y) szekvencia n ) konvergens és L + P határértékkel rendelkezik . Ha a valós szám, akkor az ( a x n ) szekvencia konvergens az aL határértékkel . Így az összes konvergáló valós szekvencia c halmaza valós vektortér, és a határértékre való áthaladás művelete lineáris alak a c-n , valós értékekkel.
Ha ( x n ) és ( y n ) a megfelelő L és P határ valós konvergens szekvenciája , akkor az ( x n y n ) szekvencia konvergens az LP határértékkel . Ha sem a P sem a kifejezések olyan n értéke nulla, akkor a szekvenciát ( x n / y n ) konvergens határ L / P .
Bármely konvergens szekvencia Cauchy-szekvencia, és így kötött. Ha ( x n ) a valóság korlátozott és növekvő szekvenciája ( azaz bármely n egész számra , x n ≤ x n +1 ), akkor szükségszerűen konvergens.
A valós számok sorozata akkor és csak akkor konvergál, ha alsó és felső határai végesek és egyenlőek.
Minden fogalmai határérték feletti lehet egységes, és generalizált tovább tetszőleges topologikus terek M és N : ha A egy része M , p eleme M tapadó , hogy A , L eleme N és F egy alkalmazása A a N , ezt mondjuk
(Ezt a jellemzést nem módosítjuk úgy, hogy az L (vagy p ) szomszédságainak halmazát egy e pont szomszédságainak bázisával helyettesítjük , például az ezt a pontot tartalmazó nyílások halmazával .)
A szóköz N van elválasztva , ha, és csak akkor, ha bármilyen térkép f : A → N (bármely térben M és bármely részét A a M ) van, bármely ponton tapadó Egy , legfeljebb egy határértéket.
A szekvencia határdefiníciója az előző definíció speciális esete:
Ha M jelentése metrizálható (vagy általánosabban: örökletesen szekvenciális ), megvan a szekvenciális jellemzése határain funkciók :
Ha ezenkívül N jelentése T 1 (vagy akár csak egyedi szekvenciális határérték ), elismeri a határérték , ha (és csak akkor) bármely sorrendben a határértéket , a szekvencia elismeri egy határt.
Meghatározták e fogalom egyéb általánosításait, amelyek lehetővé teszik például bármely metrikus tér „végtelenségén” belüli korlátokról való beszédet, vagy azt mondhatjuk, hogy az integrál a Riemann-összegek határértéke ; a legerősebb a szűrő fogalmát használja . Mi vagyunk a példákat a különböző foglalkozó cikkek konvergencia : egyszerű konvergencia , egyenletes konvergencia , normál konvergencia , konvergencia szinte biztos , átlagosan konvergencia stb
Christian Houzel, „Limite (notion de)”, Matematikai szótár - algebra, elemzés, geometria , Encyclopædia Universalis és Albin Michel, Párizs 1997