Hálózat (geometria)

A matematika , a hálózat a tér (vektor) euklideszi egy alcsoportja diszkrét térben a véges rang n . Például, a vektorok R n egész koordinátákkal egy bázis alkotnak hálózatot R n . Ez a fogalom lehetővé teszi az 1. ábra szerinti hálózatok matematikai leírását.

Egy kiindulási pont rögzítésével társíthatjuk azt egy R n ponthálózathoz (több hálózat képes azonos ponthálózatot definiálni). Ez a ponthálózat abban az értelemben tölti ki a teret, hogy létezik olyan R sugár , hogy bármely R sugarú gömb legalább a hálózat egy pontját tartalmazza. Diszkrét abban az értelemben, hogy létezik egy szigorúan pozitív r szám, olyan, hogy bármely r sugarú gömb legfeljebb a hálózat egy pontját tartalmazza. Rendszeres.

A tanulmány a hálózatok találkozási különböző ágak matematika, csoport elmélet , a lineáris algebra , az elmélet a Lie-csoportok a geometria a számok , a konvex geometria , hanem más olyan területeken, mint az algoritmikus vagy krisztallográfia ( Bravais rács ) és a elemzési eszközök lényegében geometriai . A hálózat elemzésével kapcsolatos kérdések a hálózatot változatlanná tevő különböző szimmetriákkal , a gömbök vagy konvexek egymásra rakásának problémáival kapcsolatosak .

Lineáris algebra és metrikus tér

Ebben a cikkben a betűk ℂ, ℝ, ℚ és ℤ rendre jelöli test a imaginaries is nevezik komplexek, valós számok , racionális számok , és a gyűrű a egészek és n egy szigorúan pozitív egész szám. A vektor teret ℝ n halmazát jelöli n -uples álló n valós szám egy adott sorrendben. Geometriai szempontból úgy képzeljük el őket, mint egy ortonormális koordinátarendszerrel ellátott tér egy pontjának koordinátáit . A 2. vagy 3. dimenzióban a fizikai világ ábrázolását kapjuk, azzal a feltétellel, hogy azt egy euklideszi geometria közelíti meg .

Meghatározás

Definíció  -  Az Λ hálózat ℝ n egy alcsoport, amely diszkréten of n hozzáadható, például az Λ egyenlő ℝ n által lefedett altér .

Egy ilyen meghatározás némi magyarázatot érdemel. Az n dimenziónak az n dimenzió valódi vektorterének helyett való kiválasztása kevéssé fontos. Minden valós vektortér dimenziója n egy példányát ℝ n és az eredményeket igaz ℝ n vannak igaz egy igazi tér dimenziója n . Beszélünk izomorfizmus . Az a tény, hogy a pontok csoportot alkotnak, a hálózat szabályosságát jelenti. A hálózat pontjainak csúcspontjainak sokszöge , amelyet a hálózat egyik pontjáról a másikra történő elmozdulás fordít, mindig a hálózat pontjai csúcsok. A 2. ábra példája ezt szemlélteti. A pontokat a hálózat felel meg a kereszteződés a rács, a hatszög lila, fordította mindig a csúcsot a hálózati elemek. A ℝ n egy részének konkrét összefüggésében a diszkrét szó jelentését a következő állítással magyarázhatjuk:

Állítás  -  A zárt része a ℝ n jelentése diszkrét akkor és csak akkor bármilyen valós szám , benne csak véges számú pontot a parttól kisebb vagy egyenlő, mint a származás. R{\ displaystyle R}R{\ displaystyle R}

ℚ az n csoport , amely racionális pontkoordinátákból áll, nem diszkrét alcsoport példája .

A harmadik tulajdonság azt jelenti, hogy nincs a rácsot tartalmazó szigorú vektoros altér. Ha a dimenzió értéke 3, akkor egyetlen sík sem tartalmazza a hálózatot. Ha egy egész sík van lefedve, és ha a rács egyetlen pontja van egy síkon kívül, akkor az összeadás és kivonás stabilitása azt mutatja, hogy az egész tér lefedett. Ha azt mondjuk, hogy a tér be van fedve, az azt jelenti, hogy létezik olyan ρ sugár, hogy bármely ρ-nél nagyobb sugárú gömb tartalmazzon a rács legalább egy pontját, és ez legyen a középpontjától függetlenül.

Az n dimenzió bármely komplex szám fölötti E vektortere egyben a 2 n dimenzió valódi vektortere is . Tehát, ha Λ egy diszkrét csoport, amely E -t generál , mint valós vektorteret, akkor ez egy 2 n dimenziós rács . Ahogy ℤ n ℝ n hálózata , úgy G n ℂ n hálózata is . A G betű itt a Gauss egész számokat jelöli , vagyis az a + i b alak számait, ahol a és b a elements elemei.

Alapján

Bázis megléte  -  Legyen ℝ att n rács , létezik a rács n elemű családja ( b i ) úgy, hogy minden elem egyedi módon fejeződik ki ennek a családnak a lineáris kombinációjaként , a a számok egész számai. Egy ilyen család viseli az alapnevet .

Λ={∑én=1nemlénbén∣lén∈Z}és∀λ∈Λ∃!(lén)∈Znemλ=∑én=1nemlénbén{\ displaystyle \ Lambda = \ bal \ {\ sum _ {i = 1} ^ {n} l_ {i} b_ {i} \ mid l_ {i} \ in \ mathbb {Z} \ right \} \ quad { \ text {et}} \ quad \ forall \ lambda \ in \ Lambda \ quad \ létezik! (l_ {i}) \ in \ mathbb {Z} ^ {n} \ quad \ lambda = \ sum _ {i = 1 } ^ {n} l_ {i} b_ {i}}.

Számos módja van ennek a tételnek az elolvasására és bemutatására. Ami a csoport elmélet , a rács egy Abel-csoport véges típusú nélkül torziós , más szóval a szabad Abel csoport véges rangú .

A nézés másik módja a lineáris algebra használata . Kvázi vektortérnek tekintjük a hálózatot , azzal a különbséggel, hogy a skalárok nem mind invertálhatók. A skalárok itt egyenlőek egész számokkal. Az ilyen struktúrát modulnak nevezzük . Ha létezik véges generáló család , és ha a ℤ-modulus torzió nélkül additív csoportot képez, akkor az invariáns faktor-tétel az eredmény megjelenítésének egyik módja.

Ezek a bemutatók nem túl geometrikusak, és alig használják a hálózatokhoz társított eszközöket. El lehet képzelni egy közvetlen demonstrációt, amelyet a geometriai intuíció vezérel, amelyet egy ilyen szerkezet hoz. Az elvet a 3. ábra 2. dimenziója szemlélteti. A hálózat két szabad vektorát vesszük figyelembe, a lehető legkisebb normával választva . A szabvány a vektor hosszának technikai matematikai fogalma . Ezeket a vektorokat α-nak és β-nek nevezzük. A 3. ábrán sárga színnel határoznak meg egy paralelogrammát . Az α és β normák minimális jellege lehetővé teszi annak megmutatását, hogy ez a paralelogramma a hálózat csúcsain kívül egyetlen pontot sem tartalmaz.

Figyelembe vesszük a hálózat bármely λ pontját , amelyet mindig α és β lineáris kombinációjaként fejezhetünk ki, ha a figyelembe vett szerkezet ℝ n vektortér . Ha λ-ból kivonjuk a λ egészeinek koordináta-vektorát, a sárga paralelogramma belsejében kapunk egy kis rácsvektort. Ez az elv némileg analóg az euklideszi felosztással . A kis vektor ezzel a hasonlattal lenne a többi. Az a tény, hogy a paralelogrammában és a hálózatban van, azt mutatja, hogy nulla. A λ vektort ezért α és β egész együtthatók lineáris kombinációjaként fejezzük ki.

Ez a bizonyítás, valamint bármely dimenzióban történő általánosítása egyszerűbb, mint az előbb említett kettő. A geometria használata leegyszerűsíti a megközelítést. Másrészt az itt javasolt módszer nem hatékony, ellentétben például az invariáns tényezőkével. A hatékony azt jelenti, hogy ezzel a módszerrel valóban kiépíthetünk egy bázist. Általános esetben nehéz megtalálni a legkisebb norma nulla nélküli vektorát.

A bizonyítás részletei a 2. dimenzióban és bármely dimenzió általánosítása

• 2. dimenzió:

A hálózat nem korlátozódik a nulla vektorra, mert létrehozza a ℝ n vektorteret , létezik legalább egy nem nulla normavektor , vagyis b ez a norma. A nulla vektort és b sugarú középpontú lemez a origótól eltérő pontban metszik a rácsot, és véges számú rácspontot tartalmaz. Ez azt mutatja, hogy a hálózatban van legalább egy kisebb, nem nulla vektor α kisebb normával. Most úgy gondoljuk, hogy a rács az α szorzataival csökkent. A halmaz nem üres, mert különben a hálózat nem generálná a ℝ n vektorteret , ugyanaz, mint az előző, egy minimális hosszúságú β vektor létezését mutatja a hálózatban, lehetséges kivétellel néhány α , amely megfelel a 3. ábra kék sávjának. A nagy kék pont az eredete. Az α vektor valóban egy nem nulla vektor, a rács legkisebb normájával, majd jön a β, amelynek normáját csak az α, az inverz és a nulla vektor csökkenti.

Legfeljebb egy módon lehet rácsvektort írni α és β lineáris kombinációjaként. Valójában ez a tulajdonság annak a következménye, hogy ez a két vektor szabad a space n vektortérben . Csak egyetlen módja van ℝ n bármelyik vektorának α és β lineáris kombinációjaként való megírására , ami különösen igaz a rácsvektorokra.

Most mutassuk meg, hogy a hálózat bármelyik vektora α és β lineáris kombinációja, egész együtthatókkal. Tekintsük a vörös korongot α középponttal és sugárral a β normája, amely egy lemez a hálózat pontjaként, annak határain kívül csak néhány α szorzatot tartalmazhat a 3. ábrán látható kék zónában, a a β normája. A zöld korong középpontja β, sugara pedig az α normája. Ugyanez az érvelés azt mutatja, hogy a lemez belseje nem tartalmazhatja a hálózat egyetlen pontját sem. A [0, α] szakasz csak a hálózat pontjaként tartalmazhatja a végeit, a [0, β] szakasz esetében megegyezik. Ugyanez vonatkozik a [α, β] és [β, α + β] -ekre is, mert különben az α vagy β kivonásával ellentmondás állna fenn. Összefoglalva, a 0, α, β és α + β csúcsok sárga színű paralelogramma a hálózat csúcsain kívül nem tartalmaz más pontot. Megjegyezzük, hogy ez a paralelogramma olyan ℝ n vektorokból áll, amelyek két együtthatóval rendelkeznek 0 és 1 között az alapban (α, β).

Tekintsük a hálózat bármely λ elemét. Ez szükségszerűen egy lineáris kombinációja alapján (α, β) a ℝ n , és λ = egy α + b β együtt egy és b valós. A cél annak bemutatása, hogy a és b egész számok. Legyen p egy (ill. P b ) az egész része a egy (ill. B ) és r a (ill. R b ) annak tört részét. Mivel α és β a rács elemei, p a és p b pedig egész számok, p a α + p b β a rács pontja, akárcsak λ. Az r a α + r b β-vel egyenlő különbségük tehát a hálózatban van. Ez a sárga paralelogramma pontja is, mert két koordinátája 0 és 1 között van. A lehetséges rácsnak négy pontja van, mivel a törtrész mindig szigorúan kisebb, mint 1, az egyetlen lehetséges érték 0, ami azt mutatja, hogy egy egyenlő p a-val , b pedig p b-vel . Más szavakkal, az λ koordinátái az alapban egészek, ami véget vet a bizonyításnak.

• Bármely dimenzió:

Lássuk be ez az eredmény szerinti indukcióval n . Az 1. és 2. dimenzió esetében már bemutatunk egy bemutatót. Tegyük fel, hogy az ingatlan bemutatták érdekében n - 1 és bizonyítani azt sorrendben n . A hálózat ℝ n generáló családot alkot , bármely generáló családból, lehet bázist kivonni, ezért az n bíboros hálózatának egy alcsaládja van, amely a teljes teret generálja. Legyen ( f i ), ha i értéke 1 és n között változik , ilyen alap. Nem eleve a keresett, mert semmi nem jelzi, hogy a hálózat elemei ebben az alapban egész együtthatókkal ellátott lineáris kombinációként vannak kifejezve . Legyen S az a vektor tér által generált ( f i ), az i változó 1-től n - 1. A metszéspontja a hálózat és az S van egy különálló csoport generáló S , létezik egy alapot ( b i ), az i változó 1 és n - 1 között a hálózat és az S metszéspontjában , indukciós hipotézissel. Az S hipersíkot az 5. ábra mutatja, krém színű, a nulla vektor a kék pont. A család ( b i ) jó jelölt a keresett bázisra, de egy vektor még mindig hiányzik.

Legyen φ egy nulla lineáris forma az S-n, így a hálózat by képe nem csökken 0-ra. Ilyen forma létezik, különben a hálózat csak az S teret generálja , nem pedig a teljes teret. A cél az, hogy megmutassuk, hogy a hálózat is képe a a diszkrét alcsoportja, vagyis szigorúan pozitív valós ε létezik, így ha u a hálózat eleme, l A hálózat képe A only csak a φ ( u ) értéket tartalmazza φ ( u ) - ε és φ ( u ) + ε között. Észrevesszük, hogy feltételezhetjük, hogy u nulla; valóban, ha a hálózat by képe nem diszkrét, bármi legyen is ε, létezik két u által elkülönített kép u és v vektora , amelyek különbsége abszolút értékben kisebb, mint ε, ez azt mutatja, hogy a az u - v értéke abszolút értékben kisebb, mint ε.

Ennek az eredménynek a bemutatásához megmutatjuk, hogy csak véges számú érték létezik, amelyet φ ér el a [−1, 1] intervallumon. A hálózat összes pontja, amelynek φ képe van ebben az intervallumban , az 5. ábrán kék színnel ábrázolt φ ( x ) = - 1 és φ ( x ) = 1 egyenlet affin hipersíkjai között helyezkedik el. Legyen V ℝ térfogata n a két hipersík közé beillesztett vektorokból áll, amelyeknek koordinátái az S ( p i ) merőleges vetületének alapjában ( b i ) mind 0 és 1 között vannak. Az V. térfogatot zöld színnel ábrázoljuk az 5. ábrán. Megjegyezzük, hogy V jól be van határolva, mert az ℝ n vektorhalmazát képviseli, amelynek 0 és 1 közötti koordinátái vannak az alapban ( b i ,, π). Itt π jelöli az S-re merőleges vektort és az 1-vel egyenlő képet a form alakkal. Ha δ valós szám -1 és 1 között, és a hálózat képe φ-vel van, akkor δ-nek előzménye van V-ben . Valójában létezik a hálózat u vektora, amely a két hipersík között van, és amely φ ( u ) = δ. A p ( u ) vektor S-ben van, és a ( b i ) alapján lebomlik ; legyenek ( u i ) p ( u ) koordinátái ebben az alapban. Ha q i az u i egész részét és r i a tört részt jelöli :

u=q+rval velq=∑én=1nem-1qénbén,r=∑én=1nem-1rénbén{\ displaystyle u = q + r \ quad {\ text {with}} \ quad q = \ sum _ {i = 1} ^ {n-1} q_ {i} b_ {i}, \; r = \ sum _ {i = 1} ^ {n-1} r_ {i} b_ {i}}.

Megjegyezzük, hogy q a hálózat eleme, mivel a ( b i ) család lineáris kombinációja effic együtthatókkal. Φ képe nulla, mert az S része . Az u - q pont a hálózat két elemének különbségéből tevődik össze és a hálózat része. Q képe by-vel nulla, φ pedig lineáris. Az S által generált u - q ortogonális vetülete az S által generált hipersíkon egyenlő r-vel , ami azt mutatja, hogy u - q egy V elem . Az V kötet korlátos, csak véges számú pontot tartalmaz a hálózatból, mert a hálózat diszkrét. Csak véges számú érték létezhet, amelyet a hálózat képe by függvény által −1 és 1 között vesz fel, ami azt mutatja, hogy a 0 érték valóban el van szigetelve ebben a képben.

Legyen Δ ℝ n vektorvonala, amely nem szerepel az S-ben, és a hálózat nem nulla pontját tartalmazza. A képet a φ az Δ egy diszkrét csoportot szerinti előző demonstrációs, létezik egy pont b n a Δ és a hálózat a legkisebb kép egy szigorúan pozitív által φ; ezt a pontot az 5. ábra piros színnel ábrázolja. Legyen végre a hálózat tetszőleges λ eleme, a λ elemet a ( b i ) lineáris kombinációja fejezi ki , mert ez a család ℝ n alapja . Ezután meg kell mutatni, hogy a különböző együtthatók egész számok:

λ=∑én=1nem-1λénbén+λnembnem{\ displaystyle \ lambda = \ sum _ {i = 1} ^ {n-1} \ lambda _ {i} b_ {i} + \ lambda _ {n} b_ {n}}.

A λ by képe egyenlő λ n a -val , amely az aR eleme , Δ képe φ -vel. Arra következtetünk, hogy λ n egész szám. A λ - λ n b n vektor a rács és az S eleme , amely azt mutatja, hogy a λ i koordináták egész számok. A család ( b i ), az i változó 1-től n a ℝ N generál a hálózaton. Az a tény, hogy n bíborosról van szó, befejezi a demonstrációt.

Alapvető terület

Egy adott zónát alkalmaztunk, az előző bemutatón az megfelel a 2. ábrán a 3. ábrán sárga színnel illusztrált zónának. Ez a következő meghatározásnak felel meg:

Definíció  -  Az alapvető tartomány a B bázis vonatkozásában , ha B a hálózat bázisa ( b i ), a P pontok halmaza  :

P={∑én=1nemλénbén|λén∈[0,1[}{\ displaystyle P = \ balra \ {\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ lambda _ {i} b_ {i} \; | \; \ lambda _ {i} \ in [0,1 [\ jobb \}}

A 6. ábrán látható vörös terület egy alapvető tartomány példája. Az alapvető tartomány meghatározása egy bázisból származik. A hálózatok, akárcsak a vektorterek esetében, több bázis és következésképpen több alapvető tartomány létezik. Az 1. dimenzió kivételével, ahol csak kettő van, azonos geometriájúak, minden más esetben végtelen. Ennek megvalósításához elegendő az alap második vektorát kicserélni az első és a második vektor k szorzatának összegével . Ha k egész számot jelöl, akkor itt van egy eszközünk végtelen számú, különböző geometriájú bázis összeállítására. A 6. ábrán a zöld terület egy másik alapvető terület.

Van egy invariáns társítva a hálózathoz. A hálózat együttes mennyisége az alapvető tartomány térfogata. A 6. ábrán a zöld és a piros párhuzamos lábak által meghatározott térfogat egyenlő.

Covolume invariance  -  A covolume független attól az alaptól, amely meghatározza az alapvető tartományt.

Valóban, a covolume a Λ meghatározás szerint az abszolút értéke a meghatározó , a kanonikus alapján a ℝ n , egy alapja Λ, és a mátrix a járat az egyik alapján Λ másik tartozik a csoporthoz GL N (ℤ ) mátrixok ± 1 determináns egész együtthatóval.

Az alapvető tartomány definiálásának belső módja van, fejlettebb fogalmakra van szükség. A ℝ n / Λ Lie csoportnak kanonikus mértéke van . A ℝ n / Λ bármely p pontjára létezik egy nyitott p halmaz, így a that n kanonikus vetülete ℝ n / Λ-ban diffeomorfizmus . Ezek a diffeomorfizmusok lehetővé teszik a mérték meghatározását. A Lie csoport kompakt; teljes mérése a hálózat térfogatával egyenlő lehet.

Megtekintésének egyszerű módja az, ha csak a 2-es dimenzióra korlátozódik. Az első koordinátának egy egész számmal megegyező pontjait az első koordinátának a 0-val egyenlő pontjaival azonosítjuk. az első teljes koordináta pontjai egymásra kerülnek. Ezután azonosítjuk a második koordináta pontjait, amelyek megegyeznek egy egész számmal, a második koordináta pontjait pedig 0-val. Ez azt jelenti, hogy a hengeret tekerjük egy tórus megszerzéséhez , amelyet a 7. ábra szemléltet.

Az ábrázolás mérés szempontjából tökéletlen. A tórus vízszintes körei megfelelnek a második állandó koordináta pontjainak. Ezeknek a köröknek a kerülete egyenlő 1-vel. Az ábrázolásban attól függően, hogy a kört többé-kevésbé választják-e a tórus belsejében, a kerület változik. Ezt a részletet leszámítva a bóját megközelítő alak ábrázolása jó támaszt jelent a hálózat alapterületének geometriájának megérzéséhez.

Ortogonális csoport

Az euklideszi tér ortogonális csoportja lineáris térképek összessége, amelyek a teret önmagává alakítják, miközben megtartják a távolságot és a szögeket. Ezeket az alkalmazásokat izometriának hívjuk . Az ortogonális csoport tartalmaz egy speciális ortogonális csoportnak nevezett alcsoportot , amely pozitív determinánsok transzformációiból áll , szükségszerűen 1-vel. A 2. dimenzióban a speciális ortogonális csoport forgásokból áll . A többi izometria a tükör által a sík által adott képnek megfelelő visszaverődés, amely áthalad a kiindulási ponton. A térképek összetételének törvényével felszerelve az ortogonális csoport egy csoport , ami azt jelenti, hogy a semleges elem, amely az elemeket azonos marad, izometria. Ha egy alkalmazás izometria, akkor a reciproka , amelyet inverznek is nevezünk, továbbra is izometria. Végül az izometriák összetétele asszociatív .

Meghatározás  -  A Λ n hálózat ortogonális csoportja a hálózat lineáris térképeinek csoportja úgy, hogy a hálózat λ pontjának képének normája megegyezik a λ ponttal.

A norma kifejezés az euklideszi skaláris szorzat rácsra való korlátozásának normáját jelöli .

Hálózat esetén az ortogonális csoport egy véges csoport . Ennek megvalósításához elegendő egy bázis vektorának képét izometriával figyelembe venni, ugyanolyan normájú vektorról van szó, és csak véges szám van. A hálózat ortogonális csoportjának meghatározásához három különböző elmélet áll rendelkezésre.

A klasszikus lineáris algebra más eszközöket kínál, a hálózat ortogonális csoportjának egy eleme valóban kiterjeszthető ℝ n izometriává , ami visszavezeti a tanulmányt egy ismert helyzetbe. Végül egy izometria tiszteletben tartja a távolságokat és a szögeket, az euklideszi geometria használható tételeket kínál.

Az ortogonális csoport megjelenítésének egyik módja a tér szabályos csempézésének tanulmányozása . Ha azt mondjuk, hogy a burkolás szabályos, az azt jelenti, hogy a 8. ábrán bemutatott példában azt mondjuk, hogy az egyes csillagok közepén lévő pontok hálózatot alkotnak. Ha egy adott csillagtól azonos távolságban lévő csillagokból álló blokkot nézünk, akkor találunk egy hatszöget . A szín kivételével a középpont elforgatása, a csillagé és a fordulat egyhatoda elhagyja az ábrán bemutatott mintát, és ezért a hozzá tartozó rács invariáns. A fordulat hatodának elfordulása a hálózat ortogonális csoportjának része. Az itt javasolt geometriai elemzés nem veszi figyelembe a színt.

Kristályográfia

A hálózat ortogonális csoportjának vannak alkalmazásai a természettudományokban. A szilárdtest gyakori, hogy az ügyet szervezni maga körül a szerkezet egy hálózatot. Ha nem ez a helyzet, akkor amorf anyagról vagy üvegről beszélünk , a tanulmány összetettebbé válik, és nem ez a cikk tárgya.

A szilárd anyag építőelemekből áll , amelyek lehetnek atomok , ionok vagy molekulák. Ezeknek az elemi tégláknak vannak rögzítési pontjai bizonyos nagyon pontos helyeken. Ezek az alaptéglák általában megegyeznek, ha az anyagot a megfelelő skálán nézzük. Rendszeresen illeszkednek egymáshoz, hasonlóan az egy darabból álló Lego konstrukcióhoz . Ezt az állapotot egy hálózat és egy minta modellezi. A minta megfelel az elemi tégla geometriájának, a hálózat jelzi azokat a pontokat, ahol ezek a különböző téglák elhelyezkednek. Az ilyen jellegű geometriát a 9. ábra szemlélteti. A két atomból álló molekula alkotja az elemi téglát, amelyet a jobb felső sarokban egy kék és egy zöld gömb társulása képvisel. Ugyanazok a molekulák összeállnak a bal felső sarokban látható geometria szerint. A kapcsolódási pontok ortogonális szöget képeznek, kapunk egy hálózatot, amelyet a kristályrajzosok arccentrikus köbösnek hívnak .

Az ortogonális csoport az anyag ezen állapotának számos tulajdonságának forrása. Felelős például a hópehelyre oly jellemző alakért (10. ábra). A hálózat szabályszerűsége a kiváltságos szimmetriasíkok létezésének hátterében áll, amely egy drágakő bizonyos méreteinek kedvez. Ez a geometria is meghatározza a fénytörési index és részlegesen a színét. A kristály elektromos tulajdonságait nagyrészt ezzel a geometriával magyarázzák.

A kristályírók a matematikusoktól eltérő szókincset használnak. Mind történelmi okokkal, mind pedig látásmóddal magyarázzák, amely nem mindig ugyanaz. Egy matematikus csoportszerkezetről beszél, hogy leírja a hálózat szabályszerűségi tulajdonságait. Számára az összeadás és kivonás stabilitása jelenti ennek a szabályszerűségnek az oka. A kristálykutató rendszeres időközönként megismétli a mintát. Ugyanazon tulajdonság leírására a periodicitás kifejezést használja . A hálózat kifejezés Bravais- hálózattá válik , ortogonális csoport : szimmetria pontcsoport , fundamentális tartomány primitív rács . A nevét a különböző csoportok is módosítottak, a kifejezés Klein csoport válik: rombos pont-csoport , és a ciklusos csoport a sorrendben 2: monoklin pont-csoport .

2. dimenzió

A 2. dimenzió esete még mindig egyszerű, elemzéséhez nincs szükség kifinomult eszközre. Csak négy ortogonális csoport létezik:

Osztályozása 2-dimenziós rácsok  -  A ortogonális csoport egy 2-dimenziós rács izomorf az alábbi négy csoportra oszthatók: egy diédercsoport D 12 , D 8 , D 4 vagy D 2 = C 2 .

A legnagyobb az úgynevezett diédercsoport a rend 12. és jelöljük D 12 , ami krisztallográfusokkal hívják hatszögletű csoportot. Összesen 6 elforgatásból áll, amelyek k π / 3 alakú szöget zárnak be, ahol k egész számot jelöl, és 6 tengelyes reflexióból, amelyek áthaladnak az origón, és vagy a minimális normarács rácsának nem nulla vektorából, vagy a két ilyen jellegű vektor. Ennek az ortogonális csoportnak megfelelő hálózatnak csak egy geometriája van. Ez azt jelenti, hogy ha két hálózat rendelkezik ezzel az ortogonális csoporttal, akkor forgás és homotetika segítségével lehetséges az egyikről a másikra váltani . Az ilyen jellegű hálózatot a 11. ábra szemlélteti. Ez megfelel a két vektor egész együtthatójú lineáris kombinációk halmazának, amelyeket az ábra α és β jelöl, ugyanaz a szabvány és π / 3 szöget képez.

Egy analóg konfiguráció bemutat egy diéderes ortogonális csoport érdekében 8, jelöljük D 8 , amely krisztallográfusokkal hívja a tetragonális pont-csoport vagy egy kvadratikus-csoportot. Az ortogonális csoport 4 elforgatást tartalmaz a k π / 4 alakú szögből, ahol k egész számot jelöl, és 4 tengelyes reflexiót, amelyek áthaladnak az origón, és vagy a minimumnorma rácsának nem nulla vektorát, vagy kettő közepét ilyen jellegű vektorok. Egy ilyen jellegű hálózatot a 12. ábra szemléltet. Mint korábban, ezt két, az ábrán az α és β jelöléssel jelölt vektor egész együtthatójú lineáris kombinációi hozzák létre ugyanazon normán és π / 4 szöget képeznek.

Ez a két ortogonális csoport az egyetlen, amelyek nem kommutatívak. A kommutatív csoportok közül a legnagyobb négy elemet tartalmaz. Ha ezt a csoportot a 4-es rend dihedrális csoportjának tekinthetjük , akkor gyakrabban Klein-csoportnak hívják . 4 elem csoportjának felel meg, amelyek mindegyike saját inverz, és két nem nulla elem összege mindig megegyezik a harmadikkal, így a táblát könnyű felépíteni.

Ezúttal nem egy, hanem két lehetséges hálózati konfiguráció létezik, amelyeket a 13. és a 14. ábra szemléltet. A 13. ábrán látható vektorokat két, mindig α és β jelöléssel ellátott vektor kapja meg, amelyek szükségszerűen eltérő szabványúak, és amelyek π / 2. A másik, a 14. ábrán bemutatott megoldás két, nem egyenes vonalú vektornak felel meg, azonos szabvány szerint, de a π / 2-től szükségszerűen eltérő szöget képez. A kristályírók észreveszik, hogy a bal oldali konfigurációtól a jobb felé haladunk, ha egy pontot adunk a téglalap közepéhez α és β oldalakkal. Ezeket a hálózatokat primitív ortorombosnak és központú ortorombosnak nevezik. Az ortogonális csoportot a két téglalap egyik oldalával párhuzamosan az eredet és a tengely középpontjában lévő két visszaverődés alkotja, az utolsó két elem az identitás, amely a hálózat része, és a π forgása.

Az utolsó csoport az, amelyet akkor kapunk, ha az előző konfigurációk egyike sem található meg. A csoport két szimmetriát tartalmaz , az π azonosságát és forgatását. A π forgása átalakít egy pontot az ellenkezőjévé, stabilan hagyja a rácsot, és mindig az ortogonális csoport része. A matematikusok ezt a csoportot másodrendű ciklikusnak , a kristályográfusok pedig monoklinikusnak nevezik .

Kétdimenziós rács ortogonális csoportjainak megkeresése

Nincs szükség kifinomult eszközre a különböző konfigurációk tisztázásához. Ragaszkodhatunk a lineáris algebra és a geometria elemi technikáihoz. Így folytatta Auguste Bravais , hogy a 2. és 3. dimenzióban, a XIX .  Század közepén, különféle struktúrákat alakítson ki , jóval a csoportstruktúra formális meghatározásának megjelenése előtt.

• A 12. rend dihedrális csoportja:

Az ortogonális csoport tartalmaz egy kommutatív alcsoportot, amely a rotációkból áll: Ennek megvalósításához elegendő észrevenni, hogy két forgás összetétele továbbra is forgás, és hogy a 2. dimenzióban a forgások ingáznak. Az ortogonális csoport mindig két forgást tartalmaz, a 0 szög azonosságát és a térképet, amely egy vektorhoz társítja az ellentétét, ami egy fél fordulat forgásának felel meg. Ez azt mutatja, hogy a forgatások halmaza soha nem üres. Végül, ha egy forgatás stabilan hagyja a hálózatot, akkor a fordított elforgatás is szükségképpen stabil marad.

Kezdetben csak arra törekszik, hogy létrehozza ezt a speciális ortogonális csoportnak is nevezett alcsoportot . Valójában nem sok jelölt rotáció van egy ilyen alcsoportban:

Ha egy rotációs Θ van egy ortogonális csoport egy rács a 2. dimenzió, a szög a forma k.π / 3 vagy k.π / 2 , itt k jelentése egész szám: Ennek bemutatásához kezdjük azzal, hogy észrevesszük, hogy ha Θ egy forgás a rácsban, akkor a rács alapját átalakítja bázissá, amely azonos hosszúságú vektorokból áll és azonos orientált szöget alkot. Ez elég ahhoz, hogy megmutassa, hogy a Θ a ℝ n sík elfordulásaként is felfogható . Az egyik a Θ forgásmátrixot közvetlen ortonormális alapon írja , vagyis az 1. norma két vektorából áll, és π / 4 orientált szöget alkot. Ilyen alapon az Θ M mátrixa a következő formát ölti, ha θ a forgásszöget jelöli: M=(kötözősaláta⁡θ-bűn⁡θbűn⁡θkötözősaláta⁡θ){\ displaystyle M = {\ elején {pmatrix} \ cos \ theta & - \ sin \ theta \\\ sin \ theta & \ cos \ theta \ end {pmatrix}}} Egy trükköt használunk, a lineáris térkép nyomát , vagyis esetünkben a két átlós együttható összegét, nem módosítjuk, ha módosul az az alap, amelyben a lineáris térkép kifejeződik. Ha a hálózatban választunk egy bázist, akkor a mátrixnak egész együtthatói vannak, a nyom tehát egész szám, ami azt mutatja, hogy 2cos ( θ ) egész szám, vagy hogy cos ( θ ) egyenlő - 1, −1/2, 0, 1/2 vagy 1. Megtaláljuk a forgásszögre bejelentett értékeket.

Intuitív módon ezt úgy tudjuk megvalósítani, hogy észrevesszük, hogy lehetséges a teret egyenlő oldalú háromszögekkel , négyzetekkel vagy hatszögekkel kikövezni , amelyeket grafikusan láthatunk a Definíció bekezdésben illusztrált hálózat példáján . Egy kis rajz azt mutatja, hogy ez ötszögekkel lehetetlen, és a szabályos sokszögek esetében, amint elérjük vagy meghaladjuk a 7 csúcsot, akkor túl közel vagyunk a körhöz, hogy remélni tudjuk a tér kikövezését.

Ha van egy elfordulás a π / 3 , 2π / 3 , 4π / 3 vagy 5π / 3 szög ortogonális csoportjában, akkor az ortogonális csoport pontosan a k π / 3 szög hat elfordulását tartalmazza, k értéke 0 és 5 között változik : Először mutassuk meg, hogy a π / 3 szög itt noted elforgatása a csoportban van. Legyen λ a rács bármely eleme, meg kell mutatni, hogy by képe valóban a rácsban van. Ebben az esetben a hatszög alakja segít nekünk. Ha a csoportban jelen lévő forgás a π / 3 szöget zárja be, akkor semmi sem bizonyítható. Ha ez a 2π / 3 szög szöge, akkor elegendő a Θ forgatást kétszer alkalmazni λ-ra. Ennek az eredménynek az ellentéte egyenlő Θ (λ) -val, ami azt mutatja, hogy ez az érték valóban a rácsban van, ezért Θ az ortogonális csoportba tartozik. Ha a hálózatot stabilan elhagyó forgás a 4π / 3 szöget zárja be, elegendő négyszer alkalmazni a λ-ra, és észrevenni, hogy ellentéte egyenlő Θ (λ) -val. Végül, ha ez az 5π / 3 szög elforgatása, akkor elegendő azt ötször alkalmazni a λ-ra a kívánt eredmény eléréséhez. Mivel a ation forgás stabilan hagyja a rácsot, ennek a forgatásnak a kétszeres alkalmazása, vagyis a 2π / 3 szög elfordulása szintén az ortogonális csoportba tartozik. Ha ezt az érvelést ötször alkalmazzuk, azt találjuk, hogy a kimondás hat forgatása stabilan hagyja a hálózatot. Meg kell még mutatni, hogy nincs más. Egy korábbi eredmény alapján ez csak negyedfordulatú forgás lehet. Ugyanakkor a fordulat negyedének, majd a fordulat hatodikának az elfordulása akár a fordulat tizenkettedéje, akár az ötödik fordulaté. E két forgás egyikike sem lehet az ortogonális csoport része, egy negyedfordulatú forgás, ebben az összefüggésben tehát nem lehet része az ortogonális csoportnak. A javaslat jól bizonyított.

Most már ismerjük az ortogonális csoport összes forgását. A továbblépéshez szükségünk van az illusztrációk α vektorára, vagyis a rács, a nulla és a kisebb norma vektorára. Használjuk a β-t is, annak képét a fordulat hatodik részének forgatásával. Ideje megmutatni, hogy a hálózati konfiguráció valóban megegyezik a bekezdés első ábrájával.

A hálózat bármely pontja az α és β lineáris kombinációja egész együtthatókkal: Már ismerjük a hálózat konfigurációját a lemezen, amelynek sugara az α normája és a nulla vektor középpontja. Pontosan megfelel az ábrának. A lemez belsejében azt találjuk, hogy a nulla vektor azért van, mert nincs más, szigorúan kisebb szabványú vektor hálózat, mint az α. A lemez határán találjuk az α hat képét a hat elforgatással, mint az ábra. A lemezen kívüli helyzet tisztázására ugyanazt a trükköt alkalmazzuk, mint amelyet a 2. dimenzióban lévő bázis létezésének bemutatásához használtunk. Vegye figyelembe, hogy az (α, β - α) pár ℝ n bázisa , egy λ vektor kifejeződik ennek alapján. Csak azt kell megmutatni, hogy ebben az alapban a λ két a és b koordinátája egész szám. Bontjuk a = q a + r a és b = q b + r b . A q a α + q b (β - α) vektor lineáris kombináció a hálózat két pontjának egész együtthatóival, ez a hálózat pontja. A λ és ez a vektor közötti különbség szintén a hálózat pontja, egyenlő r a α + r b (β - α). Mivel koordinátái szigorúan kisebbek, mint 1, ez a különbség a 0, α, β - α és β csúcsok paralelogrammájában található. Észrevesszük, hogy ez a paralelogramma az α sugár normájával és a nulla vektor középpontjával rendelkező korongon belül van. Mivel r a és r b szigorúan kisebb, mint 1, a hálózat egyetlen pontja ezen a területen a nulla vektor. Ez azt mutatja, hogy r egy , és R b jelentése nulla, és hogy a λ valóban lineáris kombinációja α és β - α egész együtthatós. Ez a tulajdonság megegyezik a bemutatandó javaslatéval.

Az elhatározásnak már majdnem vége. Az elfordulások, valamint a hálózat pontjai ismertek, csak az ortogonális csoport elemeinek meghatározása marad, amelyek nem forgások. Egy síkban a vektor izometriája, amely nem forgás, visszaverődés, ez az első megjegyzés segít nekünk. A második hasznos: két visszaverődés összetettje egy forgatás, a forgatás és a visszaverődés együttese pedig visszaverődés. Az utolsó megjegyzés az, hogy a reflexió önmagával együttesen azonos alkalmazás, invutív alkalmazásról beszélünk  :

Az ortogonális csoport pontosan 12 elemet tartalmaz, és a D 12 dihedrális csoport másolata  : Kezdjük egy tükrözés felépítésével: A lineáris map térkép, amely α-t stabilan hagy és amely β-t α-vá alakítja - β egy reflexió, mert megőrzi az alap távolságait és szögeit, invariáns vonallal rendelkezik és nem azonos . Ha figyelembe vesszük a hat térképet, amelyek Γ-ből állnak, és Θ k értéke k 0 és 5 között változik, hat tükröződést kapunk. A Θ k szimbólum a k ötször alkalmazott alkalmazást vagy a k π / 3 szög forgását jelöli . A reflexiók mind különbözőek; ennek megvalósításához elég, ha ezeket a reflexiókat alkalmazzuk, majd a tükrözés Γ: az ember hat különböző térképet kap, ami lehetetlen lenne, ha a Γ.Θ k típusú térképek közül kettő egyenlő lenne. Csak azt kell kimutatni, hogy a tükrözés Γ mindig a talált 6 egyike. Először Γ 1-et, majd kétszer apply alkalmazunk ; találunk Γ 1-et, mert kétszer applying alkalmazása semmit sem jelent. Észrevesszük, hogy a Γ.Γ 1 egy forgatás; van tehát olyan k érték , hogy Γ.Γ 1 egyenlő Θ k . Újra alkalmazzuk a Γ-t, hogy újra megszerezzük az Γ 1 értéket , és azt találjuk, hogy Γ 1 egyenlő Γ.Θ k-val , a már számított 6 közül az egyik. Észrevesszük, hogy Γ és Θ nem ingáznak; Γ.Θ a 2α - β által irányított tengely, míg Θ.Γ az α + β által irányított tengely tükröződése. Az ortogonális csoport 12 elemet tartalmaz, amelyek közül az egyik 6-os rendű, és nem kommutatív. Csak a D 12 kéttagú csoport példányai igazolják ezeket a tulajdonságokat.

• A 8. sorrend dihedrális csoportja:

Elég pontosan ugyanazokat az érveléseket alkalmazni, mint a D 4 esetében . Megállapítottuk, hogy ha egy kör negyedfordulata van, akkor az ortogonális csoport négy forgásból és négy visszaverődésből áll, és hogy a hálózatot két kisebb α és β normájú vektor generálja, amelyeknek ugyanaz a szabványa és negyedfordulási szöget képeznek.

• Klein csoport:

A demonstrációk további részében feltételezzük, hogy a konfiguráció nem tartozik a már kezeltek közé. Az ortogonális csoport egyetlen forgása az azonosság, amely nem mozgat egyetlen vektort sem, és az U-fordulat, amely egy vektorhoz társítja az ellentétét. Hasznos lesz, ha a reflexiókat kicsit pontosabban tanulmányozzuk:

Legfeljebb két különböző reflexió lehet: Tegyük fel, hogy két különféle visszaverődés létezik: Γ 1 és Γ 2 . Az Γ 1 .Γ 2 forgatás egyenlő vagy az azonossággal, vagy annak ellentétével, mert ezek az ortogonális csoport egyetlen forgása. Ha Γ 1 .Γ 2 egyenlő az identitással, akkor Γ 1 újbóli alkalmazásával azt találnánk, hogy Γ 1 és Γ 2 egyenlő, ami ellentétes a hipotézissel. Arra a következtetésre jutunk, hogy Γ 1 .Γ 2 egyenlő az identitás ellentétével, és ekkor Γ 1 alkalmazásával azt találjuk, hogy Γ 2 egyenlő −Γ 1-vel . Harmadik nem létezhet, egyenlő lenne −Γ 1-gyel , tehát Γ 2-vel . A kettőnél több elemből álló ortogonális csoportnak csak egy lehetséges szerkezete van, a Klein csoport: A csoport csak két forgatást tartalmaz. A többi elem visszaverődés, és csak kettő lehet, az egyik megjegyzett Γ és ellentéte - Γ . Az ortogonális csoportot ezután négy elem alkotja, amelyek mindegyike invutív , vagyis hogy az önmagával alkotott elem egyenlő az identitással. Csak egy csoportstruktúra áll, amely négy elemből áll, amelyek mindegyike saját inverz: a Klein csoport.

Ismételten az α a nem nulla rács vektorát jelöli kisebb normával.

Az ortogonális csoport szerkezete Klein, ha létezik olyan β vektor , amely α és β képezi a rács alapját, és vagy β ugyanazon normával rendelkezik, mint α , vagy β merőleges az α-ra , de nem mindkettő: Azt már tudjuk, hogy a β nem lehet mindkettő, az ortogonális csoport akkor a 8-as sorrend dihedruma lenne. Feltételezzük, hogy az ortogonális csoport Klein-féle. Négy invutív izometria létezik. Mivel csak két invutív forgatás létezik, az identitás és annak ellentéte, az ortogonális csoportban is tükröződik. Ennek a reflexiónak az α képének ugyanaz a normája, mint az α-nak. Ha ez a kép −α vagy α, akkor Γ-vel jelöljük azt a reflexiót, amely α-t küld α-ra. Vagy megfelel a figyelembe vett reflexiónak, vagy annak ellentétének. Β-val jelöljük a legkisebb normál rács vektorát azok között, amelyek nem egyenesek az α-val. A y pont egy vektort jelöl, amely kollináris a visszaverődés tengelyével. Megmutatjuk, hogy a β a reflection visszaverődésének tengelyében van, ami azt jelenti, hogy merőleges az α-ra. A pár (α, γ) a ℝ n alapja  ; ebben a bázisban kifejezhetjük a β vektort: ​​β = a α + c γ; a koordináta egy olyan, az abszolút érték , szigorúan kisebb, mint 1/2. Valójában, ha nagyobb lenne, akkor a β - α vektor kisebb normatíva lenne, mint a β, és ha a kisebb lenne, mint -1 / 2, akkor a β + α vektor kisebb normális, mint a β. A Γ (β) vektor a hálózat eleme, egyenlő - a α + c γ, ami azt mutatja, hogy β - Γ (β), egyenlő 2 a α, a hálózat pontja, és hogy 2a egy a egész szám. Mivel a szigorúan kisebb, mint 1/2 abszolút érték és 2 a jelentése egész szám, egy nulla és β arányos γ; a visszaverődés tengelyének eleme. A pár (α, β) a legkisebb rács rácsának és az α által irányított tengely nem elemi rácsának és a kisebb normának a nem nulla vektorából áll. A 2. dimenzióban való létezés bizonyítéka szerint ez a két vektor képezi a hálózat alapját. Két olyan vektorot találtunk, amelyek kielégítik a tétel hipotéziseit. Ha az α képe β visszaverődéssel nem α vagy −α, akkor a β vektor normája megegyezik az α normájával, és ezért a rács legkisebb normája, a nulla vektor kivételével. A β pont hipotézis szerint nem lehet egyenlő α-val vagy −α-val, még akkor sem, ha ezeknek a pontoknak ugyanaz a normája. Ezért nem lehetnek arányosak. Megmutattuk a minimális normák két vektorának létezését, a nulla vektor kivételével, a rácsban és nem kollinárisan. Alapot képeznek az állítás hipotéziseinek kielégítésére.

Mégis be kell bizonyítani az ellenkezőjét:

Az ortogonális csoport szerkezete csak akkor Klein-féle, ha létezik olyan β vektor , hogy α és β képezzék a rács alapját, és vagy β azonos normával rendelkezzen, mint α , vagy β merőleges az α-ra , de nem mindkettő: Feltételezzük, hogy az alap (α, β) létezik. Az ortogonális csoport csak két forgatást tartalmaz. Elég megmutatni, hogy van egy gondolat a javaslat megalapozásához. Ha α és β ugyanazon normájúak, akkor a Γ lineáris térkép, amely α-val társítja β-t, és β-vel társítja α-t, figyelembe veszi (α, β) alapján mind a távolságot, mind a szöget, ez egy izometria. Az α + β vektor invariáns a Γ által, és Γ nem az azonosságtérkép, mert az α képe nem α. A Γ alkalmazás tehát reflexió. Az α és β e reflexió képei a hálózat elemei, ezért a lineáris kombináció e két vektor egész együtthatóival továbbra is a hálózat eleme. Ez azt jelenti, hogy a Γ egy izometria, amely stabilan hagyja a hálózatot, ez az ortogonális csoport elemének meghatározása. Az ortogonális csoport tartalmaz egy reflexiót, láttuk, hogy ez azt jelenti, hogy ez a csoport Kleiné. Ha most β merőleges az α-ra, akkor a lineáris map térkép, amely α-val társul −α-val és β-vel β-val, tükröződés. Az előzővel megegyező érvelés enged következtetni.

Csak egyetlen eset van hátra:

• 2. rendű ciklikus csoport:

Ha a már vizsgált konfigurációk egyike sem létezik, akkor az ortogonális csoport pontosan két forgatást tartalmaz, az azonosságot és annak ellentétét, és nem tükrözi. Ez egy kételemes csoport, amely szükségképpen a 2. sorrend ciklikus csoportja, mert nincs másik kételemes csoport.

3. dimenzió

A 3. dimenzió jellegében hasonló a 2. dimenzióhoz. Ezúttal 7 csoportot és 14 különböző típusú hálózatot találunk.

Háromdimenziós rácsok osztályozása  -  A háromdimenziós rács ortogonális csoportja izomorf a következő hét csoport egyikével: az S 4 × C 2 izomorf kockacsoport , a D 12 × C 2 hatszögű pontcsoport, a D trigonális csoport 12 , tetragonális D 8 × C 2 , ortorombos K × C 2 , K monoklin és C 2 triklin .

Itt, D 2 n jelöli diédercsoport a sorrendben 2 N , S N jelöli a szimmetrikus csoport index n és a rend n !, K a Klein-csoport (a sorrendben 4) és a C 2 ciklusos csoportja d érdekében 2. Négy 48., 24., 16. és 12. rendű nem abeli csoportok, majd három abeli csoport, a 8., 4. és 2. rendűek , amelyek csak érintett elemeket tartalmaznak .

Három különböző rácsgeometria mutat köbös szimmetriát, amelyet az alábbi 15. ábra mutat be. Az első, amely a jobb oldali képnek felel meg, izomorf a ℤ 3 rácshoz képest , vagyis van egy forgás és egy homotéta, amely a rácsot ℤ 3-nak küldi . A kristálytanban primitív köbös rácsról beszélünk . Létezik egy köbméteres alaptartomány, amelyet az ortogonális csoport bármely izometriája globálisan invariáns. A második esetet a 15. ábra közepén szemléltetjük. Jellegzetes zöld alakja van egy kocka, amelynek arcközpontjait egy pont foglalja el. Arcközpontú köbös rácsról beszélünk . A bemutatott alapvető tartomány már nem köbös. A harmadik esetet a 15. ábra bal oldali képe szemlélteti. A rácsban megjelenő ismétlődő ábra egy kocka, amelynek középpontja szintén a rács eleme, a kristályosok egy középre kötött köbös rácsról beszélnek .

Két geometria tartalmaz egy fordulat egyharmadát. A 16. ábra a kétdimenziós hatszögletű rács replikációjának felel meg. A 2. dimenzió hatszögletű rácsát tartalmazó síkra merőleges tengely egy szimmetriatengely, amely egy alapvető domén δ harmadik vektorát tartalmazza. A 2-es dimenzió esetében az identitással kibővített izometriák mind az ortogonális csoportba tartoznak. Az a szimmetria, amely elhagyja a hatszög invariánsának síkját és átalakítja a 8-t δ-vé, szintén egy izometria, amely elhagyja a rács invariánsát. Az ortogonális csoport izomorf D 12 × C 2 , a közvetlen terméke a D 12 isometries a kétdimenziós hatszögletű rács, a csoport által a C 2 által generált ortogonális szimmetria transzformáló δ be -δ.

A 17. ábra egy kisebb ortogonális csoportot tartalmazó hálózatot mutat be. A rácsot úgy kapjuk meg, hogy további 6 pontot adunk a 16. ábrából. Ha δ az ortogonális rács legkisebb vektorát jelöli a hatszög síkhoz, akkor 3 pont δ / 3, a másik három pedig 2δ / 3 magasságban van. A δ / 3 magasságban lévő 3 pont egyenlő oldalú háromszöget alkot, amelynek geometriája megegyezik a hatszöget alkotó háromszöggel. Ennek a háromszögnek a súlypontja függőleges a hatszög közepével, a δ-vel párhuzamos vetület pedig a háromszög egyes pontjainak felel meg a hatszög egyik háromszögének súlypontjának. Az utolsó három pont egy újabb háromszöget képez, amelyet a tengely δ által irányított forgatásával és fél fordulattal kapunk.

Egyedülálló módja van annak, hogy az egész rácsra kiterjesszük a 2-es dimenziós hatszögletű rács ortogonális csoportjának izometriáját. A csoport elemeinek fele, δ-n ez a kiterjesztés az azonosság. A másik fél számára ez a megnyúlás az −1 arány tágulata. Az ortogonális csoport izomorf D 12 . A kocka forgatásával csak ez a két geometria tartalmazza a fordulat harmadának elfordulását. E két csoport egyike sem kommutatív.

A tetragonális hálózatok sok hasonlóságot mutatnak az előző esethez. Ez megfelel a négyzetcsoport 3. dimenziójának átjutásának. Ahhoz, hogy a négyzet szimmetriái a 3. dimenzióban kiterjeszthetők legyenek, a hálózatot meghatározó utolsó pontot el kell helyezni a négyzetre merőleges és a négyzet egyik pontján vagy annak középpontján átmenő tengelyre.

A négyzet minden szimmetriája meghosszabbítható a 3. dimenzió elforgatásával. Ezután lehetséges az izometria −1 arány tágításával történő elkészítése. Így, hogy minden egyes isometry a tér megfelel két bővítmények dimenzió 3. Mivel a homothety az arány -1 commutes minden isometries, az új ortogonális csoport a közvetlen termék e dimenzió 2 C 2 , amely lehet tekinteni, mint a azonosság és a −1 arány homotetikája ℝ 3-ban . Ez a csoport az utolsó nem kommutatív.

A konvenció egy része belép a bravaisi hálózatok típusainak meghatározásába. Így azonosíthatjuk a tetragonális pontcsoportok esetében a központosított hálózatokat és azokat, amelyeknek középpontja van. Ha egy központosított hálózatot veszünk figyelembe, és a vízszintes négyzet alakjának választjuk azt, amelyet két átló képez, akkor egy középre formált alakot kapunk. Ez a megjegyzés igaz a köbös hálózatokra is.

A többi ortogonális csoport mind kommutatív. Nem jellemző az a tény, hogy csak az invutív izometriákat tartalmazzák , vagyis ha kétszer alkalmazzuk őket, akkor megtaláljuk az identitást. A legnagyobb ilyen csoport 8 elemet tartalmaz. Ez megfelel a csoport néha jegyezni K 4 vagy a terméket a Klein-csoport, és a ciklusos csoport érdekében 2.

4 különböző típusú hálózat létezik, bár mindegyik ugyanúgy néz ki. 4 ortogonális vektorból épülnek fel, amelyek egyike sem azonos méretű. A primitív hálózat ilyen jellegű párhuzamos. Vannak majd három módon Center további pontok, akár a közepén a paralelepipedon, vagy a közepén minden arc, vagy a közepén két szemközti oldalak (ábra. 19).

Ha a hálózat síkjára merőleges tengely van, de a sík nem tartalmaz szimmetriatengelyeket, akkor a csoportnak már nem 8, hanem 4 eleme van. Ezután találunk egy struktúrát, amely hasonló a 2. dimenzióhoz, és a pontcsoport Kleiné. Két ellentétes reflexióból áll, az −1 arány azonosságából és homotetikájából. A 18. ábrán szemléltetett két különféle hálózaton van ez az ortogonális csoport.

Végül, ha az előző konfigurációk egyike sem jelenik meg, akkor csak két izometria van a csoportban, az −1 arány azonossága és dilatációja.

Véges csoport ábrázolásai

Ha a 3. dimenzió helyzete ugyanolyan jellegű, mint a 2. dimenzió, akkor a bemutatók némileg bonyolultak. A 2. és 3. dimenziót megkülönböztető számos tényező nem egyszerűsíti a feladatot. A legfontosabb valószínűleg az a tény, hogy a speciális ortogonális csoportnak már nincs oka abéliainak lenni , két forgás nem mindig ingázik. Ezután a csoportok nagyobbak, a legnagyobb 48 elemet tartalmaz a 3. dimenzióban, szemben a 2. dimenzióban. Mindig lehetséges a lineáris algebra és a geometria kezdeteinek használata. A módszer hosszabb és mindenekelőtt veszélyesebbé válik. A Frankenheim  (in) első , 1842- ből származó besorolása nem volt világos. Hat évbe telt, mire Bravais kijavította a hibákat.

Hatásosabb eszközökkel lehet gazdagítani a kellékeket. Különösen alkalmas a csoportok és a lineáris algebra elméletén túlmutató elmélet. Célja a tanulmány a morfizmusok egy csoport G a lineáris csoport egy vektortér E véges dimenziót, amely a következők közül választott, mint komplex és felszerelt hermitikus terméket oly módon, hogy az érkezési halmaz csak isometries. Négy eredményt használunk fel itt. Bármely reprezentáció lebonthatatlan ábrázolások közvetlen összegévé bomlik, az eredmény Maschke-tétel néven ismert . Vagyis lehetséges, hogy az E- t a reprezentáció minden izometriája alapján kölcsönösen ortogonális és stabil alterek közvetlen összegévé bontsuk. A reprezentáció stabil altérre való korlátozása nem tartalmaz stabil alteret az ábrázolás minden izometriájához, kivéve a triviális altereket. Az ilyen jellegű ábrázolás visszavonhatatlannak mondható . A karakter khi φ ábrázolásából φ az a térkép a G a ℂ, amely egy elem H a G társítja a nyoma φ ( h ). Ha g a G és φ, ψ, ψ csoport sorrendjét jelöli , akkor a karakterekkel a következő hermita szorzatot társítjuk:

⟨χφ,χψ⟩=1g∑h∈Gχφ(h)χ¯ψ(h){\ displaystyle \ langle \ chi _ {\ varphi}, \ chi _ {\ psi} \ rangle = {\ frac {1} {g}} \ sum _ {h \ in G} \ chi _ {\ varphi} ( h) {\ overline {\ chi}} _ {\ psi} (h)}.

Az ábrázolás akkor és csak akkor irreducibilis, ha karakterének normája egyenlő 1-vel. Ha két redukálhatatlan reprezentáció nem izomorf, akkor két karakterük hermita szorzata egyenlő 0-val, más szóval a két karakter merőleges. Pontosan annyi redukálhatatlan reprezentáció van, mint ahány konjugációs osztály van a csoportban. Végül van egy sajátos reprezentáció, az úgynevezett rendszeres reprezentáció . Felépítéséhez figyelembe vesszük, hogy a csoport elemeinek családja ( h i ) egy vektortér ortonormális alapja . A csoport h elemével hozzákapcsoljuk az izometriát, amely a bázist ( h i ) átalakítja bázissá ( hh i ). A rendszeres ábrázolás annyi példányt tartalmaz egy visszavonhatatlan ábrázolásból, amennyi ennek a visszavonhatatlan ábrázolásnak a mértéke.

Ortogonális speciális csoport rendje

Ebben a legördülő mezőben az ortogonális csoport kifejezés egy háromdimenziós rács izometriáit jelöli, az ortogonális speciális csoport kifejezés az izometriák alcsoportját jelöli 1-gyel egyenlő determinánssal. Kezdjük egy általános javaslattal:

• Az ortogonális csoport bármely izometriája 1, 2, 3, 4 vagy 6 nagyságrendű:

Legyen φ az ortogonális csoport eleme. M- mátrixa a csoport rendjének erejéig megegyezik az azonossággal, Lagrange-tétel szerint . Ez azt mutatja, hogy M jelentése diagonalizable . Az om endomorfizmus mátrixot is elfogad egész számokkal; arra következtetünk, hogy létezik olyan komplex szám ω, hogy az M mátrix hasonló M ω-hoz , a következőkkel: Mω=(1000ω000ω¯){\ displaystyle M _ {\ omega} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \ omega & 0 \\ 0 & 0 & {\ overline {\ omega}} \ end {pmatrix}}} M ω nyoma egész szám; arra következtetünk, hogy az ω és a konjugátum összege egész szám, amely megmutatja az eredményt.

A Cauchy , amely egy Sylow-tétel közvetlen következménye, azt mutatja, hogy ha n a csoport rendszámának elsődleges tényezője, akkor van egy eleme az n rendű csoportnak . Arra következtetünk, hogy az ortogonális csoport sorrendje 2 p. 3 q , ahol p és q pozitív egész szám. Először egy speciális ortogonális csoport struktúrájának meghatározására törekszünk, vagyis a hálózat izometriái 1-es egyenlőségű determinánssal. Rendjének elsődleges tényezője csak 2 vagy 3. Pontosabbak lehetünk:

• Bármely ortogonális speciális csoport osztója 24:

Az R 3 rács speciális ortogonális csoportjának 3-as nagyságrendű kitevője nem lehet szigorúbb, mint 1: Ez Sylow tételeinek meglehetősen közvetlen következménye . Ezek a tételek arra tanítanak minket, hogy a 3. rend bármely csoportja p . b , ahol p és b pozitív egész számokat jelöl, és mivel b prímszám, 3 p nagyságrendű csoportot tartalmaz , amelyet maximális 3 alcsoportnak nevezünk. Az ilyen csoport 3 csoportos, és nagyon specifikus tulajdonságokkal rendelkezik. Középpontja , vagyis a 3 csoport összes elemével ingázó elemek alcsoportja nem triviális. Vegyünk egy 3 csoportos G-t, amely több mint 3 elemből áll. Megmutatjuk, hogy 9 elemből álló abeli alcsoportot tartalmaz. Vagy a központja szigorúan több mint 3 elemet tartalmaz, vagy létezik olyan g elem , amely nincs a középpontban, és a központ által generált csoport és g abelian csoport, amely szigorúan több, mint három elem. Ebből az alcsoportból mindig kivonhatunk egy pontosan 9 elemből álló új alcsoportot.A speciális ortogonális csoport nem tartalmazhat 9 elemű abeli alcsoportot. Egy ilyen alcsoport vagy izomorf a C 9-hez - a 9 tagú ciklikus csoporthoz -, de a speciális ortogonális csoport egyetlen eleme sem 9-es rendű. Ellenkező esetben a C 3 × C 3 csoport másolatát tartalmazza . A véges csoportok reprezentációjának elmélete azonban arra tanít minket, hogy a 3. dimenzióban nincs hű reprezentáció, vagyis injektív jellegű ilyen csoport. A lemma és az a tény, hogy a speciális ortogonális csoport nem tartalmazhat ilyen alcsoportot, azt mutatja, hogy javaslat.

Most keressük meg az ortogonális speciális csoport maximális 2 csoportját.

Az ortogonális speciális csoport 2-es kitevője nem lehet szigorúbb, mint 3:Az abeli csoportok esete viszonylag egyszerű. Legyen G egy abeli 2-alcsoport, redukálhatatlan ábrázolásokra bomlása azt mutatja, hogy a C 2 ábrázolásához szükséges dimenzió 1, és hogy C n értéke 2, ha n szigorúan nagyobb, mint 2. Az n értéke nem haladhatja meg a 4 értéket esetünkben, mert az ortogonális speciális csoport egyik elemének sorrendje nem nagyobb 4-nél. G izomorf lehet C 2-vel , C 2 × C 2 , C 4 × C 2 és C 2 × C 2 × C 2 n 'nem lehetséges, mert egyes elemek meghatározóak lennének −1. A legnagyobb abeli alcsoport legfeljebb a 8. rendű, és ha ez a rendje, akkor izomorf a C 4 × C 2 -vel .A nem abeli esetnél vegyük figyelembe a karakterét , a képek egyetlen lehetséges értéke: vagy 3, amelyet ω-ra kapunk 1-nek, vagy 1-et kapunk ω-nak, amely egyenlő i-vel vagy - i-vel . A 3 érték egyszer megszerezhető, az 1 érték szükségszerűen 2 p - 1, ha 2 p a G sorrendjét jelöli . Egy ilyen ábrázolás nem lehet visszavonhatatlan, a karakter normájának négyzete valóban megegyezik 1/2 p-vel (9 + 2 p - 1), ami nem lehet egyenlő 1-vel, míg a reprezentálhatatlan reprezentáció esetében mindig ez a helyzet. Ez az ábrázolás két redukálhatatlan reprezentáció közvetlen összege, az egyiket 1 fokú χ 1-nek , a másikat 2 fokú 2-nek jelölik . Ha χ 2 nem lenne visszavonhatatlan, akkor az ábrázolás az 1. fokozat redukálhatatlan reprezentációira bomlik, ami a kommutativitást írja elő a csoport, amely nem a vizsgált eset. Észrevesszük, hogy az χ 1 és χ 2 karakterek szükségszerűen valós értékekkel rendelkeznek, mert összegük valóban: χ1+χ2=χ¯1+χ¯2{\ displaystyle \ chi _ {1} + \ chi _ {2} = {\ overline {\ chi}} _ {1} + {\ overline {\ chi}} _ {2}} Ha nem lennének, akkor nullánál eltérő lineáris kombinációnk lenne 4 különálló, visszavonhatatlan karakter között, ami nem lehet az, mert a visszavonhatatlan karakterek szabad családot alkotnak (sőt a központi funkciók terének alapját is alkotják ). A χ 2 karakternek valódi értékei vannak, de a kapcsolódó endomorfizmusok, amelyek most a 2. dimenzió terében vannak, nem feltétlenül rendelkeznek pozitív meghatározóval. Ezúttal a lehetséges értékek 2, −2 és 0. A 2 nyom szükségképpen az identitásé és −2 a −1 arány dilatációjáé, mert a csoport endomorfizmusának sajátértékei szükségszerűen modulusa egyenlő 1. Arra a következtetésre jutunk, hogy a 2 és −2 értékeket csak egyszer érjük el. A karakter normájának négyzete most egyenlő 1/2 p (2 2 + 2 2 ) = 1. Arra a következtetésre jutunk, hogy p egyenlő 3-mal, a csoport sorrendje pedig 8. Az egyetlen nem kommutatív csoport a 8. sorrend a kétdimenziós D 8 csoport , amelynek karakterét felismerhetetlenül redukálhatatlan és hű reprezentációként ismerik el. A hű kifejezés azt jelenti, hogy a reprezentáció injektív.

A nagyobb 2-csoportokról kiderült, hogy a 2-csoportos C 4 × C 2 és D 8 csoportok, két 8. rendű csoport valószínűleg egy 3-dimenziós rács speciális ortogonális csoportjában található. A nagy 3-csoport C 3 és nincs más p-csoport , amely igazolja a javaslatot.

A 3. fokozat redukálhatatlan reprezentációi

A megközelítés elve abból áll, hogy kezdetben az ortogonális csoportokat tanulmányozzuk, amelyek beolvashatják az irreducibilis reprezentációt, majd azokat, akiknek a reprezentációja 2. fok, végül azokat, amelyek csak az 1. fokozatú reprezentációval rendelkeznek. Az egyszerűség kedvéért először csak a speciális ortogonális csoportot keressük, magunknak olyan csoportokba, amelyeknek nincsenek rendje 6. eleme. Ez a megközelítés kiemeli a kocka csoportját. Csak a lineáris algebra eszközeit lehetne használni, de ennyi erőfeszítés esetén csak részleges eredményeket találna.

Az ortogonális csoport természetes reprezentációval rendelkezik. Az ilyen csoport egyik eleme a rács izometriája, amely természetesen ℝ 3 izometriává is kiterjed . ℂ 3 izometriájának is tekinthetjük . Ennek kétféle módja van. Akár tekintjük mátrixát a kanonikus alapra, akár a kanonikus bázisban kifejezett ℂ 3 izometria mátrixának is tekinthetjük . Vagy tanulmányozzuk ℂ 3 tenzortermékét ℝ 3- mal , amely egy 3-dimenziós ℂ-vektortér, amely felett az ortogonális csoport izometriája természetesen kiterjed. Tudjuk, hogy egy ilyen ábrázolás hű, vagyis injektív. Valójában egy adott bázis adott mátrixához csak egy lineáris alkalmazás felel meg.

• Az ortogonális speciális csoport egyetlen alcsoportja, amely nem rendelkezik 6. rendű elemmel és visszavonhatatlanul képviseli a 3. fokot, az S 4 és A 4  :

Itt A 4 jelöli a 4-12 elem váltakozó csoportját . Megfelel egy pozitív aláírással rendelkező 4 elemből álló készlet permutációinak . Az A 4 csoport soha nem egy speciális ortogonális csoport, amelyet egy kicsit később bemutatunk.

Ha egy ortogonális speciális csoport egy alcsoportja elismeri a 3. fokozat redukálhatatlan ábrázolását , annak sorrendje 12 vagy 24: Vagy G a vizsgálati csoport, g annak sorrendje és φ G redukálhatatlan ábrázolása . A φ képek nyomának egyetlen lehetséges értéke 3, 1, 0 és −1. Valójában a φ képei egy adott szög elforgatásai, amelyek egyenlőek k π / 3 vagy k π / 4 k egész számmal. A nulla szög megfelel a 3 nyomcsoport identitásának, elemének. A π / 3 és 4π / 3 szögek elfordulása lehetetlen, mert a csoportnak nincs 6 sorrendű eleme. A 2π / 3 és 4π / 3 szögek elfordulásai a 0. nyom. A fél fordulat −1 és az 1. negyed fordulata. Legyen p 1 (ill. p 0 és p −1 ) annak a csoportnak az izometriáinak száma, amelynek nyoma egyenlő 1-vel (ill. 0 és −1), csak egy endomorfizmus van, amelynek nyoma egyenlő 3-mal, az identitás. Irreducibilis reprezentációt keresünk φ; amely korlátozásként előírja, hogy karaktere the φ normájának négyzete egyenlő 1-vel, vagyis ismét: 9 + p 1 + p −1 = g , a keresett csoport sorrendje. Azt is tudjuk, hogy a g = 1 + p 1 + p -1 + p 0 , és, hogy a karakter χ φ ortogonális a triviális karakter χ t , amely társítja 1 minden elem, és ezért a 3 + p 1 - p -1 = 0 arra következtetünk, hogy p 0 egyenlő 8-val, p- 1 legalább 3-mal. Végül tudjuk, hogy g osztója 24.Ezeknek a különböző egyenleteknek csak két megoldása van: vagy p 1 egyenlő 6-val, p- 1- től 9-ig és p 0- tól 8-ig, vagy p 1 egyenlő 0-val, p −1- től 3-ig és p 0- tól 8-ig. Ez bizonyítja az állítást Nos, valóban az első esetben g = 1 + 9 + 8 + 6 = 24, a másodikban pedig g = 1 + 8 + 3 = 12.

Valójában a demonstráció több információt nyújt nekünk. A 3. aláírás az 1. sorrend egyik elemét írja elő, a csoport csak egy egységet tartalmaz (ami nem meglepő, ez a tulajdonság minden csoportra igaz), a 9 nyom -1 izometriája azt írja elő, hogy a 2. sorrendben 9 elem létezik, a 0 nyom pedig 8 A 3. sorrend elemei és 1. nyom, 6. elemek a 4. sorrendben. Ezek az eredmények a 24 elemből álló csoportra vonatkoznak.

Most egy G csoportra koncentrálunk , 24 elemgel; a cél annak bemutatása, hogy ez a csoport szükségszerűen a kocka csoportja:

A G csoport a 12. sorrend megkülönböztetett alcsoportját tartalmazza : A rendszeres képviseletét a G a fokszáma 24; 3 példányban tartalmazza a vizsgált ábrázolást, amely 9 dimenziót foglal el, és a triviális ábrázolást, amely egyet foglal el. 14 maradt, amelyet az 1., 2. vagy 3. fokozat ábrázolásai felhasználhatnak. Elemezzük az 1. fokozatúakat; szükségszerűen ciklikus alcsoportokkal vannak társítva, a ciklus hosszának egyetlen lehetséges értéke 2, 3 és 4. A 3 érték lehetetlen, sőt, ha a 3 lehetséges érték lenne, akkor a csoport morfizmusa lenne A G 3 szubjektív C 3-ban és G -ben a 8. és C 3 rendű alcsoport félegyenes terméke lenne . A C 3 egyetlen morfizmusa a 8. rendű csoport automorfizmusainak csoportjában a triviális morfizmus, ezért a szorzat közvetlen lenne. Mivel G nem abeliánus - mivel a 3. fokozat visszavonhatatlan ábrázolással rendelkezik - a csoport egyetlen lehetséges értéke a D 8 , a 8. rendű egyetlen nem kommutatív csoport, vagy a D 8 és a C 3 közvetlen szorzata tartalmaz egy elemet 12. rendű, amelyet G nem tartalmaz . A dimenzióelemzés azt mutatja, hogy G nem tartalmazza a C 4 reprezentációit . Valóban, ha tartalmaznák őket, ezek az ábrázolások a triviális ábrázolás mellett három dimenziót foglalnának el, akkor 11 dimenzió maradna, amelyeket meg kell tölteni a 2. sorrend reprezentációival, amelyek mindegyike 4 dimenziót foglalnak el, és a 3. sorrendben találhatóak. , ami lehetetlen. Választásként csak a C 2 második , a triviáltól eltérő ábrázolásának használata marad . Az 1. sorrend reprezentációi: a triviális és a σ két dimenziót foglalnak el, a 2. fokozat egyike a megszállt dimenziókat hozza 6-ra, és a 3. fokozat két ábrázolása a fennmaradó 18-at veszi fel.Arra a következtetésre jutunk, hogy az 1. dimenzió nem triviális ábrázolása van a 2. sorrend ciklikus csoportjával társítva. Ez képviseli az aláírást , ennek az ábrázolásnak a magja 12. rendű és megkülönböztetett.

Már nem állunk nagyon messze attól, hogy G- t S 4- be azonosítsuk . Azonosítani tudjuk négy osztályát konjugáció a G , osztály egységét, hogy 2-rendű eleme sorrendben a 3. és 4. rend vagy 2. tényleg létezik 5. Továbbá tudjuk, 3 irreducibilis ábrázolás, a triviális t , az aláírás σ és irreducibilis φ , amelynek meghatározó tényezői mind megegyeznek 1-vel.

Csak egy 24 elemű csoport lehet egy ortogonális speciális csoport, az S 4 , amelynek karaktertáblázata a következő:

Mivel. irr. 1 ab) (ABC) ab) (cd) (abcd) Egységek száma 1 6. 8. 3 6. χ t 1 1 1 1 1 χ σ 1 −1 1 1 −1 χ θ 2 0 −1 2 0 χ φ 3 1 0 −1 −1 χ φσ 3 -1 0 −1 1

A táblázat értékeit nem az elemek adják meg, hanem azok a konjugációs osztályok, amelyek kardinalitását a második sor adja meg. Valójában egy karakter mindig állandó a ragozási osztályban. A φσ ábrázolás megfelel annak, amely a csoport h eleméhez társítja az izometriát (−1) σ (h) φ ( h ). A θ reprezentáció még meghatározandó.

A 0-nak vagy 3-nak a χ φ -vel egyenlő képű G-nek páratlan sorrendű elemei vannak, illetve 1, illetve 3, ennek megvalósításához elegendő mátrixukat önmagukkal megszorozni. A σ-hoz tartozó ábrázolás ezeknél az értékeknél egyenlő 1-vel. Az 1 értéket még mindig háromszor, az −1, 12-szeres értéket érjük el azoknak a G elemeknek, amelyeknek 1 és −1 képe χ φ képe . Tudjuk, hogy 12 kép van az 1. értékről és a 12. az −1 értékről. P-vel (ill. Q ) jelöljük a csoport azon képének elemeit, amelyek image φ 1, and σ 1 és (ill. −1). Hasonlóképpen jelöljük r-vel (ill. S ) a csoport azon elemének számát, amelynek képe by φ −1, χ σ 1 és (ill. −1). Megkapjuk az egyenlőségeket: o+q=6.,r+s=9.,o+r=3,ésq+s=12.{\ displaystyle p + q = 6, \; r + s = 9, \; p + r = 3, \; {\ text {és}} \; q + s = 12}. Ez a négy egyenlet összefügg; az első kettő összege megegyezik az utolsó kettő összegével, ami nem teszi lehetővé a közvetlen felbontást. Mindazonáltal a 12. sorrendű alcsoport létezéséhez vezető elemzés azt mutatja, hogy 5 irreducibilis reprezentáció létezik, tehát 5 konjugációs osztály . A −1 by φ reciproképe azonban a 2. és a 4. rend elemeit tartalmazza, ezért két osztályt tartalmaz. Arra a következtetésre jutunk, hogy vagy p, vagy q nulla, és a másik érték egyenlő 6. A p + r = 3 egyenlőség azt mutatja, hogy a rendszer egyetlen pozitív megoldása p = 0, q = 6, r = 3 és s = 6. Ha χ φ -et megszorozzuk χ σ-val , új irreducibilis karaktert kapunk, ami most 4 az öt keresett közül. A redukálhatatlan karakterek lineáris kombinációja dimenziójukkal, mint együtthatók megadják a szabályos reprezentáció karakterét, ami lehetővé teszi az itt szereplő utolsó karakter megtalálását χ θ .Ideje befejezni. A keresett G csoport karaktertáblázata az S 4 karaktertáblája , amely azt mutatja, hogy a két csoport izomorf.

A G csoport izometriái megfelelnek a representation ábrázolásnak, mert a φσ ábrázolás negatív determinánsok izometriájával rendelkezik. Így pontosan ismerjük a speciális ortogonális csoport elemeit. Ez a csoport valóban alcsoport lehet, mert már tudjuk, hogy a G- nél szigorúbban nagyobb rendű ortogonális csoport is létezhet .

Most elemezzük a második esetet, azt, ahol a G csoport 12 elemet tartalmaz.

Az ortogonális speciális csoport egyetlen alcsoportja, amelynek rendje 12. sorrend és a 3. fokozat redukálhatatlan ábrázolását ismeri el , izomorf az A 4-vel  :

Karaktertáblázatként rendelkezik:

Mivel. irr. 1 ab) (cd) (abc) 1 (abc) 2 Egységek száma 1 3 4 4 χ t 1 1 1 1 χ j 1 1 j j χ j 1 1 j j χ ψ 3 −1 0 0

A G csoport most 12. rendű, és a speciális th ortogonális csoporthoz társított ábrázolás karaktere 1-szeres értéket vesz fel, 3-szoros értéket, 8-szorosa a 0-nak és háromszorosát a -1 értéknek. A triviális χ t karakter mellett csak két dimenzió létezik a G szabályos ábrázolásának megértéséhez . Ez a két dimenzió csak az 1. dimenzió reprezentációjának felelhet meg, mert a 2. dimenzió ábrázolása már 4 dimenziót vesz fel. Az egyetlen ciklikus alcsoport, amely két további dimenziót kínál, a C 3  ; a két hiányzó karakter tehát a j értéket és annak konjugátumát veszi fel. Most már ismerjük a csoport 3 részhalmazra osztását, 4-re van szükségünk az összes ragozási osztály ismeretéhez. A karakterek ortogonalitásának megőrzésére az egyetlen megoldás az, ha két egyenlő részre osztjuk a 0 kölcsönös képét by φ-vel . Mi a várt karakter táblázat, amely megfelel a váltakozó csoport index 4. Most már tudjuk, hogy egy ortogonális speciális csoport, amely irreducibilis ábrázolása dimenzió 3 anélkül eleme érdekében 6 vagy S csoport 4 vagy A csoport 4 .

Az ilyen jellegű ortogonális csoportok tanulmányozásának befejezéséhez még 3 lépést kell megtenni. Mutassuk meg, hogy sem a 6., sem az A 4 rendű elemet tartalmazó csoportok valószínűleg nem különleges ortogonális csoportok, határozzuk meg a rács ortogonális csoportját az S 4 ortogonális speciális csoporttal, és jellemezzük egy olyan rács geometriáját, amely rendelkezik ezzel a csoporttal az izometriák halmazára. Fordított sorrendben folytatjuk. Először meghatározzuk a geometriáját tartalmazó hálózat közvetlen isometries (determináns 1) egy csoport izomorf S 4 , és megtalálja a három megoldás, amely mind S 4 × C 2 , mint egy ortogonális csoport, kivéve egy izomorfizmus. Ekkor ideje lesz foglalkozni a 6. rend egyik elemének létezésével.

• Vannak, kivéve izomorfizmus, csak három hálózat egy derékszögű csoport, amely egy alcsoport izomorf A 4 . Mindegyiküknek van egy speciális ortogonális csoportja, amely izomorf az S 4-vel szemben  :

Ez a javaslat két legyet öl meg egy csapásra. Miután tisztázta a három geometriát, nagyon egyszerű lesz megmutatni, hogy az ortogonális csoport mindig a kocka izometriáinak csoportja, 48-as sorrendben. Az A 4 csoport 3. dimenziójának csak egy hű ábrázolása van  ; arra a következtetésre jutunk, hogy egy izometrián belül pontosan ismerjük az ortogonális csoport ezen elemeit. Még ha ez egy forgatás alkalmazását is jelenti, mindig meg lehet választani fő szimmetriatengelyként azokat, amelyeket i , j és k irányítanak , a on 3 kanonikus alapját . A csoportot az alap három elemének permutációiból álló izometriák generálják, invariánsok nélkül, olyan izometriák, amelyek megváltoztatják a koordináták előjelét. Az A 4 csoportban csak az 1. determináns izometriák találhatók. A szimmetrikus csoport ábrázolása című cikkben javasolt generátorok felhasználásával állíthatók össze  . az izometriák megfelelnek a φ 1 jelöléssel . Az alternatív csoport ezen ábrázolás izometriáiból áll, pozitív aláírással. Így megvan a mátrixábrázolás a kanonikus alapban.

A rács, amelynek egy ortogonális csoport, amely egy izomorf alcsoport A 4 jelentése a képet a áll egy rotációs és egy homothety egy al-rács a ℤ 3  :Minden fő tengely a hálózat elemeit tartalmazza. Mutassuk meg az i által irányított tengelyre  ; a bizonyítás ugyanaz lenne j és k esetén . Megjegyzés első, hogy a forgatás, egy tengellyel rendező i és fél fordulattal, egy eleme A 4 . Ennek meggyőződéséhez kiszámítható a permutáció (ab) (cd) ábrázolásának mátrixa . Legyen α a rács nem nulla eleme, amelynek koordinátái a kanonikus alapban vannak ( x , y , z ), az ( x , - y , - z ) pont a rács eleme, mert az α képe a forgatással fél fordulattal. E két pont összege a hálózat egy másik eleme, amelynek j és k értéke nulla .Itt az ideje megtalálni a λ-t tartalmazó rácsot. Hagyja egy legyen a legkisebb szigorúan pozitív értéket befolyásolja a lineáris forma által meghatározott skalárszorzat társított i . Egy ilyen érték létezését az általános esetben az alap fennállásának igazolása igazolja. Elég észrevenni, hogy a j és k által irányított síkban van egy 2 dimenziós alhálózat . A kép forgatóképességét A 4. biztosítják, hogy a meghatározott együtthatók ugyanilyen módon a j és k tengelyek egyenlő egy . Ennek megvalósításához elegendő az (ab) és (bc) permutációk összetettjéhez társított mátrix felépítése . A jel kivételével átalakítja ai- t aj- vá, majd ak- vá . Tekintsük a hálózat pontjai ℝ 3 koordinátákkal többszöröse egy , a koefficiensek ℤ, a kanonikus alapon. Ez a hálózat szükségszerűen tartalmaz λ-t, és az −1 arány homotétijéig egyenlő ℤ 3- mal .Észrevesszük, hogy ℤ 3 stabil a fordulat harmadának és a tengelyeknek a ± i ± j ± k által irányított forgatásával . Mivel a kép egy 4 által a képviselet által generált nyolc forgatások, a hálózat meglehetősen stabil a fellépés a reprezentáció a csoport A 4 . Ami befejezi a tüntetést.

Most már legalább egy hálózati amelynek alcsoport izomorf A 4 az ortogonális csoport. Van még némi munka a többiek megtalálása érdekében, ellenőrizze, hogy a lista teljes-e, és megmutassa, hogy az ortogonális csoport mindig megegyezik a kocka csoportjával.

Az előző demonstráció megkönnyíti az életünket. Csak a ℤ 3 alhálózatainak tanulmányozása válik szükségessé . Közeli izomorfizmus mellett csak ők tartalmazzák a 3. dimenzió visszavonhatatlan ábrázolását, részletesen a 6. rendű elemet tartalmazó ortogonális csoportok közelében, amelyet még mindig nem kezeltek. A következő lépés a stabil alhálózatok listájának összeállítása az A 4 izomorf alcsoportok alapján ℤ 3-ban . Ehhez figyelembe vesszük a hálózat nem nulla pontját, és jelöljük ( a , b , c ), tudván, hogy a koordináták egész számok. Az alcsoport izomorf A 4 történik jár ezen eleme, azaz a különböző isometries az alcsoport alkalmazzák ezt az elemet. A csoport összeadásának és kivonásának stabilitásának felhasználásával közel homotémiával három rácscsaládot kapunk.

Ha egy kicsit tovább mennénk, megmutatnánk, hogy az (1,1,0) által generált hálózat izomorf az (1,1,1) által generált hálózathoz. E két hálózat szétválasztása tehát kissé hagyományos. Létezik, mert van értelme a kristálytanban.

Bármilyen al-hálózat ℤ 3 és az ortogonális csoport, amely egy alcsoport izomorf A 4 , jelentése homothetic az egyik a három hálózatok, generált akár (1,0,0) vagy (1,1,0 részt) vagy ( 1,1,1): Láttuk, hogy a koordináta előjelének megváltoztatása nem módosítja egy pont hálózatának tagságát. Ezért azt kell feltételeznünk, hogy a , b és c pozitív. Ha mindhárom egyenlő, akkor az alhálózatot a . (1,1,1) generálja, és az állítás bebizonyosodik. Ugyanaz, ha két koordináta egyenlő és a harmadik nulla, vagy ha két koordináta nulla. Feltételezzük, hogy az utolsó esetben vagyunk, a három koordináta kettőtől kettőig különbözik, és eltér a 0-tól. Az elképzelések rögzítéséhez feltételezzük, hogy az a a legnagyobb és c a legkisebb. Az előző bekezdés számításai azt mutatják, hogy a (0, 0, 2 c ), majd a (2 c , 0, 0), majd végül (| a - 2 c |, b , c ) pont még mindig az alhálózat pontjai . Szigorúan csökkenthetnénk a legnagyobb koordinátát. Ezt az algoritmust addig lehet ismételni, amíg az első koordináta meg nem egyezik az utolsóval vagy nulla.Feltételezhetjük tehát, hogy a pontot ( c , b , c ) vagy ( 0 , b , c ) írjuk , ha nem az állításban említett három pont egyikének homotetikus képe. Megismételjük ugyanazt az algoritmust, ezúttal b és c . Megkapjuk a c (1, 1, 1) vagy c (0, 1, 1) vagy akár c (0, 0, 1) alakú pontot . Ezután lehetőség van az egyedi 1 (ill. 0) vagy az első (ill. Utolsó) pozíció cseréjére az utolsó két esetre. Valóban 3 hálózat létezik, a c –1 arány homotetikája szoros.

Az összes hálózat tanulmányozásáról, amelynek ortogonális csoportja izomorf alcsoportot tartalmaz, az A 4-re , a ℤ 3- asra , majd három speciális esetre tértünk át. Elég ennek a három hálózatnak az ortogonális csoportját meghatározni, hogy lezárjuk azt az esetet, amikor a csoportban nincsenek a 6. sorrend elemei.

Bármely ortogonális csoport rácsos tartalmazó alcsoport izomorf A 4 egy ortogonális csoport izomorf a csoport S 4 × C 2  : A legegyszerűbb eset az, amely i = (1, 0, 0) -t tartalmaz ; létezik a csoport izomorf A 4 izometria amelynek képét i jelentése - k , és a kép - k jelentése j , amely azt mutatja, hogy a hálózat egyenlő ℤ 3 , Ez egyszerű, hogy ellenőrizze, hogy ez a hálózat stabil a három a csoport generátorai, amelyek megfelelnek az (abcd) , (adbc) és (acdb) képforgatásainak . A hálózat stabil három isometries generáló az egész csoport S 4 , az ortogonális csoport tartalmaz tehát S 4 . Pontosan ugyanezt okoljuk a másik három eset esetében is, hogy hasonló eredményt kapjunk. Ez a csoport a csoportok morfizmusának magja, amely meghatározóját egy elemhez társítja. A determináns csoportnak legalább egy olyan eleme van, amely egyenlő -1-vel, az identitás ellentéte. A morfizmus két csoportra osztja a csoportot, a magra és egy másikra, amely az identitás ellentétét tartalmazza. Két ilyen természetű osztálynak szükségszerűen azonos a kardinalitása, az ortogonális csoport 48-as rendű. Vizsgáljuk meg most S 4 × C 2 morfizmusát, amely ( h , ε) -vel társítja az ε.φ ( h ) -t . Az ε értéke egyenlő ± 1-vel, és φ az S 4 reprezentációját jelöli a speciális ortogonális csoportban szereplő értékekkel. Ez az alkalmazás egyértelműen injektív jellegű: a mag egy eleme a csoport h tagjából áll, amelynek képe nagyjából megegyezik az identitással, vagy az ábrázolás jellege azt mutatja, hogy csak egy ilyen jellegű elem van, az identitás. Az injektívnek tekintett morfizmus és két azonos kardinalitású csoport között szükségképpen bijektív, amely befejezi a demonstrációt.

Csak egyetlen eset van hátra:

Egyetlen ortogonális csoport sem, amely a 6. rend elemeit tartalmazza, nem olvashatatlanul ábrázolja a 3. fokot : Itt geometriai technikát alkalmazunk. A Δ tervet a G ortogonális csoport invariáns lehetséges izometriájaként keressük . Legyen Θ a 6. sorrend forgása, vagyis π / 3 szög. Ilyen forgás létezik, van egy 6-os rendű elem vagy ez az elem, ennek ellentéte forog és mindkettő izometrikus G-ben . A Θ forgatás egyedi invariáns síkot hagy maga után, ezért feltételezzük, hogy Δ az az egy. Legyen α a hálózat nem nulla pontja a Δ síkban, és legyen a minimális norma. Ugyanezt a technikát alkalmazták annak bemutatására, hogy az ortogonális csoport bármely invariáns síkja tartalmaz egy 2 dimenziós alhálózatot, lehetővé teszi annak megmutatását, hogy az Δ sík tartalmaz egy 2 dimenziós alhálózatot, és hogy α valóban létezik. Az α ismétlései alapján az α képei egy hatszöget alkotnak, amint az a 20. ábrán látható. A β képét Θ-vel jelöljük. A cél annak bemutatása, hogy Δ stabil minden G elem . Ehhez egy olyan forgatást tekintünk, amely nem hagyja a síkot invariánsnak. Vagy az α Σ képe, vagy a β képe nincs Δ-ben. Még akkor is, ha ez a jelölések fordulatának hatodával történő módosítását jelenti, mindig feltételezhetjük, hogy a γ (α (α) -val egyenlő) pont nincs a síkban.Ha a y pont merőleges a Δ-ra, akkor Σ nincs az ortogonális csoportban. A 20. ábra mindent elmagyaráz. A Σ forgás tengelye merőleges az α és γ irányokra. Ez egy negyed fordulatos forgás. Tekintsük a Σ (β) pont koordinátáit. Ha Σ az ortogonális csoportba tartozna, akkor a hármas (α, β, γ) a rács alapját képezné, mivel ezek minimumszabályok és szabad családot alkotnak. A Σ (β) pont a hálózat eleme lenne, ezért egész koordinátái lennének az előző bázisban. Koordinátája azonban a γ vektoron megegyezik 1/2-vel, ami nem egész szám.Ha a γ pont nem merőleges a Δ-ra, akkor Σ nincs az ortogonális csoportban. Ezúttal a 21. ábra magyaráz meg mindent. A γ pont nem Δ-ban van, ennek a síknak az ortogonális vetülete szigorúan kisebb normával rendelkezik, mint az α. Most vegyük figyelembe a δ és Θ (γ) közötti különbséget. Ez a normák különbsége, amely megegyezik a γ ortogonális vetületével Δ-n, szigorúan kisebb, mint az α-nál, nem tartozhat a rácshoz. Valójában a Δ-n nincs más vektor, mint a nulla vektor, ugyanakkor a hálózat eleme és szigorúan kisebb normájú, mint az α. Ha Σ az ortogonális csoportba kerülne, akkor δ a rács és a Δ pontja lenne.Összefoglalva, az ortogonális csoport összes forgatása Δ globálisan invariáns. Minden izometria ezt a síkot változatlanul hagyja, mert ha egy izometria nem forgás, akkor annak ellentéte az, és ha ellentéte nem hagyja a síkot változatlanul, akkor az izometria sem hagyja el. A Maschke-tétel azt mutatja, hogy a reprezentálatlanság ábrázolására kényszeríti.

Most megadhatjuk ennek a párbeszédpanelnek a tételét.

• Az egyetlen ortogonális csoport, amelynek nem redukálható háromdimenziós ábrázolása van, izomorf az S 4 × C 2 kockacsoporttal szemben . Háromféle hálózattal kapjuk meg, az ℤ 3 összes alhálózatával , ezeket az alhálózatokat az (1, 0, 0), (1, 1, 0) és (1, 1, 1) generálják:

Egy véges csoport fellépése nagyon hasznos volt. A kockaéval izomorf ortogonális csoporttal rendelkező hálózat meglétének megmutatása gyorsabbá és egyszerűbbé válik, amit az ellenkező esetben hivatkozással ellenőrizhetünk. De nem itt rejlik az igazi nehézség. Ennek oka az elemzés teljessége. Minden ortogonális csoportot keresünk. Az a tény, hogy tudjuk, hogy a többi csoport nem rendelkezik a 3. fokozat visszavonhatatlan ábrázolásával, és ezért van egy sík, amely az ortogonális csoport összes izometriája szerint invariáns, lényegében visszahozza a tanulmány többi részét az ortogonális csoportokéhoz. dimenzió hálózatai. Ez a tanulmány azonban már megtörtént.

Egyéb reprezentációk

Most azt feltételezzük, hogy a G ortogonális csoport a 2. dimenzió redukálhatatlan ábrázolását ismeri el, a 3. dimenziót azonban nem, az esetet már kezeljük. A csoport nem abeli, mert az abeli csoport egyetlen redukálhatatlan ábrázolása az 1. dimenzióból áll. A reprezentációkat tulajdonképpen a komplexeken vesszük figyelembe. A G csoport önmagának ábrázolása, ez az ábrázolás szükségképpen a 2. dimenzió stabil terét engedi meg, ami talán összetett. Ortogonálisja a G összes elemének stabil altere , ez az 1. dimenzió ideje. A karakter, amely megfelel a homotetika arányának, amely a G izometriájának korlátozása az 1. dimenzió ezen térén , még mindig valós. Ezt a tulajdonságot a tanulmány a csoport sorrendjében mutatja be. Az 1 dimenziós altér tehát valós, következésképpen a 2 dimenziós is. Ma már tudjuk, hogy van egy terv ℝ Δ 3 stabilak izometrikus G és ortogonális ugyanolyan stabil, és áll a sajátvektorok bármely eleme G . A valódi izometria egyetlen sajátértéke ± 1. Mivel G bármely izometriájának ellentéte van G-ben is , arra következtetünk, hogy 1 a G elemének felének Δ ortogonálján sajátérték, míg a másiknak −1 sajátértéke . Egy másik megjegyzés egyszerűsíti a tüntetéseket:

A Δ és a hálózat metszéspontja kétdimenziós alhálózat : Legyen Σ a G izometriája, amelynek 1. sajátértéke a Δ merőlegesén van, és λ a rács elemének olyan, hogy Σ (λ) különbözik λ-tól. A Σ (λ) és λ ortogonális vetületei a Δ merőlegesén egyenlőek; arra következtetünk, hogy Σ (λ) - λ a Δ eleme. A Δ eleme lehet sajátvektor a G összes izometrikusához , ha az ezen elem által generált és A-ra merőleges vektortér a G bármely elemének két stabil be 3 tere lenne . E két tér derékszöge egy harmadik lenne, és a G összes izometriája átlósítható lenne ugyanabban az alapban, ami a hipotézisekkel ellentétben magában foglalja a G csoport kommutativitását . A Σ (λ) - λ képe egy G izometriájával, amely nem rendelkezik e vektorral a sajátvektor számára, egy második, nem kollináris vektort eredményez, amelynek with (λ) - λ és Δ értéke is van. Ez a két vektor kétdimenziós alhálózatot generál a Δ belsejében.

A nem kommutatív ortogonális csoportot tartalmazó hálózatok szerkezete kezd kialakulni. A hálózat kétdimenziós Δ alhálózatot tartalmaz, így ennek az alhálózatnak az ortogonális csoportja nem kommutatív. A Δ derékszögén a csoport fele identitásként, másik fele ellentétként viselkedik. Egy utolsó megjegyzés hasznos: csak a 2. rend elemeit tartalmazó csoport (a semleges elem kivételével) kommutatív.

Most felsorolhatjuk a különböző nem kommutatív ortogonális csoportokat. Két részre oszthatók, azokra, amelyek a 3. és a 4. sorrend egyik elemét tartalmazzák.

• Három nem kommutatív ortogonális csoport különbözik a kocka csoporttól: D 12 × C 2 , D 12 és D 8 × C 2  :

Kezdjük a 3. sorrenddel.

A kockacsoport kivételével pontosan két ortogonális csoport létezik, amelyek egy 3. rendű elemet tartalmaznak : D 12 × C 2 és D 12  : Tekintsük a 3. sorrend forgatását; tengelye szükségszerűen Δ derékszögű, mert ennek a forgatásnak nincs más megfelelő egyenes. Legyen α nem nulla eleme Δ-nak és kisebb normának; a hatszögletű rács vizsgálata a 2. dimenzióban azt mutatja, hogy az α képei a k π / 3 szög összes forgatásával Δ-ban vannak. Mint korábban, β-vel jelöljük az α képét a π / 3 szög elforgatásával. Csak a γ, a hálózat nem nulla pontjának meghatározása, a minimális szabvány és a Δ-n kívüli értékek pontos megismerése a hálózati szerkezet és annak ortogonális G csoportjának pontos ismerete . Mivel γ minimális normális, ezért a Δ-ra merőleges vetülete az α normájának felét sugárzó hatszögben van. Ellenkező esetben ± α vagy ± β kivonásával kapnánk a rács Δ-n kívüli elemét és szigorúan kisebb normát, mint a γ.

• Ha a csoport 6 nagyságrendű ation forgást tartalmaz, G izomorf az A 2 × C 2 iránt és γ a Δ síkra merőleges. Valóban, az az érvelés, amelyet annak bemutatására használtak, hogy a 3. fokozat egyetlen redukálhatatlan ábrázolása sem tartalmaz 6. rendű elemet, azt mutatja, hogy a γ - Θ (γ) vektor Δ eleme, normája szigorúan kisebb, mint az α. Csak egy van: a null vektor. Ha azt mondjuk, hogy a γ - Θ (γ) vektor nulla, azt mondjuk, hogy γ a Θ sajátvektorainak része, amelyek mind a Δ-ra merőleges tengelyen helyezkednek el. A Δ rács ortogonális csoportja az előző eredmények alapján izomorf a D 12-vel szemben . Ezeknek az izometriáknak csak azokat a kiterjesztéseit lehet elérni, amelyek γ képére ± γ értéket adnak. D 12 × C 2 izomorf csoportot kapunk .

• Ha a csoport nem tartalmaz 6. sorrendű ation forgatást, akkor legalább Θ 2 a 2π / 3 szög elforgatását tartalmazza, mert hipotézis szerint van egy 3. sorrendű elem. A hálózat geometriájának megértéséhez szükséges γ megtalálásához. Δ-vel jelöljük a rács nulla nélküli vektorát, minimális normával és merőleges a Δ síkra. Valóban létezik; legyen λ a rács Δ-n kívüli eleme, a rács λ + Θ 2 (λ) + Θ 4 (λ) vektora nem nulla és merőleges a Δ síkra. A család (α, β, δ) a a 3 vektortér alapját képezi, ebben az alapban legyenek ( a , b , c ) γ koordinátái. A γ derékszögű σ vetülete Δ-ben a rács hat egyenlő oldalú háromszögének egyikében található, amelynek egyik csúcsa kiindulási pont, és amelynek oldalainak hossza megegyezik az α normájával. Még ha ez azt is jelenti, hogy módosítjuk a minimális norma hat vektorának egyikét, amelyet α-nak neveztünk, feltételezhetjük, hogy σ a csúcs egyenlő oldalú háromszögében található az origó, α és β, ami azt jelenti, hogy a és b pozitívak és kevesebb, mint 1. Azt is tudjuk, hogy a és b kisebbek, mint 1/2. A Θ 2 (σ) kép egy pont, amely a csúcsok háromszögében helyezkedik el: az origó, −α és β - α. Ezt a helyzetet a 22. ábra szemlélteti. Mivel γ - σ a Θ forgástengelyben van, az σ - Θ 2 (σ) pont a hálózat pontja. Mivel az σ koordinátái az alapban (α, β) kisebbek, mint 1/2, ennek a különbségnek az egyetlen lehetséges értéke α, amely könnyen látható a 22. ábrán. A Θ 2 (σ) = σ - α egyenlet csak egy megoldást ismer be, amelyet σ = 1/3 (α + β) ad meg. Arra a következtetésre jutunk, hogy a legkisebb normától eltérő, nulla nélküli vektor, a Δ-ra merőleges tengely eleme 3γ - α - β, a c együttható pedig 1/3. Más szavakkal, γ = 1/3 (α + β + δ).

A hálózat geometriájának megállapítása után itt az ideje annak ortogonális csoportjának elemzésére. A Δ sík rácsának ortogonális csoportjának minden eleme kétféle módon kiterjeszthető ℝ 3 izometriává  : az egyik, amely δ-t δ-vé alakítja, a másik, amelynek δ-képe −δ. Meg kell vizsgálni, hogy vannak-e olyan kiterjesztések, amelyek a hálózatot változatlanná teszik. Erre a munkára csak a sík ortogonális csoportjának generátorain van szükség, az egyik kettőt veszi figyelembe, Θ és Σ az invariáns α-t hagyó visszaverődés. A γ ortogonális vetülete Δ-nak a image képhez a Θ (σ) pontja ismét megegyezik −Θ 4 (σ) -val , vagyis a β - γ ortogonális vetülete. A 3-dimenziós hálózat invariánsát elhagyó izometriában létezik egyedi extension kiterjesztés: amely β - γ-t asszociál γ-val. A γ ortogonális vetületének Δ képe Δ-n egyenlő Θ −1 (σ) vagy ismét −Θ 2 (σ), vagyis az α - γ ortogonális vetületével. Egy izometriában egyedülálló folytatása van egy izometriának, amely invariánsan hagyja a 3. dimenzió rácsát. Az ortogonális csoport legalább annyi elemet tartalmaz, mint a 2. dimenzió rácsának megfelelője. Ellenben a G izometriájának korlátozása a Δ síkra tagja a kétdimenziós hálózat ortogonális csoportjának, mivel Δ stabil a G összes izometriája . Tehát legalább annyi elem van a 2. dimenziós hálózat ortogonális csoportjában G-ben . A G alkalmazása a Δ rács ortogonális csoportjában egy csoport izomorfizmus. Ezért tudjuk, hogy G izomorf a D 12-vel szemben . A kocka csoport kivételével egyetlen ortogonális csoport van, amely egy 4-es rendű elemet tartalmaz : D 8 × C 2  : Az elemzés az előzőként kezdődik; Δ a axis tengelyével merőleges sík, egy 4-es sorrendű elforgatás. A rács és a Δ nem nulla α pontjának minimális normája van, és β egyenlő Θ (α). Végül, γ a Δ-n kívüli rács és kisebb normál vektora. Mint korábban, ha a γ ortogonális Δ, a csoport a G izomorf a termék az ortogonális csoport a rács a Δ és C 2 . Az előző eredmények azt mutatják, hogy ez a csoport izomorf a D 8 × C 2 -vel szemben . Most azt feltételezzük, hogy γ nincs a Δ derékszögében, és azt találjuk, hogy σ vetülete egyenlő (α + β) / 2-vel, így a ation forgás stabilan hagyja a rácsot. Ha δ a minimális normának a Δ-ra merőleges rácsának nem nulla vektorát jelöli és ugyanabban az irányban, mint γ, akkor azt találjuk, hogy γ = (α + β + δ) / 2. Ezúttal a γ visszaverődése a Δ síkon egyenlő (α + β - δ) / 2-vel vagy ismét α + β - γ-val. A reflexió a G ortogonális csoport része . Még ebben a konfigurációban is kétféle módon lehet meghosszabbítani az izometriát, elhagyva a rács és a Δ invariáns kereszteződését. A G csoport továbbra is izomorf a D 8 × C 2 -vel szemben .

Az abeli ortogonális csoportok esetével még foglalkozni kell. Különösen könnyű, ha tudjuk, hogy a még nem kezelt csoportok csak magában foglaló izometriákat tartalmaznak. Mivel csak egy részt vevő izometriákat tartalmazó csoport szükségszerűen abeli, szerkezetét azonnal megalapozzák.

• Három abeli ortogonális csoport létezik: C 2 × C 2 × C 2 , C 2 × C 2 és C 2  :

Az ortogonális csoport akkor és csak akkor izomorf a C 2 × C 2 × C 2 -hez képest, és csak akkor, ha a G összes elemére három speciális közös jog van . Ilyen csoportot akkor kapunk, ha a hálózatnak van egy ortogonális alapja. A többi geometriát a 2. dimenzióban végzett elemzés általánosításával kapjuk meg a Klein-csoporton.

Az ortogonális csoport akkor és csak akkor izomorf a C 2 × C 2-vel szemben , ha a hálózat nem felel meg az előző geometriák egyikének sem, és létezik egy megfelelő vonal, amely közös az ortogonális csoport összes elemén. Például akkor kapjuk meg, ha van alapja annak, hogy az egyik vektor merőleges a másik kettővel. A többi geometriát az előzőhöz hasonló megközelítéssel kapjuk meg.

Ha az előző geometriák egyike sem felel meg a rács geometriájának, akkor annak ortogonális csoportja csak az azonosságot és ellentétét tartalmazza, akkor izomorf a C 2-vel .

Kiváló méretek

Minél jobban növekszik a dimenzió, annál kényesebbé válik a kérdés. A 4. dimenzió esetét továbbra is ugyanazokkal az eszközökkel kezelhetjük, mint a 3. dimenzió esetét. Ha tehát a módszerek lényegében egy véges csoport reprezentációjának elméletéből származnak, akkor egyre több olyan tétel jelenik meg, amelyekre már nincs szükség.

Ezeket az ortogonális csoportokat azért tanulmányozzák, mert a tudás más ágai számára nem hiányoznak a vonzerők. Lehetővé teszik bizonyos véges csoportok képviseletét, és számos módszert kínálnak ezek tanulmányozására. Így JH Conway találja 3. között az utolsó hiányzó csoportok teljes besorolás a véges csoportok. A használt hálózat a 24. dimenziós, és a Leech nevet viseli . Egy másik híres eset a Monster csoporté , a legnagyobb a 26 szórványos csoport közül . Megépítését megelőzően tíz éve jelentették be létezését. Ennek egy 196883 fokú reprezentációból kellett származnia, amelyet sejtettek és megmagyaráztak számítógép segítsége nélkül. Le kell zárnia a véges egyszerű csoportok osztályozását. Hálózatot használnak.

A matematika egyéb ágai egy hálózatot használnak. A  hálózati elemzés XIX . Századi keresleti dimenziójában kidolgozott elliptikus görbék vizsgálata 2. Ez a tanulmány az abeli függvények elmélete által magasabb dimenziókra általánosít .

Használ

Covolume

A koncepció érdeklődésének illusztrálása az algebrai számelméletből , pontosabban az aritmetikai geometriából származik . Ha K a ℚ mező n fokának véges kiterjesztése , akkor algebrai egész számainak gyűrűjét azonosíthatjuk egy szabad dimenziójú n ℤ modulussal . A ℚ véges kiterjesztése egy véges dimenziós ℚ- vektortér, és a ℂ részmezőjeként tekinthető meg. Az algebrai egész szám az a szám, amely egy egység polinom gyökere, amelynek co együtthatói vannak. Egyszerű példa erre a Gauss-értelmezések mezője , vagyis az a + i b alak számai , ahol a és b ℚ elemei, i pedig a képzeletbeli egység . A algebrai egészek az ezen a területen, az úgynevezett Gauss egészek , a számok a formájában egy + i b , ahol, ebben az időben, egy és b elemei ℤ. A hálózat pontjait a 23. ábra a sötétkék rács metszéspontjaival ábrázolja.

Ez a vízió számos számtani helyzet geometriai értelmezését teszi lehetővé. Mi lehet értelmezni, mint például az a tény, hogy a hányadosa a gyűrű egy olyan al-hálózat M azonos méretű (például egy nem nulla ideális ), véges és egyenlő az abszolút értéke a meghatározó a alapján M egy alapban a . Ezt a tulajdonságot, amely bármely másodfokú mező algebrai egész számának gyűrűjére vagy általánosabban egy számmezőre érvényes , egy elemi számítás bizonyítja. Geometriai értelmezése abból áll, hogy a hálózat azon pontjainak száma, amelyek az alhálózat egyik alapvető tartományához tartoznak, megegyezik ennek az alapvető tartománynak a térfogatával, ha az A alapját ortonormálisnak tekintjük .

A 23. ábra ezt az értelmezést szemlélteti, amikor M az α = 2 + i algebrai egész szám által generált fő ideál Gauss egész számokban, vagyis az alhálózat pontjai bármely Gauss-szám α szorzatai. A bázis a hálózati A , hogy B = (1, i ), egy bázis az al-hálózat M = α A jelentése α B = (α, α i ) = (2 + i , -1 + 2 i ). Ezt az alhálózatot az ábra zöld pontjai képviselik. A hányadosgyűrű ekvivalenciaosztályát geometrikusan ábrázolja a zöld hálózat eltolása , és amely a rács egy pontját tartalmazza, például egy osztályt a kék pontok szemléltetnek. Minden osztály egy reprezentánst tartalmaz a koordinátavektorok vörös zónájában, amely a bázisban a [0, 1 [intervallumban (2 + i , –1 + 2 i ) szerepel. A számú Gauss egészek (hálózati által képviselt sötétkék rács) található ezen kulcsfontosságú területe egyenlő az abszolút érték a meghatározó a bázis -aB az M a bázis B A A . Ezt a meghatározót (a Gauss-egészek példájánál mindig pozitív, de más algebrai egész gyűrűkben néha negatív) az α aritmetikai normájának nevezzük . Egy gyors számítás megmutatja, hogy a Gauss a + i b egész számának számtani normája egyenlő a 2 + b 2 -vel . A választott példában az alapvető tartományban lévő Gauss-egészek száma valóban egyenlő 5-vel, a 2 + i normával .

A 24. ábra egy hasonló példát mutat be a 3. dimenzióban. A gyűrű (amelynek pontjait kis gömbök képviselik) itt ℤ [ 3 √ 2 ], B alapja = (1, 3 √ 2 , 3 √ 4 ) ortonormálisnak tekinthető, és a M ideális ideált (amelynek pontjai pirosak) α = 2 generálja. Az M alhálózat alapvető tartománya a vörös kocka, amely azokból a pontokból áll, amelyek koordinátái az M 2 B bázisában [0, 1 [(azaz amelynek B koordinátái a [0, 2 [) -hez tartoznak). Térfogata, amely megegyezik az α normájával, vagyis 2 3 = 8 (a 2. dimenzió dilatációjának meghatározója a 3. dimenzióban), valóban megegyezik a hálózat vörös kockához tartozó pontjainak számával. Minden osztály a hányados A / M = A / (2 A ) képviseli az egyik ilyen 8 pont: ha β bármely pontján Egy , ez kongruens, modulo 2 Egy , az a pont, amelynek koordinátái maradékokat (0 vagy 1) euklideszi osztás a β 2-vel .

Ezt az eredményt össze kell hasonlítani Pick tételével, amely a 2. dimenzióban jelzi a P- polipban, amelynek csúcsai a rács elemei, a rács pontjainak száma és a politóp felülete közötti kapcsolatot. Az n dimenzióban az általánosítást az Ehrhart-polinom  (en) segítségével kapjuk meg .

Konvex készlet

Minkowski-tétel kimondja, hogy egy szimmetrikus domború tekintetében a származási és a térfogata nagyobb, mint 2 N V a ℝ n szükségszerűen találkozik egy nem nulla pont a hálózati covolume V . A 26. ábra n = 3 esetén szimmetrikus konvexet mutat az origóhoz képest, ezért térfogata kisebb, mint a térfogat 8-szorosa, mivel csak a kiindulási helyen találkozik a hálózattal.

A részletes cikk több bizonyítékot is felajánl, amelyek közül az egyik értelmezhető az alapvető tartomány torus formájában történő ábrázolása szempontjából. Az n = 2 konvex C értéket , amelyet zöld színnel mutat a 25. ábra, térfogata nagyobb, mint 4 V ; ennek a domborúnak a képe az 1/2 arányú homotetikával nagyobb térfogatú, mint a tórusé. Ezt a konfigurációt a 25. ábra szemlélteti. A kanonikus morfizmus restriction n- ről ℝ n / Λ-re történő korlátozása nem lehet injektív, mert különben a ℝ n / Λ olyan kötetet tartalmazna, amelynek mértéke szigorúan nagyobb lenne, mint a sajátja. Ezért két olyan pont van X és Y, amelyek morfizmussal azonos képpel bírnak, vagy akár X - Y a Λ eleme. Vagy X és - Y a (1/2) C elemei, és ( X - Y ) / 2 is, ezért X - Y a C eleme . Az a zóna, ahol a morfizmus nem bijektív, a 25. ábrán szürke színnel van feltüntetve. A morfizmus képe a tórus szürke zónája, amelyet az ( lásd fent ) bekezdés szemléltet az alapterületen .

Ezt a tételt alkalmazzák például a Dirichlet-egységek tételének megállapítására , tisztázva az algebrai egész számú gyűrűk egységeinek csoportjának szerkezetét .

Algoritmikus problémák a hálózatokban

Diszkrét halmazt alkotó hálózat bármely hálózatban létezik rövidebb, nem nulla vektor. Ez a vektor nyilvánvalóan attól a normától függ, amellyel a tér biztosított. Ez a probléma (amelyet gyakran SVP-nek hívnak, az angol legrövidebb vektorprobléma alapján ) NP-nehéz az euklideszi norma esetében . Más szokásos szabványok esetében semmi sem ismert, de feltételezhető, hogy a problémát legalább olyan nehéz megoldani.

A kapcsolódó inhomogén probléma abban áll, hogy egy vektor és egy hálózat megkapja az adott vektorhoz legközelebb eső vektort. Gyakran hívják CVP-nek (az angol Closest Vector Problem -ből ), és az euklideszi standard szempontjából NP-difficile is.

Egyes bázisok jobban megfelelnek, mint mások a hálózatban való munkavégzésnek, mert rövid vektorokból állnak, és ezért lehetővé teszik a hálózat adott pontja körüli helyi járást. Csökkentett bázisoknak nevezzük ezeket a módszereket, hálózati kivágásokat  (be) . A redukcióknak többféle elképzelése van, de a Lenstra, Lenstra és Lovász által kitalált LLL redukciónak megvan az az előnye, hogy polinomiális időben kiszámítható az LLL algoritmus által . Ennek az algoritmusnak, amely meglehetősen rövid vektorok alapját képezi, többféle alkalmazása van, különösen a nyilvános kulcsú kriptográfiában .

Hivatkozások

1. Ez a meghatározás nagyon általános. Vö. Például C. Lamy-Bergot, az ENST (2000) doktori értekezése [PDF] , fejezet. 1: „A pontok hálózata” .
2. További részletekért lásd például a "Számok geometriája" fejezet elejét a Wikiverzióról .
3. Részletes magyarázat megtalálható a "Kristályrácsok a valós és a kölcsönös térben" [PDF] című , szilárdtestfizikai tanfolyamon az EPFL-nél .
4. S. Norvez és F. Tournilhac, „Color jelenségek ásványok és drágakövek” , ESPCI lásd p.  2 a kristálytér elmélete.
5. J. Huheey, E. Keiter és R. Keiter, Szervetlen kémia , De Boeck, 1996 ( ISBN  2804121127 ) , p.  266 .
6. (in) Mr. Aroyo, U. Müller és H. Wondratschek, Történelmi bevezetés , Nemzetközi kristálytáblák, 1. évf. A1, Springer, 2006, p.  2-5
7. A 7 csoportot és 14 hálózatot szemlélteti az oldal: (en) S. Rosen és J. Adler, A tizennégy Bravais-rács , Technion , 2003.
8. G. Delafosse, New természetesen ásványtani , Roret 1860.
9. A következő dokumentum a kocka csoportjára korlátozódó elemzést javasol: C. Squarcini, "A kocka izometriáinak csoportja" , a belső összesítés előkészítésének dokumentuma .
10. Ellenőrizheti például R. Bédard tanfolyamjegyzeteit: „  Csoportok ábrázolása, fej. 4  ” , az UQAM- on , p.  29.
11. (in) JH Conway , "  A 8 315 553 613 086 720 000 rendű tökéletes csoport és a pusztán szórványos csoportok  " PNAS , n o  61., 1968. o.  398-400 .
12. [PDF] "Véges csoportok ábrázolása, karakterelmélet" , az École politechnika tanítása, p.  5 .

Lásd is

Kapcsolódó cikkek

• Hálózat  : diszkrét részcsoportja véges térfogat co , egy lokálisan kompakt csoport
• Hálózat (modul  )

Külső linkek

• PQ Nguyen, A számok geometriája a Gausstól a titkos kódokig , az ENS Ulm és a Denis Diderot Egyetem
• Bravais hálózatok , Le Mans-i Egyetem

Bibliográfia

• (en) Enrico Bombieri és Walter Gubler, Heights in Diophantine Geometry , New Math. 4. monográfiák , Cambridge University Press , 2006 ( ISBN  978-0-52171229-3 )
• M. Fetizon, H.-P. Gervais és A. Guichardet, A csoportok elmélete és reprezentációik. Alkalmazás molekuláris spektroszkópiára , Ellipses , 1987 ( ISBN  978-2-72988759-9 )