Nukleáris tér

A matematikában , pontosabban elemzésben , a magtér egy topológiai vektortér, amelynek bizonyos tulajdonságai analógak a véges dimenziós terekével . A topológiát lehet meghatározni egy család a félig-normák , a méret a készülék golyó amelyek gyorsan csökken. Vektorterek, amelyek elemei bizonyos értelemben "simaak", gyakran nukleáris terek; Tipikus példa a rendszeres funkciókra egy fajta kompakt változatban . Bár definíciójukat köztudottan nehéz manipulálni, a terek ezen osztálya fontos a funkcionális elemzés során .

A nukleáris terek elméletének nagy részét Alexandre Grothendieck dolgozta ki szakdolgozatának részeként, és az 1952-es Nicolas Bourbaki szemináriumon mutatták be , majd 1955-ben publikálták.

Definíciók

A következő három meghatározás egyenértékű. Egyes szerzők korlátozóbb meghatározást használnak, azt kérve, hogy a tér legyen egy Fréchet-tér is, vagyis teljes legyen, és topológiáját egy megszámlálható félnorma- család határozza meg .

Először emlékeztetni arra, hogy a helyi konvex topologikus vektortér V egy topológia által meghatározott család félig normák . Bármely félnorma esetében a zárt egységgolyó zárt , domború és szimmetrikus szomszédsága 0 ; fordítva, bármely ilyen 0 tulajdonsággal rendelkező szomszédság valamilyen félnorm egységgömbje (összetett vektorterek esetén a „szimmetrikusnak lenni” feltételt fel kell cserélni a „ kiegyensúlyozottnak ”). Ha p egy félig-norma fölött V , mi jelöljük V p a Banach tér kapott quotienting és kitöltésével V erre félig norma p . Létezik egy kanonikus (nem feltétlenül injektív ) Térkép származó V és V p .

1. meghatározás : A nukleáris tér egy lokálisan konvex topológiai vektortér, amely bármely folytonos p félnorma esetén létezik egy nagyobb folytonos q félnorma, így az V q és V p közötti kánonikus térkép nukleáris (en) .

Ez lényegében azt jelenti, hogy egy félnorm egységgömbjét figyelembe véve találhatunk egy másik félnormát, amelynek egységgömbje ebben a normában található, és "sokkal kisebb", vagy akár mindennél több. "sokkal kisebb" környék. Nem szükséges ellenőrizni ezt a feltételt az összes félstandard esetében, csak a topológiát létrehozó halmazra , vagyis a topológia előbázisára .

Ez a meghatározás a Banach-terek átírható szempontjából a Hilbert-terek , ami miatt könnyebben kezelhető, mert egy ilyen hely, a nukleáris létesítmények üzemeltetői nem más, mint a nyom szereplők : azt mondjuk, hogy a félig norma p egy félig szabvány Hilbert ha V p egy Hilbert-tér, amely azt jelenti, hogy p jelentése egy szimmetrikus bilineáris formában (vagy hermitikus formában ) pozitív (de nem feltétlenül meghatározott) a V . Azonban a fenti 1. definíció értelmében bármely nukleáris tér esetében a topológiát meghatározó félnormák Hilbertianusnak választhatók. Ezután megvan a

2. definíció : A nukleáris tér egy topológiai vektortér, amelynek topológiáját egy Hilbert-féle félnormák családja határozza meg, és olyan, hogy e család minden egyes p -normájának p -jéhez létezik egy nagyobb q , amelyre l 'kánonikus leképezés V q – V p nyomkövető.

Grothendieck egy belső meghatározást használ (és közelebb áll a kategóriák nyelvéhez ):

Definíció 3 : A nukleáris térben lokálisan konvex topológiai vektor térben Egy olyan, hogy bármilyen helyi konvex topológiai vektor teret B , a kanonikus térképet a (a) projektív topológiai tenzor termék az A és B , hogy azok topológiai tenzor termék egy izomorfizmus , így ugyanazt a kiegészítést eredményezi . $A {\ otimes} _ {{\ pi}} B$ $A {\ otimes} _ {{\ varepsilon}} B$ $A {\ hat {\ otimes}} B$

Tény, hogy elegendő, ha ezt a feltételt kell ellenőrizni az összes Banach terek B , és még az egyedi Banach tér ℓ 1 az abszolút konvergens sor.

Példák

A normalizált vektortér akkor és csak akkor nukleáris, ha véges dimenziós (ha: mert a véges dimenziós térben minden operátor nukleáris; csak akkor, ha: Riesz tömörségtétele miatt ).
A végtelen dimenziójú nukleáris tér legegyszerűbb példája a gyorsan csökkenő szekvenciák C tere (a c = ( c 0 , c 1 ,…) úgy, hogy a p ( n ) c n szekvencia bármely p polinomhoz kötött . Bármely valós s esetében meghatározhatunk egy normát || · || s által: || c || s = szup | c n | n s . Figyelembe véve C s ezen normának a C komplementerét , van egy természetes térkép C s- től C t-ig, ha s ≥ t , és nukleáris, ha s > t +1, lényegében azért, mert az Σ n t - s sorozat abszolút konvergens. Különösen az egyes szabványok esetében || · || t , ezért találhatunk egy másik normát || · || t + 2 oly módon, hogy a C t + 2 alkalmazása C t- re nukleáris, és a C tér tehát valóban nukleáris.
A tér a sima függvények (az osztály $C \infty$ ) egy kompakt osztó nukleáris.
A sima függvények Schwartz-területe ℝ n felett, amelynek minden rendje deriváltja gyorsan csökken, nukleáris tér.
A komplex síkon a teljes függvények tere atom.

Tulajdonságok

Bizonyos értelemben a nukleáris terek nagyon hasonlítanak a véges dimenziós terekhez, és sok tulajdonságuk megegyezik. Így :

A nukleáris tér bármely körülhatárolt része előzetesen kompakt . Ez a tulajdonság a Borel-Lebesgue-tétel nukleáris terekre vonatkozó általánosításának tekinthető .
Az atomterek és a nukleáris terek zárt alterének részterei nukleárisak.
A nukleáris terek sorozatának induktív és projektív határa nukleáris.
Az erős kettős a nukleáris Fréchet tér nukleáris (pontosabban Fréchet tér nukleáris akkor és csak akkor, ha az erős dual nukleáris).
A nukleáris űrcsalád terméke nukleáris.
A nukleáris tér befejezése nukleáris (ráadásul egy tér akkor és csak akkor nukleáris, ha befejeződik).
A topológiai tenzor termék (en) két nukleáris terek nukleáris.
Bármely teljes (vagy akár csaknem teljes) hordós tér , amely nukleáris, egy monteli űr .
Bármely nukleáris tér egy Schwartz-tér (a kifejezés általános értelmében) .

A hengeres mértékek közül (in) gyakran könnyű önkényes topológiai vektorterekre építeni, de a gyakorlatban nem használhatók, mert általában még csak számszerűen sem additívek . Másrészt a nukleáris Fréchet-tér kettősének bármilyen hengeres mérése (természetesen) kiterjed Radon-méréssé .

A Bochner-Minlos-tétel

Azt mondjuk, hogy egy folyamatos funkcionális C felett egy nukleáris térben Egy olyan jellemző funkcionális , ha C (0) = 1, és ha minden véges szekvenciáit komplexek és vektorok az A , J = 1, ..., n , van $z_ {j}$ $x_ {j}$

\ sum _ {{j = 1}} ^ {n} \ sum _ {{k = 1}} ^ {n} z_ {j} {\ bar z} _ {k} C (x_ {j} -x_ { k}) \ geq 0.

Adott egy jellegzetes funkciós on Egy , a Bochner-Minlos tétel (mivel a Salomon Bochner és Robert Adol'fovich Minlos (en) ) garantálja a létezése és egyedisége a valószínűségi mérték $μ$ a duális tér $A "$ , mint például a

C (y) = \ int _ {{A '}} e ^ {{i \ langle x, y \ rangle}} ~ {\ mathrm d} \ mu (x).

Ez kiterjeszti az inverz Fourier-transzformációt nukleáris terekre.

Különösen, ha A a nukleáris tér , ahol a $H$ $k$ Hilbert-terek, a Bochner-Minlos-tétel garantálja a jellemző funkcióval rendelkező valószínűségi mérőszám létezését, vagyis a Gauss-mérés meglétét a kettős téren; ezt a mérést az úgynevezett fehér zaj mérését . Ha A a Schwartz-tér, a megfelelő véletlenszerű elem véletlen eloszlás . ${\ displaystyle A = \ bigcap _ {k = 0} ^ {\ infty} H_ {k}}$ $e ^ {{- {\ frac 12} \ | y \ | _ {{H_ {0}}} ^ {2}}}$

Megjegyzések és hivatkozások

(fr) Ez a cikk részben vagy egészben venni a Wikipedia cikket angolul című „ Nukleáris tér ” ( lásd a szerzők listáját ) .

A. Grothendieck, „ Topológiai tenzortermékek és nukleáris terek ”, Bourbaki szeminárium , vol. 2 (1951-1954),1952. december, P. 193-200 ( online olvasás ).
A. Grothendieck, „ Topológiai tenzortermékek és nukleáris terek ”, Mem. Am. Math. Soc. , vol. 16,1955.
A lineáris operátor $A: V \to W$ két Banach terek azt mondják, hogy a nukleáris , ha felírható a (a topológiai kettős a $V$ ) és . ${\ displaystyle A (x) = \ összeg y_ {n} (x) x_ {n}}$ ${\ displaystyle x_ {n} \ W-ban, y_ {n} \ V-ben '}$ ${\ displaystyle \ sum \ | x_ {n} \ | \ | y_ {n} \ | ~ <~ \ infty}$
A határolt üzemeltető $A: V \to W$ két Hilbert terek mondják , hogy nyomon , ha , ahol egy Hilbert alapján a $V$ . ${\ displaystyle \ sum _ {i \ in I} \ langle (A ^ {*} A) ^ {1/2} (e_ {i}), e_ {i} \ rangle ~ <\ infty}$ $(e_ {i}) _ {{i \ I}} -ban$
(a) Helmut H. Schaefer (de) , topológiai vektor terek , New York, Springer al. " GTM " ( n o 3)1999, 2 nd ed. ( ISBN 978-0-387-98726-2 , online olvasás ) , p. 102.
Ez a topológiai kettős , az egységes konvergencia topológiájával ellátva a tér bármely korlátozott részén .

Lásd is

Bibliográfia

en) IM Gel'fand és N. Ya. Vilenkin (en) , Általánosított függvények - t. 4: A harmonikus elemzés alkalmazásai ,1964( OCLC 310816279 )
(en) Takeyuki Hida et Si Si, Előadások a fehér zajfunkcionálról , World Scientific Publishing, 2008 ( ISBN 978-981-256-052-0 )
(en) TR Johansen, „A Bochner-Minlos-tétel a nukleáris terekre és az absztrakt fehér zajtérre”, 2003, pdf
(en) GL Litvinov , „Nukleáris tér” , Michiel Hazewinkel , Encyclopædia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , online olvasás )
en) Albrecht Pietsch (de) , Nukleáris lokálisan konvex terek , Berlin, New York, Springer , coll. " Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (en) " ( n o 66),1972( 1 st ed. 1965), 192 p. ( ISBN 978-0-387-05644-9 )
(en) AP Robertson és WJ Robertson , Topológiai vektorterek , CUP , al. "Cambridge Tracts matematika" ( n o 53)1964, P. 141
en) François Treves , topológiai vektorterek, terjesztések és magok , Doveri kiadványok ,2007, 565 p. ( ISBN 978-0-486-45352-1 és 0-486-45352-9 , online olvasás )

Kapcsolódó cikkek

C * -nuclear algebra (a)
Bochner tétele