A matematikusok második nemzetközi kongresszusán , amelyet Párizsban , 1900 augusztusában rendeztek , David Hilbert versenyre kelett a francia matematika mesterével, Henri Poincaréval , és bebizonyította, hogy ugyanazok a dolgok. Bemutatta azokat a problémákat, amelyek eddig kordában tartották a matematikusokat. Ezek a problémák voltak Hilbert szerint a XX . Század matematikájának folyamatai , és ma már elmondhatjuk, hogy nagyrészt ez volt a helyzet. A konferencia után kiadott végleges lista 23 problémát tartalmazott, amelyeket ma Hilbert-problémáknak hívnak .
A következő szakaszok röviden bemutatják az egyes kérdéseket.
n ° | A probléma megállapítása | A probléma megoldásának állapota | Megoldás dátuma |
---|---|---|---|
1. sz | A valós számok bármely végtelen részhalmaza a természetes számok halmazával, vagy magával a valós számok halmazával kerülhet bijektációba . | Ez a folytonossághipotézis , amelyet eldönthetetlennek bizonyítottak (sem igazsága, sem hamissága nem bizonyítható) a Zermelo-Fraenkel halmazelméletben , még a választott axióma mellett is . Mindazonáltal ez még mindig a kutatás tárgya a ZFC elmélet kiterjesztése keretében , új axiómák, például nagy bíborosok axiómáinak hozzáadásával . | 1963 |
2 nd | Bizonyíthatjuk-e a számtan következetességét ? Más szavakkal, kimutatható-e, hogy az aritmetika axiómái nem ellentmondásosak? | Nincs egyetértés abban, hogy Gödel és Gentzen eredményei megoldást kínálnak a problémára, amelyet Hilbert megfogalmazott. Az 1931-ben bebizonyított Gödel hiányosság-tétele nem mutatja, hogy a következetesség az aritmetika eszközeivel bizonyítható. Gentzen azonban 1936-ban igenlő választ adott transzfinit ismétlődés útján. | 1936? |
3 rd | Két egyenlő térfogatú poliédert tudunk-e az első poliéderről felosztani poliéderekké, és összerakni őket a második poliéder létrehozására? | Negatívan oldódott meg. A két poliédernek azonos Dehn-invariánsokkal kell rendelkeznie. | 1900 |
4 -én | Határozza meg az összes geometriát, amelynek geodéziája a vonal . | Túl homályos, hogy meghatározzuk, megoldott vagy sem. | |
5 . | Mutassa meg, hogy a Lie csoportok szükségszerűen megkülönböztethetőek. | Megoldani Andrew Gleason , némi értelmezést adni a megfogalmazás. Ha azonban Hilbert-Smith sejtésként értelmezhető (be) , akkor még mindig nincs megoldva. | 1953? |
6 . | A fizika matematikai modellen alapuló axiomatizálása . | Megoldatlan. | |
7 . | Igazoljuk a transzcendencia a számok egy b , és egy algebrai eltérő 0 és 1, és b irracionális algebrai . | Megoldva. Eredmény: a Gelfond-Schneider-tétel bizonyítja . | 1935 |
8 . | Három sejtést mutat:
- a Riemann-hipotézis ; - a Goldbach-sejtés ; - iker prímszámok sejtése . |
Megoldatlan. | |
9 . | Hozza létre a kölcsönösség törvényét a számmezőkben . | Részben megoldott. Abeli esetben az osztályterek elméletének kidolgozása oldja meg . Ha a problémát elég tágan értelmezzük ahhoz, hogy ne abeli (in) eseteket foglaljunk bele , akkor ez megoldatlan marad. | |
10 . | Találjon meg egy algoritmust, amely meghatározza, hogy a Diophantine-egyenletnek vannak-e megoldásai. | Negatívan oldódott meg. A Matiyasevich tétel azt sugallja, hogy nincs ilyen algoritmus. | 1970 |
11- én | Osztályozza a másodfokú formákat együtthatókkal a számmezőkben . | Részben megoldotta a helyi globális elv az Helmut Hasse és Carl Siegel . | a) 1923 (b) 1930 |
12- én | Terjessze ki a Kronecker-Weber tételt az összes számmezőre . | Megoldatlan. | |
13 . | Mutassa meg a hetedik fokú egyenletek megoldásának lehetetlenségét csak két változó folyamatos függvényeinek felhasználásával . | Megoldva. Megcáfolta Vlagyimir Arnold , Andrej Kolmogorov munkája alapján . | 1957 |
14- én | Bizonyos teljes funkciórendszerek végességének bizonyítása. | Negatívan oldódott meg. Ellenpélda, amelyet Masayoshi Nagata épített . | 1959 |
15- én | Hogy létrehozza a bázis a felsorolását kalkulus a Schubert . | Megoldotta Bartel Leendert van der Waerden | 1930 |
16 . | Írja le a valós algebrai görbék elágazásainak relatív helyzetét és egy kétdimenziós vektormező határciklusait . | Megoldatlan. | |
17- én | Mutassa meg, hogy egy pozitív racionális függvény felírható a racionális függvények négyzetének összegeként. | Emil Artin megoldotta . Eredmény: igen. | 1927 |
18 th | a) Van-e olyan poliéder, amely csak háromdimenziós, nem izohéderes burkolatot fogad el? b) Mi a legsűrűbb kompakt gömbköteg? |
a) Karl Reinhardt (de) megoldotta . Eredmény: igen. (b) Megoldotta Thomas Hales . Eredmény: köbös és hatszög alakú egymásra rakás, amelynek sűrűsége hozzávetőlegesen 74%. |
a) 1928. (b) 1998 |
19- én | Bizonyítsuk be, hogy a variációk kiszámítása mindig szükségszerűen elemző. | Megoldva. Eredmény: igen, Bernstein (1904) megoldotta, Ennio De Giorgi és függetlenül és más módszerekkel John Forbes Nash bizonyította | 1957 |
20 . | Van- e megoldás a megfelelő határfeltételekkel történő variációk kiszámításának minden problémájára ? | Megoldva. Fontos kutatási téma a XX . Század folyamán, beleértve a nemlineáris esetek megoldásait is. | XX . Század |
21- én | Igazoljuk, hogy bármilyen bonyolult ábrázolása véges mérete úgy állíthatjuk elő fellépés monodromy egy differenciálegyenlet a Fuchs . | Helmut Rörl oldotta meg a leggyakoribb készítményt. Negatívan oldotta meg Dmitri Anosov és Andreï Bolobroukh. | a) 1957 (b) 1989 |
22 nd | Egységesítheti analitikai görbék segítségével automorphic funkciók (en) . | Megoldotta Paul Koebe és Henri Poincaré . | 1907 |
23 -án | Készítsen egy általános felbontási módszert a variációk kiszámításához . | Megoldatlan. |
A valós számok bármely végtelen részhalmaza a természetes számok halmazával, vagy magával a valós számok halmazával kerülhet bijektációba .
Ez a kontinuum hipotézis a Cantor jelöljük HC. Ennek az eredménynek az lett volna a következménye, hogy a végtelen bíboros, amely közvetlenül követi a megszámlálhatót , a folytonosé .
Kurt Gödel megmutatta, 1938-ban, hogy nem lehetett bizonyítani a tagadás HC ZFC set elmélet - pontosabban: ha ZF koherens akkor ZFC + HC is - és Paul Cohen , 1963-ban, hogy nem lehetett bizonyítani, HC sem (ebben az ugyanazon elmélet): azt mondjuk, hogy ez a sejtés az eldönthetetlen a ZFC elmélet (vagy független tőle). Ami elméletek halmazához vezet ezzel a hipotézissel vagy anélkül.
Mivel úgy vélik, hogy a ZFC elmélet nagymértékben lehetővé teszi a matematika fejlődésének formalizálását a mai napig, a kérdés megoldottnak tűnhet. Azonban további olyan „természetes” axiómák léteznek, amelyek hozzáadják a ZFC elméletét és eldönthetik a kontinuumhipotézist.
Első problémájában Hilbert felidézte egy másik Cantor sejtést, amelynek reményei szerint - kétszer tévesen - hatékony megoldást és az előző megoldását segíti:
A realok halmazán jó rend van.
Ez a megállapítás valóban eldönthetetlen a ZF-ben, de - Zermelo tétel szerint - a ZFC-ben is kimutatható.
Bizonyíthatjuk-e a számtan következetességét ? Más szavakkal, kimutatható-e, hogy az aritmetika axiómái nem ellentmondásosak?
Gödel a hiánytalanság-tételen keresztül 1931-ben megmutatta , hogy ez nem bizonyítható a számtan elhagyása nélkül. Gentzen kimutatta 1936 hogy az összhang aritmetikai abból a tényből, hogy a transzfinit száma ε₀ (en) van meghatározott megalapozott kiújulás .
Két egyforma térfogatú poliédert tudunk-e az első poliéderről felosztani poliéderekre és összerakni őket a második poliéder létrehozására?
Hilbert tanítványa, Max Dehn , 1902-ben nem azt mutatta meg, hogy lehetetlen egy ugyanolyan térfogatú kockát és szabályos tetraédert véges számú, egyenként kettőre osztott poliéderre osztani. Mindennek ellenére a Banach-Tarski paradoxon pozitív eredményt ad erre a kérdésre, ha nem követeljük meg, hogy a köztes darabok polihéderek legyenek, és különösen, ha feltételezzük a választott axiómát .
Határozza meg az összes geometria , amelynek legrövidebb távolság két pont között egy vonal szegmens .
A differenciálgeometria részleges választ adott erre a problémára, bár szigorúan nem tud határozott választ adni.
Mutassa meg, hogy a Lie csoportok szükségszerűen megkülönböztethetőek.
Az 1953-as Gleason - Montgomery (de) - Zippin (en) tétel igenlő választ ad rá.
A fizika matematikai modellen alapuló axiomatizálása .
A relativitáselmélet és a kvantummechanika megjelenése miatt a probléma gyorsan elavult. Mindennek ellenére az elméleti fizika és a matematika egyre közelebb kerül egymáshoz. By axiomatizing valószínűségszámítás , Kolmogorov részben megoldotta ezt a problémát.
Igazoljuk a transzcendencia a számok egy b , és egy algebrai eltérő 0 és 1, és b irracionális algebrai .
A munka Gelfond és Schneider lehetővé tette, hogy megoldja ezt a problémát (lásd Gelfond-Schneider-tétel ), így általánosítva az eredménye, hogy a Gelfond-Schneider állandó , 2 √ 2 , transzcendens. Ezt a tételt Baker általánosította (lásd Baker tétel ).
Ez valójában négy számelméleti probléma, amelyek közül a három leghíresebb:
Igazolja a Riemann-hipotézist ;
bizonyítsd a Goldbach-sejtést ;
demonstrálja az iker prímszámok sejtését .
Az elért eredmények ellenére különösen Deligne (Riemann hipotézis), aki bebizonyította, Weil sejtés , és ehhez megkapta a Fields-érem az 1978 , a Ramaré (Goldbach-sejtés), aki 1995-ben létrehozott, hogy minden egész szám összege hét szám prím legfeljebb , és Chen Jingrun (első ikrek), aki bizonyította, hogy egy végtelen prímszámok p oly módon, hogy p + 2 a termék legfeljebb két fő tényező, még mindig messze van attól, ezeket a problémákat oldotta fenyegető, mint az XXI . Század .
Hozza létre a kölcsönösség törvényét a számmezőkben .
Erre a problémára Artin viszonossági törvénye ad választ, amelyet Emil Artin mutatott be 1927-ben . Ez a tétel gazdagítja a tudás az elmélet osztályú területeken , amelyek fejlesztését segítette elő a bevezetése idels (en) által Chevalley a 1936 .
Találjon meg egy algoritmust, amely meghatározza, hogy a Diophantine-egyenletnek vannak-e megoldásai.
Nem volt addig, amíg a munkáját Church és Turing a 1930 szigorúan fogalmának meghatározására algoritmus. A 1970 , Yuri Matijašević , létrehozó egyenértékűségét rekurzívan felsorolható halmazok és Diophantine készletek , megállapították, hogy egy ilyen algoritmus nem létezhetne.
Osztályozza a négyzetes formák együtthatók a területeken a számok vagy a saját gyűrűk az egész .
A Hasse-Minkowski tétel megoldja a problémát a ℚ-n, Siegel pedig néhány egész számgyűrűre megoldotta a problémát .
Hosszabbítsa meg a Kronecker-Weber tétel az Abel-bővítmények tetszőleges számú mezőt .
Mutassa meg a hetedik fokú egyenletek megoldásának lehetetlenségét csak két változó folyamatos függvényeinek felhasználásával .
Vladimir Arnold cáfolta ezt a sejtést 1957-ben, Kolmogorov munkája szerint azzal , hogy általánosabban kimutatta, hogy egy véges számú változó bármely folyamatos függvényét két változó folyamatos függvényeinek összetétele fejezi ki .
Másrészt a hetedik fokú egyenlet két változó analitikai függvényeivel való oldhatóságának kérdése még mindig nyitott.
Bizonyítsa be a funkciók teljes komplett rendszerének végességét.
A probléma a következő: vesszük egy mezőt k és egy részterület K a k ( X 1 , ..., X n ); mi meg R = k [ X 1 , ..., X n ]; A K ∩ R gyűrű véges típusú k -algebra? A válasz pozitív n = 1 vagy 2, például Oscar Zariski kimutatta 1954 (aki a következő geometriai értelmezése: létezik egy projektív különböző X mezők funkciók K és hatékony osztó D az X , hogy a K ∩ R jelentése a K függvénykészlete, amelynek csak R pólusai vannak ). A Hilbert eredményének érvényességéhez szükséges feltételek keresése nagyon eredményes ötleteket eredményezett a geometriában.
Nagata 1959-ben adott egy ellenpéldát, amely cáfolta a sejtést.
Hogy létrehozza a bázis a felsorolását kalkulus a Schubert .
Kérdés, hogy szigorúan bizonyos számításokat végezzenek a metszés (in) elméletében az " általános helyzetben " lévő objektumokról , különös tekintettel a "számok megőrzésének elvére". Ez a probléma Samuel és Grothendieck sokaságának elméleteihez vezetett .
Megoldható van der Waerden a 1930 .
Ennek a problémának két része van. Az első egy algebrai görbe valós ágainak (oválisainak) számát és elrendezését érinti; sok modern eredmény ( Petrovskii , Thom , Arnold ) ad információt róluk.
A probléma második része felveti a Poincaré-határciklusok (izolált periodikus pályák) maximális számának és kölcsönös helyzetének kérdését egy adott fokú síkpolinomiális differenciálegyenlet esetén; ez a kérdés még mindig nyitott.
Mutassa meg, hogy egy pozitív racionális függvény felírható a racionális függvények négyzetének összegeként.
Megoldható Emil Artin a 1927 . A modellelmélet bizonyítékát Abraham Robinson logikus találta meg .
Szerkesszünk egy euklideszi térben és egybevágó poliéder .
A problémának három része van:
Bizonyítsuk be, hogy a variációk kiszámítása mindig szükségszerűen analitikus.
Megoldotta Bernstein , Ennio De Giorgi és John Forbes Nash .
Tanulmányozza a parciális differenciálegyenletek határproblémáinak általános megoldását!
Igazoljuk, hogy bármilyen bonyolult ábrázolása véges mérete úgy állíthatjuk elő fellépés monodromy egy differenciálegyenlet a Fuchs .
Megoldható Helmut Rörl a 1957 .
Egységesítheti analitikai görbék segítségével automorphic funkciók (en) .
Megoldható Paul Koebe és Henri Poincaré a 1907 .
Készítsen egy általános felbontási módszert a variációk kiszámításához .
2000-ben Thiele Rüdiger matematikatörténész David Hilbert jegyzeteiben felfedezte, hogy Hilbert eredetileg egy másik probléma, a huszonnegyedik hozzáadását tervezte, amelyet végül kihagyott a listájáról. Bizonyos demonstrációk egyszerűségére - vagy a maximális egyszerűség bemutatására - vonatkozó kritériumok meghatározása volt a kérdés. A matematikus egy általános elmélet kidolgozására törekedett a matematika demonstrációs módszereiről. Paradox módon néhány évvel később maga alapította a Bizonyítás elméletét .