A matematika , K- algebrai elmélet egyik fontos ága homological algebra . Célja az, hogy meghatározza és alkalmazza a szekvenciát a funktorok K n a kategóriában a gyűrűk , hogy , hogy a Abel-csoportok . Történelmi okokból a K 0 és a K 1 a K n- től némileg eltérõ fogalmakkal van megalkotva, ha n ≥ 2. Ez a két K- csoport valóban hozzáférhetõbb és több alkalmazással rendelkezik, mint a magasabb indexûek. Az elmélet az utóbbi sokkal tovább és sokkal nehezebb számítani, ha csak a gyűrű az egész .
A K 0 ( A ) abeli csoport általánosítja az A gyűrű ideális osztályainak csoportját az A - projektív modulok segítségével . Úgy alakult, az 1960-as és 1970-es -, amelyben a „ sejtés a Serre ” projektív modulok lett a tétel Quillen-Suslin (in) - és összefüggésbe hozták a sok más klasszikus algebrai problémák. Hasonlóképpen, a K 1 ( A ) csoport az egységek csoportjának módosítása az elemi mátrixok felhasználásával ; fontos a topológia , különösen akkor, ha A jelentése egy csoport, gyűrű , mert a hányados csoport , a Whitehead csoport (en) , tartalmazza a Whitehead torziós (en) , használt egyszerű homotopy elmélet és a műtét . A K 0 ( A ) csoport más invariánsokat is tartalmaz , például a finitási invariált . Az 1980-as évek óta az algebrai K- elméletnek egyre több alkalmazása van az algebrai geometriában . Például a motivikus kohomológia szorosan kapcsolódik hozzá.
Alexandre Grothendieck az 1950-es évek közepén fedezte fel a K- teóriát, mint keretet a Riemann-Roch-tétel messzemenő általánosításának megalapozásához . Néhány évvel később Michael Atiyah és Friedrich Hirzebruch hasonlónak vélték a K topológiai elméletet (in) .
1960-tól kezdve felfedezték a K- csoportok alkalmazását , különös tekintettel a sokszoros műtétre , és sok más kapcsolatot a klasszikus algebrai problémákkal.
Egy kicsit később, egy ága az elmélet üzemeltető algebrák fejlesztették profit, aminek következtében a K -elmélet operátorok (en) , és a KK -elmélet (a) . Az is világossá vált, hogy a K -elmélet is szerepet játszanak az algebrai geometria, az elméleti ciklus (Gersten sejtését): a magasabb K -elmélet csoportok kötődtek ott jelenségek magasabb codimensions , azokat nehezebb megérteni. Elfogni.
A probléma a K- elmélet definícióinak sokféleségével merült fel , amelyek első látásra nem ekvivalensek. A Steinberg munkája szóló egyetemes központi kiterjesztések a klasszikus algebrai csoportok , John Milnor dönt, hogy meghatározza a csoport K 2 ( A ) egy gyűrű egy , mint a központ , izomorf a H 2 (E ( A ), ℤ) , az egyetemes középső hosszabbításának a csoport az E ( a ) által generált végtelen elemi mátrixok a . Van egy természetes bilineáris térképet a K 1 ( A ) × K 1 ( A ) a K 2 ( A ). Abban a különleges esetben, ha a mező k , a csoport a K 1 (k) izomorf a multiplikatív csoport GL (1, k ) , és a számítások szerint Hideya Matsumoto kimutatták, hogy a K 2 ( k ) izomorf a csoport által generált K 1 ( k ) × K 1 ( k ) modulo könnyen leírható összefüggések halmaza .
Ezek alapvető nehézségek végül megoldódott (így a mély és bonyolult elmélet) által Daniel Quillen , aki adott több meghatározása K n ( A ) minden természetes szám n keresztül a plusz építési és Q építése .
A K -csoporttal index 0 és 1 volt az első, hogy felfedezzük, alapján különböző ad hoc leírások , amelyek továbbra is hasznos. A következőkben A egyszálú gyűrűt jelöl .
Minden osztály izomorfizmus az A - projektív modulok véges típusú , felszerelve a direkt összege képez monoid . K 0 ( A ) -ot Grothendieck-csoportjaként definiáljuk .
Bármilyen gyűrű morfizmus A → B ad egy térképet K 0 ( A ) → K 0 ( B ), amely elküldi (az osztály) minden A -module M (projektív és véges típus) M ⊗ A B , ami a K 0 kovariáns functor.
Ha a gyűrű A jelentése kommutatív , tudjuk meghatározni K 0 ( A ) a alcsoport
vagy
az alkalmazás, amely a (az osztály) M társítja rangot A P - ingyenes modul M P (ez a modul valóban szabad, mivel ez egy projektív modul a helyi gyűrű ). Ez az al-csoport az úgynevezett K csökkentett -elmélet indexe 0 a A .
Mi meghosszabbíthatja a meghatározását K 0 egy nem-feltétlenül egységes gyűrű B által tekintve unitarized A = B 1 és a kanonikus morfizmus az egységes gyűrűk A → ℤ. Ezután K 0 ( B ) -t definiáljuk a megfelelő K 0 ( A ) → K 0 (ℤ) = ℤ morfizmus kerneleként.
PéldákVagy én egy ideális az A . Mi határozza meg az érintett „kettős”, mint a következő al-gyűrűt a termék gyűrű A × A :
akkor a relatív K- csoport:
ahol az alkalmazást az első tényezőre vetítés indukálja.
Ez a relatív K- csoport K 0 ( A , I ) izomorf a K 0 ( I ) -hez képest , ahol engem egység nélküli gyűrűnek tekintenek. Az a tény, hogy független A-tól , a homológia excíziós tételének analógja .
K 0 gyűrűHa a gyűrű egy kommutatív, a tenzor termék két projektív modul még mindig projektív, ami indukálja a szorzás így K 0 kommutatív gyűrű, a class [ A ], mint multiplikatív semleges. Ugyanígy a külső termék indukálja a λ-gyűrű (en) szerkezetét . Picard csoport immerses magát a csoport egységek a K 0 ( A ).
Hyman Bass a következő meghatározást adta, amely általánosítja a gyűrű egységeinek csoportját: K 1 ( A ) az általános lineáris végtelen csoport abelianizálva van :
Szerint a Whitehead lemma , a származtatott csoport [GL ( A ), GL ( A )] egybeesik a tökéletes alcsoport E ( A ) által generált elemi mátrixok. A csoport GL ( A ) / E ( A ), az első azonosított és tanulmányozott Whitehead, az úgynevezett Whitehead csoport gyűrű A .
K 1 rokonA relatív K -csoport K 1 ( A , I ) úgy definiáljuk, a „ kettős ”:
Pontos sorrendbe illeszkedik :
Kommutatív gyűrűk
Ha a gyűrű egy kommutatív, tudjuk meg egy morfizmus meghatározására , GL ( A ) a következő csoportból A × egységek A . Ez a térkép eltűnik az E ( A ), ezért átmegy a hányados , és meghatároz egy morfizmus det: K 1 ( A ) → A × , amelynek kernel a speciális Whitehead csoport SK 1 ( A ): = SL ( A ) / E ( A ). Még egy rövid pontos szekvenciafelosztást is kapunk a jobb oldalon ennek hányadosa, amelynek részben Egy × → GL ( A ) által adott felvétele A × = GL (1, A ) a GL ( A ).
Így K 1 ( A ) az egységcsoport és a speciális Whitehead csoport közvetlen összegére bomlik : K 1 ( A ) ≃ A × ⊕ SK 1 ( A ).
Ha A egy euklideszi gyűrű (pl. Kommutatív mező vagy egész számok gyűrűje) vagy félig lokális , akkor az SK 1 ( A ) csoport triviális, és a meghatározó egy izomorfizmus K 1 ( A ) -tól A × -ig . Ez rossz az olyan fő gyűrűt , amely egyike a ritka tulajdonságai euklideszi gyűrűk, amelyek nem általánosítható fő gyűrű. Az ellenpéldák közül Bass 1972-ben és Ischebeck 1980-ban adott elő.
SK 1 ( A ) is triviális, ha A jelentése egy Dedekind subring egy számmező .
Az SK 1 jelentéktelensége úgy értelmezhető, hogy K 1 -et a GL 1 képe generálja . Ha ez nem így van, megtudhatjuk, hogy a K 1- et generálja-e a GL 2 képe . Ez igaz a Dedekind gyűrű, K 1 , majd hozza létre, a képek GL 1 és SL 2 . Tanulmányozhatjuk az SK 2 által az SL 2 által generált alcsoportot a Mennicke szimbólumok (en) felhasználásával . Egy Dedekind gyűrű, amelyben az összes hányadosokat által maximális ideálok a véges , SK 1 egy torziós csoport .
Egy nem kommutatív gyűrű esetében a meghatározó morfizmus általában nincs meghatározva, de a GL ( A ) → K 1 ( A ) térkép helyettesíti azt.
Egyszerű központi algebrákHa egy olyan egyszerű központi algebra egy mezőt F , a csökkentett norma egy általánosítása a meghatározó, így a térkép K 1 ( A ) → F *, és tudjuk meg SK 1 ( A ), mint a kernel. Shianghao Wang (hu) kimutatták, hogy ha a mértéke a A jelentése prím , akkor SK 1 ( A ) triviális, és ez kiterjed az esetben, ha a mértéke squareless . Wang azt is bebizonyította, hogy az SK 1 triviális minden egyszerű központi algebra számára egy számmező felett. Vlagyimir Platonov bármely p prímszámra példákat adott a p 2 fokú algebrákra, amelyek SK 1 nem triviális.
John Milnor meghatározott K 2 ( A ), mint a központ a csoport Steinberg St ( A ) az A . Ez egyben a φ morfizmus magja: St ( A ) → GL ( A ) és az E ( A ) csoport Schur-szorzója, amelyet az elemi mátrixok generálnak.
K 2 (ℤ) = ℤ / 2ℤ és általánosabban, a K 2 a gyűrű egész számok egy test számok véges.
K 2 (ℤ / n ℤ) továbbra is ℤ / 2ℤ, ha n osztható 4- gyel , de egyébként triviális.
Matsumoto tételeA K 2 egy mező határozza meg a Steinberg szimbólumok :
Matsumoto tétele - Bármely k kommutatív mező eseténKönnyen levonhatjuk, hogy bármely véges mező K 2- je triviális.
A K 2 ( ℚ ) kiszámítása kissé bonyolultabb. John Tate bebizonyította
megjegyezve, hogy a bizonyítás, majd ugyanezt a tervet, mint az első bizonyítás Gauss a törvény a másodfokú kölcsönösség .
Ha F egy helyi területen nem archimedesi , annak a K 2 a közvetlen összege ciklusos csoport kész ℤ / m ℤ és osztható csoport K 2 ( F ) m , ahol m jelentése a száma egységgyök az F .
Hosszú pontos szekvenciákHa A jelentése egy Dedekind gyűrű és F annak hányadostest , van egy hosszú pontos szekvenciáját
ahol P fut egész prime eszméket zérus az A .
Másrészt, az összes A és I (ideális a A ), a pontos szekvenciáját, amely hozza játékba a relatív K 1 és K 0 meghosszabbodik:
Csatolás
Van egy kapcsolószer a K 1 értékek K 2 : adott egy ingázó mátrixok X és Y a A , a x és y a háttérben a csoport Steinberg . Az xyx −1 y −1 kapcsoló a K 2 eleme . Ez az alkalmazás nem mindig surjektív .
A fenti expressziós a K 2 kommutatív mező k vezetett Milnor egy meghatározást a „magasabb” K -csoportok, mint a komponensek, az egyes mértékben , a hányadosa a tenzor algebra az az Abel-csoport k × L „két - az a ⊗ (1 - a ) által generált oldalsó ideál a ≠ 0, 1 esetén:
Az n = 0, 1 vagy 2, ezek a K M n csoportok egybeesik a K n csoportok meghatározott alábbiakban , de n ≥ 3, ezek általában különböző. Például bármely véges k mező esetében K M n ( k ) triviális minden n ≥ 2 esetén, míg K n ( k ) csak akkor triviális, ha n páros.
Az a 1 ⊗… ⊗ a n elem K M n ( k ) képét szimbólumnak nevezzük, és { a 1 ,…, a n } -nek jelöljük . Ha m jelentése invertálható egész szám k , van egy olyan alkalmazás
ahol μ m jelöli a csoport m -dik gyökerei az egység egy elkülöníthető kiterjesztése a k . Alkalmazássá bővül
amely ellenőrzi a Milnor K- csoportokat meghatározó kapcsolatokat . A K M n ( k ) -en így definiált ∂ n térképet „Galois-szimbólumnak” nevezzük.
A test étale (vagy Galois ) kohomológiája és a Milnor modulo 2 K- elmélete közötti kapcsolat a Milnor-sejtés , amelyet Vladimir Voevodsky mutatott be . A páratlan prímekre vonatkozó hasonló állítás a Bloch-Kato sejtés (en) , amelyet Voevodsky, Rost (de) és mások demonstráltak .
Néhány év elteltével, amely során különféle összeférhetetlen definíciókat javasoltak a magasabb indexű K- csoportok számára, Quillen adta meg. A kihívás az volt, hogy megtaláljuk a K ( R ) és a K ( R , I ) definíciókat a terek (en) osztályozása szempontjából úgy, hogy R ↦ K ( R ) és ( R , I ) ↦ K ( R , I ) functorok értékekkel egy homotóp kategóriába (a) a terek , és hogy a hosszú pontos szekvenciáját a relatív K -csoporttal egyszerűen a hosszú pontos homotopy szekvenciáját egy fibration K ( R , I ) → K ( R ) → K ( R / I ).
Quillen két konstrukciót adott, a "plusz konstrukciót" és a " Q konstrukciót ", az utóbbit később különböző módon módosították. A két konstrukció ugyanazokat a K- csoportokat adja.
Az n > 0, Quillen meghatározza az n -edik K -csoport az R , mint az n -edik homotopy csoport egy tér alkalmazásával nyert annak plusz (de) építése az osztályozó B GL ( R ) a végtelen lineáris csoport GL ( R ):
Ennek a meghatározásnak az n = 0 esetre történő kiterjesztéséhez elegendő beállítani
mivel B GL ( R ) + ívekkel van összekötve, és K 0 ( R ) diszkrét .
Az épület Q (in) adja ugyanazt az eredményt, mint az épület, de érvényes általános helyzetekben. Ezenkívül közvetlenebb abban az értelemben, hogy az általa előállított K- csoportok definíció szerint funkcionálisak, míg a konstrukció pluszban ez a tény nem azonnal jelentkezik.
Ahhoz, hogy bármely konkrét kategória P , társítjuk a Q kategóriájú P amelynek tárgyak azok a P , és amelynek morfizmusok a M , hogy M ' jelentése az osztályok izomorfizmusokat a diagramok a P az űrlap
ahol az első nyíl megengedett epimorfizmus , a második pedig megengedett monomorfizmus .
A pontos P kategória n- edik K- csoportját ezután meghatározza
ahol 0 jelentése rögzített null objektumot és BQ P jelentése az osztályozó térben a Q kategóriájú P , azaz a geometriai megvalósítás (a) annak ideg . Különösen K 0 ( P ) a P Grothendieck-csoportja .
Ha P- re vesszük a véges típusú projektív R- modulok kategóriáját, ugyanazokat a csoportokat találjuk, mint a plusz konstrukció által definiált K n ( R ). Általánosabban, a K -csoportok egy rendszer X definiáljuk azokat a kategóriában (pontos) a koherens gerendák helyben szabadon a X .
A következő változatot is használjuk: a véges típusú (azaz lokálisan szabad) projektív R- modulok helyett az összes véges típusú R- modult vesszük . Mi gyakran jelöljük G N ( R ) a K -csoporttal így kapott. Ha R jelentése egy szabályos Noetherian gyűrűt , annak G - és K - elméletek egybeesnek. Valójában az R globális dimenziója véges, vagyis bármely véges M típusú R- modul elfogadja a (nem) projektív felbontást P * → M , és egy egyszerű érv lehetővé teszi arra a következtetést, hogy a K 0 ( R ) → G 0 ( R ) bijektív , [ M ] = Σ ± [ P n ]. Megmutatjuk, hogy a magasabb K- csoportok közötti morfizmus szintén bijektív.
A harmadik építési K csoport, amelyek épít S hogy Waldhausen (en) . Kofibrált kategóriákra vonatkozik ( Waldhausen (in) kategóriáknak hívják ), általánosabbak, mint a pontos kategóriák.
Míg Quillen K- algebrai elmélete segített az algebrai geometria és a topológia különféle aspektusainak mélységes megértésében , a K- csoportok kimondottan nehezen számíthatók, kivéve néhány elszigetelt, de érdekes esetet.
A K - gyűrű felső csoportjainak - és az egyik legfontosabb - első számítását Quillen maga végezte el: a véges mezőt, amelynek q elemeit F q jelöli , megvan:
Quillen bebizonyította, hogy a K csoport, amelyek a gyűrű O F egészek egy számmező F vannak véges típusú . Armand Borel a K i ( O F ) és a K i ( F ) modulor torzió kiszámításához használta . Például az F = ℚ, Borel bebizonyította, hogy minden i > 1, a K i (ℤ) modulo torziós van ℤ ha i jelentése kongruens 1 modulo 4 és 0 egyébként.
Nemrég meghatároztuk a torziós alcsoportok K 2 i +1 (ℤ), és a sorrendben a véges Abel-csoportok K 4 K +2 (ℤ), de a kérdések a ciklikussága az utóbbi és a trivialitása a K 4 K (ℤ ) függ a Vandiver sejtését a csoport osztályok a körosztási egészek . Részletesen lásd a " Találd meg Quillen-Lichtenbaum (in) " cikket .
A csoportok K- algebrai elmélet beavatkozni sejtés a különleges értékek (en) az L-funkciók , a készítmény a fő sejtés (en) a nem-kommutatív Iwasawa elmélet és az építési magasabb szabályozók (en) .
A sejtés Parshin (en) előírja, hogy minden fajta sima alatt véges mező, a K magasabb -csoporttal vannak torziós .
Ez a Bass (en) azt jósolja, hogy bármilyen véges típusú ℤ-algebra A , az összes csoport a G N ( A ) vannak véges típusú.