A valószínűségek története

A valószínűség története a szerencsejátékokkal kezdődött . Bár a valószínűségszámítások a középkorban megjelentek bizonyos alkalmazásokban, a valószínűség elméletét csak a XVII . Században dolgozták ki. Valódi formalizmus nélkül alakul ki két évszázadon át a partik híres problémája , az urnák és a játékokból eredő egyéb problémák körül. Ezután megjelenik a XX . Század a klasszikus valószínűségelmélet, amely a mérés és az integráció elméletén alapul . Ez az elmélet azóta számos alkalmazásra kiterjedt.

A tudósok közötti megbeszélések, a művek publikálása és továbbítása bizonyos időkben nehézkes, bizonyos történelmi kérdéseket továbbra is nehéz megoldani; ez a valószínűség-elmélet szerzőségével áll fenn.

Az első felhasználások és ötletek

A valószínűség elmélete a jelenségek bizonytalanságának és kiszámíthatatlanságának matematizálása. A jelenlegi és a jövőbeli helyzet bizonytalanságát először a sorsnak , a természetnek vagy az isteneknek tulajdonították .

Az ókorban a baleset nem maga volt a tanulmány tárgya. De esélye óta használják szórakoztatás szerencsejátékok például játékok kocka agyag jelen lévő ókori Egyiptomban (a XXXII th század ie a I st század ie. AD. ), A mezopotámiai ( III th évezred ie. ), Vagy India ugyanakkor. A tisztesség fogalma már létezett, mivel bizonyos kockákat önként töltöttek be. A kártyák is nagyon jelen voltak, először Kínában , Indiában , Arábiában és Egyiptomban jelentek meg , hogy sokkal később megérkezzenek Velencébe (1377), Nürnbergbe (1380) és Párizsba (1397). Az esélyt a döntéshozatal eszközeként is alkalmazták, például annak eldöntésére, hogy a csapatok milyen sorrendben találkozzanak egy sport során.

Az ókori Görögország filozófusai a bizonytalanság fogalmának meghatározásával foglalkoztak. A valószínűség fogalmát Arisztotelészben ( Kr. E. IV . Század ) a Témák határozzák meg :

"Valószínűek-e azok a vélemények, amelyeket minden ember, vagy többségük, vagy bölcs, és utóbbiak között mindenki, vagy a legtöbb, vagy végül a legnevezetesebb és a leghíresebb megkap."

Arisztotelészben egy véleményt valószínűsít az általánosan elfogadott jellege. Megkülönbözteti a szükségszerűen vagy nagyon gyakran bekövetkező szükséges eseményeket a véletlenszerű , véletlenszerű vagy esetleges események között, amelyek előfordulhatnak vagy nem.

Arisztotelész ezen gondolata volt a kezdeményező a valószínűség fogalmának jobb meghatározására számos szerzőnél. A fordítása Cicero a Topica Arisztotelész ( I st század), valószínűleg így probabilis vagy verisimilis az elképzelés, hogy a valószínűsége, majd összekapcsolják a valószínűsége , amely hatással lesz közben középkor és a reneszánsz egymást követő kommentárok a Arisztotelész munkája . A XIII -én században , a fordítást a Nikomakhoszi Etika az Arisztotelész által Oresme , a kifejezés valószínűsége utal, hogy „a karakter, amit valószínű.”

Néhány durva számítás megjelenik a speciális alkalmazásokban. Az ókori Róma idején értékelték az esélyt az életjáradék értékének eldöntésére , vagyis az egész életre szóló fogadás megkötésére. Ezek a számítások értéktáblákon alapulnak, Ulpian ( III . Század) jogtudósok egy részét megtalálták. Bár a valószínűség fogalma „statisztikai” értelemben még nem alakult ki, megjelenik az első „valószínűségi érvelés”.

A valószínűség modern fogalma

A "kockázat" fogalmának megjelenése a valószínűség tanulmányozása előtt csak a XII . Században jelent meg a Szerződésekkel kötött kereskedelmi szerződések értékelésekor Peter Olivi . Ez a gondolat a középkorban, a XIII . És a XIV . Században fejlődött ki ; ösztöndíjak hoztak létre, hogy biztosítsák a szállítási függ az időjárási ingadozások és a XVI th századi terjedésével a tengeri biztosítási szerződések.

Az első ismert utalást a valószínűség számítás egy egyszerű számítás a vers az Isteni színjáték , amely úgy tűnik, csak a XV th század folyamán a reneszánsz .

Néhány valószínűségi utalás ezután Girolamo Cardano ( franciaul Jérôme Cardan ) 1663-ban megjelent posztumusz értekezésében jelenik meg : Liber de Ludo ALeæ . Tanulmányozza az egy, kettő vagy három kocka kombinációját, amelyek el vannak kötve vagy sem, és feltárja az egyenértékűség vagy az alkalmasság elvét :

"Tehát van egy általános szabály, miszerint figyelembe kell vennünk a teljes kört (azaz az összes lehetőséget), és azon dobások számát, amelyek azt mutatják, hogy hányféle szempontból lehet kedvező eredmény, és ezt a számot össze kell hasonlítani az áramkör többi részével ., és a kölcsönös fogadásokat ebben az arányban kell megkötni, hogy egyenlő feltételekkel lehessen versenyezni. "

Ez a megközelítés a hosszú távú viselkedés intuícióját használja, vagyis a nagy számok törvényének empirikus érzésének felel meg , és gyakoriságnak minősül . A függetlenség fogalmát Cardan ismerte, mivel a valószínűségek szorzását használja.

Az ötletek elterjedtek Olaszországban és Franciaországban, valójában Galileo 1620 és 1718 között írta kis emlékiratát a Sopra le Scoperte de i Dadi kockajátékról , amelyben a dobások felszerelhetőségét feltételezte. Az ekvivalithatóság ezen fogalma később megtalálható Pierre de Fermat és Pierre-Simon de Laplace levelezésében is .

Etimológia a középkorban és a valószínűség

A valószínűség kifejezést a középkorban a jogtudományban használták . Ez a latin "probare" szóból származik, ami azt jelenti, hogy "bizonyítani", így kijelöli a bizonyítékok értékelését egy ítélet során, például bizonyítékokat, nyomokat vagy tanúvallomásokat . 1361-ben a valószínűségek kiszámítása akkor "tudomány volt, amelynek célja az esemény valószínűségének meghatározása". Akkor valószínű egy vélemény, ha "igazság látszatú". Marin Mersenne matematikus ezeket a kifejezéseket használta 1637-ben:

"XXIV. Kérdés: Tudhatjuk-e valós időben, hogy a világ milyen időpontban, melyik napon, melyik hónapban és melyik évben kezdődött, és mikor ér véget?

Az biztos, hogy senki sem tudja kinyilatkoztatás nélkül, melyik évben ... Isten teremtette a világot, mert a legismertebb kronológusok leleményesen beismerték, hogy csak kóstolóra járnak, és csak sejtéseik vannak, vagy valószínűségeik vannak ... "

Valószínű volt az erkölcsi és vallási tekintélyek véleménye . A többi Bartolomé de Medina és a jezsuiták hatására , majd a XVI . Századi XVII . Századi vallási doktrínában valószínűségnek hívták, amelyet "megítélni lehetetlen, a bizonyosság elérése érdekében azt javasolja, hogy tartsa magát a legvalószínűbbhez".

Ezt az erkölcsi teológiát a XVII. E század közepétől kezdve sokat bírálták, mint az erkölcsi relativizmus bevezetését, különösen a janzenisták és Blaise Pascal , aki ráadásul a valószínű matematikai kezelés egyik megalapozója lesz.

A valószínűségelmélet kezdete

Apaság

A valószínűségelmélet valódi kezdete Pierre de Fermat és Blaise Pascal 1654-es levelezéséből származik Antoine Gombaud (Chevalier de Méré néven ismert) ma már híres kérdés témájában : a felek problémája vagy a pontok problémája . „Célja az volt, hogy meghatározza azt az arányt, amely szerint a tétet meg kell osztani a játékosok között, amikor megállapodnak abban, hogy nem fejezik be a játékot, és hogy még mindig nekik kell vállalniuk a győzelmet, egyenlőtlen számú pontot. Pascal adta meg elsőként a megoldást, de csak két játékos esetében; ezután Fermat számára megoldódott, általában bármilyen játékos száma. " ( Hal ). Idézzük a Pascal (1654) párizsi matematikai akadémiához intézett műveit .

1655-ben párizsi tartózkodás után Christian Huygens megtudta ezt a vitát az Académie Parisienne-ben, és 1657-ben kiadta az első értekezését a valószínűségelméletről: De ratiociniis in ludo aleae (kockajátékok érvelése). Frans Van Shootennek címzett levelében, aki értekezését latinra fordította a Mathematische Oeffeningen- ben, a valószínűségelmélet szerzőségét Pascalnak és Fermatnak tulajdonítja:

"Ráadásul tudnia kell, hogy már egy ideje, hogy egész Franciaország leghíresebb matematikusai gondoskodtak az ilyen jellegű számításokról, hogy senki ne tulajdonítsa nekem az első találmány becsületét. nem hozzám tartoznak. "

Mivel az írás, a művek közzététele és az utóbbi terjesztése között bizonyos késedelem volt, a valószínűségelmélet szerzősége nem egyhangú. Ha a publikálás dátuma számít, Huygensé az a megtiszteltetés, hogy a valószínűség elméletének atyjának nevezik, ha azonban az írás dátuma számít, akkor Jérôme Cardané ez a "cím". Cardan rossz hírneve azonban megdöntötte a szerzőséget Pascal és Fermat felett. Leibniz (1646-1716) csak Pascalt, Fermatot és Huygenset idézi; Montmort (1678-1719) Cardant idézi, de korlátozó módon; Montucla (1725-1799), Laplace (1749-1827) és Poisson (1781-1840) csak Pascalt és Fermatot idézi.

Gimbal
Pascal
Hal
Huygens

Az első fejlemények XVIII . Század

A Huygens-i szerződés a valószínűségelmélet egyetlen fontos műve maradt a XVIII . Század elejéig, amelyet egy névtelen szerző 1692-ben fordított angolra, ma John Arbuthnotnak tulajdonítják . Talán azért, mert úgy tűnik, hogy ennek az elméletnek nincsenek alkalmazásai a tudományban.

Huygens első értekezését a valószínűségről szóló több munka követi. Pierre Rémond de Montmort 1708-ban jelentette meg az elsők között: az Esély az esélyességről, amely Newton párját, a kártyajátékok és a felek problémáját tartalmazza. de Fontenelle megdicsérte. A következő problémák merülnek fel a kártyacsomag időtartamát illetően:

„A leütéssel játszott játékok időtartamáról ... Megkérdezzük, mennyi tétet kell fogadni arra, hogy a végtelenségig tartó játék legfeljebb egy meghatározott számú mozdulattal fejeződik be. "

- Esszé , de Montmort , 1713

Itt felismerjük annak valószínűségét ("fogadni"), hogy egy változó ("a játék időtartama") kisebb, mint egy érték ("bizonyos meghatározott szám"), ez az elosztási idő valószínűségének törvényének elosztási függvénye. játék. A „valószínűség” kifejezés azonban még mindig nem jelenik meg az írásokban, más jelentése volt (lásd: Etimológia a középkorban és a valószínűség ). A problémák a játékosok "esélyeinek" vagy "szerencséjének" megfelelően merülnek fel.

Abraham de Moivre megjelent 1718-ban a Hittani esély (angolul) tartalmazó kombinatorikus problémák, beleértve a Stirling formula , feltételes valószínűségek valamint közelítő normális jog által binomiális törvény , ez az első változata a centrális határeloszlás-tétel néven a Moivre-Laplace tétel . A matematikai állítások pontosabbak, de nem használják a jelenlegi formalizmust:

"8. következmény.

Azt a viszonyt, amelyet egy binomiális végtelen hatványában n-vel jelölünk, a legnagyobb tagnak az összes többi összegével rendelkeznie kell, pontosan kifejezi a tört , ahol c, mint korábban, annak a körnek a kerületét jelöli, amelynek sugara egyenlő az egységgel. " ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ frac {a + b} {\ sqrt {abnc}}}}$

Ezzel a típusú állítással de Moivre eljut a normálisnak nevezett görbéhez, de ezt csak közelítésnek tekinti, és nem a normális törvény sűrűségének . Ez a traktátum a valószínűségelmélet legfőbb értekezése marad egészen Laplace 1812-ben megjelent nagy értekezésének megjelenéséig: A valószínűségek elemző elmélete .

A Bernoulli család

Jacques Bernoulli posztumusz műve : Az Ars Conjectandi 1713-ban jelent meg. Foglalja Huygens számításait a különböző kombinatorikai problémákról, különös tekintettel Newton binomiáljára . Az értekezése egy véletlenszerű jelenség becslésének leírását is tartalmazza frekvenciák formájában:

„Amit nem adnak az apriori megszerzéshez, az legalábbis a posteriori, vagyis sok hasonló példa eredményének megfigyelésével kivonható lesz. "

Ez egy esemény valószínűsége és annak megfigyelése közötti kapcsolat, Bernoulli ezt az eredményt „arany tételnek” nevezi. Az ilyen típusú eredmények "nagyszámú törvényének" nevét később valószínűleg a XIX . Században adta Fish . Ez az eredmény azonban a jelenlegi tétel " nagy számok törvénye " elnevezésű általánosított változata .

Nicolas Bernoulli 1711-ben tette közzé doktori disszertációját, amelyben a diszkrét egységes törvény először jelent meg . Daniel Bernoulli 1732 körül tanulmányozta a valószínűségszámítás alkalmazását a biztosítási problémákra, a csillagászatra, a hibakalkulációra vagy a szentpétervári paradoxonra . Ugyanezekben az években Leonhard Euler is hozzájárul a biztosítási ügyekhez. Jean le Rond d'Alembert is vizsgálja a szentpétervári paradoxon , és megállapítja a jelenlegi szabály kiszámításához elvárás egy diszkrét véletlen változó .

Bayes és alkalmazásai

Thomas Bayes 1764-ben posztumusz elhangzott egy Esszé a probléma megoldásához az esélyek doktrínájában című cikkben , amely egy Bayes-tételként ismert képlet feltételes valószínűségeket használó első változata . Ezt a tételt inverz problémának vagy inverz valószínűségnek is nevezik, és sok szerző tanulmányozta, de elsőként ennek az inverz valószínűségi problémának a pontos megfogalmazását Pierre-Simon de Laplace írta 1774-ben az okok valószínűségéről szóló tézisében :

„Feltételezzük, hogy egy pozitív valószínűségű esemény a kölcsönösen kizáró és kimerítő okok bármelyikével elérhető , mind pozitív valószínűséggel. Tehát minden i-re: $\ forgatókönyv E$ ${\ displaystyle \ scriptstyle C_ {i}}$

{\ displaystyle Pr [C_ {i} | E] = Pr [E | C_ {i}] Pr [C_ {i}] {\ big /} \ összeg _ {j} Pr [E | C_ {j}] Pr [C_ {j}]}

. "

A természettudós, Georges-Louis Leclerc de Buffon 1777-ben publikálta az erkölcsi számtan esszéjét, amelyben összefüggések jelennek meg a valószínűségek és a geometria között, különös tekintettel Buffon tűjének problémájára .

A XIX . Század munkája

Joseph-Louis Lagrange 1770 körül kiadott egy emlékiratot, amely a szerencsejáték időtartamának problémáit tartalmazta és folyamatos törvényeket használt . Ezután megkezdődik a valószínűségek folyamatos jellegének figyelembevétele.

A XIX . Század elején, különösen 1812-ben, Laplace publikálta értekezés analitikus valószínűségelméletet , amelyben aszimptotikus eredményeket mutat be, és első munkája a valószínűségi elvek állításainak megkülönböztetése a kísérletet követően megfigyelt valószínűség becsléseitől. Azonban a különbség már megszokott közötti összeg megjelölés és a szerves jele nem volt megfigyelhető idején Laplace. Ezután racionális módszerekkel állítja ezeket az eredményeket az urnák problémáiról : ${\ displaystyle \ scriptstyle \ sum}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ int}$

"Az üres jegyek számának és az urnában szereplő összes jegy számának aránya lehet a 0 és 1 közötti vegyes számok bármelyike."

A „jegyek” számának a végtelenségig történő növelésével Laplace ezután kimondja a központi határtétel első szigorú változatát :

„Látjuk tehát, hogy figyelmen kívül hagyják a végtelenül kicsi mennyiségeket, akkor úgy néz ki, bizonyos, hogy az arány a száma, fehér bankjegyek számát bankjegyek között van a korlátokat és , hogy egyenlő , nagyobb, mint 2, és kisebb 3; ezért feltételezhető, hogy kisebb, mint bármelyik feltett mennyiség. " ${\ displaystyle \ scriptstyle p / (p + q) + w}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle p / (p + q) -w}$ $\ forgatókönyv w$ ${\ displaystyle \ scriptstyle (p + q) ^ {- 1 / n}}$ $\ scriptstyle n$ $\ forgatókönyv w$

Itt a központi határtételt a konfidencia intervallumok közvetítője látja, vagyis megadja az összeg konvergenciájának pontatlanságát a nagy számok törvénye számára kapott átlag felé. A Laplace munka a XIX . Század végéig és a XX . Század elejéig referenciaművek maradnak .

Tanfolyam kezdete

A XVIII . Század végén, 1792 körül, Condorcet Nicolas de politikus és matematikus célja egy valószínűségi tanítás kidolgozása, amely "igazságot ad az embereknek és hozzáférést biztosít a boldogsághoz". 1816 - ban Sylvestre-François Lacroix megjelentette a valószínűségek oktatásának első munkáját Elemi traktátus a valószínűségek számításáról címmel .

Ugyanezekben az években Condorcet közzéteszi a valószínűségek számításának elemeit és azok alkalmazását a szerencsejátékok, a lottó és a férfiak ítéletei során , amelyekben az esélyegyenlőség fogalmát a szerencsejátékokon alapuló kombinatorikus példákban tárgyalja. Anélkül, hogy iskolai könyv lenne, ennek a könyvnek az volt a célja, hogy a matematikát ugyanolyan könnyedén elmagyarázza, mint egy regény olvasásakor.

Amikor a politechnikai iskolát 1794-ben létrehozták, a tanítás Joseph Fourier valószínűségeinek számításával kezdődött . Idézzük François Aragót is, aki a társadalmi számtan tanfolyamán tanította a valószínűségszámításokat.

A kritikusok

A valószínűségelmélet mindig különleges helyet foglalt el a matematika területén. Az 1808-ban létrehozott Párizsi Tudományi Kar nem tartalmazott széket a valószínűségek kiszámításában. Az első széket csak 1834-ben hozták létre.

A valószínűségelméletet először az alkalmazott matematika részének tekintették . Auguste Comte filozófus "a valószínűségek úgynevezett elméletének" nevezi, a pozitivizmus filozófiai áramlata (1830-1845) radikális kritikát fogalmaz meg: "a valószínűség értékelésének állítása tudományos csalás és erkölcsi becstelenség".

A tudomány társítása a véletlen bizonytalanságával több kérdést vetett fel a matematikusok körében: Joseph Bertrand 1900-ban ezt írta: „Hogyan merünk beszélni a véletlen törvényeiről? A véletlen nem az összes törvény ellentéte? ".

Klasszikus valószínűségelmélet

Alapok

A valószínűségelmélet a XX . Század eleje felé indul újra , új fogalmak bevezetésével, mint például a mérések és az integráció.

Axel Harnack 1881-ben vezette be a diszkrét halmaz fogalmát , majd 1882-ben az "egyenlőség általában" fogalmát, amely a szinte bizonyos egyenlőség előfutára . A mérések különböző meghatározásokban jelennek meg Georg Cantor (1884), Giuseppe Peano (1887) vagy Camille Jordan (1892) munkája szerint . De ez az Émile Borel hogy tulajdonítunk a szerző a elmélet mérés bevezetésével készlet intézkedés nulla 1897-ben, és az osztály nyílt részhalmaza, amely azt méri, a hossza a időközönként. Ez az osztály később a " Borelian " nevet viseli . A valószínűségelmélet egyszerűen a méréselmélet egyik ága, saját alkalmazással, amire Joseph Leo Doob később 1953-ban rámutatott . ${\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbb {R}}$

1901-ben Henri-Léon Lebesgue ezt a mértékelméletet használta az integráció elméletének kidolgozásához, amely általánosította a Riemann-integrált . Johann Radon ösztönzésével 1913-ban ezt az elméletet egy törzs által biztosított elvontabb halmazon általánosítják . Ennek az általánosításnak a végét 1930-ban becsülik a Radon-Nikodym-Lebesgue bomlásával és a sűrűségek meglétével . ${\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ scriptstyle \ Omega$

1930-tól Andrei Kolmogorov matematikailag megalapozta a valószínűségek elméletét. 1933-ban kiadta alapvető munkáját: Grundbegriffe des Warscheinlichkeitrechnung a valószínűségek három axiómájának feltüntetésével, amelyek szigorúan és következetesen meghatározzák a valószínűségeket. Jean Dieudonné matematikus később 1977-ben rámutatott, hogy:

„A valószínűségszámítás mint tudományág alig létezett 1933-ig, az integráció modern elméletének részeként; örökölte saját problémáit, sőt nyelvét is az előző három évszázadból, amely során a valószínűségszámítás egy matematikai szempont érvelésének és többé-kevésbé intuitív megfontolásoknak a keveréke volt a véletlen szerepére és értékelésére az emberi viselkedésben vagy a természetes jelenségek. "

Kolmogorov axiomatikája azonban nem nyert közvetlen konszenzust a matematikai közösségben, és csak 1959-ben ismerte el széles körben. Például Gustave Choquet 1962-ben hangsúlyozta, hogy a Bourbaki- csoport bezárta a világ kapuit tanítványai előtt. Az 1960-as években Mark Kac a valószínűségelméletet közelebb tartotta az elemzéshez , a fizikához és a statisztikához, mint a méréselmélethez .

Borel
Lebesgue
Kolmogorov

Ne feledje, hogy a valószínűségelmélet közel áll a statisztikákhoz , különösen a statisztikai adatok felhasználása terén. Ez a két tudomány azonban elkülönül, amint azt Karl Pearson , Egon Sharpe Pearson , Jerzy Neyman , Ronald Aylmer Fisher és William Gosset 1930-as munkája elmagyarázta .

Fejlesztések XX . Század

Központi határtétel

Tekintsük át e központi határtétel felfedezésének fő szakaszait . Abraham de Moivre ennek az eredménynek az első változatát közli 1718-as munkájában (és 1738-ban fordította angol nyelvre) abban az esetben, ha ( Bernoulli paramétertörvényének független véletlen változói eset ). Meg kell jegyezni, hogy De Moivre eredményét nem korlát, hanem közelítés formájában írja. Míg 1810-ben Pierre-Simon de Laplace általánosította és egyértelművé tette ezt a közelítést, addig 1812-ben közzétette az átlagos és a rögzített variancia véletlen változóinak konvergencia tételét. Pafnouti Tchebychev volt az első, aki 1887-ben megfogalmazta a tételt az elosztási függvények konvergenciája formájában, a modern tétel első bizonyítékát Lévy Pál adta 1910-ben, majd Richard von Mises 1919-ben integrált formában közölte az eredményt. név központi határtétel (angolul: központi határtétel angolul) George Polya 1920 munkájából származik , amelyben azt írta, hogy a Gauss-féle valószínűségi sűrűség egy olyan korlát-tételsel nyerhető el, amely központi szerepet játszik a valószínűségelméletben. Ezután a TCL ( angolul CLT ) rövidítést használják. ${\ displaystyle \ scriptstyle p = {\ frac {1} {2}}}$ $\ scriptstyle \ frac {1} {2}$

Sztochasztikus folyamatok

A sztochasztikus folyamat eredete a XX . Század elejéről származik, és bevezetésre kerültek a véletlenszerű időbeli jelenségek modellezésére, például a statisztikai mechanikában . az első fizikusok Willard Gibbs , Ludwig Boltzmann , Henri Poincaré , Marian Smoluchowski vagy Paul Langevin használják őket . Az elméleti alapok később, az 1930-1940-es években jelentek meg , többek között Joseph Leo Doob és Andrei Kolmogorov matematikusok munkájának köszönhetően . A sztochasztikus kifejezés ekkor jelenik meg a görög „stokastikos” -ból, amely jelentése „sejtés”. 1902-ben Andrej Markov a Markov tulajdonsággal megalapozta a véges idejű folyamatok elméletét : a folyamat jövője csak a jelenen múlik, nem a múlton. Ezeket a folyamatokat Markov-folyamatoknak nevezzük . Louis Bachelier, majd Andreï Kolmogorov 1936-ban általánosította ezt a tulajdonságot a folyamatos időfolyamatok érdekében.

Véletlenszerű séták

A véletlenszerű séták eredetét úgy tűnik, Lord John William Strutt Rayleigh-nek és 1880-ban írt cikkének nevezik, amely az egység amplitúdójú és véletlenszerűen elosztott fázisok izoperiodikus rezgéseinek összetétele . Az első könyv az izotrop véletlen bolyongás, hogy a Karl Pearson 1905-ben a véletlen járatok ( random járatok franciául). Ezután következik Pólya György 1921-es értekezése , amelyben a lényeges kérdésekkel foglalkozik: megismétlődés, átmenet , több pont stb. A véletlenszerű sétákat és azok tulajdonságait csoportokra általánosítottuk , idézzük Nicolas Varopoulos 1985-ös munkáját. A csoportokon és grafikonokon végzett véletlenszerű séták munkája ma is folytatódik, idézzük meg azt a 264 referenciát, amelyeket Woess megemlít egy 1994-es átrepülés során .

Brown-mozgás és sztochasztikus differenciálegyenletek

Ennek a folyamatnak a története 1828-ban kezdődik Robert Brown -tól egy folyadékban szuszpendált részecskék mozgásának megfigyelésével. Számos kísérlet után a fizikusok a XIX . Században, hogy elérjék ennek a jelenségnek a matematikai formalizálását 1905-ben és 1906-ban Albert Einstein fizikus által , három alapvető cikkben, amelyek egyik célja Avogadro számának értékelése volt . Ugyanakkor Marian Smoluchowski nagyon hasonló elméletet tett közzé a Brown-mozgásról. Jean Perrin fizikus Einstein munkájával becsüli meg Avogadro számát, amely 1926 -ban fizika Nobel-díjat kapott. Másrészről Theodor Svedberg vegyész 1926-ban megkapta a kémia Nobel-díját Smoluchowski-képlet kihasználásáért. .

Az első matematikus, hogy épített Brown mozgás (vagy inkább a Wiener folyamat ) az Norbert Wiener 1923-ban cikket differenciálmű teret , amelyben összeállít egy intézkedés a tér folytonos függvények , mint annak az idő előrehaladtával növekszik időközönként. Szétbontásait követnek normális törvény jósolta Einstein elmélete. Másrészt Paul Langevin átolvassa Smoluchowski és Einstein megközelítését 1908-ban; munkáját matematikailag 1942-ben formalizálja Joseph Leo Doob . Ez a sztochasztikus differenciálegyenletek (DHS) kezdete . A DHS másik megközelítése Kiyoshi Itō - tól származik ugyanabban az évben 1942-ben, Itô képletével, amely Kolmogorov folytonos idejû Markov-folyamatokkal kapcsolatos munkáját veszi fel.

Tulajdonságokkal rendelkezik ez a folyamat vizsgálták számos szerző, mint a nem-derivability bármely pontján a Wiener folyamat, a Paley-Wiener tétel , a Fourier-Wiener sorozat által Raymond Paley , Norbert Wiener és Antoni Zygmund 1933. Ezek a vizsgálatok Hugo Steinhaus 1930 körüli konstruálása alapján , a Lebesgue-mérést alkalmazó valószínűségek felhasználásával [0,1] intervallumon vagy Andrei Kolmogorov 1933-ban készített axiomatikáján .

A következő lépés az első nagy munka a Brown-mozgásról, amelyet Paul Lévy írt 1948-ban és amelynek címe: Sztochasztikus folyamatok és Brown-mozgás . Megemlíti például a Brown-mozgás megismétlődését a harmadik és magasabb dimenzióban. A Brown-mozgás aszimptotikus viselkedése 1950-ben kezdődik Eugène Dynkine munkájával .

A Brown-mozgással kapcsolatos munka még ma is folytatódik, és lehetetlen lenne valamennyi szerzőt megemlíteni, amint azt Daniel Revuz és Marc Yor 1994-ben megjelent könyvében ötszáz szerző életrajza is bizonyítja .

Martingale

A martingale első elképzelései, vagyis a feltételes elvárás tulajdonságait igazoló folyamat, a szerencsejátékokból származnak Pascal pártok problémájával foglalkozó munkájával . A martingale kifejezés először jelenik meg az 1939-ben megjelent Jean Ville tézisben, amelyben a „játék vagy martingál rendszere” kifejezés jelenik meg. Ezt a nevet vette át egyik riporter értekezés Joseph L. Doob , aki azt könyvében Sztochasztikus folyamatok közzé 1953. Ez a kezdete a XX th században, hogy a martingál hivatalossá matematikailag a munkálatok a Bernstein , Ville , Borel és Doob . Ne felejtsük el, hogy John Hammersley 1967-ben kitett egy tanulmányt a sztochasztikus folyamatokról, amelyek tulajdonságai közel vannak a martingálokhoz. Ezt a típusú Markov-folyamatot különösen a pénzügyi matematikában használják .

Átszűrődés

Az átitatás első példáját S. Broadbent 1954-ben, majd S. Broadbent és John Hammersley tette közzé 1957-ben a percolációs folyamatokban. I. Kristályok és útvesztők mint egy folyadék (folyadék vagy gáz) véletlenszerű közegben történő diffúziójának modellje. A közeget véletlenszerűen áll nyitott vagy zárt csatornák, amely adott Broadbent és Hammersley a gondolatot, hogy a név perkolációs . 1960-ban Ted Harris becslést adott a síkhálózatban a perkoláció (végtelen méretű összekapcsolt komponens) elérésének kritikus értékére . 1980-ban Harry Kesten kiszámította ezt a kritikus értéket. Meg kell említenünk Stanislav Smirnovot is, aki 2010-ben elnyerte a rangos Fields-érmet ezen a területen végzett munkájával. ${\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbb {Z} ^ {2}}$

Alkalmazások

Pénzügyi matematika

A sztochasztikus folyamatok és a Brown-mozgás (lásd fent) megközelítését, amelyet Bachelier tett, és az Itô-képlet használatát különösen a pénzügyi matematikában alkalmazzák, különös tekintettel a d-opciók árainak Black-Scholes modelljére . megadott dátumokat és árakat.

Információelmélet

Claude Shannon és Norbert Wiener 1948-ban függetlenül meghatározzák az információ mennyiségének új meghatározását a kommunikációs mérnöki területen valószínűségi módszerekkel. Shannon megmutatja, hogy a forrás által létrehozott üzenetek száma a Shannon entrópiájának nevezett mennyiség függvénye , John von Neumann irányításával . Wiener a maga részéről a statisztika egy részét idősorokon keresztül veszi figyelembe, mint az információelméletnél és a jelfeldolgozásnál nagyobb területet : a statisztikai fizikát . Ez a megközelítés az 1960-as években megforduláshoz vezetett, amely az információelmélet felhasználásával javasolta a valószínűségi fogalmak újradefiniálását.

A valószínűség törvényei

Bizonyos valószínűségi törvényeket kezdetben egy kísérlet statisztikai eredményeként vagy más törvények aszimptotikus viselkedéseként határoztak meg, ezeket később szigorúan definiáltak.

Cauchy törvénye

Arányos görbe először a XVII . Század közepén jelenik meg Pierre de Fermat műveiben . Ezt követően számos szerző tanulmányozta, például Newton , Leibniz , Huygens , Guido Grandi és Agnesi ; így a XIX E század görbe nevet veszi fel a boszorkány Agnesi . Poisson 1824-ben publikált egy cikket, amelyben Cauchy törvényének sűrűségét használta ellenpéldaként Laplace egyes eredményeire . Néhány évvel később Augustin Louis Cauchy neve társult ehhez a törvényhez, miután Cauchy és Irénée-Jules Bienaymé rövid (1853. Két hónapja) matematikai vita után rövid volt, de intenzív. A vita a Cauchy-interpoláció új módszerére összpontosított, amely eltér a legkisebb négyzetek módszerétől ; érvelésében Cauchy javasolta Cauchy törvényének sűrűségét. Lehetséges, hogy Cauchy nem ismerte Poisson műveit, bár kortársai megemlítik őket, például Bienaymét. ${\ displaystyle \ scriptstyle y = {\ frac {1} {a ^ {2} + x ^ {2}}}}$

Law² törvény

Míg 1838-ban, Irénée-Jules Bienaymé kapott a törvény χ² , mint a határérték diszkrét valószínűségi változók a multinomiális jog , A készítmény ezen chi-négyzet törvény miatt a fizikus Ernst Abbe 1863-ban szerint a statisztikus Oscar Sheynin . Ludwig Boltzmann 1881-ben mutatta be az általános esetet. Karl Pearson 1900-ban használta ezt a törvényt a statisztikákban, mint közelítést a statisztikai tesztekben .

Gamma törvény

A gammatörvény Pierre-Simon de Laplace 1838 - as munkájából ered .

Normális törvény

A normális törvény egyik első megjelenése Abraham de Moivre-nek köszönhető 1733-ban azzal, hogy elmélyítette a faktorial tanulmányozását egy érmefelhajító játék tanulmányozása során . Ő tette közzé tana esélye 1756-ban, amely a szokásos gyakorlat jelenik meg, mint a határérték egy binomiális jog , melyik lesz az alapja a központi határeloszlás tétel . 1777-ben Pierre-Simon de Laplace folytatta ezt a munkát, és Euler Gamma-funkciójának köszönhetően jó közelítést ért el e normális törvény és a binomiális törvény közötti hiba körül . Laplace 1781-ben megjelent munkájában első táblázatot ad erről a törvényről. 1809-ben Carl Friedrich Gauss a csillagászat megfigyelési hibáit a normális törvény sűrűségének úgynevezett hibagörbéjéhez hasonlította. $\ scriptstyle n!$

A normális eloszlást ezután teljesen meghatározzák, amikor az első központi határtételt , amelyet akkor Laplace-tételnek hívtak , Laplace 1812-ben kimondta. "Normális" nevét Henri Poincaré adta a XIX . Század végén. A törvény a Gauss- törvény vagy a Laplace-Gauss-törvény nevet is viseli, attól függően, hogy a törvény létrejöttének milyen szerzői joga van.

A normális törvény mindig tanulmányozott törvény. Például 1948-ban Egon Sharpe Pearson , 1952-ben a Nemzeti Szabványügyi Iroda, 1958-ban Greenwood és Hartley adományozott új numerikus táblázatokat .

Egységes törvény

Az egységes (diszkrét) törvény valószínűleg először jelenik meg Nicolas Bernoulli 1711-ben megjelent doktori disszertációjában .

Oktatás

Bár a valószínűségekre vonatkozó kutatások és elmélkedések már régóta léteznek (lásd: A valószínűség története), a Franciaországban adott valószínűségszámítás első szisztematikus tanfolyama 1786-ban volt az akkor 21 éves Sylvestre-François Lacroix . Ezután egy évig tanított a Lycée- ban Nicolas de Condorcet felkérése és felügyelete alatt . Ez utóbbi felelős Leonhard Euler műveinek fordításáért, és egy, a valószínűségek számításának szentelt kötetet ad hozzá: A valószínűségek számításának elemei és alkalmazása a szerencsejátékokra, a lottón és a férfiak 1805-ben posztumusz megjelent ítéleteire . A valószínűségeket informálisan és természetes nyelven közöljük.

1795-ben Pierre-Simon de Laplace a normál iskolában tanított , Joseph Fourier járt. Később, 1797-ben, Fourier tanította a valószínűséget a politechnika második és harmadik évében , Siméon Denis Poisson ott tanult. A Fourier tanfolyam programja teljes és módszeres, foglalkozik a matematikai szempontokkal és az alkalmazásokkal (lásd alább).

Fourier tanfolyam program bibliográfiával

Szabályok

Valószínűségmérő

Összetett események, valószínűségük kiszámítása Többszörös esély, valószínűségük kiszámítása

Megjegyzések

A tanúvallomások valószínűségéről

A sorsolással történő kizárásokról és a sorsolások sorrendjéről A sorsoláson a játékosok különböző esélyeinek és hamis elvárásainak kiszámítása A kockajátékokra és az ismeretlen egyenlőtlenségek hatására a várható összeg közös értékelésének felépítésében Megjegyzések ennek pontatlanságához szabály

Alkalmazások szerencsejátékokra

A szerencsejátékok pontos elemzése

A játékosok pénzével végződő játékból A szabad gyémántok játékából Néhány egyéb szerencsejáték A páratlan szerencse előnye Annak a valószínűsége, hogy egy adott eseménynek legalább egy bizonyos számú ténye van a javasolt számú mozdulattal Megjegyzés a játék előnyének hatásáról

Különböző alkalmazások

A pénz erkölcsi értékéről és a remélt összegek igazságos értékeléséről

Az összes szerencsejátékból fakadó hátrány Bizonyos ügyletek és különösen a biztosítás kölcsönös előnye A pénzösszegek felosztásának előnye Az ajándék által nyújtott jó és az elosztás hasznossága Az ajándékok Petersburg problémája Megjegyzések a lehetséges egyenlőségről minden esély, a különféle ítéletek és a játékosok illúziói között

A közgyűlések döntései

Választások; a választás különböző módjai. Egyéni szavazás és listás szavazás.

Megjegyzések a döntések valószínűségének általában a módok többségének hiányosságaira, a bíróságok összetételére való alkalmazásra A közgyűlés által választott számra Több kérdés közötti választás

A valószínűségek inverz módszere. Szabályok

Az eseményekből vett okok valószínűségéből mérje meg ezt a valószínűséget

A jövőbeli események valószínűségéből, amelyek okait figyelmen kívül hagyják A megfigyelt eseményekből vett események valószínűségét Elemző megjegyzések a nagyon nagy számok funkcióinak kiszámításához Esetek, amelyekben a megfigyelt események nagy valószínűséggel jelzik az okokat

Fizikai feltételezések

A fizikai hipotézisek valószínűsége

Alkalmazás az egyetemes gravitáció elvére…, a hullám és az áramlás magyarázatára, a levegő gravitációjára és azokra az okokra, amelyek meghatározhatták a bolygók közös mozgását.

A kalkulus alkalmazása az ember természettörténetében

A fenti szabályok alkalmazása az ember természettörténetére

Halandósági táblázatok… születések… házasságok stb. A lakosságtól, az éves születések számának és a népesség arányához képest Az átlagos életkor és annak egymást követő értékei Az adott életkor elérésének valószínűségétől A házasságkötések és a gyermekek számának arányától Franciaország népességének kiszámítása A fiúk és lányok születésének egyenlőtlensége Az egyenlőtlenség okainak rendkívüli valószínűsége Ezen okok egyenlőtlensége Európa több éghajlatán

Életjáradékok, biztosítások, tontinok stb.

Életjáradékok, számításuk szabályai

Járadék két fejre, három fejre stb. Egyszerű tontinok, összetett tontinok Biztosítás és számításuk különböző esetekben, takarékpénztárak, zálogházak stb. Lehetséges jogok…. véletlenszerű szerződések… stb.

Oltás

Az oltás matematikai elmélete és e gyakorlat általános előnyei

A megfigyelések kiszámítása

Számos megfigyelés átlageredményeinek kiszámítása

A műszerek korrekciójáról

Gondolatok a valószínűségek számításáról

Általános nézetek a valószínűségszámítás alkalmazásáról, azokról a hibákról, amelyeknek kitettek

E tudomány történetéből a szerzők táblázata, akik foglalkoztak vele (lásd a következő oldalt) Következtetés

A valószínűségek számításával foglalkozó szerzők megjegyzése

Pascal ... Fermat ... Huigens Cramer	Fragmens
Rémont de Montmort	Szerencsejáték-elemzés
Jacques Bernoulli	Ars conjectandi
Moivre	De mensura outis scientia analytica
Daniel Bernoulli	- kommentálta a Petropolit. 1730 ... 1777 Pars prior 1777 Pars posterior Párizsi Tudományos Akadémia 1760 Journal des Savans
s'Gravesande	Introductio ad veram philosophiam (francia fordítás)
Piti	A politikai számtan
Halley… Simpson… Sussmilch	Fragmens
Parcieux-től	Tesztelje az emberi élet valószínűségét
Brice [sic] Bayes	Filozófiai tranzakciók
Buffon	Az ember természettörténete
A hely	Külföldi tudósok emlékiratai - 6,7 Párizsi Akadémia 1778 ... 1782 ... 1783 Journal de l'Ecole Normale 6. kötet
Istálló	Torinói emlékek 5. kötet 1775-ös berlini emlékek (?)
Borda	Emlékiratok az 1781-es párizsi akadémiai választásokról
Montuclat	Matematikai kikapcsolódás
d'Alembert	Matematikai füzetek. Volume 1 st és követi Párizsi enciklopédia
Condorcet	Az Académie de Paris emlékei Emlékirat csatlakozott a Bossut idején a mérnökök hadtestéhez XI (?) Vol. Esszé a döntések valószínűségéről Pancouk's Encyclopedia

A párizsi tudományos kar valószínűségének székhelyét 1834-ben nyitották meg Poisson felkérésére. Ezt a helyet Guillaume Libri fogja elfoglalni , de ez utóbbit gyakran Poisson váltja fel.

Az ISUP létrehozásakor 1922-ben nagy előrelépés történt a valószínűség tanításában Franciaországban . Émile Borel , Lucien March és egyebek mellett Fernand Faure akaratából 1924-től valószínűségi tanfolyamokat tartottak a jogi karon és a Henri-Poincaré intézetben , amelyeket különösen az ENS és a politechnikai iskola hallgatói követtek. Az órákat Borel, Georges Darmois vagy Daniel Schwartz biztosítja .

2008-ban úgy döntöttek, hogy a középiskolai osztályokban kezdik el a valószínűségek tanítását. A cél a valószínűség (és a statisztika) bevezetése a hallgatók számára a nyelv, a fogalmak képzése és a statisztikai jellegű kérdések azonosítása érdekében.

Kutatás

Bár a valószínűségelmélet egy újabb elmélet, a kutatás különösen aktív benne. Számos kutatólaboratóriumot hoztak létre, például a valószínűségi és véletlenszerű modellek laboratóriumát , amely a párizsi Pierre-et-Marie-Curie (Párizs 6) és Diderot (Párizs 7) egyetemekhez kapcsolódik, és amelyet 1960-ban hoztak létre. Robert Fortet kezdeményezése a CNRS részéről .

Számos szemináriumot és valószínűségi szimpóziumot szerveznek. Franciaország esetében a laboratóriumi szemináriumok mellett megemlíthetjük az 1971 óta létező Saint-Flour nyári valószínűségi iskolát, a MAS napokat vagy a valószínűségi napokat .

Számos díjat kapnak a matematikusok, hogy kiemeljék kutatásaikat, némelyiket a valószínűségiek számára tartják fenn. Ez a helyzet például a Rollo Davidson-díj esetében. Meg kell jegyezni, hogy a matematika legrangosabb díját, azaz a Fields-érmet 2006 -ban adták át először egy probabilistának, nevezetesen Wendelin Wernernek .

Van egy matematikai kutatási terület osztályozás, Matematika tantárgyi osztályozás néven, amelyet a Matematikai áttekintések és a Zentralblatt MATH adatbázisok használnak . A 60. osztály a valószínűségelméletre és a sztochasztikus folyamatokra vonatkozik.

Hivatkozások

Művek

Henry 2001 , p. 13.
Henry 2001 , p. 14
Dodge 2004 , p. 409
Dalang és Conus 2008 , p. 127.
Henry 2001 , p. 17.
Dodge 2004 , p. 247
Henry 2001 , p. 25
Henry 2001 , p. 19.
Dalang és Conus 2008 , p. 128
Courtebras 2006 , p. 15
Henry 2001 , p. 18.
Henry 2001 , p. 24.
Henry 2001 , p. 32
Henry 2001 , p. 34
Henry 2001 , p. 43
Henry 2001 , p. 42
Henry 2001 , p. 38
Dale 1999 , p. 5.
Dale 1999 , p. 4
Dale 1999 , p. 170
Dale 1999 , p. 171
Dale 1999 , p. 173
Tassi és Legait 1990 , p. 33
Courtebras 2006 , p. 28.
Courtebras 2006 , p. 6.
Courtebras 2006 , p. 33
Courtebras 2006 , p. 57
Courtebras 2006 , p. 64.
Courtebras 2006 , p. 13.
Tassi és Legait 1990 , p. 34
Klein és Sacquin 1998 , p. 67
Klein és Sacquin 1998 , p. 68
Klein és Sacquin 1998 , p. 70
Klein és Sacquin 1998 , p. 69
Courtebras 2006 , p. 76
Fisher 2010 , p. 15
Fisher 2010 , p. 22.
Fisher 2010 , p. 23.
Fisher 2010 , p. 4
Fisher 2010 , p. 5.
Fisher 2010 , p. 1
Dodge 2004 , p. 413
Kesten 1982 , p. 1
Kesten 1982 , p. 2
Dodge 2004 , p. 300
Dodge 2004 , p. 302
Stigler 1999 , p. 407
Stigler 1999 , p. 406
Dodge 2004 , p. 502
Courtebras 2006 , p. 25
Courtebras 2006 , p. 31
Courtebras 2006 , p. 46
Courtebras 2006 , p. 65

Egyéb művek

filozófiai tanulmány a Arisztotelész
a "valószínűség" jelentésének elemzése a XVI . Századig a Témák megjegyzésében
lásd a TLFI szótár valószínűségi bejegyzését
http://www.jehps.net/Juin2007/Ceccarelli_Risk.pdf , Journ @ l A valószínűség és a statisztika történetének elektronikája
http://www.jehps.net/Juin2007/Piron_incertitude.pdf , Journ @ l A valószínűség és a statisztika történetének elektronikája
Katolikus encyclopeida, 1911, cikk a valószínűségről .
egy webhely Pascal gondolatában .
De Moivre és Laplace között
DicoMaths: Markov lánc
Jean-Pierre Kahane , " Brownian motion ", Franciaország Matematikai Társasága ,1998, P. 123-155 ( online olvasás )
Roger Mansuy , " HISTOIRE DE MARTINGALES ", Matematikai Társadalomtudományok , vol. 169, n o 1,2005, P. 105–113 ( online olvasható )
(a) Thomas Liggett , " TE Harris hozzájárulása kölcsönható rendszerek és perkolációs " , The Annals of Probability , vol. 39, n o 22011, P. 407-416 ( online olvasás )
Mathieu Triclot , „ Információ és entrópia. Kettős játék esélyekkel. », Jehps , vol. 3, n o 22007( online olvasás )
(in) Stephen Stigler , " Cauchy és a boszorkány Agnesi " , Tanulmányok a History of Valószínűség és statisztika XXXIII , vol. 61, n o 21974, P. 375 ( online olvasás )
Bernard Bru , " A Gauss-görbe vagy Bernoulli-tétel a gyerekeknek ", Matematika és Társadalomtudományok , vol. 175, n o 3,2006, P. 5–23 ( online olvasás )
Aimé Fuchs , „ Plaidoyer pour la loi normale ”, Pour la Science ,1995, P. 17 ( online olvasható )
Pierre Crepel , " Condorcettől Aragóig : a valószínűség tanítása Franciaországban 1786 és 1830 között ", Bulletin de la SABIX , vol. 4,1989, P. 29–55 ( online olvasás )
Norbert Meusnier , " A valószínűség és a statisztika oktatásának történetéről ", A valószínűség és statisztika történetének elektronikus folyóirata , 1. évf. 2 n o 22006( online olvasás )
" forrás középiskolai osztályok számára - matematika - valószínűség " , eduscol ,2008
" Az LPMA ünnepli 50. évfordulóját " a Párizsi Matematikai Alapítványon
" Saint-Flour nyári iskolája " , a matematikai laboratóriumban. Clermont-Ferrandtól
" MAS-napok " , a szmájon
" a valószínűség napja " , a Math laboratóriumban. az Orleans Egyetemről ,2013
„ Történelem ” , a matematika és az alkalmazási részlegről - École normale supérieure
(in) " 2000-es matematika tantárgy-osztályozás " a mód

Lásd is

Bibliográfia

Bernard Courtebras , A valószínűségek iskolájában: a valószínűségszámítás francia oktatásának története , Besançon, Presses universitaire de Franche-Comté,2006, 285 p. ( ISBN 2-84867-110-6 , online olvasás ).
Bernard Courtebras , Matematizálási esély , Vuibert ,2008
Dalang és Conus , Bevezetés a valószínűségelméletbe , Lausanne, Presses politechniques et universitaire romandes,2008, 204 p. ( ISBN 978-2-88074-794-7 , online olvasás ).
Yadolah Dodge , Statisztika: enciklopédikus szótár , Párizs / Berlin / New York stb., Springer,2004, 2 nd ed. , 637 o. ( ISBN 2-287-21325-2 , online olvasás ).
(en) Andrew Dale , a fordított valószínűség története: Thomas Bayestől Karl Pearsonig , New York, Springer,1999, 679 o. ( ISBN 0-387-98807-6 , online olvasás ).
(en) Hans Fisher , A központi határtétel története , Springer,2010, 402 p. ( ISBN 978-0-387-87856-0 , online olvasás ).
Étienne Klein és Yves Sacquin ( rendező ), Jóslás és valószínűség a tudományokban , Frontier Publishing,1998, 159 p. ( ISBN 2-86332-232-X , online olvasás ).
(en) Harry Kesten , Percolation Theory for Mathematicians , Birkhäuser,1982( online olvasás ).
Michel Henry , Valószínűség és statisztika , Franche-Comté Egyetemi Kiadó,2001, 262 p. ( online olvasás ).
Ph. Tassi és S. Legait , Valószínűségelmélet , Párizs / Rueil-Malmaison, Technip,1990, 367 p. ( ISBN 2-7108-0582-0 , online olvasás ).
(en) Stephen Stigler , A táblázat statisztikája: statisztikai fogalmak és módszerek története , Cambridge (Massachusetts) / London, Harvard University Press ,1999, 499 p. ( ISBN 0-674-83601-4 , online olvasás ).