Standard (matematika)

A geometriában a norma a számok abszolút értékének kiterjesztése a vektorokra . Lehetővé teszi egy vektor affinális térben történő reprezentációjának közös hosszának mérését , ugyanakkor meghatározza a transzlációval invariáns és a külső szorzással kompatibilis két vektor távolságát is .

A síkban vagy az űrben szokásos normát euklideszinek mondják, mert egy skaláris szorzathoz kapcsolódik, az euklideszi geometria alapján .

Más szabványokat széles körben használnak a vektortérekben ( véges vagy végtelen dimenzióban ), amelyeket akkor normalizált vektortereknek nevezünk . Ezek különösen fontosak a funkcionális elemzés megszerzésének markerek , kifejező differenciálás a terek funkcióinak egy vagy több valós vagy komplex változók , számítási becslések és közelítő .

A normának van egy második fogalma, amelyet az aritmetikában használnak  : a „ Norm (testek elmélete)  ” cikk foglalkozik vele  .

Szokásos euklideszi geometria

Meghatározás

Ha és két pont a sík vagy a szokásos helyen, a norma a vektor az a távolság, azaz a hossza a szegmens . Megjegyzi, dupla rúd: . NÁL NÉL{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}NÁL NÉLB→{\ displaystyle {\ overrightarrow {AB}}}NÁL NÉLB{\ displaystyle AB}[NÁL NÉLB]{\ displaystyle [AB]}‖NÁL NÉLB→‖{\ displaystyle \ | {\ overrightarrow {AB}} \ |}

A norma, az irány és az irány a három adat, amely egy vektort jellemez, és amelyek ezért nem függenek a reprezentáns választásától.

Az Unicode-ban a „‖” kettős sáv az U + 2016 karakter (különbözik az „∥” párhuzamossági szimbólumtól, U + 2225 ).

Számítás

• A vektor szokásos (euklideszi) normája kiszámolható a koordinátáinak felhasználásával egy ortonormális koordinátarendszerben a Pythagorasz-tétel segítségével .
  • A síkban, ha a vektornak vannak koordinátái , a normája fel van írvau→{\ displaystyle {\ vec {u}}}(x,y){\ displaystyle (x, y)}‖u→‖=x2+y2.{\ displaystyle \ | {\ vec {u}} \ | = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}.}
    Ha a pontok és meg vannak a megfelelő koordináták , majdNÁL NÉL{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}(xNÁL NÉL,yNÁL NÉL){\ displaystyle (x_ {A}, y_ {A})}(xB,yB){\ displaystyle (x_ {B}, y_ {B})}‖NÁL NÉLB→‖=(xB-xNÁL NÉL)2+(yB-yNÁL NÉL)2.{\ displaystyle \ | {\ overrightarrow {AB}} \ | = {\ sqrt {(x_ {B} -x_ {A}) ^ {2} + (y_ {B} -y_ {A}) ^ {2} }}.}
  • A térben, ha a vektornak vannak koordinátái , akkor a normája meg van írva:u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}(x,y,z){\ displaystyle (x, y, z)}‖u→‖=x2+y2+z2.{\ displaystyle \ | {\ vec {u}} \ | = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}}.}
    Ha a pontok és meg vannak a megfelelő koordináták , majdNÁL NÉL{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}(xNÁL NÉL,yNÁL NÉL,zNÁL NÉL){\ displaystyle (x_ {A}, y_ {A}, z_ {A})}(xB,yB,zB){\ displaystyle (x_ {B}, y_ {B}, z_ {B})}
    
    ‖NÁL NÉLB→‖=(xB-xNÁL NÉL)2+(yB-yNÁL NÉL)2+(zB-zNÁL NÉL)2.{\ displaystyle \ | {\ overrightarrow {AB}} \ | = {\ sqrt {(x_ {B} -x_ {A}) ^ {2} + (y_ {B} -y_ {A}) ^ {2} + (z_ {B} -z_ {A}) ^ {2}}}.}
• A vektor (euklideszi) normája a vektor önmagával kapott ponttermékéből nyerhető :‖u→‖=u→⋅u→.{\ displaystyle \ | {\ vec {u}} \ | = {\ sqrt {{\ vec {u}} \ cdot {\ vec {u}}}}.}

Tulajdonságok

• A normát csak a nullvektorra törlik .0→{\ displaystyle {\ vec {0}}}
• A szorzat normája számmal a normának szorzata a szám abszolút értékével:‖ku→‖=|k|×‖u→‖.{\ displaystyle \ | k {\ vec {u}} \ | = | k | \ times \ | {\ vec {u}} \ |.}Különösen bármely vektornak ugyanaz a normája, mint annak ellentétében:‖-u→‖=‖u→‖.{\ displaystyle \ | - {\ vec {u}} \ | = \ | {\ vec {u}} \ |.}

Bármely vektortéren

Formális meghatározás

Hadd K legyen egy kommutatív mező egy abszolút érték , és E a K - vektortér .

A norma az E egy olyan alkalmazás a E a valódi értékek , és megfelel az alábbi feltételezések: NEM{\ displaystyle {\ mathcal {N}}}

• szétválasztás  : ;∀x∈ENEM(x)=0⇒x=0E{\ displaystyle \ forall x \ in E \ quad {\ mathcal {N}} (x) = 0 \ Rightarrow x = 0_ {E}}
• abszolút homogenitás  : ;∀(λ,x)∈K×ENEM(λx)=|λ|NEM⁡(x){\ displaystyle \ forall (\ lambda, x) \ K \-szer E \ quad {\ mathcal {N}} (\ lambda x) = | \ lambda | \ operátornév {\ mathcal {N}} (x)}
• szubadditivitás (más néven háromszög egyenlőtlenség ).∀(x,y)∈E2NEM(x+y)≤NEM(x)+NEM(y){\ displaystyle \ forall (x, y) \ in E ^ {2} \ quad {\ mathcal {N}} (x + y) \ leq {\ mathcal {N}} (x) + {\ mathcal {N} } (y)}

Megjegyzések.

• A szétválasztás axiómájának fordítottja igaz.Valóban, a homogenitás révén .NEM(0E)=NEM(0⋅0E)=0NEM⁡(0E)=0{\ displaystyle {\ mathcal {N}} (0_ {E}) = {\ mathcal {N}} (0 \ cdot 0_ {E}) = 0 \ operátornév {\ mathcal {N}} (0_ {E}) = 0}
• A színvonal mindig pozitív.Valójában bármely vektor esetében (szubadditivitás alapján), vagyis (homogenitás alapján) .x{\ displaystyle x}0=NEM(0E)=NEM(x-x)≤NEM(x)+NEM(-x){\ displaystyle 0 = {\ mathcal {N}} (0_ {E}) = {\ mathcal {N}} (xx) \ leq {\ mathcal {N}} (x) + {\ mathcal {N}} ( -x)}0≤2NEM⁡(x){\ displaystyle 0 \ leq 2 \ operátornév {\ mathcal {N}} (x)}
• Nem csak a realok és a komplexek mezői ismerik el az abszolút értéket.
  Abban az esetben értékes szervek , a norma is lehet ultrametric ha megfelel egy bizonyos feltétel erősebb subadditivity.
• Függvényében E a ℝ + , amely kielégíti csak a homogenitás és a szub-additivitás az úgynevezett félig-norma .

A normával rendelkező vektorteret normavektortérnek nevezzük (néha rövidítve EVN-nek).

Az x vektor képe a normával általában ║ x ║ -re van írva, és az „ x normája” feliratot olvassa el  .

Az első tulajdonságok

• A norma szublineáris , azaz kielégíti a következő tulajdonságot:∀(λ,x,y)∈K×E2 , ‖λx+y‖≤|λ|‖x‖+‖y‖,{\ displaystyle \ forall (\ lambda, x, y) \ K \ időkben E ^ {2} \, \ \ | \ lambda x + y \ | \ leq | \ lambda | \ | x \ | + \ | y \ |,}amely megismétlődéssel általánosít :‖λ1x1+...+λnemxnem‖≤|λ1|‖x1‖+...+|λnem|‖xnem‖.{\ displaystyle \ | \ lambda _ {1} x_ {1} + \ ldots + \ lambda _ {n} x_ {n} \ | \ leq | \ lambda _ {1} | \ | x_ {1} \ | + \ ldots + | \ lambda _ {n} | \ | x_ {n} \ |.}
• Az elválasztás és a homogenitás garantálja az elválasztás és a funkció szimmetriájának tulajdonságaitd:(x,y)↦‖y-x‖.{\ displaystyle d \ kettőspont (x, y) \ mapsto \ | yx \ |..}(A szimmetriához ezt használjuk , ahol e a K multiplikatív semlegesét jelöli , így bármely z vektorra ║– z ║ = ║ (- e ) z ║ = | - e | ║ z ║ = ║ z ║.) A szubadditivitás ekkor igazolja a háromszög egyenlőtlenséget ,∣-e∣ =1{\ displaystyle \ mid -e \ mid = 1}
  ‖z-x‖≤‖z-y‖+‖y-x‖,{\ displaystyle \ | zx \ | \ leq \ | zy \ | + \ | yx \ |,}kell mutatni, hogy a d egy távolságot a E , ami több invariáns a fordítást.
  A normalizált vektortér tehát homogén metrikus tér, és a kapcsolódó topológia kompatibilis a vektorműveletekkel.
• A szub additivitás lehetővé teszi a következő tulajdonság megszerzését:∀(x,y)∈E2 , |‖x‖-‖y‖|≤‖x-y‖,{\ displaystyle \ forall (x, y) \ E ^ -ban {2} \, \ {\ big |} \ | x \ | - \ | y \ | {\ big |} \ leq \ | xy \ |,}ami azt mutatja, hogy a norma 1-Lipschitz-térkép és ezért folyamatos .
• A norma szintén, mint bármely félnorma, konvex függvény , amely hasznos lehet az optimalizálási problémák megoldásában .

Topológia

A normával társított d távolság (vö. Fent) E- t metrikus tér , tehát külön topológiai tér felépítésével ruházza fel . Ennek a topológiának a nyitott része az E O része , amely:

∀x∈O,∃ε>0{y∈E | ‖x-y‖<ε}⊂O.{\ displaystyle \ forall x \ in O, \; \ pastāv \ varepsilon> 0 \ quad \ {y \ E ~ | ~ \ | xy \ | <\ varepsilon \} \ O részhalmazban

Ezzel a topológiával felszerelve az E egy „evt” ( topológiai vektortér ), vagyis:

Tétel  -  A hozzáadott E × E a E és a külső szaporodását K × E in E folytonosak.

Demonstráció

Legyen ( x , y ) lehet egy pont a E × E és ( h , k ) a növekedés, akkor:

‖(x+h+y+k)-(x+y)‖=‖h+k‖≤‖h‖+‖k‖≤2max(‖h‖,‖k‖)=2‖(h,k)‖E×E.{\ displaystyle \ left \ Vert (x + h + y + k) - (x + y) \ right \ Vert = \ | h + k \ | \ leq \ | h \ | + \ | k \ | \ leq 2 \ max (\ | h \ |, \ | k \ |) = 2 \ | (h, k) \ | _ {E \ szor E}.}

Az előző növekedés azt mutatja, hogy az összeadás 2- Lipschitz-féle és ezért egyenletesen folytonos .

Legyen K × E pont és növekedés, akkor, ha és  : (λ,x){\ displaystyle (\ lambda, x)}(μ,h){\ displaystyle (\ mu, h)}‖(λ,x)‖K×E≤M{\ displaystyle \ | (\ lambda, x) \ | _ {K \ szor E} \ leq M}‖(μ,h)‖K×E≤ε≤1{\ displaystyle \ | (\ mu, h) \ | _ {K \ alkalommal E} \ leq \ varepsilon \ leq 1}

‖(λ+μ)(x+h)-λx‖≤‖λh‖+‖μx‖+‖μh‖≤2Mε+ε2≤(2M+1)ε.{\ displaystyle \ left \ Vert (\ lambda + \ mu) (x + h) - \ lambda x \ right \ Vert \ leq \ | \ lambda h \ | + \ | \ mu x \ | + \ | \ mu h \ | \ leq 2M \ varepsilon + \ varepsilon ^ {2} \ leq (2M + 1) \ varepsilon.}

Az utolsó növekedés a külső szorzás egyenletes folytonosságát mutatja az egész K × E golyón, 0 középponttal és M sugárral , tehát K × E folytonossága .

Mivel az e.vt topológiáján indukált vektortér normája, sőt egy külön lokálisan konvex tér ( lásd alább ), felmerülhet a kérdés, hogy egy adott evt topológiáját indukálhatjuk-e egy lehetséges normával . Amikor ez az eset áll fenn, akkor azt mondjuk, hogy a e.vt van normális . A külön helyileg konvex terek nem mind normálhatóak (például a végtelen dimenziójú Montel-tér soha nem normálható). E{\ displaystyle E}E{\ displaystyle E}T{\ displaystyle T}T{\ displaystyle T}(E,T){\ displaystyle (E, T)}E{\ displaystyle E}(E,T){\ displaystyle (E, T)}

Labda

Ez a topológia felépítése minden fontosságát az x középpontú és r sugarú nyitott labda fogalmának adja , vagyis azoknak a pontoknak a halmazát, amelyek távolsága x-ig szigorúan kisebb, mint r . Bármilyen nyitott labda a kép a készülék labdát (nyitott) az álló egy transzlációs vektor x , és egy dilatáció a arányt r .

A nyitott gömbök egy pontban középre képezik a pont szomszédságainak alapját ; ezért jellemzik a topológiát. Ha E a ℝ vektortere (különösen, ha a in vektortere), akkor bármely nyitott gömb domború . Valóban, mivel a konvexitást a fordítás és a homotetika megőrzi, elegendő ezt a tulajdonságot megmutatni a nyitott egységgolyóra. Ha x és y ennek a gömbnek a két pontja, és ha θ valós 0 és 1 között, akkor:

‖θx+(1-θ)y‖≤θ‖x‖+(1-θ)‖y‖<1.{\ displaystyle \ | \ theta x + (1- \ theta) y \ | \ leq \ theta \ | x \ | + (1- \ theta) \ | y \ | <1.}

Ezért a következő tulajdonság ellenőrzött:

Tulajdonság  -  Valódi normalizált vektortér lokálisan domború .

Ez azt jelenti, hogy bármely pont megengedi a domború szomszédságok alapját, például az ezen a ponton középre helyezett nyitott golyókat.

Ekvivalens szabvány

Minél több nyílást tartalmaz a topológia, annál pontosabbá válik a kapcsolódó elemzés. Emiatt egy topológiát, amely legalább egy másik összes nyílását tartalmazza, finomabbnak mondják. Két standard esetén és ugyanazon E vektortérben merül fel a kérdés , hogy megtudjuk, a szabványok melyik kritériuma felel meg a hozzájuk tartozó topológiák ilyen összehasonlításának. NEM1{\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {1}}NEM2{\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {2}}

• NEM1{\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {1}}finomabbnak mondható (mondjuk azt is, hogy dominál ), ha az E vektorok bármelyik szekvenciája konvergál konvergálásra , vagy megint, ha létezik szigorúan pozitív valós , például:NEM2{\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {2}}NEM1{\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {1}}NEM2{\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {2}}NEM1{\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {1}}NEM2{\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {2}}α{\ displaystyle \ alpha}∀x∈E, NEM2(x)≤αNEM1(x).{\ displaystyle \ forall x \ E-ben, \ {\ mathcal {N}} _ {2} (x) \ leq \ alpha {\ mathcal {N}} _ {1} (x).}Ezt a definíciót legitimálja az a tény, hogy finomabb, mint akkor és csak akkor, ha a hozzá tartozó topológia finomabb, mint .NEM1{\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {1}}NEM2{\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {2}}T1{\ displaystyle {\ mathcal {T}} _ {1}}T2{\ displaystyle {\ mathcal {T}} _ {2}}
• NEM1{\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {1}}és ekvivalensnek mondják őket, ha mindkettő finomabb, mint a másik, vagy ha két szigorúan pozitív valóság létezik, és amelyek:NEM2{\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {2}}α{\ displaystyle \ alpha}β{\ displaystyle \ beta}∀x∈E, αNEM1(x)≤NEM2(x)≤βNEM1(x).{\ displaystyle \ forall x \ E-ben, ~ \ alpha {\ mathcal {N}} _ {1} (x) \ leq {\ mathcal {N}} _ {2} (x) \ leq \ beta {\ mathcal {N}} _ {1} (x).}Ez megfelel annak a ténynek, hogy a két standard nyitott golyói tágításig egymásba illeszthetők, vagy hogy a két kapcsolódó topológia megegyezik. Metrikus értelemben a két szerkezet egyenletesen izomorf. A véges dimenzióval rendelkező valós vektortérben az összes norma ekvivalens (lásd " A véges dimenziójú vektortér topológiája " című cikket   ).

Általános konstrukciók

• Az E valódi vektortér bármely skaláris szorzata meghatározza a kapcsolódó euklideszi normát :∀x∈E, ‖x‖=x⋅x.{\ displaystyle \ forall x \ E-ben, \ \ | x \ | = {\ sqrt {x \ cdot x}}.}A norma euklideszi (azaz ponttermékből származik) csak akkor, ha az alkalmazásNEM{\ displaystyle {\ mathcal {N}}}(x,y)↦12(NEM(x+y)2-NEM(x)2-NEM(y)2){\ displaystyle (x, y) \ mapsto {\ frac {1} {2}} \ bal ({\ mathcal {N}} (x + y) ^ {2} - {\ mathcal {N}} (x) ^ {2} - {\ mathcal {N}} (y) ^ {2} \ jobbra}}a bilineáris , és ebben az esetben ez a térkép a kapcsolódó pont termék (lásd a cikk „  polarizáció identitás  ”).
• Ha f egy injektív lineáris leképezés a E , hogy F akkor bármilyen norma F indukál norma E az alábbi egyenlettel‖x‖E=‖f(x)‖F.{\ displaystyle {\ mathcal {\ |}} x \ | _ {E} = \ | f (x) \ | _ {F}.}
• Ha a C egy korlátos , és egyensúlyban konvex egyterű egy valós vektorteret E , akkor a szelvény a C egy norma J által meghatározott ∀x∈E J(x)=inf{λ>0 | 1λx∈VS}{\ displaystyle \ forall x \ in E ~ J (x) = \ inf \ left \ {\ lambda> 0 ~ \ left | ~ {\ frac {1} {\ lambda}} x \ in C \ right. \ right \}}és ahol C a nyitott egységgömb .
• Ha E és F két valós vagy komplex normált vektortér, a tér a folytonos lineáris térképek van ellátva operátornorma alárendelt a mindenkori normák E és F írva:L(E,F){\ displaystyle {\ mathcal {L}} (E, F)}∀T∈L(E,F), ‖T‖=supx∈E∖{0}‖T(x)‖F‖x‖E.{\ displaystyle \ forall T \ in {\ mathcal {L}} (E, F), \ \ | T \ | = \ sup _ {x \ E \ setminus \ {0 \}} {\ frac {\ | T (x) \ | _ {F}} {\ | x \ | _ {E}}}.}

Példák

Véges dimenzióban

Ebben a szakaszban jelöljük a K n vektorát  ; x→{\ displaystyle {\ vec {x}}}(x1,...,xnem){\ displaystyle (x_ {1}, \ pontok, x_ {n})}

• az euklideszi normát a skaláris szorzatból vagy a kanonikus hermetikus szorzatból nyerik  :‖x→‖2=|x1|2+...+|xnem|2{\ displaystyle \ | {\ vec {x}} \ | _ {2} = {\ sqrt {| x_ {1} | ^ {2} + \ ldots + | x_ {n} | ^ {2}}}}és megfelel annak a normának, amelyet általában a szokásos sík vagy tér két pontja közötti távolságra használnak (a 2 jelenléte az indexben csak utána magyarázható - p = 2 esetén: 2. norma );
• az 1. normát az együtthatók modulusainak (vagy abszolút értékeinek) összegével adjuk meg:‖x→‖1=|x1|+...+|xnem|{\ displaystyle \ | {\ vec {x}} \ | _ {1} = | x_ {1} | + \ ldots + | x_ {n} |}és derékszögben elmozdítja az elmozdulás távolságát az ellenőrző táblán, az úgynevezett manhattani távolságot  ;
• általánosabban, ha p értéke nagyobb vagy egyenlő, mint 1, akkor a p normát (ezek a Hölder- normák ) a következő képlet adja meg:‖x→‖o=(|x1|o+...+|xnem|o)1o.{\ displaystyle \ | {\ vec {x}} \ | _ {p} = \ balra (| x_ {1} | ^ {p} + \ ldots + | x_ {n} | ^ {p} \ jobbra) ^ {\ frac {1} {p}}.}Ezért azonosítja az euklideszi normát a 2 normával, de mindenekelőtt csak a funkcionális terek általánosításában érdekelt;
• a „végtelen” normát az adja:‖x→‖∞=max(|x1|,...,|xnem|).{\ displaystyle \ | {\ vec {x}} \ | _ {\ infty} = \ max \ balra (| x_ {1} |, \ pontok, | x_ {n} | \ jobbra).}Ez egy olyan hálózatban indukálja az elmozdulás távolságát az arcok és a sarkok által, mint a sakktáblán levő királyé , amelyet Chebyshev távolságnak neveznek .

Mindezek a szabványok ekvivalensek, mivel ‖x→‖∞≤‖x→‖o≤nem1o‖x→‖∞{\ displaystyle \ | {\ vec {x}} \ | _ {\ infty} \ leq \ | {\ vec {x}} \ | _ {p} \ leq n ^ {\ frac {1} {p}} \ | {\ vec {x}} \ | _ {\ infty}}.

A p- normák háromszögbeli egyenlőtlenségét Minkowski egyenlőtlenségének nevezzük  ; a konvexitási eredmények következményei, beleértve Hölder egyenlőtlenségét . Az utóbbi, mely általánosítja a fenti kötött, továbbá azt mutatja, hogy bármely vektor a K n , a csökkenő térkép p ↦ ║ ║ p folytonos [1, + ∞] . Valóban, x→{\ displaystyle {\ vec {x}}} x→{\ displaystyle {\ vec {x}}}

1≤o≤q≤∞⇒‖x→‖q≤‖x→‖o≤nem1o-1q‖x→‖q{\ displaystyle 1 \ leq p \ leq q \ leq \ infty \ Rightarrow \ | {\ vec {x}} \ | _ {q} \ leq \ | {\ vec {x}} \ | _ {p} \ leq n ^ {{\ frac {1} {p}} - {\ frac {1} {q}}} \ | {\ vec {x}} \ | _ {q}}.

További példák klasszikusan jelennek meg:

• A kvaternion tér normája az alapra alkalmazott euklideszi norma .(1,én,j,k){\ displaystyle (1, i, j, k)}
• Az n- nél kisebb vagy azzal egyenlő fokú polinomok terét a függvényterekből származtatott normákkal lehet biztosítani (lásd alább).

Ne feledje, hogy a képlet „naiv” végrehajtása a számítógépen túllépési vagy alulhúzási hibákhoz vezethet a szélsőséges értékeknél (nagyon nagy vagy nagyon kicsi az abszolút értékben): a négyzetezés közbenső lépése olyan eredményekhez vezethet, amelyek nem ábrázolhatók az IEEE 754 szabványnak , tehát 0 vagy „végtelen” végeredménynek, pedig maga a végeredmény is reprezentálható. Ennek elkerülése érdekében, akkor faktor által  : egyes tartományban van (és legalább egy az értékek pontosan 1), így a tartalma a gyökér tartományban van , megakadályozva előzés és alávetítések ha a végeredmény ábrázolható. Egy másik módszer Moler és Morrison módszere . ‖x→‖2=|x1|2+...+|xnem|2{\ displaystyle \ | {\ vec {x}} \ | _ {2} = {\ sqrt {| x_ {1} | ^ {2} + \ ldots + | x_ {n} | ^ {2}}}}‖x→‖2{\ displaystyle \ | {\ vec {x}} \ | _ {2}}‖x→‖∞=max(|x1|,...,|xnem|){\ displaystyle \ | {\ vec {x}} \ | _ {\ infty} = \ max \ balra (| x_ {1} |, \ pontok, | x_ {n} | \ jobbra)}‖x→‖2=‖x→‖∞×|x1‖x→‖∞|2+...+|xnem‖x→‖∞|2{\ displaystyle \ | {\ vec {x}} \ | _ {2} = \ | {\ vec {x}} \ | _ {\ infty} \ szor {\ sqrt {\ balra | {\ frac {x_ { 1}} {\ | {\ vec {x}} \ | _ {\ infty}}} \ jobb | ^ {2} + \ ldots + \ bal | {\ frac {x_ {n}} {\ | {\ vec {x}} \ | _ {\ infty}}} \ jobb | ^ {2}}}}|xén‖x→‖∞|{\ displaystyle \ balra | {\ frac {x_ {i}} {\ | {\ vec {x}} \ | _ {\ infty}}} \ jobbra |}[0,1]{\ displaystyle [0,1]}[1,nem]{\ displaystyle [1, n]}

Végtelen dimenzióban

• A tér a folytonos függvények egy szegmens a ℝ és valós vagy komplex értékek találunk, a p -nél nagyobb vagy egyenlő 1, szabványok p meghatározott módon hasonlóak a véges dimenziós vektorterek:VS0([nál nél,b]){\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {0} ([a, b])}[nál nél,b]{\ displaystyle [a, b]}‖f‖o=(∫nál nélb|f(t)|odt)1/o{\ displaystyle {\ | f \ |} _ {p} = \ balra (\ int _ {a} ^ {b} | f (t) | ^ {p} \ mathrm {d} t \ jobbra) ^ {1 / p}}amelyek különösen lehetővé teszik az L p terek meghatározását .
  Különösen a skaláris vagy kanonikus hermita termékhez kapcsolódó euklideszi normát határozza meg‖f‖2=∫nál nélb|f(t)|2 dt.{\ displaystyle {\ | f \ |} _ {2} = {\ sqrt {\ int _ {a} ^ {b} | f (t) | ^ {2} ~ \ mathrm {d} t}}.}A „végtelen” normát vagy sup normát, vagy akár az egységes konvergencia normáját írják‖f‖∞=supt∈[nál nél,b]|f(t)|{\ displaystyle {\ | f \ |} _ {\ infty} = \ sup _ {t \ itt: [a, b]} | f (t) |}és ott kapjuk a p normák határaként is, amikor p végtelenbe hajlik.
  Ezek a szabványok nem egyenértékűek kettőnként.
  Ezenkívül könnyedén kiterjeszthetők folyamatos funkciók területeire kompakt over n értéken , vagy akár folyamatos funkciókra is kompakt támogatással .
• A tér a differenciálható függvények a folyamatos származék , lehet az egyiket a fenti szabványok, illetve azt is figyelembe kell venni a származékos szabványos az alábbiak szerint:VS1([nál nél,b]){\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {1} ([a, b])}‖f‖=∫nál nélb(|f(t)|+|f′(t)|) dt{\ displaystyle \ | f \ | = \ int _ {a} ^ {b} (| f (t) | + | f '(t) |) ~ \ mathrm {d} t}annak érdekében, hogy mérlegelje a kérelmet származó in folyamatos.VS1([nál nél,b]){\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {1} ([a, b])}VS0([nál nél,b]){\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {0} ([a, b])}
• A tér liter ∞ a korlátos szekvenciák , a természetes norma a sup norma  :‖(unem)nem∈NEM‖∞=supnem∈NEM|unem|.{\ displaystyle {\ | (u_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}} \ |} _ {\ infty} = \ sup _ {n \ in \ mathbb {N}} | u_ {n} |.}

Algebra norma

Meghatározás

A norma egy algebraNEM{\ displaystyle {\ mathcal {N}}} NÁL NÉL{\ displaystyle A}

algebrai normának nevezzük, ha létezik olyan valós állandó , hogy VS{\ displaystyle C}∀(x,y)∈NÁL NÉL2NEM(x×y)≤VSNEM(x)NEM(y){\ displaystyle \ forall (x, y) \ in A ^ {2} \ quad {\ mathcal {N}} (x \ y-szor y) \ leq C \, {\ mathcal {N}} (x) {\ mathcal {N}} (y)} [ref. szükséges]

más szavakkal olyat, hogy a norma szubszorzív ( ). NEM′: =VSNEM{\ displaystyle {\ mathcal {N}} ': = C {\ mathcal {N}}}NEM′(x×y)≤NEM′(x)NEM′(y){\ displaystyle {\ mathcal {N}} '(x \ y-szor y) \ leq {\ mathcal {N}}' (x) {\ mathcal {N}} '(y)}

Valódi vagy összetett algebra esetén a feltétel egyenértékű a termék folytonosságával, mint egy bilináris térkép.

Ha az algebra egységes, akkor követelhetjük, hogy a norma is megfeleljen:

NEM(1NÁL NÉL)=1{\ displaystyle {\ mathcal {N}} (1_ {A}) = 1},

ebben az esetben az állandóval való szorzás már nem használható a norma "újormormálására".

Példák

• Az alkalmazási modulus egy eb algebra normának tekinthető algebra norma.
• A operátor normája egy algebrai norma.L(E){\ displaystyle {\ mathcal {L}} (E)}
• A inf n „végtelen” norma indukálja a kezelő normáját, amelyre rá van írva:Mnem(VS){\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {n} (\ mathbb {C})}

∀(nál nélén,j)∈Mnem(VS), ‖(nál nélénj)‖=maxén∑j|nál nélénj|.{\ displaystyle \ forall (a_ {i, j}) \ itt: {\ mathcal {M}} _ {n} (\ mathbb {C}), \ \ | (a_ {ij}) \ | = \ max _ { i} \ sum _ {j} | a_ {ij} |.}

Megjegyzések és hivatkozások

Megjegyzések

1. Xavier Gourdon, elemzés ,2020( ISBN  978-2-340-03856-1 , OCLC  1160201780 ).
2. Az 1. szabványt angolul manhattani normának is nevezik .
3. A „végtelen” a neve a szabványos és nem minősítő jelzőt. Ezért nem ért egyet a "standard" szóval.
4. Például  : Véges dimenziójú vektorterek topológiája , University Paris Diderot,‖x→‖∞≤‖x→‖2≤‖x→‖1≤nem‖x→‖∞{\ displaystyle \ | {\ vec {x}} \ | _ {\ infty} \ leq \ | {\ vec {x}} \ | _ {2} \ leq \ | {\ vec {x}} \ | _ {1} \ leq n \ | {\ vec {x}} \ | _ {\ infty}}2005, 17  p. ( online olvasható ) , p.  2.

Hivatkozások

• Haïm Brezis , Funkcionális elemzés: elmélet és alkalmazások [ a kiadások részletei ]Bevezetés a funkcionális elemzésbe, főleg két példával foglalkozik : Banach és Hilbert terével .
• Serge Lang , Valódi elemzés , InterEditions, 1977 ( ISBN  978-2-72960059-4 )A II. Fejezet általában a topológiai vektorterekkel és különösen a cikk témájával foglalkozik.

Lásd is

Kapcsolódó cikk

• Vonalak és síkok metrikus tulajdonságai

Külső linkek

• "  Metrikus terek és normál terek  " , a les-mathematiques.net oldalon
• Normált tér, pre-Hilbert tér B. Silvi, laboratóriumi Elméleti Kémiai az egyetem Pierre és Marie Curie
• Normál stb. a bibmath.net oldalon