Ív hossza

A geometriában az ív hosszának kérdése egyszerűen elképzelhető (intuitív). Az ív ötlete megfelel egy vonalnak, vagy például egy síkban vagy térben lévő pont pályájának . Hossza tekinthető az ezt az utat követő anyagi pont által megtett távolságnak, vagy akár egy vezeték hosszának, amely pontosan ennek a vonalnak a helyét foglalja el. Az ív hossza pozitív szám vagy végtelen.

Régi példa az r sugarú félkör , ahol r pozitív valós számot jelöl . Hossza megegyezik π r-vel . Egy egyszerűbb példát egy szegmens ad meg , hossza megegyezik a két vége közötti távolsággal.

Az időszaktól függően különböző módszerekkel lehet meghatározni és mérni az egyre nagyobb ívkészlet hosszát. Cnidusból Eudoxus , a Kr. E. IV .  Század  görög matematikusa . Az AD , majd Archimédész a kimerülésnek nevezett módszert használja a kör ívének kiszámításához . A XVII .  Század végének fizikája új megközelítést alakít ki, amely a mechanika fejlődésén alapul, különös tekintettel a csillagászatban alkalmazott számításokra . Az ív hosszát annak az időnek a szorzatának tekintjük, amelyre egy anyagi pontnak az íven való áthaladásához a sebességének és a sebességének a szorzata szükséges, ha azt feltételezzük, hogy állandó. Ezt a meghatározást Bernhard Riemann általánossá tette, és ez lesz a sarokköve a távolság és az új geometriák kialakításának az objektumokra, amelyeket ma Riemann-sokaságoknak neveznek .

Camille Jordan ( 1838 - 1922 ) francia matematikus számára ezek a meghatározások túlságosan korlátozóak. Érdekli a zárt görbe tulajdonságai , vagyis egy olyan ív, amelynek kezdőpontja összeolvad a végponttal. Az előző, két évszázaddal korábban fizikából származó meghatározás azt feltételezi, hogy az ív levezethető. Ez a korlátozás megakadályozza a módszerek hatalmas arzenáljának használatát, bár ez elengedhetetlen a sok kérdés megoldásához. Új meghatározást javasol, egy felső határ és egy sokszögű vonal hosszának felhasználásával . Most a leggyakrabban használt. Mert Hermann Minkowski ( 1864-ben - 1909-ben ) , Jordan ötletek beteg alkalmas arra, hogy az ő igényeinek. Az önmagában feltett kérdésekkel összefüggésben a hossza, amelyet meg akar határozni, mindenekelőtt egy felület határának hossza . Egy kör meghatározása a pontok halmaza P egy lemezt úgy, hogy bármely szomszédságában a P tartalmaz egy pontot a lemezen, és egy külső pont. A cső intuitív fogalma alapján határozza meg a hosszúságot , amely megfelel az ív egy pontjától kevesebb, mint r távolságra elhelyezkedő pontoknak. Ez a meghatározás sok általánosításnak felel meg, amelyek még a fraktálgörbe hosszának értelmezését is lehetővé teszik .

Első számítások

Az egyik leghíresebb és legrégebbi hosszmérés az 1 sugarú félkörív. Ez a hosszúság, amelyet π- nek jelölnek, hosszú ideje kiszámításra került. A babilóniaiak számára annak az értéknek a kiszámításának köszönhető, amely összeköti a kör területét a félív kerületével, és 3 + 1/8 közelítést találnak.

Fontos elméleti előrelépés Archimédész munkája . A fizikus számára egy domború sokszög, amelynek csúcsai a kör pontjai, kisebb kerülete van, mint a köré. Valójában rövidebb, ha két egymást követő csúcsot elérünk, hogy átmenjünk az élen (a szegmens a legrövidebb út két végpontja között), ami π redukciót eredményez. Ezzel szemben a szabályos konvex sokszögnek, amelynek minden élközéppontja a kör pontja, nagyobb a kerülete. Ha ezt az állítást általában nem tudja bemutatni, mert nincs meghatározva az ív hossza, amely lehetővé tenné ennek a bravúrnak az elérését, a szem számára intuitívnak tűnik, és (a kör esetében) az arányosságot eredményezi. a kör alakú szektorok területei és az ezek alapjául szolgáló ívek. Egy szabályos sokszöget használva, amelynek 96 oldala van, megmutatja, hogy a π értéke 3 + 1/7 és 3 + 10/71 között van. A számítás alapelve a pi cikkben található .

A módszer minden olyan ívre általános, amelynek konvexitása mindig ugyanazon az oldalon helyezkedik el, vagyis amelynek íve csak a domború burok határpontjaiból áll . Bármely sokszögű vonalnak, amelynek csúcsai az íven helyezkednek el, a hossza kisebb, mint a vizsgált ívé. Így van egy alsó határunk. Ezután felépíthetünk egy sor növekvő hosszúságú ( p n ) sokszögű vonalat, amelyek mind kisebbek, mint az ív hossza. Ezután a konvex burkolaton kívül sokszögű vonalak sorozatát konstruáljuk, amelyeknek a végei a sokszög vonalának végei és egyre pontosabban futnak az ív mentén. A hosszúság ( P n ) sorrendjét úgy választjuk meg, hogy csökkenjen, és mindegyik hossza nagyobb, mint az ívé. Az egyetlen lehetséges érték az ív hosszában a [ p n , P n ] szakaszban található . A szekvencia úgy van felépítve, hogy p n és P n távolsága kisebb és kisebb, olyan szigorúan pozitív ε szám esetén, hogy létezik olyan n érték , hogy P n - p n szigorúan kisebb, mint ε . Az összes intervallum [ p n , P n ] metszéspontját egy pontra redukáljuk, ami szükségszerűen az ív hossza. Ezt a módszert kimerülésnek nevezzük.

Liu Hui kínai matematikus a III .  Század folyamán hatékonyabb közelítéssel használja, mint Archimédész. Megállapítja, hogy a π hozzávetőleges értéke 3,1416. Ez a módszer hatékony, amíg a végén a XVII th  században, és lehetővé teszi, hogy más hatások, mint például hossza íven logaritmikus spirál által Torricelli 1645 vagy cikloist által Christopher Wren .

C osztályú ív 1

Kinematikai megközelítés

A XVII .  Század a Galileié . A pillanatnyi sebesség fogalma egy, sőt kettőt is jelent. A sebesség először egy vektor , ami meg kell szorozni egy időtartamot a tudni a pozícióját egy pont mozog egységes egyenes módon végén késés egy . Ez is egy skalár, az egyetlen, amely azt jelzi, a megtett távolság a végén az időtartam egy , abban az esetben, egységes elmozdulás. Görbe vonalú sebességről beszélünk, hogy megkülönböztessük ezt a nagyságot a vektor sebességétől. A görbületi sebesség megfelel a sebességvektor normájának . Gyakran a köznyelvben használt sebesség kifejezés megegyezik a görbe vonalú sebességgel, például a 80  km / h kifejezési sebességgel , amely skalárnak felel meg, és nem vektornak.

Ez a meghatározás új módot kínál az ív hosszának megértésére. Ennek a hossznak a megismeréséhez elegendő megtalálni egy állítólag kicsi hangyát, amely mindig állandó görbületű f sebességgel mozog , hogy az ívet megmozgassa . Ha az ív menetideje egyenlő a-val , akkor hossza af . Ha ez az ötlet sikeres, akkor be kell tartani. Az ív útjának állandó sebességgel történő modellezése gyakran nehezebb kérdés, mint a kívánt hossz kiszámítása. Ha a sebesség f állandó, a hossza lehet tekinteni, mint az egy téglalap területét hosszúságú időt a szükséges utazni az ívet és a magasság f . Ha a sebesség nem állandó, akkor cserélje ki a vonal y = f egy derékszögű koordináta-rendszerben a vonal egyenlet y  =  f ( t ), ahol t között változik, 0 és egy . Az ív hossza megegyezik a három x = 0, x = a , y = 0 és az y = f ( t ) egyenes közötti területtel . A sárga színnel látható terület a jobb oldali ábrán található.

Ez az új megközelítés a félköbös parabola tanulmányozásával kap formát, a cy 2 = x 3 egyenlettel . 1660 körül ez a probléma híres volt és sok matematikust érdekelt. Az ívhossz kiszámításának kérdését, amelyet akkor egyenirányítási problémának neveztek, akkor nagyon nehéznek, sőt gyakran lehetetlennek tartották. John Wallis 1659-ben tette közzé a megoldást, és Neilnek tulajdonította. A bizonyíték hírességének egyik oka az, hogy konstruktív értékhez vezet az uralkodóval és az iránytűvel , és egy őrült remény születik a kör négyzetének feloldására . Ezt a megoldást Van Heuraet ugyanabban az évben reprodukálja a parabola kijavításának módszerével a hiperbola kvadratúrájának kiszámításával . A felszín négyzetezésének problémája a területének meghatározása. 1660-ban Pierre de Fermat általánosította bármely görbe megközelítését, amelyet akkoriban mindig levezethetőnek képzelünk, legalább darabokban, még akkor is, ha a származékos fogalma még nem volt formalizálva.

Óriási ugrás történt 20 és 30 évvel később, amikor Isaac Newton és Gottfried Wilhelm Leibniz felfedezte a végtelenül kis számítást és az elemzés második alapvető tételét , jelezve a derivált és az integrál kapcsolatát . A hossza L egy ív áthaladni időtartam alatt egy egy görbe vonalú sebessége egyenlő f ( t ) abban a pillanatban, t egyenlő:

L=∫0nál nélf(t) dt.{\ displaystyle L = \ int _ {0} ^ {a} f (t) ~ \ mathrm {d} t.}

Definíciók

Pontosabban meg kell adni néhány meghatározást. Itt E jelöli az n dimenzió euklideszi terét és ℝ a valós számok halmazát . A hosszúság meghatározásához hasznos pontos jelentést társítani a C p osztály paraméterezett ívéhez , ha p pozitív egész szám:

Meghatározása egy paraméterezett ív  -  egy paraméterezett íven osztályú C p egy pár ( I , F ) áll egy intervallum I a ℝ és függvényében I euklideszi térben, p -szer differenciálható, amelynek származék p ième folytonos és amelynek első származéka soha nem tűnik el.

Ha azt kérjük, hogy az első származék soha ne törölje el, akkor elkerülhetjük azokat a szingularitásokat, amelyek nem képezik a cikk tárgyát. Ez a meghatározás egyszerre biztosítja az ívet és a bejárási módot. Geometriai szempontból azonban az ív gyors vagy lassú áthaladása egyik vagy másik irányban nem változtatja meg az ív jellegét. Ezért meghatározzunk egy ekvivalenciaosztályt a paraméterezett ívek között:

Ívek meghatározása C p -ekvivalensek  -  Legyen ( I , f ) ( J , g ) két E értékekkel paraméterezett ív . Ha létezik egy diffeomorfizmus θ C osztály p a I a J úgy, hogy g ∘θ egyenlő f azt mondjuk, hogy a két paraméteres ívek C o -equivalent.

Például a kör kétszeri áthaladása egy paraméterezett ívvel soha nem egyenértékű azzal a paraméterezett ívvel, amely csak egyszer haladja meg a kört. Valójában az egyik esetben a kör bármely pontjának két előzménye van, a másik esetben egyedi, a diffeomorfizmus nem létezhet. Most megadhatjuk a geometriai ív meghatározását:

A C osztály geometriai ívének meghatározása p  -  A geometriai ív a C p egyenértékű ív ekvivalencia osztálya .

Lehetővé válik a geometriai ív hosszának szigorú meghatározása:

A C p osztályú geometriai ív hosszának meghatározása  -  A geometriai ív hossza, amelynek reprezentatív ( I , f ) értéke a következő integrál L értéke , amely megegyezik egy pozitív számmal vagy a végtelenig:

L=∫én‖f′(t)‖ dt.{\ displaystyle L = \ int _ {I} \ | f '(t) \ | ~ \ mathrm {d} t.}

Az integrál nem feltétlenül véges, mert az I intervallum nem feltétlenül szegmens . Például, ha I egyenlő ℝ és f azzal a függvénnyel, amelyhez t az exp (i t ) -t társítja az euklideszi síkon azonosított komplex számok értékeihez, a geometriai ív végtelen sokszor keresztezi az egység kört, hossza végtelen.

Annak érdekében, hogy a definíció értelmes legyen, két ekvivalens ív hosszúságának azonosnak kell lennie. Csak ellenőrizzük. Ha ( I , F ) és ( J , g ) két ekvivalens paraméteres ívek C p , és ha a diffeomorfizmus θ kielégíti g ∘θ =  F , akkor az integráció változása változó azt mutatja, hogy:

L=∫J‖g′(t)‖ dt=∫J‖ddt(f∘θ)(t)‖ dt=∫J‖(f′∘θ)(t)‖|θ′(t)| dt=∫én‖f′(s)‖ ds.{\ displaystyle L = \ int _ {J} \ | g '(t) \ | ~ \ mathrm {d} t = \ int _ {J} \ bal \ | {\ frac {d} {dt}} (f \ circ \ theta) (t) \ right \ | ~ \ mathrm {d} t = \ int _ {J} \ | (f '\ circ \ theta) (t) \ || \ theta' (t) | ~ \ mathrm {d} t = \ int _ {I} \ | f '(s) \ | ~ \ mathrm {d} s.}

Megfogalmazás

Ha E egy euklideszi síkot jelöl, akkor az f függvény két koordinátafüggvény segítségével fejezhető ki, I- től ℝ-ig, itt x ( t ) és y ( t ). Ha a koordinátákat ortonormális alapon fejezzük ki, és ha] a ,  b [kijelöli az I intervallumot , akkor az előző képlet:

L=∫nál nélb(dxdt)2+(dydt)2dt.{\ displaystyle L = \ int _ {a} ^ {b} {\ sqrt {\ bal ({\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} \ jobb) ^ {2} + \ balra ({\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} t}} \ jobbra) ^ {2}}} \ mathrm {d} t.}

Ebben a formában az ív hossza egy másik intuitív igazolást talál, mint a sebesség. Legyen t és t két olyan pozitív valós szám, hogy t és t + d t az I elemei . Jelöljük ( x , y ) t képének koordinátáival és ( x + d x , y + d y ) t + d t koordinátáival . Ezt a helyzetet szemlélteti a jobb oldali ábra. Ha d t elég kicsi, akkor a görbe közel van az érintő közelítéséhez. A paraméter e két értéke közötti azonosítás esetén az ív a t pontot érintő lineáris közelítésével lokálisan csökkenti a derékszögű háromszög hipotenuszának d s hosszúságának számítását, amelyet a Pitagorasz-tétel segítségével számolunk  :

ds≈‖f(t+dt)-f(t)‖≈‖f′(t)dt‖=(dxdt)2+(dydt)2dt.{\ displaystyle ds \ approx \ | f (t + \ mathrm {d} t) -f (t) \ | \ approx \ | f '(t) \ mathrm {d} t \ | = {\ sqrt {\ balra ({\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} \ jobbra) ^ {2} + \ balra ({\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} t }} \ jobbra) ^ {2}}} \ mathrm {d} t.}

Van egy szokásos egyedi eset, amikor a görbe a C 1 osztály g függvényének grafikonja egy I intervallumon belül és ℝ értékekkel. Visszatérve az előzőhöz közelebbi helyzetbe, úgy gondolhatjuk, hogy a görbét a paraméterezett ív ( I , f ) képviseli, ahol f az I függvénye ℝ 2-ben, amelyet t asszociál ( t , g ( t )). . Mindig feltételezve, hogy] a , b [az I intervallumot jelöli , kapjuk:

L=∫nál nélb1+g′(t)2dt.{\ displaystyle L = \ int _ {a} ^ {b} {\ sqrt {1 + g '(t) ^ {2}}} \, \ mathrm {d} t.}

Néha kényelmesebb a poláris koordinátákat használni a paraméterezett ív kifejezésére, ami a következő jelölések használatával jár:

x=r(θ)kötözősaláta⁡θésy=r(θ)bűn⁡θ.{\ displaystyle x = r (\ theta) \ cos \ theta \ quad {\ text {és}} \ quad y = r (\ theta) \ sin \ theta.}

Következtethetünk:

dxdθ=r′(θ)kötözősaláta⁡θ-r(θ)bűn⁡θ,{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} \ theta}} = r '(\ theta) \ cos \ theta -r (\ theta) \ sin \ theta,}

dydθ=r′(θ)bűn⁡θ+r(θ)kötözősaláta⁡θ,{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} \ theta}} = r '(\ theta) \ sin \ theta + r (\ theta) \ cos \ theta,}

(dxdθ)2+(dydθ)2=r′(θ)2+r(θ)2,{\ displaystyle \ left ({\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} \ theta}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {\ mathrm {d} y} { \ mathrm {d} \ theta}} \ right) ^ {2} = r '(\ theta) ^ {2} + r (\ theta) ^ {2},}

amely lehetővé teszi a képlet megállapítását:

L=∫nál nélbr′(θ)2+r(θ)2dθ.{\ displaystyle L = \ int _ {a} ^ {b} {\ sqrt {r '(\ theta) ^ {2} + r (\ theta) ^ {2}}} \; \ mathrm {d} \ theta .}

A 3. dimenzióban és ugyanazon feltételezések mellett a képlet a következő formát ölti:

L=∫nál nélb(dxdt)2+(dydt)2+(dzdt)2dt.{\ displaystyle L = \ int _ {a} ^ {b} {\ sqrt {\ bal ({\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} \ jobb) ^ {2} + \ balra ({\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} t}} \ jobbra) ^ {2} + \ balra ({\ frac {\ mathrm {d} z} {\ mathrm {d } t}} \ right) ^ {2}}} \ mathrm {d} t.}

Példák

A trigonometrikus kör , az ív hossza, amely a végtagok eredetét az íveket és a pont az első negyedben az ordináta van: b{\ displaystyle b}

arcsin⁡b=∫0b11-t2dt{\ displaystyle \ arcsin b = \ int _ {0} ^ {b} {\ frac {1} {\ sqrt {1-t ^ {2}}}} \; \ mathrm {d} t}.

A XVII .  Században az ív helyreállításának problémája az élen jár a kutatásban. A differenciálszámítás eszközei nélkül ezek a kérdések megválaszolásához nagy képzelőerőre van szükség. Sokkal könnyebbé válnak, ha a derivált és az integrálhoz való viszonya ismert. Példa erre a lánc , egy síkgörbe, amely megfelel annak az alaknak, amelyet egy kábel akkor kap, amikor a végei felfüggesztik és saját súlyának vannak kitéve. 1691-ben mind Leibniz, Huygens, mind a Bernoulli testvérek megoldották . Ha a cosh a hiperbolikus koszinust , a a pedig szigorúan pozitív valósat jelöli , annak egyenlete a következő:

y=nál nélkényelmes⁡(xnál nél)=nál nél2(exp⁡(xnál nél)+exp⁡(-xnál nél)).{\ displaystyle y = a \ operátor neve {cosh} \ bal ({\ frac {x} {a}} \ jobbra) = {\ frac {a} {2}} \ balra (\ exp \ left ({\ frac { x} {a}} \ jobb) + \ exp \ bal (- {\ frac {x} {a}} \ jobb) \ jobb).}

A 0 abszcissza pontja és az x 0 abszcissza közötti lánc L 0 hosszát a képlet adja meg, ha sinh a hiperbolikus szinuszt jelöli  :

L0=nál nélsinh⁡(x0nál nél).{\ displaystyle L_ {0} = a \ operátor neve {sinh} \ balra ({\ frac {x_ {0}} {a}} \ jobbra).}

A logaritmikus spirál hosszát először differenciálszámítás használata nélkül határozzuk meg. Aztán ez a használat lehetővé teszi a probléma megoldását egy nagyon egyszerű módon, különösen, ha a javasolt parametrizációja poláris, ha egy szigorúan pozitív valós és b szigorúan nagyobb, mint 1:

ρ(θ)=nál nél bθ.{\ displaystyle \ rho (\ theta) = a ~ b ^ {\ theta}.}

Az L hossz θ a spirál közötti a kiindulási ponton, és hogy a szög θ, amely lehet nagyobb, mint 2π, kifejezve a következő képlet:

Lθ=1+(ln⁡b)-2ρ(θ).{\ displaystyle L _ {\ theta} = {\ sqrt {1 + (\ ln b) ^ {- 2}}} \ rho (\ theta).}

Egy másik számítás történelmi jelentőségű, hogy a Neil parabola, ami megfelel a görbe egyenlet y  = ± ax 3/2 , ha egy szigorúan pozitív egész szám. Javítását a differenciálszámítás felfedezése előtt hajtják végre. Az újdonság abban rejlik, hogy ha L 0 az ág pozitív része hosszát jelöli 0 és x 0 között , akkor a következő közbenső eredményt használjuk:

L0=∫0x01+9.nál nél24xdx.{\ displaystyle L_ {0} = \ int _ {0} ^ {x_ {0}} {\ sqrt {1 + {\ frac {9a ^ {2}} {4}} x}} \; \ mathrm {d } x.}

A helyesbítés kérdése végül egy kvadratúrás problémához kapcsolódik, vagyis a felület kiszámításához az ebben a bekezdésben használt meghatározás alapján. Végül:

L0=(4+9.nál nél2x0)32-8.27.nál nél2.{\ displaystyle L_ {0} = {\ frac {(4 + 9a ^ {2} x_ {0}) ^ {\ frac {3} {2}} - 8} {27a ^ {2}}}.}

Ez a megközelítés lehetővé teszi a parabola kijavításának problémájának megoldását . Ha úgy döntünk, a paraméterezése y = ax 2 , azzal a szigorúan pozitív valós, a hossza L 0 az ág között található 0 és x 0 formájában fejezzük ki, a hiperbola kvadratúra, amit képes volt elérni több mint 20 évek:

L0=14nál nél(μμ2+1+ln⁡(μ+μ2+1))val velμ=2nál nélx0.{\ displaystyle L_ {0} = {\ frac {1} {4a}} \ bal (\ mu {\ sqrt {\ mu ^ {2} +1}} + \ ln (\ mu + {\ sqrt {\ mu ^ {2} +1}}) \ right) \ quad {\ text {with}} \ quad \ mu = 2ax_ {0}.}

Ha a sebesség-megközelítés könnyen megoldja a cikloid ívének hosszának kérdését , amely megegyezik a kör sugárának 8-szorosával, akkor nyilvánvalóan olyan egyszerű probléma, mint az ellipszis kerületének kiszámítása a féltengelyek függvényében, integrálokhoz vezet. ez nem magyarázható tovább: második típusú elliptikus integrálokról beszélünk .

A számítások hasonlóak a 3. dimenzióban. A " Loxodromy  " cikk  egy példát ismertet.

A számítás részletei

• A trigonometrikus kör javítása:

A paraméterezést a függvények alapján használjuk, és a következőkön definiáljuk  : x{\ displaystyle x}y{\ displaystyle y}[0,1]{\ displaystyle [0,1]}

x(t)=1-t2,y(t)=t{\ displaystyle x (t) = {\ sqrt {1-t ^ {2}}}, \ quad y (t) = t}

Származékaik a következők:

x′(t)=u1-t2,y′(t)=1{\ displaystyle x '(t) = {\ frac {u} {\ sqrt {1-t ^ {2}}}}, \ quad y' (t) = 1}. ‖f′(t)‖=11-t2{\ displaystyle \ | f '(t) \ | = {\ frac {1} {\ sqrt {1-t ^ {2}}}}}.

Honnan :

arcsin⁡b=∫0b11-t2dt.{\ displaystyle \ arcsin b = \ int _ {0} ^ {b} {\ frac {1} {\ sqrt {1-t ^ {2}}}} \; \ mathrm {d} t.}

• A lánc javítása:

Mi itt használni a paraméterezést egy függvény g , által definiált g ( x ) = egy cosh (X / a). Megkapjuk a következő kifejezéseket:

1+g′(x)2=1+sinh⁡(xnál nél)2=kényelmes⁡(xnál nél).{\ displaystyle {\ sqrt {1 + g '(x) ^ {2}}} = {\ sqrt {1+ \ kezelőnév {sinh} \ bal ({\ frac {x} {a}} \ jobbra) ^ { 2}}} = \ kezelőnév {cosh} \ bal ({\ frac {x} {a}} \ jobb).}

Következtethetünk:

L0=∫0x0kényelmes⁡(xnál nél)dx=[nál nélsinh⁡(xnál nél)]0x0=nál nélsinh⁡(x0nál nél).{\ displaystyle L_ {0} = \ int _ {0} ^ {x_ {0}} \ operátornév {cosh} \ bal ({\ frac {x} {a}} \ jobb) \ mathrm {d} x = \ balra [a \ operátornév {sinh} \ balra ({\ frac {x} {a}} \ jobbra) \ jobbra] _ {0} ^ {x_ {0}} = egy \ operátornév {sinh} \ balra ({\ frac {x_ {0}} {a}} \ jobbra).}

• A logaritmikus spirál javítása:

A polárkoordinátákat felhasználva a következőket kapjuk:

ρ′(μ)2+ρ(μ)2=nál nélln⁡(b)2b2μ+b2μ=nál nél1+ln⁡(b)2bμ.{\ displaystyle {\ sqrt {\ rho '(\ mu) ^ {2} + \ rho (\ mu) ^ {2}}} = a {\ sqrt {\ ln (b) ^ {2} b ^ {2 \ mu} + b ^ {2 \ mu}}} = a {\ sqrt {1+ \ ln (b) ^ {2}}} b ^ {\ mu}.}

Következtethetünk:

Lθ=nál nél1+ln⁡(b)2∫-∞θbμdμ=nál nél1+ln⁡(b)2ln⁡(b)bθ=1+ln⁡(b)-2ρ(θ).{\ displaystyle L _ {\ theta} = a {\ sqrt {1+ \ ln (b) ^ {2}}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ theta} b ^ {\ mu} \ mathrm { d} \ mu = a {\ frac {\ sqrt {1+ \ ln (b) ^ {2}}} {\ ln (b)}} b ^ {\ theta} = {\ sqrt {1+ \ ln ( b) ^ {- 2}}} \ rho (\ theta).}

• Neil példázatának javítása:

Az ívet az y  =  g ( x ) görbe paraméterezi , amely a számításhoz vezet:

1+g′(x)2=1+9.nál nél24x{\ displaystyle {\ sqrt {1 + g '(x) ^ {2}}} = {\ sqrt {1 + {\ frac {9a ^ {2}} {4}} x}}}

majd az u  = 9a 2 x / 4 változó változásával :

L0=∫0x01+9.nál nél24xdx=49.nál nél2∫09.nál nél24x01+udu=8.27.nál nél2[(1+u)32]09.nál nél24x0=(4+9.nál nél2x0)32-8.27.nál nél2.{\ displaystyle L_ {0} = \ int _ {0} ^ {x_ {0}} {\ sqrt {1 + {\ frac {9a ^ {2}} {4}} x}} \; \ mathrm {d } x = {\ frac {4} {9a ^ {2}}} \ int _ {0} ^ {{\ frac {9a ^ {2}} {4}} x_ {0}} {\ sqrt {1+ u}} \; \ mathrm {d} u = {\ frac {8} {27a ^ {2}}} \ balra [(1 + u) ^ {\ frac {3} {2}} \ jobbra] _ { 0} ^ {{\ frac {9a ^ {2}} {4}} x_ {0}} = {\ frac {(4 + 9a ^ {2} x_ {0}) ^ {\ frac {3} {2 }} - 8} {27a ^ {2}}}.}

• A parabola javítása:

A példázat helyesbítése kissé finomabb. Az előző jelölésekkel:

1+g′(x)2=1+4nál nél2x2=222+u2val velu=22nál nélx.{\ displaystyle {\ sqrt {1 + g '(x) ^ {2}}} = {\ sqrt {1 + 4a ^ {2} x ^ {2}}} = {\ frac {\ sqrt {2}} {2}} {\ sqrt {2 + u ^ {2}}} \ quad {\ text {}} \ quad u = 2 {\ sqrt {2}} ax.}

Következtethetünk:

L0=14nál nél∫0τ2+u2duval velτ=22nál nélx0.{\ displaystyle L_ {0} = {\ frac {1} {4a}} \ int _ {0} ^ {\ tau} {\ sqrt {2 + u ^ {2}}} \ mathrm {d} u \ quad {\ text {with}} \ quad \ tau = 2 {\ sqrt {2}} ax_ {0}.}

A meghatározandó területet a jobb oldali ábra mutatja. Az x = 0 és x = τ két egyenletsor között helyezkedik el , majd az y = 0 és a függvény között, amelynek egyenlete az integrál alatt van. Az elemzés hatékony eszközeinek nélkül ki lehet számítani ezt a területet. Három zónára oszlik, sárga, kék és világoszöldre.

A sárga zóna az 1. oldal fél négyzetének felel meg, a kék a τ oldal fél négyzetének felel meg. Határozzuk meg a sötétzöld háromszög v f területét . Ehhez elegendő kiszámítani v d átlójának hosszát  :

vd=2+τ2-τésvf=14(2+τ2-τ)2=12(τ2-τ2+τ2+1).{\ displaystyle v_ {d} = {\ sqrt {2+ \ tau ^ {2}}} - \ tau \ quad {\ text {et}} \ quad v_ {f} = {\ frac {1} {4} } \ left ({\ sqrt {2+ \ tau ^ {2}}} - \ tau \ right) ^ {2} = {\ frac {1} {2}} (\ tau ^ {2} - \ tau { \ sqrt {2+ \ tau ^ {2}}} + 1).}

Ez még mindig az határozza meg a területet a fény zöld zóna v c , ez egyenlő a különbség a terület a zöld zóna v és a sötét zöld zónában. A zöld zóna megfelel a legtávolabbi sötétzöld háromszög csúcsa eredete közötti távolság logaritmusának :

v=ln⁡(2τ+22vd)=ln⁡(τ+2+τ2)-ln⁡(2)2.{\ displaystyle v = \ ln \ left ({\ sqrt {2}} \ tau + {\ frac {\ sqrt {2}} {2}} v_ {d} \ right) = \ ln \ left (\ tau + {\ sqrt {2+ \ tau ^ {2}}} \ jobbra) - {\ frac {\ ln (2)} {2}}.}

Következtethetünk:

vvs.=v-vf=ln⁡(τ+2+τ2)-ln⁡(2)2-12(τ2-τ2+τ2+1),{\ displaystyle v_ {c} = v-v_ {f} = \ ln \ left (\ tau + {\ sqrt {2+ \ tau ^ {2}}} \ right) - {\ frac {\ ln (2) } {2}} - {\ frac {1} {2}} (\ tau ^ {2} - \ tau {\ sqrt {2+ \ tau ^ {2}}} + 1),}

ami azt mutatja, hogy ha √ 2 μ = τ:

L0=14nál nél(τ2+τ22+ln⁡(τ+2+τ2)-ln⁡(2)2)=14nál nél(μμ2+1+ln⁡(μ+μ2+1)).{\ displaystyle L_ {0} = {\ frac {1} {4a}} \ bal ({\ frac {\ tau {\ sqrt {2+ \ tau ^ {2}}}} {2}} + \ ln \ balra (\ tau + {\ sqrt {2+ \ tau ^ {2}}} \ right) - {\ frac {\ ln (2)} {2}} \ right) = {\ frac {1} {4a} } \ balra (\ mu {\ sqrt {\ mu ^ {2} +1}} + \ ln (\ mu + {\ sqrt {\ mu ^ {2} +1}}) jobbra}.}

• A cikloid rektifikálása:

A szokásos beállítását a ciklois sugarú egy a következő:

x(θ)=nál nél(θ-bűn⁡θ)ésy(θ)=nál nél(1-kötözősaláta⁡θ).{\ displaystyle x (\ theta) = a (\ theta - \ sin \ theta) \ quad {\ text {et}} \ quad y (\ theta) = a (1- \ cos \ theta).}

Ez a beállítás lehetővé teszi a derivált normájának kiszámítását:

dxdθ=nál nél(1-kötözősaláta⁡θ),dydθ=nál nélbűn⁡θés(dxdθ)2+(dydθ)2=nál nél2(2-2kötözősaláta⁡(θ))=4nál nél2(1-kötözősaláta2⁡θ2)=4nál nél2bűn2⁡θ2.{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} \ theta}} = a (1- \ cos \ theta), \; {\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} \ theta}} = a \ sin \ theta \ quad {\ text {et}} \ quad \ left ({\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} \ theta}} \ jobbra) ^ {2} + \ balra ({\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} \ theta}} \ jobbra) ^ {2} = a ^ {2} (2-2 \ cos (\ theta)) = 4a ^ {2} \ balra (1- \ cos ^ {2} {\ frac {\ theta} {2}} \ jobbra) = 4a ^ {2} \ sin ^ {2} {\ frac {\ theta} {2}}.}

A kívánt hosszúság:

L=∫02π2nál nél|bűn⁡θ2|dθ=4nál nél∫0πbűn⁡μdμ=8.nál nél.{\ displaystyle L = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} 2a \ bal | \ sin {\ frac {\ theta} {2}} \ jobb | \ mathrm {d} \ theta = 4a \ int _ { 0} ^ {\ pi} \ sin \ mu \ mathrm {d} \ mu = 8a.}

Differenciálgeometria

Fermat elve

Pierre de Fermat a differenciálszámítás egyik előfutára , Leibniz és Newton előtt. Snell-Descartes törvényeinek értelmezését javasolja egy 1662-es levélben, amely a kamara Marin Cureau-hoz címzett, egy nagyon általános elv megfogalmazásával: "a természet mindig a legrövidebb úton cselekszik", amely magában foglalja a fény terjedésének szabályait geometriai optika .

Fermat megérzése helyes. A fénysebesség vízben vagy üvegben lassabb, mint vákuumban vagy levegőben. A fény pályája ennek megfelelően a két közegben a fénysebesség arányának függvénye. Ezt az elvet a bal oldali ábrán látható úgynevezett életmentő problémával lehet szemléltetni . Az A 1 pontban elhelyezkedő vízimentőnek el kell kerülnie az A 2-es fulladást . Ahhoz, hogy a lehető leggyorsabb legyen, az életmentőnek meg kell találnia az M 1 pontot a strand és a tenger határán, az A 1- től M- ig haladva , majd M- től A 2-ig , vagy a leggyorsabb útvonalig kell úsznia. Ahogy gyorsabban fut, mint úszik, az M pont szükségszerűen közelebb van A 2-hez, mint az A 1 A 2 ponttól elválasztott szakasz a strand és a tenger határán.

A kérdés modellezésének másik módja az, hogy a teret új d 2 távolsággal látják el , amely összefügg a fény vagy az életmentő mozgásának sebességével. A két pont közötti távolságot az az idő adja meg, amely az egyik pontról a másikra való eljutáshoz szükséges. Ha a C egy mértani ív parametrizációs ( I , F ), és N A közötti arány a sebességet a életmentő a parton, és hogy a ponton A , a hossza a körív C kifejezve:

LVS=∫énnemf(t)‖dfdt‖dt.{\ displaystyle L_ {C} = \ int _ {I} n_ {f (t)} \ balra \ | {\ frac {\ mathrm {d} f} {\ mathrm {d} t}} jobbra \ | \ ; \ mathrm {d} t.}

Most egy ív hossza teszi lehetővé a d 2 távolság meghatározását  : a két pont közötti távolság a két pontot összekötő ív legkisebb hossza. A jobb oldali ábra szemlélteti a tér geometriáját, a két távolsággal látva. A d 2 távolsággal felszerelt tér fent látható. Az életmentő legrövidebb pályája a zöld színnel jelölt egyenes, a pozíciójától egyenlő távolságra lévő pontok pedig a körívek, vörösek a tengerparton és kékek a tengerben. Ugyanez az ábra látható az alsó ábrán, ez idő a szokásos távolsággal. Mivel az életmentő lassabban halad a vízben, a tengerben lévő körök részei összetörnek . Ez a település torzítja a zöld vonalak azon részeit, amelyek a vízben vannak. A kapott szögek a tengerparton lévő zöld szegmens és a vízben való kiterjesztése között Descartes törvényeit követik.

A legkevesebb cselekvés elve

A Fermat elve leírására használt kifejezés okos. Semmi sem jelzi megfogalmazásában, hogy a geometriai optikára korlátozódik. A jövő igazolja. Az egyik kérdés, amelyet Galileo már 1638-ban sikertelenül felvetett , az, hogy megtalálja azt a görbét, amelynek csúszós anyagi pontot kell kölcsönöznie súrlódás nélkül, hogy a lehető leggyorsabban mozoghasson az A pontról a B pontra . Point B feltételezzük, hogy egy magasságban kisebb vagy egyenlő, mint hogy pont egy a kérdés, hogy van megoldás. Ezt a kérdést brachistochrone problémának hívják . Jean Bernoulli 1696-ban visszahozta a reflektorfénybe, és kihívást jelentett az Acta Eruditorum újság olvasói számára .

Egy másik megoldás a Fermat-elv alkalmazása. Ha két A és B pont közötti távolságot a legmagasabbtól a legalacsonyabbig való elmozduláshoz szükséges idő méri, akkor a tér a parabola módon kitágul a függőleges tengelyen. Valójában, ha 1-nek nevezzük az 1 időegység alatt függőlegesen megtett hosszúságot, a 2 időegységben függőlegesen megtett hossza 4, akkor a 3-ban megtett idő 9, stb. A brachistrochrone probléma megoldása az anyagi pont sebességével mért tér és a szokásos módon mért tér közötti áthaladás törvényeinek felismerését jelenti. A választ a jobb oldali ábra mutatja. Mint korábban, a fenti ábra a d 2 távolsággal mért teret ábrázolja , amely megfelel az anyagi pont sebességének. A d 2 távolsággal látott pályákat félvonalként tekintjük ugyanarról a pontról, ahol a pont sebessége kezdetben nulla. Ezek a félvonalak az ábrán rendszeresen el vannak osztva π / 8 szögben. Piros színnel jelzik a pont lehetséges pozícióit fix és szabályos idő, 1, 2, 3 és 4 másodperc után. A piros görbék megfelelnek azoknak, amelyeket általában félkörnek nevezünk.

Ugyanezt az ábrát szemléltetjük a szokásos távolsággal az első alatt. Kicsit nehezebb olvasni, mint az előző geometriának megfelelő. A legegyszerűbb az 1. számmal jelölt zöld vonallal kezdeni. Ez egy vízszintes elmozdulásnak felel meg. Mivel az anyagi pont kezdeti sebessége nulla, elmozdulása nulla, és a vonal átalakul egy ponttá, amelyet az alsó ábrán 1 jelölünk. A fekete pálya egy görbének felel meg, amelynek kezdő érintője függőleges. Nincs lehetséges görbe, de egy végtelen, amelyek közül kettőt az alsó ábra, fekete színnel mutat be. Ezek a görbék megfelelnek a teljes cikloid íveknek . Bármely cikloidív, amelynek kezdőpontja az ábra, megfelel a kezdeti függőleges érintő egyenesének a d 2 távolsággal . Ez a helyzet hasonló a felső ábra összes zöld félvonalának képéhez. Tehát a 2-es számmal jelölt félvonal megfelel az ábra alsó részében bemutatott cikloid egy részének, és a cikloid ezen részének bármely homotétiája megfelel a 2-es félvonal képének is.

A brachistochrone probléma megoldására használt technika ugyanolyan jellegű, mint az optika előző bekezdésében. Jól megválasztott távolságra keressük a legrövidebb ívet . Fermat elve néha a legkevesebb cselekvés elvének nevét veszi , amelyet Maupertuis újra felfedez és a következőképpen fogalmaz : „A cselekvés arányos a tömeg sebességgel és térrel szorzatával. Itt van ez az elv, olyan bölcs, annyira méltó a Legfelsőbb Lényhez: amikor bármilyen változás bekövetkezik a Természetben, a változáshoz alkalmazott cselekvés mennyisége mindig a lehető legkisebb. "

Riemann fajta

A brachistochrone probléma példájában a törésmutató egyenértéke megfelel az űrtömörítési tényezőnek, mint például az optika. Mivel itt a tér inkább bővül, az index gyorsan 0 és 1 között van. Pontosan egyenlő (2gh) -1/2, ha h a magasság, negatívan számolva. Newton differenciálegyenletének a bolygók pályáját jelző differenciálegyenletének megoldására ugyanezt a módszert kell alkalmazni, ezúttal együtthatóval, amely egyenlő a / h-val . A számítások kissé egyszerűbbek, és a cikloidok ívei félkörökké alakulnak.

Ha Bernhard Riemann , a Gauss hallgatója eléggé érdekli ezt a kérdést ahhoz, hogy tézise legyen, akkor nem egy híres differenciálegyenlet megoldásának új módszerét javasolja , hanem a geometria jobb megértését. Ha eltávolítjuk a 0 magasságpontokat (a 0 magasságpont valóban nem nulla távolságra van önmagától, aminek alig van értelme), akkor metrikus teret kapunk. Ennek a metrikának a definiálásához a G tér C ívének L C hosszúságának új meghatározásával kezdjük, amely, ha ( I , f ) paraméterrel rendelkezik, a vizsgált konkrét esetben érvényes:

LVS=∫én‖dfdt‖dtval vel∀o∈G,∀u∈To‖o‖=nemo‖u‖{\ displaystyle L_ {C} = \ int _ {I} \ bal \ | {\ frac {\ mathrm {d} f} {\ mathrm {d} t}} \ right \ | \ mathrm {d} t \ quad {\ text {with}} \ quad \ forall p \ in G, \; \ forall u \ in {\ mathcal {T}} _ {p} \ quad \ | p \ | = n_ {p} \ | u \ |}

G minden p pontjának van egy T p érintőtere , amely skaláris szorzattal és ezért normával rendelkezik. Abban az adott esetben a bekezdésben, a norma, hogy a sík, szorozva a kompressziós tényező n p reciprokával arányos a magasságban p . Az ív hosszának meghatározása lehetővé teszi két pont közötti távolság meghatározását. Ez megegyezik a két pontot összekötő legkisebb ív hosszával.

Minőségileg az imént definiált tér kissé hasonlít a jobb oldali ábrára. Riemann formalizmusa, amely először egy ív hosszának, majd a távolságnak a meghatározásában áll, végül nagyon erős. Lehetővé teszi a geometriák nagy halmazának meghatározását, amelyben a klasszikus fogalmak, például vonalak (amelyek a geodézia nevét veszik ), körök vagy görbületek terjednek ki. Ez a módszer lehetővé teszi olyan felületek meghatározását, amelyek nem léteznek a 3. dimenzióban. Az ebben a bekezdésben figyelembe vett állandó negatív görbületű. A p pont görbülete a két legszélsőbb görbület szorzatának felel meg, amelyet a p pontban görbületű abszcisszával paraméterezett ívek vehetnek fel . Ha a két simuló körök vannak egy ellipszoid , beszélünk a pozitív görbület. ha egy ló nyereg , ez az úgynevezett negatív görbület. Egyetlen háromdimenziós felületnek sincs állandó negatív görbülete, ezért az ebben a bekezdésben leírt geometria nem pontosan a jobb oldali ábra geometriája.

Variációk kiszámítása

A három előző bekezdésnek van egy közös pontja, a működéshez szükségük van arra, hogy megtalálják a legrövidebb utat egy adott felület vagy geometria két pontja között, ami általában nem egyszerű kérdés.

A legsikeresebb módszer hasonló a differenciálgeometriához. Véges dimenzióban és a helyes feltételezések szerint az optimális pontnak lapos érintő lineáris közelítése van, amelyet a bal oldali ábra szemléltet. Matematikai értelemben ez azt jelenti, hogy az optimalizálandó függvény gradiensének értéke nulla egy szélső ponton.

Bernoulli ilyen jellegű módszerrel oldja meg a brachistochrone problémát. A jobb oldali ábra szemlélteti, az optimális út körüli kis eltérés nem változtatja meg a hosszát, első rendben. Így a zölddel jelölt optimális útvonal elsőrendű, ugyanolyan hosszú, mint az optimális görbe, szürke színnel. Leonhard Euler finomítja a módszert, és először bemutatja az izoperimetriai probléma megoldását, amely abból áll, hogy megtalálja az adott hosszúságú zárt ívet, és egy olyan felületet zár be, amely a lehető legnagyobb területtel rendelkezik. (Euler igazolását a Lagrange-szorzó című cikk tartalmazza .) 1755-ben Lagrange levelet írt Eulernek. A tautochron görbe kiszámítására vonatkozik , amely a brachistochrone problémához hasonló kérdésnek felel meg. Ez a megfelelés egy hosszú közös munka kezdete, és lehetővé teszi az Euler-Lagrange-egyenlet létrehozását , amely egy nagyon általános módszer a geodézia megtalálásához.

Ha az Euler-Lagrange-egyenlet elegendő a tautokrón probléma megoldásához, néha szükség van annak gazdagítására, például a lánc görbéjének megkeresésére , vagyis a nyugalmi helyzetben elfoglalt pozícióra egy állandó lineáris sűrűségű kábelre (a fizikusok a lineáris kifejezést használják sűrűség ), kitéve a gravitáció. A módszert gazdagítja a Lagrange-szorzó .

A XVIII .  Század matematikája még mindig nem elegendő az Euler- és Lagrange-számítások relevanciájának szigorú bemutatásához. Funkcionális elemzési ismereteik még mindig túl korlátozottak. Ezek a módszerek, amelyek figyelembe a nevét a variációszámítás válik igazán szigorú befolyása alatt Karl Weierstrass a XIX th  században, és különösen a munka Banach és Sobolev a XX th  században.

Sobolev tér

Tegyük fel a kérdést homályosan: két „szoros” görbe hasonló hosszúságú-e?

Itt van egy negatív példa. A 0-val egyenlő állandó függvény grafikonját vesszük [0, 1] -re. Ez az 1 hosszúságú. Könnyen felépítjük a [0, 1] -en a folytonos függvények szekvenciáját, amely javítható, amely egyenletesen konvergál f felé, és amelynek hossza nem konvergál 1 felé.

Például: f 1 egy háromszögfüggvény, amelynek 1 meredeksége [0, 1/2] felett és –1 meredeksége felett [1/2, 1]. Ekkor az f 2 két háromszög által alkotott függvény, amelynek 1 meredeksége [0, 1/4] felett, –1 meredeksége [1/4, 1/2] felett, 1 meredeksége [1/2, 3/4] felett, - 1 a [3/4, 1] és így tovább (4,8,16 háromszögek ...). Az f n függvények mindegyikének van egy √ 2 hosszúságú grafikonja , ráadásul valóban egyenletes konvergencia figyelhető meg f felé .

A „hossz” alkalmazás folytonossági eredményeinek eléréséhez ezért nem szükséges az egységes konvergencia szabványával dolgozni. Inkább a Sobolev szóközök típusának szabványára van szükség .

Jordánia meghatározása

Motiváció

150 éve a XVII .  Század meghatározása kielégíti a matematikusok igényeit, szükség esetén Riemann általánosításával. Még most sem ritka, hogy akkor használják, amikor a téma a differenciálgeometriára korlátozódik . A XIX .  Század második felében az új kérdések általánosabb megközelítést igényelnek.

A vizsgált görbéknek már nincs szisztematikusan specifikus mechanikai vagy kinematikai eredete, hanem a matematika más ágaiból is származnak. Giuseppe Peano felfedezi azt a görbét, amely most a nevét viseli, és amely teljesen lefedi az 1. oldal négyzetének felületét. Hermann Minkowski konvexeket használ az algebrai számelméleti kérdések megoldására . A határok ilyen convexes, ha azok az euklideszi síkon, néha paraméterezhető mint ívek.

Camille Jordan úttörő szerepet játszik az euklideszi sík görbéinek vizsgálatában, amelynek eredete nem kinematikai. Megpróbál néhány ártalmatlannak tűnő kérdést megoldani, például a nevét viselő tételét , ez az eredmény egy zárt és egyszerű görbével foglalkozik. A zárt azt jelenti, hogy a meghatározó szegmens végeinek képe egyesül és egyszerű, hogy az egyetlen kettős pont a vég. Egy ilyen görbe elválasztja a síkot két összekapcsolt részre , a görbe belső és külső részére.

Egy ilyen fejlesztés támogatásához nem szükséges korlátozódni a C 1 osztály geometriai íveire . Jordánia a hosszúság új meghatározását javasolja, a XVII .  Századi elemzők Archimedes megközelítéséhez legközelebb eső megközelítés alapján . Logikájának megértéséhez intuitív módszer az, hogy a karakterláncot a lehető legpontosabban helyezzük el a mérni kívánt ívre. A kötél hosszának könnyű kiszámításához sokszögű utat kell követni. A húr tetejét a vizsgált ívre szorítják, így a csapok egymást követik, mint a jobb oldali ábrán. Egyre több ütés hozzáadásával arra kényszerítjük a húrot, hogy egyre pontosabban kövesse az ívet. Miután végtelen számú, rendszeresen elhelyezett tackot rögzítünk, a kívánt hosszúságot kapjuk. Ha ennek a megközelítésnek az az előnye, hogy releváns, még nem levezethető ív esetén is, kissé trükkös lenne a végtelen számú, rendszeresen elhelyezett csapok ötletének szigorú jelentése . Jordan ehelyett az elképzelhető különféle húrok hosszának felső határát kínálja, véges számú ütéssel rögzítve. Ez a megközelítés ötvözi a szigort és a hossz általánosítását olyan ívekre, amelyek nem feltétlenül különböznek egymástól.

A nem levezethető görbék feldolgozásán túl új módszerek is használhatóvá válnak, amelyek nem voltak a korábbi definíciónál. Az izoperimetrikus tételhez egy példát adunk . Ez a tétel kimondja, hogy bármely felület területe kisebb, mint az azonos kerületű lemezé. Bizonyos demonstrációk, amelyeket a kérdésről szóló cikk bemutat, Jordánia értelmében megkövetelik a hosszúság meghatározását.

Formális megközelítés

Az érkezés készülék most már nem feltétlenül az euklideszi, ( E , d ) jelöli az ebben a bekezdésben egy metrikus tér , és én mindig egy intervallum ℝ. A páros ( I , f ) egy ív, azaz folytonos függvénye I az E . A definícióhoz követett logika közel áll a Riemann-integrálhoz használt logikához . Vagy S egy véges szekvencia a 0 , ..., a n szigorúan növekvő elemei az I-nek . Egy ilyen szekvenciát nevezzük felosztást a tartományban [ egy 0 , egy n ] a I .

S-t követve társíthatjuk az L ( S ) hosszúságot , amelyet a következők határoznak meg:

L(S)=∑én=1nemd(f(nál nélén-1),f(nál nélén)).{\ displaystyle L (S) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} d \ bal (f (a_ {i-1}), f (a_ {i}) \ jobb).}

Az érték L ( S ) itt nevezik a hossza a sokszögű vonal csúcsok a képek a szekvencia S által f . A C ív hosszának meghatározásához szükséges háromszög egyenlőtlenség nagyobb, mint az I intervallum felosztásához kapcsolódó sokszögű vonalé . Az az egyenes, amelyet a sokszög egyenes követ két egymást követő csúcs között, valójában a leggyorsabb út e két pont között, és a C görbén való áthaladás szükségszerűen hosszabb. Másrészt, ha a felosztás nagyon finom, remélhetjük, hogy szerezzen egy jó közelítése a hossza a C , ami indokolttá teszi a következő definíció:

• Az ív hossza C az összes variáció a f , azaz, a felső határa a sor hossza poligonális vonal csúcsa képek alegységének időközzel I .

Egy ilyen meghatározás nem követeli meg, hogy a hosszúság véges legyen. Például egy vonal végtelen hosszúságú. Kevésbé triviális ellenpéldákat ad a jobb oldali ábra vagy a Peano-görbe , amely folyamatos, de sehol sem differenciálható, és amelynek a szegmens képe [0,1] az 1-re eső négyzet pontjainak halmaza. a következő meghatározáshoz:

• Az ívről azt mondják, hogy kijavítható, ha hossza véges.

Tulajdonságok

• A geometriai ív hossza nagyobb, mint a végek közötti távolság, ha vannak.
  Ez a tétel csak a háromszög egyenlőtlenség általánosítása . Az euklideszi térben a két pont közötti legrövidebb út az egyenes szakasz. E két pont végén bármilyen geometriai ívtartás szükségszerűen hosszabb. Ez a javaslat csak akkor érdekes, ha a két vég nem keveredik össze, mint a kör esetében.
• Az egyik végét megosztó két geometriai ívtartó hossza a két tartó hosszának összege.
  Ez a javaslat még mindig nagyon intuitív. Kövessen egy útvonalat A- tól B-ig , majd folytassa egy olyan C ponttal, amely ugyanolyan hosszú, mint ugyanazon az útvonalon haladva A- ból C-be .
• Ha az érkezési halmaz affin tér , egy normából adódó távolsággal felruházva , akkor a geometriai ívre alkalmazott k arány homotetikája az ív hosszát k aránnyal növeli.

Az utolsó tulajdonság hasznos a hosszúság-meghatározás következetességének biztosításához. Itt E ismét egy euklideszi teret jelöl:

• Legyen ( I , f ) javítható C 1 osztályú paraméterezett ív . Az f derivált normájának integrálja az I intervallumon belül konvergens, és az ív L hossza ( I , f ) Jordánia értelmében megegyezik azzal, amelyet a deriváltjának normája integrálja határoz meg.

L=∫én‖dfdt‖dt.{\ displaystyle L = \ int _ {I} \ bal \ | {\ frac {\ mathrm {d} f} {\ mathrm {d} t}} \ jobb \ | \ mathrm {d} t.} Tüntetések

• Az f derivált normájának integrálja az I intervallumon belül konvergens, és az ív L hossza ( I , f ) Jordánia értelmében megegyezik azzal, amelyet a deriváltjának normája integrálja határoz meg:

Legyen ε szigorúan pozitív valós. Az a tény, hogy az ív kijavítható, az I  : a 0 ,…, a n osztásának létezését eredményezi, oly módon, hogy a képek f-vel sokszögű vonalának hossza megközelíti az L-t , az ív hossza ε / 3 Bezárás. Ezek a feltételezések a növekedést eredményezik:

(1)L-∑én=1nem‖f(nál nélén-1)-f(nál nélén)‖≤ϵ3.{\ displaystyle (1) \ quad L- \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ bal \ | f (a_ {i-1}) - f (a_ {i}) \ jobb \ | \ leq { \ frac {\ epsilon} {3}}.}

Az [ a 0 , a n ] szakaszon f deriváltja egyenletesen folytonos függvény . Erre következtetünk, még ha ez a kiválasztott felosztás finomítását is jelenti:

∀én∈[1,nem],∀x∈[nál nélén-1,nál nélén]‖dfdx(nál nélén-1)-dfdx(x)‖ ≤ϵ3(nál nélnem-nál nél0).{\ displaystyle \ forall i \ in [1, n], \; \ forall x \ in [a_ {i-1}, a_ {i}] \ quad \ left \ | {\ frac {\ mathrm {d} f } {\ mathrm {d} x}} (a_ {i-1}) - {\ frac {\ mathrm {d} f} {\ mathrm {d} x}} (x) \ right \ | \ \ leq { \ frac {\ epsilon} {3 (a_ {n} -a_ {0})}}.}

Ez azt mutatja, hogy a vektorértékű függvények véges növekményeinek egyenlőtlensége szerint  :

∀én∈[1,nem-1]‖f(nál nélén)-f(nál nélén-1)-dfdx(nál nélén-1)(nál nélén-nál nélén-1)‖≤ϵ(nál nélén-nál nélén-1)3(nál nélnem-nál nél0).{\ displaystyle \ forall i \ in [1, n-1] \ quad \ | f (a_ {i}) - f (a_ {i-1}) - {\ frac {\ mathrm {d} f} {\ mathrm {d} x}} (a_ {i-1}) (a_ {i} -a_ {i-1}) \ | \ leq {\ frac {\ epsilon (a_ {i} -a_ {i-1} )} {3 (a_ {n} -a_ {0})}}.}

Ezeknek az n - 1 növekedéseknek az összeadásával kapjuk:

(2)|∑én=1nem‖f(nál nélén)-f(nál nélén-1)‖-‖dfdx(nál nélén-1)‖(nál nélén-nál nélén-1)|≤∑én=1nem‖f(nál nélén)-f(nál nélén-1)-dfdx(nál nélén-1)(nál nélén-nál nélén-1)‖≤ϵ3.{\ displaystyle (2) \ quad \ left | \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ | f (a_ {i}) - f (a_ {i-1}) \ | - \ left \ | { \ frac {\ mathrm {d} f} {\ mathrm {d} x}} (a_ {i-1}) \ right \ | (a_ {i} -a_ {i-1}) \ right | \ leq \ összeg _ {i = 1} ^ {n} \ bal \ | f (a_ {i}) - f (a_ {i-1}) - {\ frac {\ mathrm {d} f} {\ mathrm {d} x}} (a_ {i-1}) (a_ {i} -a_ {i-1}) \ right \ | \ leq {\ frac {\ epsilon} {3}}.}

Az (1) és (2) pótdíjak kombinálásával a következőket kapjuk:

∑én=1nem‖dfdx(nál nélén-1)‖(nál nélén-nál nélén-1)≤L+2ϵ3.{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ bal \ | {\ frac {\ mathrm {d} f} {\ mathrm {d} x}} (a_ {i-1}) \ jobb \ | (a_ {i} -a_ {i-1}) \ leq L + {\ frac {2 \ epsilon} {3}}.}

Az utolsó növekedés igaz az I. kellően finom megosztására . Ez azt jelzi, hogy a nem megfelelő szerves a norma a származék F közötti egy és b konvergens. Más szavakkal, még ha ez a felosztás további finomítását is jelenti, a harmadik növekedés is megvan:

(3)|∑én=1nem‖dfdt(nál nélén-1)‖(nál nélén-nál nélén-1)-∫én‖dfdt‖dt|≤ϵ3.{\ displaystyle (3) \ quad \ left | \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left \ | {\ frac {\ mathrm {d} f} {\ mathrm {d} t}} (a_ { i-1}) \ jobb \ | (a_ {i} -a_ {i-1}) - \ int _ {I} \ bal \ | {\ frac {\ mathrm {d} f} {\ mathrm {d} t}} \ right \ | \ mathrm {d} t \ right | \ leq {\ frac {\ epsilon} {3}}.}

A három (1) , (2) és (3) pótdíj összeadásával a következőket kapjuk:

|L-∫én‖dfdt‖dt|≤ϵ.{\ displaystyle \ left | L- \ int _ {I} \ left \ | {\ frac {\ mathrm {d} f} {\ mathrm {d} t}} \ right \ | \ mathrm {d} t \ right | \ leq \ epsilon.}

Az utolsó növekedés minden szigorúan pozitív ε esetén igaz, az ív hossza és az integrál közötti egyenlőség jól ellenőrizhető.

A korlátos függvények a I in E felruházva a távolság egyenletes folytonossága . Természetes csodálkozni a funkció folytonosságán, amely ívvel társítja a hosszát. A bal oldali ábra azt mutatja, hogy ez a funkció nem folyamatos. Valójában azt mondani, hogy az ábrán piros színű ív közel áll egy másikhoz, az ábrán látható kék kör azt jelenti, hogy az ív egyfajta csőben van , kis szélességű. A piros színű görbe azt mutatja, hogy lehet olyan görbét felépíteni, amely annyira oszcillál, hogy nagyon különböző hosszúságú legyen. Másrészt, ha a piros görbe közel van a kékhez, akkor a hossza nem lehet sokkal kisebb, mint a kék. A rövidebb a jobb oldalon zöld színnel látható. Alacsonyabb félfolyamatosságról beszélünk .

• A „hossz” függvény (azaz a teljes variáció ), amelynek értéke [0, + in ] , kisebb mértékben félig folytonos az I korlátozott függvényeinek térében (az egyenletes konvergencia távolságával megadva) az E metrikus térben. .

Valójában az I intervallum bármely σ felosztásához az f ↦ V ( f , σ) függvény folytonos, ezért a hosszfüggvény alsó félig folytonos, mint V ( f , σ) felső határa .

Minkowski tartalom

Motiváció

Minkowskit különösen érdeklik a zárt és egyszerű görbék, mert ezek meghatározzák a kompakt tér határát az euklideszi síkban. Az általa megállapított eredmények különösen akkor érdekesek, ha magasabb dimenziókra képes általánosítani őket.

A differenciálgeometriából származó szerszámok nem mindig alkalmasak erre. Példát ad az izoperimetrikus tétel , általános esetben azt akarjuk bemutatni, hogy az n dimenziójú euklideszi tér szilárd anyagának kisebb térfogata van, mint az azonos felületű gömb térfogatának . Az r sugarú gömb kifejezés a középpontnak nevezett adott ponttól kisebb, mint r távolságra lévő pontok halmazát jelöli . Nem túl bonyolult annak kimutatása, hogy az átlagos görbület egy felület minden pontján, egy szilárd anyag határán, amely eléri az izoperimetrikus optimumot, szükségszerűen állandó. A 2. dimenzióban nagyon egyszerű megmutatni, hogy az állandó átlagos görbület egyedi, egyszerű és zárt görbéje a kör , természetes bizonyíték Hurwitz munkája és a Wirtinger egyenlőtlenséget használja . A 3. dimenzióban a demonstráció ismert, de kellően technikai, hogy csak a XX .  Század elejére datálódjon . Az általános eset még mindig nem bizonyított.

Jordan egy görbe hosszának meghatározása szintén nem megfelelő, mert nem általánosít közvetlenül magasabb dimenziókra. A természetes általánosítás abból állna, hogy a henger egy részének felületét meghatározzuk egy olyan poliéder felületének felső határaként, amelynek csúcsa a henger határán fekszik. A jobb oldali példa szemlélteti egy ilyen általánosítás következetlenségét. Az alkalmazott poliéder olyan lámpa, amelynek csúcsai párhuzamos hatszögeken helyezkednek el, minden alkalommal egy fordulat tizenketted részével eltolva. Ha a hatszögek síkjai egyre közelebb kerülnek, akkor a sokszög felülete a végtelenségig növekszik.

Minkowski megoldást talál egy ív hosszának meghatározására, amely ellenáll a magasabb dimenzióba való áthaladásnak. Intuitív megközelítése eltér az eddigiektől. Jordanhez hasonlóan ő sem a sokszögű vonal hosszára támaszkodik, hanem közvetlenül az n dimenzió euklideszi térének térfogatfüggvényére . Ezt a függvényt általában a Lebesgue-mérték határozza meg . Kellően kicsi ε érték esetén az általa vizsgált C görbétől ε-nél kisebb távolságra lévő pontokat veszi figyelembe . Kap egy halmazt, amelyet rózsaszínnel szemléltet a bal oldali ábra 2. dimenziójának példáján, a C görbét kék színnel ábrázolják. Az ilyen készletet csőnek nevezzük .

Ha az ε értéke csökken, akkor a cső térfogata az ív hosszának szorzatához közelít az n - 1 méretű gömb térfogatával és az ε sugárral. R sugarú kör esetén és a 2. dimenzióban a cső az r + ε sugarú kör és egy ugyanolyan r - ε sugarú kör és egy másik közötti tér területéből áll . Térfogata pontosan 2π r szorozva 2ε-val. A 3. dimenzióban a cső tórusz, ismét térfogata pontosan 2π r szorzata az ε sugarú korong területe alapján. Ez a meghatározás, ha kissé összetettebb megvalósítása, könnyen általánosítható magasabb dimenziókra.

A kör dimenziója a 2. dimenzióban

Ha ε egész szám kisebb, mint r , akkor a C ε terület az a terület , amely egy r  + ε sugarú korongon belül van, és az r  - ε sugarú nyitott korongon kívül van . A Vol ( C ε ) felület egyenlő:

Vol(VSϵ)=π((r+ϵ)2-(r-ϵ)2)=2πr(2ϵ).{\ displaystyle Vol (C _ {\ epsilon}) = \ pi \ left ((r + \ epsilon) ^ {2} - (r- \ epsilon) ^ {2} \ right) = 2 \ pi r (2 \ epsilon).}

Ugyanakkor a 2π r megfelel a kör hosszának, és az 1. dimenzióban az ε sugarú gömb térfogata megegyezik az 2 dimenzióval az 1. dimenzióban. Minkowski tartalma valóban megegyezik a kör hosszával.

Formalizmus

Minkowski és Hausdorff eszközöket fejlesztenek ki a szilárd anyagok általános vizsgálatának jobb megértése érdekében. A vizsgált halmaz, amely nem üres kompaktok egy euklideszi térben E , dimenzió n . A Minkowski összege kombájnok két A és B szilárd A + B áll mennyiségű elemei A és B . Ez a készlet Hausdorff távolságnak nevezett távolsággal van felszerelve . A vizsgált cső egy kompakt C összegének felel meg, amely megfelel annak a görbének, amelynek hosszát meg akarjuk mérni, és az ε sugarú gömböt, itt meg kell jegyezni C ε .

Ha a görbe C egyszerű és zárt és osztály C 2 , majd a térfogatot a cső Vol (C ε ) van kifejezve hosszának függvényében L C az ív C és térfogat Vol ( B n-1 ( n - 1 dimenziós és ε sugarú euklideszi tér gömbjének ε)), azzal a feltétellel, hogy ε kellően kicsi marad:

Repülési⁡(VSϵ)=LVSRepülési⁡(Bnem-1(ϵ)).{\ displaystyle \ operátornév {Vol} (C _ {\ epsilon}) = L_ {C} \ operatorname {Vol} (B_ {n-1} (\ epsilon)).}

Ha a görbe nincs lezárva, akkor az egyenlőség igaz marad, ha hozzáadjuk az ε sugarú gömb térfogatát az n dimenzióban . Valóban két félgolyót adunk hozzá, mindegyik a görbe egyik végén, így kapjuk:

Repülési⁡(Tϵ)=LVSRepülési⁡(Bnem-1(ϵ))+Repülési⁡(Bnem(ϵ)).{\ displaystyle \ operátornév {Vol} (T _ {\ epsilon}) = L_ {C} \ operatorname {Vol} (B_ {n-1} (\ epsilon)) + \ operatorname {Vol} (B_ {n} ( \ epsilon)).}

A korábbi konfigurációtól függetlenül új módszert kapunk az ív hosszának meghatározására:

• Az n dimenzió M 1 ( C ) jelölésű euklideszi terének C halmazának 1 dimenziós tartalma , ha létezik, a következő határérték :

M1(VS)=limϵ→0Repülési⁡(Tϵ)Repülési⁡(Bnem-1(ϵ)).{\ displaystyle M_ {1} (C) = \ lim _ {\ epsilon \ to 0} {\ frac {\ operatornév {Vol} (T _ {\ epsilon})} {\ operátornév {Vol} (B_ {n- 1} (\ epsilon))}}.}

Ez a meghatározás valóban a korábban meghatározott hosszúság általánosítása:

• Ha a C a vége halmaza egy kompakt paraméterezett íven C osztály 2 , a hossza a C megegyezik annak 1- dimenziós tartalmát .

Ez a meghatározás különösen releváns az S felület kompakt kétdimenziós C határának határhosszának vizsgálatakor . Ha a szegély paraméterezhető egy C 2 osztályú ívvel , akkor a következő tételt kapjuk, Steiner-Minkowski képletnek nevezve  :

• A hossza L C az ív C egyenlő az alábbi határérték:

LVS=limϵ→0Repülési⁡(S+B2(ϵ))Repülési⁡(S).{\ displaystyle L_ {C} = \ lim _ {\ epsilon \ to 0} {\ frac {\ operatorname {Vol} (S + B_ {2} (\ epsilon))} {\ operatorname {Vol} (S)} }.}

Minkowski tartalma lehetővé teszi, hogy ezt a képletet számos felületre általánosítsák.

A definíciók egyenértékűségének bemutatása

Rögzítse a jelöléseket, E az n dimenzió euklideszi tere , ([ a , b ], f ) egy görbe vonalú C 2 konfigurációs osztály, zárt és egyszerű geometriai ív, amelynek képe egyenlő C-vel . Azt mondani, hogy a paraméterezés zárt, olyan, mintha azt mondanánk, hogy f ( a ) egyenlő f ( b ) -vel, mondván, hogy egyszerű, az egyenértékű azzal, hogy ha s és t a] a , b [, akkor f ( s ) eltér f ( t ) -től . Végül, ha azt mondjuk, hogy a paraméterezés görbe vonalú, az azt jelenti, hogy az f ( t ) deriváltjának normája mindig egyenlő 1-vel, ha t az [ a , b ] eleme . Az ε értéke szigorúan pozitív valós értéket jelöl, 0 és μ között, ahol μ szigorúan pozitív, meghatározandó valós. H t jelöli az F ( t ) -re és Ba a-ra merőleges E hipersíkját , μ a H a hipersík zárt egységgömbjét, amelynek sugara μ. Jelölje u t a származékot f pontban t és v t a vektor norma 1 kollineáris a második deriváltja f és ugyanabba az irányba. Ha azt mondjuk, hogy f görbe vonalú paraméterezés, akkor az azt jelenti, hogy u t és v t merőlegesek. Végül, mi jelöljük c (t) a görbület F at t , a második deriváltja f at t egyenlő a termék a C (t) a v t .

Az alkalmazott technika a bizonyítás áll vegyenek egy beágyazó ψ a [ a , b ] x B egy, μ a C μ osztály C 1 . Ez a beágyazás biztosítja a változó helyes változását a C ε területét megadó integrál kiszámításához . A ψ felépítéséhez felépítünk egy [ a , b ] C 1 osztályú φ t térképet , amelynek értékei az E forgatásaiban vannak , oly módon, hogy u a par φ t képe egyenlő u t-vel .

• Φ t felépítése  :

Differenciálegyenlet: Egy elegáns megoldás áll építésénél φ t , mint a megoldás egy lineáris differenciálegyenlet . Ehhez definiáljuk egy alkalmazás egy sor χ D az L (E) minden endomorphism tér E . Itt D jelöli az E vektorok párját ( u , v ) oly módon, hogy u és v értéke 1-vel egyenlő, és hogy u és v merőlegesek. Az om (u, v) endomorfizmus társul u-val a v vektorhoz , v-hez az u vektorhoz és a null vektorhoz bármely, az u-ra és v-re merőleges vektorra . Megjegyezzük, hogy bármely vektor Z a E , a skaláris szorzata a Z annak képet χ (u, v) nulla. Valóban lehetséges z - t írni α formában. u + β. v + w , ahol α és β két skalár, és w az u-ra és v-re merőleges vektor . Ha <.,.> Jelöljük a skaláris szorzatot: ⟨χ(u,v)(z),z⟩=⟨χ(u,v)(αu+βv+w),αu+βv+w⟩=⟨-βu+αv|αu+βv+w⟩=αβ-αβ=0.{\ displaystyle \ langle \ chi _ {(u, v)} (z), z \ rangle = \ langle \ chi _ {(u, v)} (\ alpha u + \ beta v + w), \ alpha u + \ beta v + w \ rangle = \ langle - \ beta u + \ alpha v | \ alpha u + \ beta v + w \ rangle = \ alpha \ beta - \ alpha \ beta = 0.} Ez az alkalmazás lehetővé teszi számunkra, hogy meghatározzuk az ψ függvényt [ a , b ] -től L (E) -ben :∀t∈[nál nél,b]ψt=vs.(t)χ(ut,vt).{\ displaystyle \ forall t \ itt: [a, b] \ quad \ psi _ {t} = c (t) \ chi _ {(u_ {t}, v_ {t})}.} A ψ térkép valóban folyamatos, valóban folyamatos térképekből áll. Kis nehézség merül fel, ha a c (t) görbület nulla, mert v t nincs meghatározva, de a ψ nullaként való meghatározása ezeken a pontokon egyértelműen folytonosság folytatása, a ψ t normája egyenlő c (t) . Az L (E) számára itt választott norma az, amely egy endomorfizmussal társítja az egységlabda képének normájának felső határát. A következő differenciálegyenletet vesszük figyelembe [ a , b ] -on és L (E) értékekkel :dxdt=ψt∘xval velx0=énd.{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} X} {\ mathrm {d} t}} = \ psi _ {t} \ kör X \ quad {\ text {}} \ quad X_ {0} = Id .} A ψ folytonossága és az [ a , b ] tömörsége azt mutatja, hogy a függvény, amely t-hez társítja a ψ normáját, eléri m felső határát . Az X-hez való alkalmazás ψ-ből és X-ből áll, folyamatos és m- lipipschitzienne . A Cauchy-Lipschitz tétel garantálja a differenciálegyenlet egyedi megoldásának létezését. Akár kifejezett kifejezést is lehet adni a φ kifejezésre:∀t∈[nál nél,b]φt=exp⁡(∫nál néltψτdτ), ham∈L(E)exp⁡(m)=∑nem=0∞mnemnem!.{\ displaystyle \ forall t \ [a, b] \ quad \ varphi _ {t} = \ exp \ balra (\ int _ {a} ^ {t} \ psi _ {\ tau} \ mathrm {d} \ tau \ right) \ quad {\ text {with, si}} \ quad m \ in {\ mathcal {L}} (E) \ quad \ exp (m) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty } {\ frac {m ^ {n}} {n!}}.}

Az itt használt halmazok kissé szokatlan jellege kivételével a javasolt módszer csak nagyon egyszerű lineáris differenciálegyenletet használ. Az φ alkalmazás szinte lehetővé teszi egy Frenet-referenciaérték meghatározását . Elegendő lenne társítani a lényeg az egy Frenet alapja és a Frenet alapján lenne, azon a ponton t a kép φ. Ez az eredmény csak akkor igaz, ha a görbe biregularis , vagyis az f második deriváltja soha nem tűnik el. Az első inflexiós pont után nincs ok azt feltételezni, hogy a v 0 képe továbbra is kollineáris az f második deriváltjával . Most már csak annyit kell tennie, hogy ellenőrizze, hogy a φ az Ön által keresett alkalmazás.

A map térképnek van egy forgatási halmaza, és az u a φ t képe egyenlő u t-vel  : Először mutassuk meg, hogy a φ értékei vannak-e egy forgatási halmazban. ami azt mutatja, hogy ha z E vektora , φ t (z) normája megegyezik z-vel . Ez az eredmény triviálisan igaz, ha t egyenlő a-val , mert φ a az identitás. Elég megmutatni, hogy a függvény deriváltja, amely t összekapcsolja z t (z) normájának négyzetét , nulla, annak megállapításához, hogy φ t izometria: d⟨φt(z),φt(z)⟩dt=2⟨dφtdt(z),φt(z)⟩=2⟨ψt(φt(z)),φt(z)⟩=0.{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ langle \ varphi _ {t} (z), \ varphi _ {t} (z) \ rangle} {\ mathrm {d} t}} = 2 \ langle { \ frac {\ mathrm {d} \ varphi _ {t}} {\ mathrm {d} t}} (z), \ varphi _ {t} (z) \ rangle = 2 \ langle \ psi _ {t} \ balra (\ varphi _ {t} (z) \ jobbra), \ varphi _ {t} (z) \ rangle = 0.} Meg kell még mutatni, hogy a φ t determinánsa egyenlő 1. Mivel t izometria, determinánsa egyenlő ± 1-vel. A kép a kérelem t társult det φ t is kapcsolódik , mivel az alkalmazás folyamatban van. Ahogy az a-ban , a térkép is 1-et ér, mindenhol 1-et ér, és a φ t determinánsa valóban egyenlő 1-vel.Ezután megmutatjuk, hogy φ t (u a ) valóban egyenlő u t-vel . Ehhez elegendő ellenőrizni, hogy a két ív, amelyek egyrészt t asszociálódnak φ t (u a ), másrészt pedig u t , azonos kezdőértékkel bírnak és ugyanazt a lineáris differenciálegyenletet elégítik ki. A megoldás egyedisége, amelyet a Cauchy-Lipschitz tétel garantál, egyenlőséget mutat. Felépítésével φ a egyenlő az identitással; a két ív tehát azonos kezdeti értékkel rendelkezik. Most ellenőrizzük, hogy a két ív ugyanazon differenciálegyenlet megoldása:∀t∈[nál nél,b]dφt(u0)dt=dφtdt(u0)=ψt∘φt(u0)ebből kifolyólagdφt(u0)dt=ψt(φt(u0)).{\ displaystyle \ forall t \ [a, b] \ quad {\ frac {\ mathrm {d} \ varphi _ {t} (u_ {0})} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d} \ varphi _ {t}} {\ mathrm {d} t}} (u_ {0}) = \ psi _ {t} \ circ \ varphi _ {t} (u_ {0}) \ quad {\ text {ezért}} \ quad {\ frac {\ mathrm {d} \ varphi _ {t} (u_ {0})} {\ mathrm {d} t}} = \ psi _ {t} \ balra (\ varphi _ {t} (u_ {0}) \ right).} Másrészről :∀t∈[nál nél,b]dutdt=vs.(t)vt=vs.(t)χ(ut,vt)=ψt(ut)ebből kifolyólagdutdt=ψt(ut).{\ displaystyle \ forall t \ in [a, b] \ quad {\ frac {\ mathrm {d} u_ {t}} {\ mathrm {d} t}} = c (t) v_ {t} = c ( t) \ chi _ {(u_ {t}, v_ {t})} = \ psi _ {t} (u_ {t}) \ quad {\ text {ezért}}} quad {\ frac {\ mathrm {d } u_ {t}} {\ mathrm {d} t}} = \ psi _ {t} (u_ {t}).}

Arra következtetünk, hogy φ t (H a ) valóban egyenlő H t-vel . Valóban, H a az ortogonális az u egy , a kép φ t az ortogonális a φ t (u a ), mert φ t egy forgatást. Elég, ha azt vesszük észre, hogy φ t (u a ) egyenlő u t-vel .

• Ject inaktivitása:

Ahhoz, hogy a Γ térkép beágyazódjon , jól kell megválasztani a μ értéket. Ha túl magas, az the alkalmazás nem feltétlenül injekciós. A jobb oldali ábrán egy példa található. A legkisebb görbületi sugarat a lila oszcilláló körpont adja meg . A μ értéket nagyobbnak választják, mint az oszculáló kör sugara, amelyet görbületi sugárnak nevezünk . A vörös pont az ibolya oszculáló kör érintőjével merőleges hipersík eleme, és ezzel a μ értékkel megegyező távolságban van. A görbétől μ-nél kisebb vagy azzal egyenlő távolságra lévő pontokat zöld színnel jelzik. A piros pont egy másik pont ortogonális síkjának része, amelyet sárga színnel mutatnak. Ha μ-t választunk kisebbnek, mint a görbe pontjai által elért legkisebb görbületi sugár, ez a helyzet nem fordulhat elő. A Γ alkalmazás ekkor lokálisan injekciós.

Local helyi injektivitása: A funkció c (t) at t egyesíti görbületét az ív a ponton f (t) folytonos. Tömören van meghatározva, eléri a felső határát. Jelölje rm- rel ennek a kötöttnek az inverzét, amely megfelel az ív legkisebb görbületi sugarának. Feltételezzük, hogy μ értéke kisebb, mint r m / 2. A cél annak bemutatása, hogy Γ lokálisan injektív, azaz ha t az [ a , b ] eleme , Γ injektív a halmazon] t-δ, t + δ [x B a, μ . A δ értéke szigorúan pozitív, t- től független valós számnak felel meg , amelyet meg kell határozni. A jelölések leegyszerűsítése érdekében feltételezzük, hogy még akkor is, ha ez az [ a , b ] intervallum fordítását jelenti , hogy t értéke 0. Feltételezzük továbbá, hogy még ha a koordináta-rendszer módosítását is jelenti, f (0) egyenlő nulla vektor. Megmutatjuk, hogy a t-δ, t + δ [x B a, μ egy pontjának (0, p ) p- jának p képe Γ -vel nem rendelkezik más előzményekkel ebben a halmazban. Ha azt mondjuk, hogy p ilyen kép, akkor azt mondjuk, hogy normája kisebb, mint μ, ezért r m / 2 és p merőleges u 0-ra . Az első t koordinátának egy másik előzményét vesszük figyelembe, és megmutatjuk, hogy t szükségszerűen nagyobb, mint egy δ érték. Ha azt mondjuk, hogy t egy másik előzmény, az azt jelenti, hogy p az u t-re merőleges síkban van, és átmegy f (t). Ez mutatja az egyenlőséget:⟨o-f(t),ut⟩=0ebből kifolyólag⟨o,ut⟩=⟨f(t),ut⟩.{\ displaystyle \ langle pf (t), u_ {t} \ rangle = 0 \ quad {\ text {ezért}}} \ quad \ langle p, u_ {t} \ rangle = \ langle f (t), u_ {t } \ rangle.} A Taylor-Lagrange-képlet egy τ 1 érték létezését mutatja 0 és t között , oly módon, hogy:⟨o,ut⟩=⟨o,u0+tvs.(τ1)vτ1⟩=tvs.(τ1)⟨o,vτ1⟩≤tvs.m‖o‖≤tvs.m2vs.m≤t2.{\ displaystyle \ langle p, u_ {t} \ rangle = \ langle p, u_ {0} + tc (\ tau _ {1}) v _ {\ tau _ {1}} \ rangle = tc (\ tau _ {1}) \ langle p, v _ {\ tau _ {1}} \ rangle \ leq tc_ {m} \ | p \ | \ leq t {\ frac {c_ {m}} {2c_ {m}}} \ leq {\ frac {t} {2}}.} Ugyanez az érvelés két τ 2 és τ 3 érték létezését mutatja , szintén 0 és t között , például:⟨f(t),ut⟩=⟨tu0+vs.(τ2)t22vτ2,u0+vs.(τ3)tvτ3⟩≥t(1-32tvs.m-vs.m22t2).{\ displaystyle \ langle f (t), u_ {t} \ rangle = \ langle tu_ {0} + {\ frac {c (\ tau 2) t ^ {2}} {2}} v _ {\ tau _ {2}}, u_ {0} + c (\ tau _ {3}) tv _ {\ tau _ {3}} \ rangle \ geq t \ bal (1 - {\ frac {3} {2}} tc_ {m} - {\ frac {c_ {m} ^ {2}} {2}} t ^ {2} \ jobb).}

Ha min (1, 1 / c m ) / 6- nál kisebb δ-t választunk , biztosak vagyunk abban, hogy a < p , u t > kifejezés szigorúan kisebb, mint a második skaláris szorzat, és a helyi injektivitás l 'intervallumon] t- δ, t + δ [x B egy, μ jól garantált.

A Global globális injektivitása:

A helyi injektivitás nem jelenti a Γ injektivitását. A jobb oldali ábra az okot mutatja. Ha a görbe kellően be van szorítva , akkor egy távoli abszcissza-pont önkényesen közel lehet a vizsgált ponthoz. Ezután ellenőrizni kell, hogy egy piros zóna, mint az ábra, nem létezik, ha μ-t helyesen választják meg. Mivel feltételezzük, hogy az ív nem tartalmaz kettős pontot, a kellemetlen konfiguráció az lenne, hogy a bal oldalon az ív végtelen végtelen szála közeledik a kritikus ponthoz. Az [ a , b ] szakasz tömörsége , ami azt jelenti, hogy a C gráf kompakt, megakadályozza ennek a jelenségnek a megjelenését.

Hogy erről meggyőződjünk, vegyük figyelembe azt a függvényt, amely t-hez kapcsolja az f (t) és a kép közötti távolság minimumát az [ a , t - δ] és [ t + δ, b ] intervallum f- jével . Mivel a távolságfüggvény folyamatos, és az [ a , t - δ] és a [ t + δ, b ] szakaszok egyesülése kompakt, ezt a minimumot elértük. Mivel az ív egyszerű, azaz, hogy nem enged meg a többszörös ponttal, ez a minimális eltér 0. A függvény [ a , b ] in ℝ amely t társítja a meghatározott minimális korábban még mindig folyamatos. Még mindig egy kompakton van meghatározva, ami azt jelenti, hogy még mindig eléri a minimális μ 1 értéket, amely nem nulla.Ha a μ értéket szigorúan kisebbnek választjuk, mint μ 1/2 (el kell osztani 2-vel, mert a korlátozás nem az, hogy a zöld zóna nem felel meg indokolatlanul a kék görbe C görbének , hanem hogy a zöld zóna nem metszik a maga) és hogy r m / 2, az előző bizonyítások garantálják a Γ injektivitását.

A változó változásának elvégzéséhez a térfogat kiszámításakor továbbra is biztosítani kell, hogy a Γ érkezési halmaza [ a , b ] x B a, ε-ra korlátozódjon , ahol ε szigorúan pozitív valós szám és μ-nél kisebb a C ε . Könnyebb ellenőrizni.

• Ject szurzivitása [ a , b ] x B a, ε -ra korlátozva C ε-ban :

Legyen p a C ε pontja . A függvény a C a ℝ, amely egy ponton társítja a távolság a p , folyamatos. A minimumot egy f (t) pontban éri el , feltételezve, hogy e távolságnál kisebb. Ha h olyan valós, hogy t + h az [ a , b ] eleme, a p és f közötti távolság (t + h) nagyobb, mint az előbb említett minimum. Következtethetünk: ⟨o-f(t+h),o-f(t+h)⟩=⟨o-f(t)+hut+o(h),o-f(t)+hut+o(h)⟩=‖o-f(t)‖2+2h⟨o-f(t),ut⟩+o(h)≥‖o-f(t)‖2.{\ displaystyle \ langle pf (t + h), pf (t + h) \ rangle = \ langle pf (t) + hu_ {t} + o (h), pf (t) + hu_ {t} + o ( h) \ rangle = \ | pf (t) \ | ^ {2} + 2h \ langle pf (t), u_ {t} \ rangle + o (h) \ geq \ | pf (t) \ | ^ {2 }.} A felső határ igaz h pozitív és negatív értékeire is , ami azt mutatja, hogy p - f (t) merőleges u t-re . Egy másik módja annak, hogy p a p képében van. Pontosabban, előzménye ( t , φ t -1 (p- f (t))).

• Jakobiai számítás:

A változó változásának elvégzéséhez hasznos kiszámítani a ψ jakobikus determinánsát egy ( t , z) pontban. Ehhez először ezen a ponton számítsuk ki a ψ különbségét . Legyen v t, egy a előzménye a normalizált vektor u " t által φ t , ha a második deriváltja f nem nulla, és egy vektor H egy norma 1 és merőleges u egy , ha a második derivált nulla. Jelölje K t, egy a hipersík a H egy merőleges v t, egy . ( T d , z d ) -vel jelöljük a B a, μ kis vektorát úgy, hogy a ( t , z) és ( t d , z d ) pont összege B a, μ-ben legyen . Végül használjuk a jelöléseket: z=ζvt,nál nél+zkészd=ζdvt,nál nél+zkdval velζ,ζd∈R,zk,zkd∈Kt,nál nél.{\ displaystyle z = \ zeta v_ {t, a} + z_ {k} \ quad {\ text {et}} \ quad z_ {d} = \ zeta _ {d} v_ {t, a} + z_ {kd } \ quad {\ text {with}} \ quad \ zeta, \ zeta _ {d} \ in \ mathbb {R}, \; z_ {k}, z_ {kd} \ in K_ {t, a}.} Nekünk van :ψ(t+td,z+zd)=f(t+td)+φt+td(z+zd)=f(t)+φt(z)+td(ut+Dφt(ζvt,nál nél+zk))+φt(zd)+o(td)+o(zd).{\ displaystyle \ psi (t + t_ {d}, z + z_ {d}) = f (t + t_ {d}) + \ varphi _ {t + t_ {d}} (z + z_ {d}) = f (t) + \ varphi _ {t} (z) + t_ {d} \ balra (u_ {t} + D \ varphi _ {t} (\ zeta v_ {t, a} + z_ {k}) \ jobb) + \ varphi _ {t} (z_ {d}) + o (t_ {d}) + o (z_ {d}).} Levezetjük a különbséget:Dψ(t,z)(td,zd)=td(ut-vs.(t)ζut)+ζdvt+φt(zk).{\ displaystyle D \ psi _ {(t, z)} (t_ {d}, z_ {d}) = t_ {d} (u_ {t} -c (t) \ zeta u_ {t}) + \ zeta _ {d} v_ {t} + \ varphi _ {t} (z_ {k}).} A determináns kiszámításához észrevesszük, hogy a differenciálnak két stabil tere van, az egyiket u t és v t generálja , majd K t, a . A K t, a térben a különbség egy forgás; meghatározója egyenlő 1-vel; a keresett jakobi a 2 dimenzió vektortérét jelenti, amelyet a két u t és v t vektor generál . Ebben az alapban az M mátrix egyenlő:M=(1-vs.(t)ζ001)ésdetDψ(t,z)=1-vs.(t)ζ.{\ displaystyle M = {\ begin {pmatrix} 1-c (t) \ zeta & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} \ quad {\ text {és}} \ quad \ det D \ psi _ { (t, z)} = 1-c (t) \ zeta.}

Az eredmény nem meglepő. Ez azt jelenti, hogy ha a görbület lokálisan nulla, akkor a ψ alkalmazás nem módosítja a hangerőt. Ugyanez a jelenség fordul elő a C görbe körül is . Másrészt, ha kis térfogatot választunk pozitív koordinátával , vagyis a görbület konkávjában, akkor a térfogat csökken. 0-ra kerülne, ha megközelítenénk az 1 / c (t) értékkel megegyező görbületi sugarat , amely nem fordulhat elő μ megválasztásával, amely soha nem haladja meg a görbületi sugár felét. Ezzel szemben az ellenkező irányba nő a hangerő. ζ{\ displaystyle \ zeta}

• A C ε térfogatának kiszámítása  :

Most már alkalmazhatjuk a variable változó változását: Vol(VSϵ)=∫VSϵ1dσ=∫[nál nél,b]×Bμ,nál nél|detDφt,z|dtdζdzk=(b-nál nél)Vol(Bnem-1(ϵ))-∫[nál nél,b]×Bμ,nál nélvs.(t)ζdtdζdzk.{\ displaystyle Vol (C _ {\ epsilon}) = \ int _ {C _ {\ epsilon}} 1 \ mathrm {d} \ sigma = \ int _ {[a, b] \ szorzat B _ {\ mu, a}} | \ det D \ varphi _ {t, z} | \; \ mathrm {d} t \ mathrm {d} \ zeta \ mathrm {d} z_ {k} = (ba) Vol (B_ {n- 1} (\ epsilon)) - \ int _ {[a, b] \ szor B _ {\ mu, a}} c (t) \ zeta \; \ mathrm {d} t \ mathrm {d} \ zeta \ mathrm {d} z_ {k}.} Most a szilárd [ a , b ] x B a, μ szimmetrikus K a-hoz képest, és a the ordinátán levágott felület térfogata pontosan megegyezik a -ζ ordinátán levágott térfogatával. A második integrál értéke 0. Megtaláljuk:Vol(VSϵ)=(b-nál nél)Vol(Bnem-1(ϵ)).{\ displaystyle Vol (C _ {\ epsilon}) = (ba) Vol (B_ {n-1} (\ epsilon)).}

A C görbe 1-dimenziós tartalma megegyezik b - a-val , vagyis a görbe hosszával, mert paraméterezése megfelel egy görbe vonalú abszcisszának. A kör esetében és a 3. dimenzióban találunk egy ismert képletet, a tórusz térfogatát . Ha a görbe nincs lezárva, akkor a bemutatás pontosan megegyezik, elegendő hozzáadni a két félgolyót a végéhez.

A C 2 osztályú görbe és kettős pontok befogadása esetén nem túl bonyolult annak bemutatása, hogy a Minkowski 1-dimenziós tartalma még mindig megegyezik a hosszúsággal, de az előző termék és a cső térfogatának egyenlősége már nem ellenőrzik. Az eredmény továbbra is igaz a C 1 osztályú görbékre, a kompakt és konvex, nem üres zárt sokszögekre vagy a 2. dimenziós görbékre, de a bizonyítások eltérőek.

Fraktál görbe

Már 1872-ben Karl Weierstrass megmutatta, hogy egy görbének furcsa viselkedése lehet; felépít egy ív példáját, definíciója szerint folytonos és sehol sem differenciálható. Később Peano megalkotta görbéjét , amelynek képe az 1. oldalú négyzet pontjainak halmaza. Von Koch svéd matematikus 1904-ben egy furcsa hópehelyen keresztül konkrét példát talált a Weierstrass specifikációinak megfelelő görbére . Mindezek a példák megfelelnek annak, amit ma fraktálnak nevezünk .

Ez a görbék családja, amelyet kezdetben kissé kórosnak tekintettek, elengedhetetlen a matematika egyes ágainak jobb megértéséhez. Egy olyan dinamikus rendszer vizsgálata, mint Lorenzé , egy differenciálegyenletre vonatkozik, amelynek korlátozó viselkedése egy ilyen görbe által meghatározott geometriai zónán belül helyezkedik el (pontosabban szólva, a zóna megfelel egy ilyen görbe tapadásának ).

Az ilyen görbék elemzéséhez a hosszúság ekvivalensére van szükség. A Peano-görbe esetében azonban a differenciáldefiníciónak nincs jelentése, Jordané pedig a végtelent adja. Ha Minkowski 1-dimenziós tartalma a végtelenséget is megadja, akkor nem túl nehéz adaptálni azt értelmes válasz megtalálásához. Ha P a Peano görbe véghalmazát jelöli:

M2(VS)=limε→0Vol(Pε)Vol(Bnem-2(ε)).{\ displaystyle M_ {2} (C) = \ lim _ {\ varepsilon \ to 0} {\ frac {Vol (P _ {\ varepsilon})} {Vol (B_ {n-2} (\ varepsilon))} }.}

Itt P ε jelöli, távoli ponttal alacsonyabb ε a P . A trükk az volt, hogy az arányt nem egy ( n - 1) dimenziós gömb térfogatával , hanem ( n - 2) dimenzióval osztották meg. A C 2 osztályú és a 2. dimenziós slick esetében a tartalom megegyezik a felület mérésével. A Lorenz-attraktor vagy a Koch hópehely esetében egyetlen k egész szám nem teszi lehetővé egy ( n - k ) dimenziós tartalom definiálását, amely sem 0, sem végtelen. Másrészről lehetőség van egy értelemben vett dimenziós gömb térfogatának meghatározására , még akkor is, ha ζ nem egész szám: ζ{\ displaystyle \ zeta}

Vol(Bζ(ε))=2πζ/2ζΓ(ζ/2)εζ.{\ displaystyle Vol (B _ {\ zeta} (\ varepsilon)) = {\ frac {2 \ pi ^ {\ zeta / 2}} {\ zeta \ Gamma (\ zeta / 2)}} \ varepsilon ^ {\ zeta}.}

Itt a the a gamma funkciót jelöli . Minkowski tartalma tehát nem egész dimenziókra általánosít . Ezt a dimenziót, amely lehetővé teszi az ív hosszának értelmezését, Hausdorff-dimenziónak nevezzük .

Megjegyzések és hivatkozások

1. Szúza tabletta - lásd például π és √2 a babilóniaiak között .
2. Archimédész, A gömb és a henger - A kör mérése - A konoidokon és a gömbökön, 1. kötet Belles Lettres (2003) ( ISBN  2251000240 ) .
3. Karine Chemla és Guo Shuchun , A kilenc fejezet: Az ókori Kína matematikai klasszikusa és megjegyzései [ a kiadás részlete ], P.  144-147 .
4. Torricelli, Opere , III, p.  368 és 477: Levelek Riccinek 1646-ból és Cavalierinek (1598-1647).
5. (in) James WP Campbell, "  tudományos munka Christopher Wren  " ,2001.
6. Lásd például R. Ferreol és J. Madonnet, „  Parabole semi-cubique  ” , a figyelemre méltó matematikai formák enciklopédiáján ,2003.
7. (La) J. Wallis , Tractatus duó , Opera t. 1 (1659), p.  551 .
8. Ezeket a bizonyítékokat által közzétett van Schooten 1659 a Geometry of Descartes .
9. (La) P. de Fermat , Dissertatio de linearum curvarum cum lineis rectis összehasonlítás , Works t.1 (1660), p.  211 .
10. Marcel Berger és Bernard Gostiaux , Differenciálgeometria: fajták, görbék és felületek [ a kiadások részlete ]o. 302.
11. Berger és Gostiaux , p.  303.
12. „Fontos észrevenni, hogy az [ ív ([ a , b ], f )] […] L hossza soha nem egyenlő az f gráfjának hosszával ; ez az] L , L + b - a ] intervallum eleme . » - Gustave Choquet , elemző tanfolyam , vol.  II: Topológia , p.  104.
13. Gottfried Wilhelm Leibniz , A differenciálszámítás születése , nád. Vrin , 2000 ( ISBN  2711609979 ) , p.  203 .
14. "Levél C. Fermat House vasárnap 1 -jén január 1662" , a Paul Bőripari és Charles Henry , Fermat Works ( olvas online ) , p.  458.
15. További részletekért lásd például: JP Perez és E. Anterrieu, Optics: Fundamentals and Applications , Dunod ( 7 th  kiadás) 2004 ( ISBN  978-210048497-3 ) .
16. Galilei elképzelte, hogy a brachistrochrone probléma megoldása a kör: Galileo Galilei Discorsi e dimostrazioni matematiche, intorno à due nuove scienze Szerkesztette Appresso gli elsevirii (1638)
17. (in) John J. O'Connor és Edmund F. Robertson , "The brachisztochron probléma" a MacTutor History of Mathematics archiválni , University of St Andrews ( olvasható online ).
18. P. Maupertuis, Különböző természeti törvények megállapodása, 1744-es eredeti szöveg, megjelent Œuvres de Maupertuis , vol. IV, 1768, p. 16-17.
19. B. Riemann A geometria alapjául szolgáló hipotézisekről (Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen) a Dedekind írta : Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen vol. 13, 1867 és angol nyelven érhető el olvasni
20. A Riemann-féle elosztókról lásd: (in) Marcel Berger , A Riemannian Geometry panorámaképe ,2003[ a kiadás részlete ].
21. J. Peiffer, Euler: Variációk egy görbe körül , Les cahiers de science et vie, n o  68, 2002, p.  72-79
22. F. Martin-Robine, története elve kisebb fellépés , Vuibert 2006 ( ISBN  978-2711771516 )
23. A differenciálgeometriáról szóló könyvben az előző meghatározás valóban tökéletesen elegendő: Berger és Gostiaux , p.  315.
24. G. Peano , egy görbén, amely kitölti az egész sík területen , a Mathematische Annalen , vol. 36, 1890, p.  157-160
25. (From) H. Minkowski , Geometrie der Zahlen , Teubner, Lipcse, 1896; újraküldte Johnson, New York, 1968
26. C. Jordan , elemzése során a Műszaki iskola, 3 térfogat , Jacques Gabay első közzététel között 1882 és 1887 (1991) ( ISBN  978-287647018-7 )
27. Ez a meghatározás megegyezik Berger és Gostiaux meghatározásával , p.  314.
28. Az itt bemutatott demonstráció nagyszerű klasszikus; megtalálható például Jacques Dixmier , Cours de mathematics du premier ciklus Gauthier-Villars, 1976 ( ISBN  978-2-04-002687-5 ) fejezetében . 53.
29. Choquet , p.  138.
30. (in) AP Burton és P. Smith, "  Izoperimetrikus egyenlőtlenségek és vetületek területei R n-  ben", Acta Mathematica Hungarica , Vol. 62, n o  3-4 1993
31. (de) H. Liebmann, „  Über die Verbiegung der geschlossenen Flächen positiver Krumm  ”, a Math. Ann. , repülés. 1900. 53. o.  81-112
32. (in) Robert Osserman , "  A isoperimetric egyenlőtlenség  " , Bull. Keserű. Math. Soc. , vol.  84, n o  6,1978, P.  1183-1238 ( online olvasás ) : p.  1188 .
33. Ezt a példát Berger és Gostiaux oldaláról vesszük , p.  226.
34. Ez a meghatározás megtalálható Osserman 1978 , p.  1189.
35. A bemutatót itt ihlette, hogy a következmény a Berger és Gostiaux , p.  254.
36. H. von Koch, „Az elemi geometriai módszer a tanulmány egyes kérdései az elmélet síkgörbék”, Acta Math. , N o  30, 1906 o.  145-174 .
37. (a) Edward N. Lorenz , "  determinisztikus periodikus Flow  " , J. Atmos. Sci. , vol.  20,1963, P.  130–141 ( DOI  10.1175 / 1520-0469 (1963) 020 <0130: DNF> 2.0.CO; 2 , olvassa el online ).

Külső linkek

• Távolság légvonalban a föld felszínének két pontja között
• Az f (x) függvény grafikus ábrázolásának kerülete (nem tévesztendő össze az f ív hosszával )