π (Pi), néha archimédeszi állandó , egy szám által képviselt görög betű az azonos nevű a kisbetűs (π). Ez a konstans aránya a kerülete egy kör , hogy annak átmérője egy euklideszi síkban . Azt is meg lehet meghatározni, mint az arány a terület egy lemez a négyzet annak sugara .
A késedelmi közelítő érték kevesebb, mint 0,5 × 10 -15 van 3,141592653589793 a decimális írásban .
A fizika , a mérnöki tudomány és természetesen a matematika számos képlete magában foglalja a π-t , amely a matematika egyik legfontosabb állandója.
A szám π az irracionális , vagyis hogy nem lehet kifejezni, mint az arány két egész szám ; ez azt jelenti, hogy decimális írása nem véges és nem periodikus. Ez még egy transzcendens szám , amely azt jelenti, hogy nem létezik egy nem nulla polinom az egész együtthatós amelynek π egy gyökér .
A π kellően pontos hozzávetőleges értékének meghatározása és természetének megértése olyan kérdések, amelyek átlépték a matematika történetét ; ennek a számnak az elbűvölése még a populáris kultúra részévé is tette.
A használata a görög betű π első levél περίμετρος ( „ kerülete ” az ókori görög ), nyilvánvalóvá vált, csak a XVIII th században. Korábban az értékét különféle parafrázisok a "kör állandójaként" vagy annak megfelelőnek nevezték különböző nyelveken.
Szótárakban és általános művekben a π a kör kerülete és átmérője közötti arány, állandó a szokásos síkban, amely az euklideszi sík . Ez az arány nem függ a választott körtől, különösen annak méretétől. Valójában az összes kör hasonló, és ha egyik körből a másikba akarunk lépni, elegendő tudni a hasonlóság arányát. Következésképpen bármely pozitív valós k esetén , ha egy kör r sugara (vagy d = 2 r átmérője ) k- szorosa nagyobb, mint egy másiké , akkor a P kerülete is k- szor nagyobb lesz, ami a jelentés állandóságát bizonyítja.
.Sőt, ez a ugyanaz a hasonlóság megsokszorozódik a területen egy a tér k , amely most azt bizonyítja, hogy az arány A / r 2 állandó. Megmutathatjuk például az oszthatatlan módszerrel , hogy ez az állandó is megéri π-t .
.A szemközti rajz egy másik módszert szemléltet, amely lényegében Archimédésznek köszönhető ( lásd alább ): a sokszög kerülete megközelítőleg 2π r, míg a kialakult háromszögek újraelosztásával észrevehetjük, hogy területe megközelítőleg megegyezik π r 2-vel . A „hozzávetőleges” formalizálásához szükség lenne arra, hogy a sokszög oldalainak száma a végtelen felé hajljon, ami már jól szemlélteti a π „analitikai” jellegét .
A fenti geometriai meghatározás, történelmileg az első és nagyon intuitív, nem a legközvetlenebb a π matematikai meghatározására minden szigorúságban. Speciálisabb művek például valós elemzéssel határozzák meg a π- t , néha trigonometrikus függvényeket használva , de a geometriára való hivatkozás nélkül:
A két előző módszer valójában a kör kerületének kiszámításából áll, amelyet a t ↦ exp (i t ) vagy a t ↦ exp (2i π t ) függvénnyel definiáltunk .
A szám π az irracionális , ami azt jelenti, hogy nem tudunk levelet π = p / q , ahol p és q lenne egész számok . Al-Khwarizmi , a IX . Század meg van győződve arról, hogy a π irracionális. Maimonides a XII . Században is megemlítette ezt az elképzelést .
Johann Heinrich Lambert csak a XVIII . Században bizonyította ezt az eredményt. Ő kiteszi, 1761-ben, a generalizált folyamatos frakció bővülése a tangens függvény . Azt arra következtet, hogy egy kiterjesztése tan ( m / n ) , a m és n nem nulla egészek, van írva: .
Bizonyos - itt igazolt - feltételezések mellett azonban az általánosított folytonos frakcióbővülés irracionális, tehát ha x értéke nem nulla ésszerű, akkor a tan ( x ) irracionális. A tan (π) azonban 0 ; racionális. Ezzel ellentétbe , ez azt bizonyítja, hogy a π nem racionális.
A XX . Század folyamán más bemutatókat is találtak, amelyek nem igényelnek mélyebb ismereteket, mint a kalkulus . Közülük Ivan Niven egyik nagyon ismert. Hasonló bizonyítékokat, Charles Hermite leegyszerűsített változatát valamivel korábban megtalálta Mary Cartwright .
Nem csak az a szám, π irracionális (lásd az előző fejezetben), de transzcendens , azaz nem algebrai : nem létezik olyan polinom a racionális együtthatók , amelyek π egy gyökér .
Ez a XIX . Század mutatja ezt az eredményt. 1873-ban Hermite bebizonyította, hogy a természetes logaritmus alapja , az e szám transzcendens. 1882-ben Ferdinand von Lindemann általánosította érvelését egy tételbe (a Hermite-Lindemann-tételbe ), amely kimondja, hogy ha x algebrai és különbözik a nullától, akkor e x transzcendens. Az e iπ azonban algebrai (mivel egyenlő –1). Ezzel ellentétbe , iπ transzcendens, így mivel én algebrai, π transzcendens.
A π transzcendenciájának történelmileg fontos következménye, hogy nem konstruálható . Valóban, Wantzel tétele különösen azt állítja, hogy bármely konstruálható szám algebrai. Annak a ténynek a következtében, hogy az összes olyan vonal koordinátái, amelyek egy vonalzóval és egy iránytűvel megépíthetők, konstruálható számok, a kör négyzete lehetetlen; más szavakkal, csak a vonalzóval és az iránytűvel lehetetlen olyan négyzetet felépíteni, amelynek területe megegyezik egy adott korong területével.
Anekdotikusabban: az a tény, hogy a π transzcendens, lehetővé tette Don Coppersmith számára annak megmutatását, hogy amikor egy lemezt n ≥ 4 párhuzamos vonallal osztunk fel, amelyek mindegyike közöttükπnem radián , a két terület egy összegének figyelembe vételével kapott két összeg akkor és csak akkor különbözik, ha n páratlan.
Az első 16 számjegy a tizedes írásban π vannak 3,141 592 653 589 793 (lásd a külső kapcsolatok további tizedesjegyig).
Míg 2013-ban már több mint 12 billió tizedesjegyet tudtunk a π-ből , az olyan konkrét alkalmazásokhoz, mint például egy kör kerületének becslése, általában nincs szükség tíz számnál többre. 1881-ben Simon Newcomb megjegyezte, hogy tíz tizedesjegy elegendő a Föld kerületének hüvelyk töredékéig történő kiszámításához; harminc tizedesjegy pontossággal, hogy a látható univerzumét - amint akkor felfogták - észrevehetetlen pontossággal megszerezzék az akkori legerősebb mikroszkóp alatt. Az 1990-es években, a decimális π csonkolt 39 tizedesjegy elegendőnek ítélték kiszámításához kör kerületének egy átmérője azonos nagyságrendű , mint a méret a megfigyelhető univerzum fokú pontosság összemérhető. Egy atom a hidrogénatom , figyelembe véve a becsült, majd a hatást. 2014-ben Donald Byrd, informatikus visszatért Newcomb állításához, hogy naprakésszé tegye azt a tudomány 1881 óta bekövetkezett fejlődésének tükrében : arra a következtetésre jutott, hogy a 100 Ga.l. (azaz 9,46 × 10 26 m ) és egy Planck-hosszúsági pontosság , csak körülbelül 60 tizedesjegyet vesz igénybe.
Mivel π egy irracionális szám , a tizedes képviselet nem periodikus egy bizonyos rangot . A sorrend a tized π mindig lenyűgözte a hivatásos és amatőr matematikusok és sok erőfeszítést került be megszerzése egyre több tizedesjegy pontossággal keres bizonyos tulajdonságok, mint például az esemény a prímszámok. Az összefüggések annak tizedesjegy ( lásd a cikket " Állandó csonkolásból származó prímszám ").
A kiterjedt elemző munka és az elvégzett számítások ellenére sem találtak egyszerű modellt ennek a számsornak a leírására. Az első tizedesjegyek sok weboldalon elérhetőek, és van olyan szoftver, amely milliárdokat képes kiszámolni, és telepíthető a személyi számítógépre .
Sőt, a tizedes bővítése π megnyitja a mezőt más kérdés, különösen, hogy tudjuk, ha π egy normális számot , ami azt jelenti, hogy a véges öröklés számjegycsoportja tizedes írásban egyenlően oszlik el. A fortiori, π ekkor egy univerzumszám lenne , ami azt jelenti, hogy tizedes tágulásában bármilyen véges számjegysorozatot találhatnánk. 2006-ban ezekre a kérdésekre nem érkezett válasz.
A következő egész szám törtrészeket használjuk a π tárolásához vagy közelítéséhez a számításokban (a zárójelben szereplő pontos jelentős számjegyek száma):
A korai Hewlett-Packard számológépeknek (pl. HP-25) nem volt kulcsa a π-hez , és a felhasználói kézikönyv ajánlott355113, nagyon könnyen megjegyezhető.
Lásd az alábbiakban további frakcionált megközelítéseket ( előzmények , numerikus közelítés, folytonos törtek és a π memorizálása ).
Megtalálható egy hozzávetőleges értéke π , így empirikus , a rajz egy kör, majd megmérik annak átmérője és kerülete, majd elosztjuk a kerülete az átmérője. Egy másik geometriai megközelítést, tulajdonított Archimedes , abból áll, hogy kiszámítjuk a kerülete P n egy szabályos sokszög a n oldala és átmérőjének mérésével d annak körülírt kör , illetve, hogy az annak beírható kör . Minél nagyobb a sokszög oldalainak száma, annál jobb pontosságot ér el a π értéke .
Archimédész ezt a megközelítést alkalmazta, összehasonlítva a képlettel kapott eredményeket két szabályos sokszög alkalmazásával, amelyeknek ugyanennyi oldala volt, amelyekhez a kör az egyik körül van írva, a másik pedig be van írva. 96 oldalas sokszöggel képes volt meghatározni, hogy 3 +10.71. <π <3 + 17 .
Korszerűbb módszerek alkalmazásával megközelítő π értékeket is kaphatunk . A π kiszámításához használt képletek többsége trigonometrián és integrálszámításon alapul . Néhány azonban különösen egyszerű, például a „ Leibniz-formula ” ( lásd alább ):
Ez a sorozat olyan lassan konvergál, hogy a π hat tizedesjegy pontossággal történő kiszámításához csaknem kétmillió ismétlés szükséges. Lehetséges azonban meghatározni egy hasonló szekvenciát, amely sokkal gyorsabban konvergál a π-hez , azáltal, hogy felteszi: és meghatározza:
A π 10.10 kiszámításához ekkor hasonló időre van szükség, mint ami a kezdeti sorozat első 150 tagjának kiszámításához szükséges, de a pontosság sokkal jobb, mert a π 10.10 = 3.141592653… kilenc pontos tizedesjegygel közelíti meg a π- t. Bonyolultabb számítási módszereket találunk később, amelyek sokkal gyorsabb konvergenciákat eredményeznek.
A π ősi története , amely a rendelkezésre álló írásoknak köszönhetően nyomon követhető, nagyjából a matematika egészének haladását követi. Egyes szerzők a π történetét három részre osztják: az ősi időszakra, amelynek során a π- t geometrikusan tanulmányozták, a klasszikus korszakra, a XVII . Század körül , ahol az eszközök kalkulációja lehetővé tette a π szám ismeretének előrehaladását , és a korszakot. digitális számítógépek.
Úgy tűnik, nagyon korán a matematikusok meg voltak győződve arról, hogy a kör kerülete és az átmérője, valamint a korong területe és a sugár négyzete között állandó az arány. A tabletták babiloni nyúlik vissza 2000 évvel ie. J. - C. és 1936-ban fedezte fel a terület számításait, amelyek π értéke 3 + 1/8.
Felfedezett 1855 Rhind papirusz szöveget tartalmaz másolni a XVI th században a írástudó egyiptomi Ahmose , kézi legrégebbi problémája még. Számos módszert alkalmaztak egy korong területének értékelésére úgy, hogy a négyzetet vettük, amelynek az oldala megegyezik a lemez átmérőjével és egy kilencedével. Ez a módszer a π 256/81 értékének értékeléséhez vezet .
Ennek lehetséges indoklása a szemközti diagramon alapul. Ha a korong átmérője 9, a korong területe valamivel nagyobb, mint a (szabálytalan) nyolcszög területe, amelyet a négyzet sarkainak a 9 oldallal történő levágásával kapunk . Ennek a nyolcszögnek a területe: 63; A lemez területét ezután 64-nél értékeljük, vagyis a 8 oldal négyzetének területét. A lemez és a sugár négyzetének arányát ezután 64 / (9/2) 2 , c ', azaz 256/81. De a hipotézis, miszerint ez a folyamat a Rhind papirusz közelítéséhez vezetett, a történészek körében nem egyhangú.
Kr. E. 700 körül. AD , az indiai szöveget Shatapatha Brahmana ad közelítése π : 25/8 (= 3,125), és a Baudhāyana Sulbasūtra ad két másik: 900/289 (≈ 3,11) és a 1156/361 (≈ 3, 20). A csillagászati számítások ezután újabb védikus közelítéshez vezettek : 339/108 (≈ 3,139). Korai a VI th században AD. AD , Árjabhata ad pontosabb közelítés:62 83220 000 14 3.1416. Tetszik | π - 3,1416 | <0,0000075, ez figyelemre méltó eredmény, 10 −5 pontossággal .
Ez az Archimedes 'értekezése (287-212 BC ) című On intézkedés a kör , hogy tudjuk olvasni a bemutató összekötő terület a lemezt, és a háromszög területe, amelynek alapja hosszúságú kerülete a kör és a sugár magassága, ezzel demonstrálva, hogy ugyanaz az állandó jelenik meg a korong területe és a sugár négyzete, valamint a kerület és az átmérő között.
Ez a demonstráció a kimerültség és az abszurd érvelés módszerén alapszik . A körbe beírt négyzetből és a körre körülírt négyzetből kiindulva, és az oldalak számát korlátlanul megszorozva 2-vel bizonyítja, hogy a korong területe nem lehet kisebb vagy nagyobb, mint a megfelelő háromszög .
Kör és négyzete be van írva és körül van írva.
Kör és nyolcszögei felírva és körülírva.
A kör 8 részre vágása.
Bemutatója kihasználja a negyedekre vágás gondolatát: a kört több negyedre vágják, amelyek egymástól végig helyezkedve azonos magasságú görbe vonalú háromszögeket alkotnak. A negyedek számának szorzásával a görbe vonalú háromszögek alapja majdnem egyenes, a magasság pedig közel van a sugárhoz; az alapok összege ekkor megegyezik a kör kerületével, és a terület ekkor az alap 1/2-e szorozva a magassággal, vagyis a kerület 1/2-ével megszorozva a sugárral.
Ugyanebben a tanulmányban Archimédész létrehozza a kör kerületének keretét a körbe beírt és körülírt, 96 oldalú szabályos sokszögek kerületeinek felhasználásával. Ezen sokszögek kerületének kiszámításához beírt és körülírt hatszögekből indul ki, és kiemeli azokat a képleteket, amelyek megadják egy olyan sokszög kerületét, amelynek oldalainak száma megduplázódott. Számítása azt mutatja, hogy 3 + 10/71 < π <3 + 1/7. E két érték átlaga megközelítőleg 3,14185. Archimédész 96 oldalon áll meg, mert az általa elvégzendő számítások hozzávetőleges értékekkel már hosszúak. De így beállít egy módszert, amelyet utódai alkalmaznak, és amely elméletileg a kívánt nagy pontosságot teszi lehetővé. Az első számításoknál azonban egyre nagyobb pontosságra van szükség, valahányszor megduplázzák a sokszög oldalainak számát. Ptolemaiosz , egy görög tudós, aki három évszázaddal élt Archimédész után, olyan értéket ad , amelyet a pergai Apolloniusnak köszönhet , vagy pedig trigonometrikus táblázatának felhasználásával és az alapul szolgáló húr hosszának 360-mal való szorzásával egy fokozat.
Archimédész képleteiArchimédész olyan tulajdonságot használ, amely összeköti a felező lábát a szomszédos oldalakkal: a szemközti ábrán SS ′ az S csúcs szögének felezője
A körülírt sokszög számára. Az ábrán ellenkező, és a fél-oldalán két egymást követő körülírt sokszögek. Archimédész az előző tulajdonság felhasználásával azt mutatja és ismételje meg a műveletet négyszer a hatszögből.
A felírt sokszögre. Az ábrán ellenkező, és az oldalai a két egymást követő feliratos sokszög. Archimédész hasonló háromszögek és a felező tulajdonságának felhasználásával azt mutatja, hogyMegmutathatjuk tehát, hogy az n lépés után kapott kerületek, valamint a beírt és körülírt sokszögek (azaz a hatszögből induló Archimédész esetében a 6 × 2 n oldalú sokszögek ) kielégítik a következő ismétlődési összefüggéseket: . A trigonometrikus azonosságok lehetővé teszik ezen kapcsolatok gyors megszerzését is ( lásd alább ).
Archimédész bizonyítéka tehát a racionális értékek minden szakaszában történő alapértelmezett kiszámítással és igazolással jár, és meghaladja a kör kerületét, hogy n = 4 szakasz (96 oldal) után a kívánt képkockán belül következzen.Ha a gyakorlati számítások jó pontossággal elvégezhetők a 3,14-es érték π közelítésének felhasználásával , a matematikusok kíváncsisága arra kényszeríti őket, hogy ezt a számot pontosabban meghatározzák. A III . Században Kína, Liu Hui , kilenc fejezet kommentátora, a kerület és a 3 gyakorlati érték átmérője közötti arányt adja meg, de közelíti ezeket a számításokat, de hatékonyabb, és közelíti a π- t 3,1416-ig. A kínai matematikus Cu Csung-cse , sokkal pontosabb racionális közelítése π : π ≈ 355/113 (amelynek decimális bővítések megegyeznek a 6 th tizedes π ≈ 3141 592 6 és 355/113 ≈ 3141 592 9 ), és azt mutatja, hogy 3,141 592 6 < π <3,141 592 7 , Liu Hui algoritmusát (en) alkalmazva egy 12 288 oldalú sokszögre. Ez az érték továbbra is a π legjobb közelítése a következő 900 évben.
Körülbelül 1400-ig a π közelítésének pontossága nem haladta meg a 10 tizedesjegyet. Az integrálszámítás és a sorozat előrehaladása javítja ezt a pontosságot. A sorozat lehetővé teszi a π megközelítésének annál pontosabb megközelítését , mivel a sorozat feltételeit használják a számításhoz. 1400 körül az indiai mathava, Sangamagrama Madhava az , amely a modern nyelvben az ív érintő funkciójának fejlesztését jelenti (amelyet James Gregory és Gottfried Wilhelm Leibniz fedeztek fel újra a XVII . Században): Az x = 1 speciális eset a fent említett Leibniz-sorozat - más néven Madhava-Leibniz-sorozat -, amelynek konvergenciája túl lassú.
Az x = 1 / √ 3 speciális eset : sokkal gyorsabban konvergál , ami lehetővé tette, hogy Madhava π hozzávetőleges értékét 3,141 592 653 59-nek adja meg, amelynek 11 helyes tizedesjegye van. De ez a munka ismeretlen maradt kívül Kerala a XIX th században , miután a hódítás India a brit . Mádhava rekordját felbomlott 1424 a perzsa matematikus Al-Kachi ( Értekezés a kerülete ), aki megteremtett 16 tizedesjegy pontossággal, alkalmazva a Archimedes-féle módszerrel egy 3 × 2 sokszög 28 oldalon.
Archimédész óta az első jelentős európai hozzájárulás François Viète volt , aki tizenkét tizedesjegyet adott meg, a fennmaradó részt pedig 1579- ben Canon Mathatique-jában fogalmazta meg . Ezt követi Adrien Romain , aki 1591-ben 15 tizedesjegyet ad meg , és a német Ludolph van Ceulen (1540-1610), akik ugyanazt a geometriai módszert alkalmazták annak érdekében, hogy 35 tizedesjegyre becsüljék a helyes π-értéket . Olyan büszke volt a számításaira, amely annyi életet vett el, hogy a tizedesjegyeket a sírkövére vésette.
Rögtön követi Willebrord Snell , tanítványa, aki gyorsabb módszereket talál ugyanazon közelítés megszerzésére. Ugyanebben az időszakban kezdtek megjelenni Európában az integrálszámítás, valamint a végtelen sorok és termékek geometriai mennyiségek meghatározásának módszerei . Az első ilyen típusú képlet a Viète formula :
amelyet Viète tett ki 1579-ben Matematikai Kánonjában és újra 1593-ban, a Különféle problémák c . Egy másik híres eredmény a Wallis termék :
köszönhetjük, hogy John Wallis , aki bizonyította, hogy a 1655. Isaac Newton maga használta sorfejtése π / 6 = arcsin (1/2) kiszámításához 15 tizedesjegy pontossággal a π ; sokkal később azt mondta: „Szégyellem elmondani, hogy hány tizedesjegyet találtam ezeknek a számításoknak köszönhetően, mivel akkor nem volt más foglalkozásom. "
1706 John Machin volt az első, hogy megtalálja 100 tizedesjegyig a π , a következő képlet segítségével: és a fenti fejlemény egész arctan sorozatban .
Az ilyen típusú, ma Machin-képletekként ismert képleteket számos ismert tizedesjegyű rekord megdöntésére használták , és ma is a legismertebb képletek a π kiszámításához számítógépek segítségével. Figyelemre méltó rekordot tart Johann Dase kalkulátor csodagyerek, aki 1844-ben Machin képletének felhasználásával 200 tizedesjegyes π-t számolt ki Gauss kérésére . A XIX . Század végén elért legjobb érték William Shanksé , aki tizenöt évet töltött 607 tizedes és 707 π tizedesjegy számításához , bár egy hiba miatt csak az első 527 volt helyes. Manapság könnyű elkerülni az ilyen hibákat, ha a számítógép elvégzi a számításokat, és két különböző képlet segítségével kiküszöböli a számítási, programozási vagy mikroprocesszoros hibák kockázatát.
A XVIII . Század elméleti fejlődése arra késztette a matematikusokat, hogy megkérdőjelezzék a π természetét , ideértve a periodikus minták hiányát tizedesjegyeikben, ésszerű feltételezést adva a numerikus számításokhoz, de ennek szigorú bizonyításához más és más radikális megközelítésre volt szüksége. Ezt a tour de force-t Johann Heinrich Lambert hajtotta végre 1761-ben, aki ezzel elsőként bizonyította a π irracionalitását , később Adrien-Marie Legendre is bebizonyította, hogy a π 2 is irracionális. Ez az állandó ( π 2 ) jelentős szerepet játszott a matematika, hiszen megjelent a megoldás a bázeli probléma , ami az volt, hogy megtalálják a pontos értékét , ami π 2 /6- (ezt bizonyítják a Leonhard Euler , aki létrehozta az alkalomra egy mély kapcsolat π és prímszámok között ). Az eljárás során a Legendre és Euler mind sejtette, hogy π volt transzcendens szám , ami végül bevált 1882-ben Ferdinand von Lindemann .
Ez volt a XVIII th században, amely meghatározza a használata a görög betű „ π ”, az első betű, a szó görög περιφέρεια ( kerülete , vagyis kerülete ) az arány a kör kerületének és átmérőjének a.
A XVII . Századtól kezdve egyes matematikusok a π / δ jelölést használják, ahol π a kerületet és a δ átmérõt jelöli . Először egyszerűen használja a π- t William Jones az 1706-ban megjelent Synopsis palmariorum mathesios című könyvében , amely barátja, Machin sorozata okos számításáról szól . A matematikusok azonban továbbra is más jelöléseket használnak. Ezek közül Euler 1736-tól kezdve levelezésében kezdte használni Jones jelölését. Ezt elfogadta az 1748-ban megjelent Introductio in analysin infinitorum című könyvében , amelynek minden bizonnyal nagy hatása volt. A pontozás a XVIII . Század végén uralkodott .
Míg a fizikus által végzett gyakorlati számításokhoz néhány tíz tizedes pontosságú π nagymértékben elegendő, a π szám tizedesjegyeinek meghódítása a számítógépek megérkezésével nem szűnt meg, ami lehetővé tette nagyon nagy számú ezek a tizedesek.
1949-ben a ENIAC , Neumann János kapott 2037 tizedesjegy a π követően a számítás, hogy vett 70 óra. A következő évtizedekben további tizedesjegyeket találtak a következő évtizedekben, a millió számjegyű szakasz 1973-ban telt el. Az előrelépés nem csak az egyre gyorsabb számítógépek, hanem az új algoritmusok használata is volt. Az egyik legjelentősebb előrelépés a Fast Fourier Transform felfedezése volt az 1960-as években , amely lehetővé tette a számítógépek számára, hogy nagyon nagy számokat gyorsan manipuláljanak.
A XX . Század elején Srinivasa Ramanujan indiai matematikus számos új képletet talált π-vel ; néhány közülük figyelemre méltó eleganciájával és matematikai mélységével. E képletek egyike a következő sorozat, amely minden új kifejezéshez 8 új tizedesjegyet ad:
Az alábbi képletet, amely szorosan kapcsolódik a fentiekhez, David és Gregory Chudnovsky fedezte fel 1987-ben:
Ez a képlet minden egyes tagnál 14 új tizedesjegyet ad meg. Az 1980-as évek végén a Chudnovsky testvérek több rekord megdöntésére használták a számított π tizedesjegyeket . Továbbra is ez a legelterjedtebb képlet a személyi számítógépek π kiszámításához .
Míg a sorok lehetővé teszik a π hozzávetőleges értékeinek az elérését az egyes tagok állandó pontossága mellett, vannak olyan iteratív algoritmusok, amelyek minden lépésnél megsokszorozzák a helyes tizedesjegyek számát, azzal a hátránnyal, hogy az egyes lépések általában "drága" számítást igényel. Áttörés történt 1975-ben, amikor Richard Brent és Eugene Salamin (in) egymástól függetlenül felfedezték a Brent-Salamin képletet , amely minden lépésben megduplázza a helyes számjegyek számát. Régi eredményen alapul, amelyet Gauss előre várt, majd bemutatott . 1818-ban kimutatta az 1 aritmetikai-geometriai középértékének (1, √ 2 ) és √ 2 - Bernoulli lemniszkátjának hossza - és π közötti kapcsolatot . A lemniscát hossza L = 2 ϖr, ahol r a lemniscát középpontja és csúcsa közötti OA távolságot jelenti, és ahol ϖ a lemniscate állandója. Ha G-vel jelöljük , a Gauss-állandó , azaz M (1, √ 2 ) inverze, akkor: Salamin és Brent ezt az eredményt felhasználva megalkotta a nevüket viselő algoritmust, amelynek köszönhetően a π tizedesek meghódítása együtt halad előre a √ 2 tizedeseivel .
Az algoritmus a következő: , majd meghatározza a következő ismétlődési összefüggéseket: és végül kiszámolni ezeket az értékeket, amíg a n és b n elég közel vannak. Ekkor hozzávetőleges π értékünk van : .
Ezen algoritmus használatával 45 millió tizedesjegy kiszámításához csak 25 iterációra van szükség. Hasonló algoritmust, amely minden ponton megnégyszerezi a pontosságot, Jonathan és Peter Borwein találtak. Ezeknek a módszereknek köszönhető, hogy Yasumasa Kanada és társai 1981 és 1999 között tizenegyszer megdöntötték a π tizedesjegyek rekordját (több mint 2 × 10 11 tizedes volt 1999-ben).
1997-ben a Simon Plouffe által felfedezett BBP formula tovább javította a π ismeretét . A képlet, figyelemre méltó, mert lehetővé teszi a π írásának bármely számjegyének számítását hexadecimális vagy bináris bázisban , az előzőek kiszámítása nélkül. 1998 és 2000 között, a PiHex elosztott számítási projekt használt egy változata a BBP képletű miatt Fabrice Bellard kiszámításához 1.000.000.000.000.000 th bináris számjegyet a π , ami kiderült, hogy 0.
Ha az alábbi képlet: találtak, a b és c pozitív egész számok, és p és q polinomot rögzített egész együtthatós (mint a BBP fenti képlet), ez lenne az egyik leghatékonyabb módon lehet kiszámítani bármilyen számot az írásban a π bázis b c (és ezért a b ) bázisban ) anélkül, hogy az előzőeket ki kellene számolni, csak a kiszámított kifejezés indexétől és a polinomok mértékétől függő időben.
2006-ban Simon Plouffe több képletet talált π-vel . A q = e π ( Gelfond konstans ) beállításával : szintén : ahol k egy páratlan szám , és egy , b , c olyan racionális számok .
2010 óta a program az y-cruncher használatával sikeresen rögzíti (lásd "A XXI . Század szakasza" a " π közelítése " részben ). 2016 végén a rekord meghaladta a 2 × 10 13 tizedesjegyet.
2019. március 14-én, a Pi napon a Google kiadta az új tizedesjegy rekordot, amelyet egyik alkalmazottja számított ki nagy teljesítményű gépekkel. Az új világrekord 31 415 milliárd tizedesjegy. 111 nap zavartalan számítások kellettek ahhoz, hogy Emma Haruka Iwao bekerüljön a Guinness Rekordok Könyvébe.
A π sok geometriai képletben jelenik meg, amelyek köröket és gömböket tartalmaznak :
Geometriai forma | Képlet |
---|---|
R sugarú és d átmérőjű kör kerülete | |
Terület egy lemez sugarú r | |
Az a és b féltengellyel rendelkező ellipszis területe | |
Kötet egy labdát sugarú r | |
Terület egy gömb sugarú r | |
H magasságú és r sugarú henger térfogata | |
A h magasságú és r sugarú henger oldalterülete | |
A h magasságú és r sugarú kúp térfogata | |
A h magasságú és r sugarú kúp oldalirányú területe |
A π megtalálható a hipergömbök felületének és térfogatának (háromnál több dimenzióval) kiszámításakor is .
Az z komplex szám poláris koordinátákban az alábbiak szerint fejezhető ki : .
A gyakori előfordulása π a komplex elemzése származik a viselkedését a komplex exponenciális függvény által leírt Euler-képlet : ahol i az i 2 = −1 összefüggést kielégítő képzeletbeli egység, és e ≈ 2.71828 Neper állandója . Ez a képlet azt jelenti, hogy a képzeletbeli hatásköre e leírni forgatások az egység kör a komplex síkon ; ezeknek a forgásoknak a periódusa 360 ° = 2 π rad . Különösen egy 180 ° = π rad forgatás adja meg Euler azonosságát .
Számos szekvenciák vagy sorozat közelítenek π vagy racionális többszöröse π , és még az eredete számítások közelítő értékek ezt a számot.
Archimedes módszer
A két szekvencia által meghatározott s n = n sin (π / n ) és t n = n tan (π / n ) képviseli, az n ≥ 3 , a félig kerülete szabályos sokszögeket n oldalán, feliratos a trigonometrikus kört s n , t n-re írták le . Kihúzott szekvenciák aknázzák ki őket, amelyek indexe (a sokszög oldalainak száma) minden egyes iterációban megduplázódik, hogy elemi számtani műveletek és a négyzetgyök alkalmazásával a kifejezések határáig haladva π- t kapjanak . Így Archimedes módszeréből ( lásd fent ) levezethetünk egy definíciót az s 2 k +1 és t 2 k +1 ( s 4 = 2 √ 2 és t 4 = 4) vagy s kifejezésekből kivont szekvenciák indukciójával. 3 × 2 k és t 3 × 2 k (a s 3 = 3 √ 3 /2 és t 3 = 3 √ 3 ): .
Ebből a meghatározásból következik, hogy a c n szekvencia két megfelelő kivont szekvenciája : = s n / t n = cos (π / n ) igazolja: és .
(Alternatív megoldásként mind az n ≥ 2 esetében az első két összefüggést trigonometrikus azonosságok ( vö. „ Félívíves képletek ”) és ( vö. „ Dupla szögű képletek ”) és az utolsó kettő közvetlenül, a trigonometrikus azonosságok 2sin ( x / 2) = √ 2 - 2cos ( X ) és 2cos ( x / 2) = √ 2 + 2cos ( x ) az x ∈ [0, π] .)
Ezért kifejezhetjük s 2 k +1 és s 3 × 2 k ( k ≥ 1 esetén), majd π (a határértékre való áthaladással) képletek formájában, ahol a négyzetgyök átfedik egymást : ( k a négyzetgyökök száma) vagy:
Az s 2 k +1 másik kifejezése , amely egyszerűen levezethető a két egyenlőség közül az elsőbe (szorozva √ 2 + √… -val ), a következő végtelen szorzathoz vezet ( François Viète , 1593 képlete ):
Végtelen összegek és termékekBrent-Salamin (1975) képlete ihlette folytatás :
Legyen három szekvencia ( A n ) , ( B n ) és ( C n ), amelyeket egyidejűleg határoz meg: nekünk van : .
A helyes tizedesjegyek száma (a 10. bázisban ) minden iterációnál csaknem megduplázódik.
Riemann zeta funkcióÁltalánosabban Euler bebizonyította, hogy ζ (2 n ) a π 2 n racionális többszöröse bármely pozitív n pozitív szám esetén .
Logisztikai csomagLegyen ( x n ) a logisztikai függvény iterációinak sorrendje μ = 4 paraméterrel, amelyet a [0, 1] intervallumban választott valós x 0-ra alkalmazunk (vagyis minden n ≥ 0 esetén meghatározzuk ) . Az ( x n ) szekvencia elhagyja a [0, 1] intervallumot és elválik szinte az összes kezdeti értéktől.
Van az szinte minden kezdeti érték x 0 .
IntegrálÚgy tűnik, hogy a π szám is kétszerese a végtelenben az integrált szinusz határértékének :
A valószínűség és a statisztika szempontjából sok olyan törvény létezik, amely a π állandót használja , beleértve:
Az elemzésből vett következő két képlet valószínűségi szempontból gyakorlati alkalmazásokat talál. Az egyik lehetővé teszi a binomiális törvény konvergenciájának bemutatását a Gauss-törvény felé , a másik pedig a Gauss-törvény sűrűségének kiszámítását.
Másrészt vannak különféle valószínűségi kísérletek, amelyekben az π beavatkozik az elméleti valószínűségbe. Ezért számos teszt elvégzésével felhasználhatók π közelítésének meghatározására .
A tű makákó egy élmény a valószínűsége által javasolt George Louis Leclerc, Gróf makákó és kiszámítása a valószínűsége, hogy egy hosszúságú tű már elindított egy burkolat készült lécek szélessége L , közrefogja két léc. Ez a p valószínűség : akkor is, ha a tű meghajlik.
Ez a képlet használható a π hozzávetőleges értékének meghatározására : ahol n a kidobott tűk száma, és x azon tűk száma, amelyek egyszerre két lécen vannak.
Ez a módszer gyorsan bemutatja a határait; bár az eredmény matematikailag helyes, nem használható kísérleti úton néhány tizedes pontnál többet megadni . Csak a 3,14 hozzávetőleges értékének eléréséhez több millió dobást kell végrehajtani, és a szükséges dobások száma a kívánt tizedesjegyekkel növekszik . Ezen kívül egy kis hiba a mérési hosszának L és egy lesz jelentős hatással a mért érték a π . Például a 10 centiméter hosszú tűn egyetlen atom mérésében mutatkozó különbség a π kilencedik tizedesjegyétől kezdődik . A gyakorlatban azok az esetek, amikor úgy tűnik, hogy a tű pontosan megérinti a két léc közötti határt, növeli a kísérlet pontatlanságát, így a hibák jóval a kilencedik tizedesjegy előtt megjelennek.
A Monte Carlo módszer egy másik valószínűségi kísérlet, amely abból áll, hogy véletlenszerűen veszünk egy pontot az 1. oldal négyzetének négyzetéből , annak a valószínűsége, hogy ez a pont az 1 sugarú negyedkorongban van, π / 4 ; ez könnyen érthető, tekintve, hogy a korong negyedének területe π / 4, míg a négyzeté 1 .
Mivel a π transzcendens, ennek a számnak nincs olyan kifejezése, amely csak számokat és algebrai függvényeket igényelne. A π kiszámításának képlete az elemi számtan segítségével általában végtelen összegeket tartalmaz. Ezek a képletek lehetővé teszik a π megközelítését olyan kicsi hibával, amennyit csak akarunk, tudva, hogy minél több kifejezést adunk hozzá a számításhoz, annál közelebb lesz az eredmény π-hez .
Ezért a numerikus számításoknál a π közelítéseit kell használni .
A π első numerikus közelítése minden bizonnyal 3. Abban az esetben, ha egy helyzet kevés precizitást igényel, ez az érték megfelelő közelítésként szolgálhat. Ha a 3 alapértelmezett becslés, akkor ez azért van, mert ez egy körbe beírt szabályos hatszög kerülete és ennek a körnek az átmérője.
Sok esetben a 3,14 vagy a 22/7 közelítés elegendő, bár a mérnökök régóta 3,1416 (5 jelentős számjegy) vagy 3,14159 (6 jelentős számjegy) pontosságot használnak. A 22/7 és a 355/113 közelítéseket 3, illetve 7 szignifikáns számjeggyel a π folyamatos töredékében írva kapjuk . Azonban Zu Chongzhi kínai matematikus (sin 沖 之hagyományos szinogrammokban , 祖 冲 之 egyszerűsített szinogramokban, Zǔ Chōngzhī piyinben) (429-500) fedezte fel a 355/113 frakciót Archimédész módszerével, hogy kiszámítsa a a szabályos sokszög, amelynek körzete 12 288 oldal. Ma a mérnökök által leggyakrabban használt numerikus közelítések az előre meghatározott számítási konstansok.
A π közelítése a 355/113-ban a legjobb, amelyet csak 3 számjeggyel lehet kifejezni a számlálóban és a nevezőben. A 103 993/33 102 közelítés (amely 10 jelentős számjegyet ad meg) sokkal nagyobb számot igényel: ez a magas 292-es szám megjelenéséből adódik a π folyamatos frakcióbővülésében .
A számítógépen végzett szokásos numerikus számításoknál helyesen lekerekített, de legalább 16 jelentős számjegyű pontossággal előre definiált konstans kerül alkalmazásra (ez a legjobb pontosság, amelyet lebegőpontos szám képviselhet a standard IEEE 754 formátumban 64 biten) , egy típus, amelyet általában "kettős pontosságnak" neveznek), és úgy választják meg, hogy a szinuszának kiszámítása pontosan ugyanabban a pontosságban definiált függvény alapján adja 0-t. Így a C vagy C ++ nyelven<math.h> használt szabványos fejlécfájl meghatározza a kettős pontosságú állandót (a lebegőpontos típust alapértelmezés szerint használják a standard matematikai könyvtárak számos funkciójában) 3,141592653589793 értékre (néha további számjegyekkel, ha a platform támogatja nagyobb pontosság a típushoz ). Ugyanezt az értéket használják a Java nyelvben , amely ugyanazon az IEEE 754 szabványon alapul, a standard állandóval ). Ezt az állandót sok programnyelvben így definiáljuk, a lehető legjobb pontossággal a támogatott lebegőpontos számformátumokban, mivel az IEEE 754 szabvány "kettős pontosságú" típusa minimális pontosságú referenciaként bevált. nyelvek számtalan alkalmazáshoz. M_PIlong doublejava.lang.Math.PI
Az x86 család mikroprocesszorain a hardveres számítási egységek (FPU) képesek 80 bit feletti lebegőpontos számok ábrázolására (ezzel a pontossággal használható C vagy C ++ nyelven a típusnál, de a hardvertámogatás garanciája nélkül), ami a π pontossága 19 számjegyig. Az IEEE 754 szabvány 2008-ban közzétett legújabb változata magában foglalja a lebegőpontos számok meghatározását "négyszeres pontosságban" (vagy ) 128 bitre kódolva, amely lehetővé tenné a π konstans közelítésének meghatározását 34 számjegyes pontossággal. jelentős (azonban ezt a pontosságot sok programnyelv még nem támogatja natívan, mert kevés processzor engedélyezi ezt a pontosságot közvetlenül hardver szinten további szoftveres támogatás nélkül). long doublequad
Olyan platformok vagy nyelvek esetében, amelyek natív módon csak az „egy pontosságú” számokat támogatják, az IEEE 754 szabványban 32 hasznos biten kódolva, 7 jelentős számjegy támogatható (a típus C által támogatott minimális pontosság float), azaz az állandó helyesen 3,141593-ra kerekítve, és pontossággal egyenértékű a 355/113 frakció által megadottal (ez a frakció gyors számításokat is lehetővé tesz olyan könnyű rendszerek szoftverében, amelyek nem tartalmaznak hardveregység lebegőpontos számítást).
A szekvencia részleges nevezők a folyamatos frakció bővülése a π nem tárt fel nyilvánvaló minta:
Azonban :
Sok kérdés merül fel: π és e két transzcendens szám, de algebrailag függetlenek, vagy létezik két változóval és egész együtthatóval rendelkező polinomegyenlet, amelynek párja ( π, e ) megoldás? A kérdés továbbra is nyitott. 1929-ben Alexandre Gelfond bizonyítja, hogy az e π transzcendens, 1996-ban pedig Jurij Nyeszterenko (en) bebizonyítja, hogy a π és az e π algebrailag független.
Mint mondta korábban , nem világos, hogy π egy normális számot , vagy akár egy több univerzum a bázis 10 .
Kétségtelen, hogy definíciójának egyszerűsége miatt a pi szám és különösen annak tizedes írása nagyobb mértékben beépül a népi kultúrába, mint bármely más matematikai tárgy. Sőt, a nagyobb tizedesjegyű π felfedezése gyakran az általános sajtó cikkei tárgyát képezi, ami arra utal, hogy a π még azok számára is ismerős tárgy, akik nem gyakorolják a matematikát.
A tó Kanadában található Quebec a szervezetlen területén a Riviere-aux-Outardes , nevét viseli a Lac 3,1416 .
Angolszász hagyomány szerint az π évfordulóját az egyetemek egyes matematikai tanszékein március 14 - én ünneplik . Március 14-ét, amelyet amerikai jelölés szerint "3/14" -nek neveznek, ezért nevezik pi napjának .
Számos helyszín vagy mű jelzi a π szám jelenlétét a piramisokban, pontosabban azt, hogy π az alap kerülete és a piramisok kétszeres magassága közötti arány. Igaz, hogy a Cheops-piramis lejtése 14/11, ezért az alap és a magasság aránya 22/14. A 22/7 arány jó közelítése a π-nek , a kerület és a Cheops-piramis magasságának duplája közötti arány nagyon közel van a π-hez . Szükséges-e mindez szándék keresésére? Semmi sem kevésbé biztos, mivel a piramisok lejtése nem állandó, és hogy a régiók és az idők függvényében 6/5-ös ( vörös piramis ), 4/3-os ( Khephren-piramis ) vagy 7/5 ( rombusz alakú ) lejtőket találunk piramis ), amelyek a kerület közötti arányhoz vezetnek, és megduplázzák a magasságot π-től .
Mindenesetre biztos, hogy a modern művészi kultúrában jelen van a π . Például Kapcsolat regénye, Carl Sagan , kulcsszerepet játszik a forgatókönyvet, és azt javasolta, hogy van egy üzenet mélyén a tized π , elhelyezett, aki teremtette a világot. A történetnek ez a része kimaradt a regény filmadaptációjából.
Kinematográfiai szinten π Darren Aronofsky első játékfilmjének a címe volt , akinek különösen a Requiem for a Dream -et köszönhetjük . A Pi egy matematikai thriller arról szól, hogy megtalálja a tökéletes sorrendet, feltárja a Wall Street-i tőzsdék pontos képletét vagy akár Isten valódi nevét .
A zenei nyilvántartásban az énekes-dalszerző, Kate Bush 2005-ben jelentette meg Aerial című albumát , amely a „ π ” számot tartalmazta , amelynek szövege főként a π tizedesjegyből áll .
A π memorizálásán túl , általában az első 3-6 számjegy, vagy a 355/113 törzs figyelemre méltó hozzávetőleges értéke (7 jelentős számjegy), a rekordszámú tizedesjegyű π megjegyzése sokáig megszállottja és sokak számára továbbra is megmaradt. az 2004. március 14, Oxfordban , a fiatal autista Asperger, Daniel Tammet (5 óra, 9 perc és 24 másodperc alatt) 22 514 tizedesjegyet mond. A 2005-ben a Guinness-rekordok könyve által elismert π memorizálási rekord 67 890 számjegy volt (Lu Chao, egy fiatal kínai diplomás, 24 óra 4 perc alatt). 2006 októberében Akira Haraguchi nyugalmazott japán mérnök 100 és 100 tizedesjegyes π- t mondott el 16 és fél óra alatt, de ezt a teljesítményt a Guinness-világrekord nem erősítette meg . A hivatalos rekord 2015 márciusában 70 000 tizedesjegyre megy 9 óra 27 perc alatt (Rajveer Meena indiai hallgató), majd októberben 70 030-ra 17 óra 14 perc alatt (Suresh Kumar Sharma, egy másik indián).
2009. június 17-én Andriy Slyusarchuk (in) , idegsebész és Ukrajna professzora azt állította, hogy 30 millió tizedesjegynyi π-t takarított meg , amelyeket 20 kötetben nyomtattak ki. Noha nem mondta el azt a 30 millió számjegyet, amire azt mondta, hogy emlékezett rá (amire egyébként több mint egy év kellett volna), néhány média azt állítja, hogy képes volt tíz tizedesjegyet elolvasni véletlenszerűen a nyomtatott kötetekből . A Guinness Records által hivatalosan megtartott értékekkel való összehasonlítás azonban arra készteti a szakértőket, hogy komolyan megkérdőjelezzék ezt az állítást .
Számos módja van a π tizedesjegyeinek megemlékezésére , beleértve azokat a verseket is, amelyekben az egyes szavak betűinek száma egy tizedes, tízbetűs, 0-t jelentő szónak felel meg. Íme egy példa:
Hogy szeretek hasznos számot tanítani a bölcseknek!
Halhatatlan Archimédész, művész, mérnök,
szerinted ki vehet értéket?
Számomra a problémájának hasonló előnyei voltak.
Korábban titokzatos probléma blokkolta az
összes csodálatra méltó folyamatot, azt a grandiózus munkát,
amelyet Pythagoras felfedezett az ókori görögöknél.
Ó kvadrátus! A filozófus régi gyötrelme
Oldhatatlan kerekség, túl sokáig
kihívta Pythagorast és utánzóit.
Hogyan integrálható a kör alakú tervtér?
Kialakítson egy háromszöget, amellyel egyenértékű lesz?
Új találmány: Archimédész
egy hatszög belsejébe írja; értékelni fogja a területét
a sugár szerint. Nem nagyon ragaszkodik hozzá:
Minden előző elemet lemásol;
Mindig kiszámított gömb fog megközelíteni;
Határ meghatározása; végül az ív, a korlátozó
Ebből a zavaró körből, a túl lázadó ellenséges
professzor buzgón tanítja problémáját.
Ennek a módszernek nagyon korlátai vannak a tizedesjegyek eltárolására, ahol megfelelőbbnek tűnik olyan módszerek használata, mint a loci módszer .
2001-ben Robert Palais matematikus a π tévedést írta ! , amelyben úgy ítéli meg, hogy az állandó rosszul van meghatározva, és azt egy kör kerületének és sugárának arányaként kell beállítani, numerikus értékét 6.2831853071795-re növelve ... a szokásos képletek egyszerűsítése érdekében, amely gyakrabban vonja be a 2π-t, mint a π-t . Michael Hartl a Tau-kiáltványban vette fel érveit , amelyben egy új konstans, τ = 2π használatának támogatását javasolta . Azóta a τ védelmezői létrehozták a Tau napot június 28-án (6/28), versengve a március 14-i Pi nappal (3/14).